[Contributi] Elementi di Calcolo delle probabilità_6

Ecco l'ultimo articolo regalatoci da Paolo sul calcolo delle probabilità.

Teorema della Probabilità Subordinata
Se un evento E risulta dal concorso successivo degli eventi E1, E2, ….., En fra loro subordinati, cioè dipendenti fra loro secondo un certo ordine, la sua probabilità di verificarsi risulta dal prodotto delle singole probabilità subordinate.

P(E) = P(E1) x P(E2/E1) x…. x P(En/En-1) (dove il segno "x" sta per "prodotto")

Il gioco del Lotto o della Tombola sono pratici esempi a cui si può applicare il teorema.
In entrambi infatti, la probabilità di estrarre un numero dopo averne già estratto uno, è subordinata al precedente poiché questo non viene rimesso nell'urna modificando di fatto sia il numero degli eventi favorevoli sia dei possibili (le palline nell'urna diminuiscono).

Si prenda ad esempio un'urna contenente 100 palline bianche e nere di cui 20 bianche.
La probabilità che estraendo successivamente 3 palline, senza rimetterle nell'urna, si presentino 3 palline bianche, secondo l'assunto, è data dalla formula:

P(E) = 20/100 x 19/99 x 18/98 = 0,705%

Infatti, se nella prima estrazione si è presentata una pallina bianca, evento di probabilità 20/100, si può procedere alla seconda estrazione.
Però adesso nell'urna sono rimaste 19 palline bianche su 99 di totale. Quindi la probabilità di estrarre una pallina bianca la seconda volta è 19/99, e così via.

Se si considera il gioco della Tombola, o analogamente quello del Lotto, la probabilità di fare un terno è data dalla formula:
P(E) = 1/90 x 1/89 x 1/88 = 0,0001%
come si può notare molto più bassa della precedente.
Ciò si spiega perché all'interno dell'urna i numeri sono tutti diversi, vanno da 1 a 90; quindi se nella prima estrazione si è presentato il numero voluto, evento di probabilità 1/90, si procede alla seconda estrazione senza rimettere il numero nell'urna.
Ora però i numeri rimasti sono 89, di conseguenza la probabilità del secondo numero è 1/89, e così via.
Il Teorema della probabilità Subordinata si può quindi enunciare in questi termini:
"Se un evento risulta dal concorso successivo di più eventi subordinati, la sua probabilità è il prodotto della probabilità di ciascun evento subordinatamente all'essersi presentati gli eventi che lo precedono"
Come si può notare, questo teorema non è altro che una "sottospecie" di quello della Probabilità Composta.
Ciao a tutti. Paolo
Grazie ancora Paolo,
ehi, è l'ultimo tuo contributo ma soltanto per ciò che concerne la probabilità, no?!:-)

[Contributi] Elementi di Calcolo delle probabilità_5

Ancora un post di Paolo sul calcolo delle probabilità.

Teorema della Probabilità Composta
Se un evento E risulta dal concorso simultaneo o successivo degli eventi E1, E2, ….., En fra loro indipendenti, cioè tali che il presentarsi dell'uno non ha alcuna influenza sul presentarsi degli altri, la loro probabilità di verificarsi risulta dal prodotto delle singole probabilità.

P(E) = P(E1) x P(E2) x…. x P(En) (dove il segno "x" sta per "prodotto")

Un caso pratico può spiegare meglio il postulato.
Si prendano 3 urne contenenti rispettivamente palline …………

NO! Un momento, non queste, anche se penso che qualcuno le preferirebbe.
Dicevo…. tre urne U1, U2, U3, di palline bianche e nere e contenenti rispettivamente:
- U1: 100 palline, di cui 10 bianche
- U2: 60 palline di cui 20 bianche
- U3: 90 palline di cui 15 bianche

Qual è la probabilità che estraendo 3 palline, una da ciascuna urna, si presentino 3 palline bianche? Cioè una bianca dalla prima urna "e" una bianca dalla seconda "e" una bianca dalla terza?
Si veda la seguente formula:

P(E) = 10/100 x 20/60 x 15/90 = 1/10 x 1/3 x 1/6 = 1/180 = 0,556%

Infatti il numero di casi favorevoli è costituito da tutti i possibili gruppi di 3 palline bianche che si possono ottenere estraendo una pallina da ciascuna urna.
Ciascuna delle 10 palline bianche di U1 può accoppiarsi con una qualunque delle 20 palline bianche di U2 "e" ciascuna di queste 10 x 20 coppie può accoppiarsi con una qualunque delle 15 palline bianche di U3.

Avendo tre mazzi di carte da briscola, qual è la probabilità che estraendo una carta da ogni mazzo escano 3 figure? Cioè una figura dal primo mazzo "e" una figura dal secondo "e" una figura dal terzo?
Poiché in ogni mazzo di carte vi sono 12 figure su 40 carte, la probabilità sarà data da:

P(E) = 12/40 x 12/40 x 12/40 = 3^3/10^3 = 2,700%

Il Teorema della probabilità Composta si può quindi enunciare in questi termini:
"Se un evento risulta dal concorso simultaneo o successivo di più eventi fra loro indipendenti, la sua probabilità è il prodotto dei singoli eventi"
Come si è potuto notare, a differenza del Teorema della probabilità Totale, quello della Probabilità Composta è contraddistinto dalla ricorrenza della congiunzione "e".
Grazie ancora, Paolo,
stavolta ci hai preso "per la gola"!:-)

[Contributi] Elementi di Calcolo delle probabilità_4

Ancora i contributi di Paolo ...
Teorema della Probabilità Totale
Da questo articolo e per i successivi verrà affrontata l'applicazione pratica del calcolo delle probabilità nelle diverse modalità in cui si presentano gli eventi E.
Il "Teorema della probabilità totale" è il primo di tre sui quali di fatto poggia lo sviluppo dell'intero calcolo delle probabilità.
Esso afferma: "se un evento E si presenta sotto modalità fra loro incompatibili, la sua probabilità risulta dalla somma delle probabilità delle singole modalità".
Per capire il senso di questo postulato si può ricorrere ad un esempio di immediata comprensione.
Si consideri un'urna contenente palline numerate da 1 a 100. Qual è la probabilità di estrarre un numero pari oppure che sia divisibile per 3?
Poiché le modalità che si presenti un numero pari oppure divisibile per 3 non si escludono a vicenda (nell'urna oltre a 50 numeri pari vi sono anche 17 numeri dispari divisibili per 3), la loro probabilità risulta dalla somma delle singole probabilità.
Quindi: P(E) = 50/100 + 17/100 = 67/100
Si può notare che la caratteristica che contraddistingue questo postulato è la ricorrenza della condizione "O". Nella fattispecie l'evento E si può presentare sotto la modalità "numero pari" o "numero divisibile per 3", infatti, fra i numeri divisibili per 3 vi sono anche alcuni di quelli dispari.
Se il quesito fosse posto in modo da ricomprendere tutti i casi possibili, ovvero la probabilità di estrarre dall'urna "o" i numeri pari "o" i numeri dispari, si avrebbe come risultato la certezza:
P(E) = 50/100 + 50/100 = 100/100 = 1
Infatti, se si estrae una pallina questa può essere o pari, o, in caso contrario, dispari.

Un altro esempio si può ricavare dal gioco della tombola.
Supponendo che siano già stati estratti 10 numeri su 90 e che nella mia cartella abbia la seguente fila di numeri: 21, 25, 28, 29, 30, due dei quali (il 21 e il 30) siano già usciti, qual è la probabilità che nella successiva estrazione esca un numero che mi consenta di fare "terno", ovvero esca o il 25, o il 28, o il 29?
Gli eventi possibili sono relativi all'estrazione o del 25, o del 28, o del 29, di conseguenza la probabilità di fare terno sarà data da:
P(E) = 1/80 + 1/80 + 1/80 = 3/80 = 3,75%
Infatti, essendo già stati estratti 10 numeri, la probabilità di estrarre il numero 25 sarà data da 1(evento favorevole) / 80 (eventi possibili), e così per gli altri due numeri.
Alla prossima.
Grazie Paolo!

[Contributi] Elementi di Calcolo delle probabilità_3

Ecco il terzo contributo di Paolo sul calcolo delle probabilità.

Frequenza e Postulato empirico del Caso
La differenza sostanziale fra la misura della Frequenza e quella della Probabilità consiste nel fatto che la prima è sperimentale mentre la seconda è teorica.
Più precisamente, la prima misura un esperimento avvenuto (estraggo palline da un'urna che contiene un certo numero rispettivamente di palline bianche e nere e misuro quante bianche e quante nere sono state estratte), mentre la seconda un evento ipotetico date certe condizioni (con che probabilità posso estrarre una pallina bianca da un'urna che ne contiene anche di nere, in un certo numero su un totale complessivo).
Ciò premesso, si dice frequenza (relativa) di un evento E, F(E), il rapporto fra il numero delle volte che l'evento si è presentato ed il numero delle prove fatte.
La formula che l'esprime è la seguente: F(E) = M/N
dove M è il numero di volte che si presenta l'evento e N il numero delle prove fatte.
Nota: il termine prove va inteso in senso lato. Nelle Scienze sperimentali e statistiche è equivalente, più propriamente, a osservazioni.

Nel presupposto che l'evento E si presenti in tutti i casi egualmente possibili ed è quindi determinabile la sua probabilità P(E), l'esperienza ha dimostrato che in una sequenza di prove F(E) assume valori molto prossimi a P(E), in genere tanto più vicini quanto maggiore è il numero delle prove.
Questa asserzione introduce un concetto, il Postulato (o legge) empirico del caso che può essere così formulato:
"In una sequenza di prove, eseguite tutte nelle identiche condizioni, ciascuno degli eventi possibili si presenta con una frequenza che non si discosta molto dalla sua probabilità. In genere l'approssimazione cresce aumentando il numero delle prove."
Un dimostrazione significativa del postulato è data dalla seguente tabella, che mostra la frequenza di uscita dei numeri del lotto in un arco di tempo sufficientemente ampio (dal 7/1/1939 al 30/8/2008 per un totale di 44.396 estrazioni):

N.B.: per rendere paragonabile la Frequenza relativa con la Probabilità, si è moltiplicato il valore per 5 in quanto 5 sono le estrazioni per ogni giocata.
Analizzando la tabella si posso desumere due importanti osservazioni:
• la convergenza del valore della Media della Frequenza relativa (5,556%) con la Probabilità di presentarsi dell'evento (1/90+1/89+1/88+1/87+1/86 = 5,683%).
N.B. il metodo utilizzato per il calcolo della probabilità verrà precisato in un successivo articolo;
• la Media della Frequenza assoluta si discosta dalla Frequenza Assoluta minima e dalla massima rispettivamente di sole 121 e 132 estrazioni. Su 44.396 estrazioni è uno scostamento del tutto insignificante (circa lo 0,272%)
Alla prossima.
Grazie Paolo!

- Stavolta mi piace integrare l'articolo di Paolo (Paolo concorda pienamente) con un esempio riguardante la relazione tra probabilità e frequenza relativa, forse di più facile comprensione per gli studenti di una scuola media.
Per fare questo confronto utilizziamo il piano cartesiano riferendoci al diagramma che rappresenta l'andamento delle frequenze.
Ci proponiamo ad es, di calcolare la frequenza con la quale escono le diverse somme dei punteggi di due dadi, dalla più piccola, 1+1=2, alla più grande, 6+6=12, nella sequenza di un certo numero di lanci.

Supponiamo di aver lanciato effettivamente due dadi e di aver eseguito tre sequenze di lanci, una di 50 lanci, una di 200 e una di 500.
Le tabelle di frequenza in figura, riportano i risultati ottenuti nei tre casi, cioè le frequenze con cui sono uscite le somme da 2 a 12.

Questo il diagramma di frequenza

in ascissa le somme che si possono ottenere,
in ordinata le frequenze in percentuale.
I punti sono uniti per meglio visualizzare l'andamento del fenomeno

Ora in maniera analoga rappresentiamo le probabilità delle diverse somme e costruiamo il diagramma di probabilità.
Come calcoliamo le probabilità delle diverse somme?
Possiamo aiutarci con una piccola tabella dell'addizione:

Lascio a voi il calcolo della probabilità delle diverse somme!
Ricordate: P(E)=m/n
m= casi favorevoli (ad es., quante volte può uscire la somma 3 ?)
n= casi possibili
Ecco il diagramma di probabilità:

in ascissa le somme possibili,
in ordinata il numero di casi favorevoli.
I punti rappresentano il numero di casi favorevoli per ciascun punteggio.
I punti sono anche qui uniti, possiamo così confrontare l'andamento della probabilità con quello della frequenza.

Osservate e rispondete:
Il diagramma di probabilità è simmetrico rispetto alla retta r. Perché?
Presenta inoltre, una "punta" in corrispondenza del valore 7. Perché?
Il confronto grafico
Confrontando il grafico delle frequenze con quello delle probabilità, si può osservare che il diagramma della frequenza, all'aumentare del numero di lanci, si avvicina sempre di più al diagramma della probabilità.
Il diagramma relativo a 50 lanci presenta più punte, quello relativo a 200 lanci presenta una punta e una maggiore simmetria, quello relativo a 500 lanci presenta una sola punta e una forma che è abbastanza simile al diagramma della probabilità.
Dunque,
la frequenza tende alla probabilità: aumentando il numero di prove, la frequenza relativa si avvicina sempre di più alla probabilità.

[Contributi] Elementi di Calcolo delle probabilità_2

Dopo il primo, ecco il secondo post di Paolo sul calcolo delle probabilità.

Probabilità di eventi che si presentano in casi egualmente possibili
Se l'evento E si presenta in un certo numero di casi (n), tutti egualmente possibili e, di questi, solo una parte (m) sono favorevoli a E, la probabilità che si presenti l'evento favorevole è data dalla formula:
P(E)=m/n
Più precisamente, la probabilità di un evento è misurata dal rapporto fra il numero dei casi favorevoli all'evento ed il numero dei casi egualmente possibili.

In pratica, se considero l'esempio di un'urna contenente 100 palline di cui metà bianche e metà nere, la probabilità di estrarre una pallina bianca è data dalla formula
P(E)=50/100, ovvero 0,50 che equivale al 50%. Cioè la probabilità di estrarre una pallina bianca è pari al 50%.
Analogamente circa la probabilità di estrarre una pallina nera.

Per contro, se l'urna contenesse 25 palline bianche e 75 nere, la probabilità di estrarre una pallina bianca sarebbe
P(E)=25/100, ovvero 0,25 che equivale al 25%.
In questo caso, la probabilità di estrarre una pallina nera diventerebbe
P(E)=75/100, cioè 75%.

Da questo esempio si possono estrapolare due importanti postulati:
• il primo, già citato, che la probabilità di un evento è sempre compresa fra 0 e 1 con esclusione degli estremi;
• il secondo che la probabilità del NON evento E, ovvero che non si verifichi l'evento, è data dalla differenza 1- P(E);
nel caso esemplificato la probabilità di estrarre una pallina nera è data da 1-25%, appunto 75%.

Il lancio di una moneta rappresenta un altro esempio significativo:
la probabilità che si presenti il lato testa o, viceversa, il lato croce è pari al 50% in quanto vi è un solo evento favorevole su 2 casi egualmente possibili.




Quando si parla di casi egualmente possibili significa che le condizioni in cui i questi si presentano devono essere identiche.
Nell'esempio citato, le palline sono identiche sotto tutti gli aspetti, tranne il colore. Sono quindi perfettamente sferiche, della stessa materia, dello stesso peso e dimensione e così via.
Così pure la moneta deve essere perfettamente equilibrata, avere le facce con rilievo non distinguibile e quant'altro.
Se così non fosse si invaliderebbe il principio di casualità, che sta alla base del calcolo delle probabilità.

E ora un piccolo esercizio (da internet):
Disponi di due urne da cui devi estrarre casualmente una pallina. Quale sceglieresti se il premio si ottiene estraendo il nero?

Grazie Paolo!

[Contributi] Elementi di Calcolo delle probabilità_1

Ragazzi, nell'ultimo post sulla statistica ho accennato alla probabilità, dicendo che statistica e probabilità costituiscono la matematica dell'incertezza.
Il mio amico Paolo ci regala gentilmente qualche post per introdurci giustappunto alla conoscenza del calcolo delle probabilità.

Eventi casuali e loro probabilità
Un evento casuale, detto anche aleatorio (dal latino alea che vuol dire "gioco di dadi") o stocastico (dal greco stochastikos, stochazesthai, che vuol dire "fare congetture, ipotesi...") è un evento il cui verificarsi dipende dal caso.
Il caso è l'effetto risultante da molteplici cause ignote o poco note.
Per esempio:
• l'estrazione di una pallina bianca da un'urna che contiene anche palline nere rappresenta un evento casuale;
• nel gioco della tombola l'estrazione del numero 10 dal sacchetto che contiene 90 numeri rappresenta un evento casuale;
• come pure evento casuale è l'uscita del lato testa nel lancio di una moneta.

La probabilità che un evento E ha di presentarsi si può indicare con P(E).
Quando l'evento E è certo, è per esempio il caso dell'estrazione di una pallina bianca da un'urna che contiene solo palline bianche, allora P(E)=1,
quando invece è impossibile, non posso estrarre una pallina bianca da un'urna piena di sole palline nere, la probabilità è nulla quindi P(E)=0.
L'evento è quindi possibile quando la probabilità di verificarsi è compresa fra 0 e 1, ovvero quando

Nei prossimi articoli vedremo come si effettuano i calcoli della probabilità del verificarsi di eventi.
Grazie Paolo!:-)