Valentino matematico

Ma sì …

noi che non siamo troppo per le ricorrenze, dedichiamo all’amore cuori e baci … matematici!

Beninteso, lo diciamo subito, come ricorda L. Cresci in Le Curve Matematiche tra curiosità e divertimento 

“lo naturale è sempre sanza errore”

Dante – Purg. XVII, 94

 :-)

Dunque, “Curve d’amore”!

Per cominciare, non possiamo non ri-dedicarvi le nostre cardioidi:

La Cardioide

Regali … di cuore!

Poi ancora cuori. Un Doppio cuore:

una curva matematica che Cramer definì, nel 1750, “la figura di due cuori che si penetrano l’un l’altro con la punta”.

La curva era già stata studiata in precedenza da Gregorio di San Vincenzo (matematico fiammingo) nel 1647.

Ecco la realizzazione con GeoGebra. Clic per aprire le applet. Con un po’ di fantasia, potrete vederli “battere” ! :-)

 Altro cuore

E un Kiss!

La curva “bacio”, chiamata anche bouche, deve il suo spiritoso ed evocativo nome al giovane matematico parigino Robert Ferreol.

Sulle applet, le equazioni.

Possono mancare i fiori?

  Conchoide de rosace

Parenti di QUESTE.

E, toglie poesia sapere che queste meraviglie sono create da una roba del genere:

Curva[(1 + 3.3 cos(9 / 4 α)) cos(α),(1 + 3.3 cos(9 / 4 α)) sin(α), α, -2 * 5 π / (9 / 4), 2 * 5 π / (9 / 4)]                           

?

Clic sulla seconda immagine per …crearne a piacere!

Buon San Valentino a tutti! :-)

Link

Courbes 2D

Daniel Mentrard

Curve di frutti

Bèh, da un po' non mi divertivo con le "Curve Matematiche tra curiosità e divertimento" ...appunto!
E' la volta del capitolo 12 del testo di Luciano Cresci , da cui ho preso il titolo Curve di frutti (al link cliccate su Indice).
Curve semplicissime, simpatiche da dedicare ai ragazzi della prima! (ma sì, pure a voi di III... i vostri compagni più piccoli non hanno, penso, ancora visto altre curve sul blog...)
Cominciamo con due curve davvero semplici da costruire (ah, con Geogebra naturalmente!)

Il limone e la mela di Keplero:
"Infinite sono le vie della matematica: il 1612 fu in Austria un'annata particolarmente propizia per la raccolta dell'uva e ciò diede a Johannes Kepler (1571-1630) il pretesto per occuparsi di vino [....] Unendo l'utile al dilettevole Keplero, studiando la forma delle botti, trovò delle semplicissime figure di frutti..." continua  


Ed ecco il limone:

Come si costruisce:
- si costruisce un cerchio;
- si seziona il cerchio tracciando una corda (segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza);
- si costruisce il simmetrico del segmento circolare (ciascuna delle due parti in cui la corda divide il cerchio) inferiore al semicerchio rispetto alla corda (la corda, asse di simmetria)
Con la stessa procedura, cerchio e corda, costruendo il simmetrico del segmento circolare superiore al semicerchio, si ottiene invece ... 
la mela!

 béh, ho aggiunto io il picciolo!

E ora l'arachide, o nocciolina americana o cacahuète (francese) o peanut (inglese), "figurina semplice semplice":

La curva è una variante di rodonea, la sua equazione polare è:
ρ = a (1 + e cos(n α))  
con n reale › 0  e  e ‹ 1
Io ho costruito la curva con equazione polare modificata (sen() al posto di cos()):
ρ = 2 (1 - 0.5 sin(2 α)) 

Ancora, la pera:

La categoria delle curve piriformi (a forma di pera) è stata studiata da G. de Longchamps nel 1886. Variando nelle equazioni parametriche:
x =  a cos(t)²,
y = a² cos(t)³ sin(t)/ b
i parametri a e b si ottengono vari tipi di pera.
 Può essere ottenuta anche come luogo di punti:
- preso un punto P su un cerchio (C) di diametro OA (dove A è il punto di coordinate (a, 0)),
- tracciata una retta  x = b, 
- fissato su questa il punto Q con la stessa ordinata del punto P,
- tracciata la semiretta per O e Q,
- la curva è il locus del punto M, intersezione semiretta OQ - retta x=b, avente la stessa ascissa di P.
Inoltre: quando a = 2b la curva prende il nome di trottola

 

Clic sulla figura per visualizzare la costruzione.

La curva generalizzata cambia spesso nome e, da pera, diventa lacrima oppure goccia:

questa ha parametriche:
x = 2 sin(t) + sin(2 t)
y = - 4 cos(t)
Per chiudere, la doppia goccia d'acqua

 le sue equazioni:
x = a cos(t), 
y = a² cos(t)² sin(t) / b

Link:

Quartique piriforme
Conchoïde de rosace

Due curve "di mare"

*Curve di mare*: così titola Luciano Cresci il capitolo 8 de Le Curve matematiche tra curiosità e divertimento.
La prima descritta fra queste curve è la

Concoide di Nicomede

La concoide (o clocoide) di Nicomede prende il nome dal matematico e filosofo vissuto tra il III° e il II° sec. a.C. ad Alessandria ed Atene. Della sua vita non si hanno notizie. Proclo (410-485 d.C.) e Pappo (III-IV sec. d.C.) testimoniano che Nicomede scoprì le curve concoidi, insieme alle loro proprietà e caratteristiche, e grazie a queste risolse il problema della trisezione dell'angolo e della duplicazione del cubo.
Il nome concoide deriva dal greco κονκοειδεσ, concheides, e significa simile ad una conchiglia, proprio perché la forma della curva ricorda quella di una conchiglia.
Infatti:

e:

oppure:

Fra i matematici del XVII° sec. la concoide di Nicomede ebbe grande popolarità: Fermat e Roberval completarono la ricerca sulle tangenti alla curva. Huygens giunse alla costruzione dei flessi applicando il metodo di Cartesio e trovò che l'area tra i rami della curva è infinita. Newton propose di includerla, insieme alla retta e alla circonferenza, tra le curve "di buon servizio" per i problemi di terzo e quarto grado.
L'equazione della curva in coordinate polari è:
$ρ\,=\, \frac{ a }{ cos(θ)} + c$

l'equazione cartesiana:
$y\, =\,\pm \frac{ x }{ x -a} \sqrt{ c² - (x - a)² }$

Come si costruisce la concoide di Nicomede.
Sia data una retta a, un punto A non sulla retta. Si traccia la retta b perpendicolare ad a e passante per A, con D punto di intersezione con a e con DC di lunghezza fissata c. Si ruota la retta b attorno ad A. Si traccia quindi la circonferenza di centro un punto C1 della retta a e raggio c. Si individuano i punti di intersezione, F e G, della circonferenza con la retta b' (b ruotata di un angolo α).
La concoide è il luogo dei punti F e G.
Clic per visualizzare l'animazione su geogebra, che evidenzia i parametri variabili ...

In particolare si nota che la forma della concoide è sempre simmetrica rispetto alla retta b: questa passa per il polo A e per i vertici della concoide. La retta base a è un asintoto sia per il ramo esterno che per il ramo interno ma la forma del ramo interno della concoide dipende dal rapporto fra i due parametri a e c ossia tra le lunghezze dei segmenti AD e il raggio della circonferenza:
per a ‹ c il ramo interno ha un cappio e il polo è un nodo,
per a = c si una cuspide, il cappio del ramo interno si riduce al polo,
per a › c il ramo interno non passa per il polo e quest'ultimo è un punto isolato della curva.
Per l'animazione "conchiglia" clic QUI
La curva base, anziché una retta, può essere qualsiasi curva.
Se per es. la curva è una circonferenza, e il punto fisso A è un punto della circonferenza, la concoide è una lumaca. Se la lunghezza fissa c è uguale al raggio della circonferenza, la concoide diventa una cardioide
Se la curva base è una spirale di Archimede e il punto fisso è il centro della spirale, la concoide è ancora una spirale di Archimede. (torneremo su lumaca e spirale?)

E ora la seconda curva...
La conchiglia di Dürer
Imparentata con la concoide di Nicomede, la conchiglia di Dürer è una curva studiata dal grande artista, pittore e incisore, e matematico Albrecht Dürer.
Nella sua opera Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt descrive un apparecchio per tracciare una curva da lui chiamata Muschellinie (in tedesco, "curva a conchiglia").
La curva ha un ramo di concoide e un altro con andamento sinuoso. Graziosissima nella sua semplicità!
Clic per aprire l'animazione con geogebra.

La cicloide

Fra le "curve matematiche celebri", abbiamo incontrato le epicicloidi che,
assieme alle ipocicloidi sono casi particolari di roulette, come oggi si definisce in generale una curva descritta da un punto solidale con una curva, che rotoli senza strisciare su un'altra curva fissa.
Ancora un caso particolare di roulette è la cicloide: in questo caso la curva fissa è una retta e la curva che rotola è una circonferenza.
Storia
La cicloide fu oggetto delle meditazioni notturne di Blaise Pascal (1623 – 1662), che la descrisse nella sua Histoire de la roulette: "La roulette è una curva talmente comune, che dopo la retta e la circonferenza essa è quella più frequente; ed è spesso sotto gli occhi di tutti, tanto che c'è da stupirsi che non sia stata studiata dagli antichi...."
Galileo era stato il primo ad occuparsene, riferendosi alla cicloide parlò di una "curvità graziosissima". Nel 1640 scriveva:
"Quella linea arcuata sono più di cinquant'anni che mi venne in mente di descriverla, e la ammirai per la curvità graziosissima per adattarla agli archi di un ponte. Feci sopra di essa, e sopra lo spazio da lei e dalla sua corda compreso, diversi tentativi per dimostrare qualche passione, e parvemi in principio che tale spazio potesse essere triplo del cerchio che lo descrive; ma non fu così, benché la differenza non sia molta."
La studiarono poi padre Mersenne, Roberval, Torricelli, Fermat, Descartes.
Fu Pascal a risvegliare grande interesse per la curva proponendo diverse sfide matematiche riguardanti la cicloide (fu definita, a tal proposito, "la bella Elena" della geometria), a cui parteciparono i più grandi matematici dell'epoca: Wallis, Sluze, Fermat, Huygens, Ricci.
La cicloide dunque, "tanto bella quanto semplice da descrivere":
è definita come il luogo dei punti su una circonferenza data che rotola senza strisciare su una retta.
Clic sull'immagine e agire su Play

Questo tipo di cicloide viene detta ordinaria.
Se il punto non si trova sulla circonferenza, si ha la cicloide accorciata se il punto è interno e la cicloide allungata se il punto è al di fuori della circonferenza.
Clic per vedere il confronto tra le tre curve

Le equazioni parametriche:
x = r θ - h sin(θ)
y = r - h cos(θ)
dove r è il raggio della circonferenza e h è la distanza del punto P dal centro della circonferenza (dunque r). Perciò:
h = r - cicloide ordinaria (cerchio al centro),
h minore di r - cicloide accorciata (cerchio interno),
h maggiore di r - cicloide allungata (cerchio esterno).
I paradossi
__Relativo alla cicloide accorciata, si attribuisce ad Aristotele un paradosso:
"se il cerchio (al centro nella nostra immagine) rappresenta una ruota, ad es al livello di una strada, mentre la ruota fa un giro completo, il punto P si sposterà nel punto P', dove PP' è di lunghezza uguale alla circonferenza della ruota. Se il cerchio interno rappresenta il mozzo della ruota, e si trova all'altezza del marciapiede, nello stesso intervallo di tempo il punto (Q) si sposterà nel punto Q' lungo il marciapiede. Si può allora sostenere che QQ' rappresenta la lunghezza della circonferenza del cerchio piccolo. Le due circonferenze, quella grande e quella piccola avrebbero dunque la stessa lunghezza!"
In realtà il paradosso trova la sua spiegazione nel fatto che la ruota compie una rotazione senza strisciare, mentre il mozzo effettua un movimento composto roto-translatorio, descrivendo appunto una cicloide accorciata. E il centro del cerchio compie un moto unicamente traslatorio.
__Riguardo alla cicloide allungata, un altro paradosso:
immaginiamo una ruota di un treno che rotola sul binario senza strisciare, tranne quando il treno frena. Un punto solidale con la ruota descrive una cicloide. La ruota del treno ha anche una flangia di diametro maggiore, che garantisce l'aderenza della ruota poggiando sulla faccia interna della rotaia. I punti sulla flangia descrivono la cicloide allungata.
La curva forma dei cappi in corrispondenza alle cuspidi della cicloide ordinaria: nel descrivere la parte inferiore del cappio, i punti corrispondenti si muovono all'indietro. Di qui il paradosso che una parte del treno in ogni istante va a ritroso e ciò naturalmente mentre il treno corre veloce, e spensierato, a cento all'ora!
L'evoluta
Le rette normali per ogni punto C della cicloide passano per i suoi centri di curvatura. Costruendo l'inviluppo delle rette normali alla cicloide si ottiene la sua evoluta.
Che è ancora una cicloide..., clic:

Proprietà
Ora le proprietà fisico-matematiche della cicloide che hanno scatenato tra gli scienziati dell'epoca le più accese sfide, lanciate da Pascal.
__Un pendolo che percorre una traiettoria cicloide è isocrono (dal gr. isos = uguale e chronos = tempo), ovvero il suo periodo rimane costante indipendentemente dall'ampiezza delle sue oscillazioni.
__Una scodella di forma cicloidale è tautocrona (dal gr tautos = identico e chronos = tempo), poiché uguali oggetti (tipo sferette) poste a varie altezze del recipiente raggiungeranno il fondo nello stesso tempo.
Huygens, che su tali fenomeni si arrovellava, si accorse della loro similarità. Egli si dilettava di orologeria e capì che il pendolo circolare era isocrono soltanto per le piccole oscillazioni, mentre per la costruzione degli ingranaggi degli orologi era richiesto l'utilizzo di un pendolo che compisse qualsiasi tipo di oscillazione, indipendentemente dall'ampiezza, esattamente nello stesso tempo.
Huygens dimostrò che tale garanzia veniva data solo dalla possibilità di trasformare il pendolo circolare in un pendolo che descrivesse una cicloide.
Per costruirlo Huygens si avvalse proprio della proprietà dell'evoluta della cicloide che è ancora una cicloide, e quindi costruì due ganasce a forma di archi cicloidali rovesciati che si incontrano in una cuspide.
La scodella tautocrona
Clic

Il pendolo isocrono di Huygens.
Clic

Altra versione:

Inoltre:
la cicloide ha la proprietà brachistocrona (dal gr brachistos = più corto e chronos=tempo): infatti essa è la curva su cui un oggetto che scivola impiega meno tempo per percorrere il tragitto fra due punti dati.
I fratelli Jacques e Johann Bernoulli sembra litigarono nella ricerca della curva brachistocrona! Johann (o Jacques?) Bernoulli (1667-1748) chiamò l'arco di curva cicloide curva celerrimi descensus.
Ecco la costruzione con GeoGebra. Cliccare per seguire l'animazione:

il punto S che scorre sulla cicloide, raggiunge per primo il punto (0,0) rispetto al punto U che scorre lungo l'asse x, e per primo l'intersezione della cicloide e la semiretta su cui scorre T.

La nefroide

Eh, mica trascuriamo le "nostre" curve matematiche celebri!
Dopo la cardioide, come si legge ne Le curve celebri - L.Cresci, ancora una curva del genere anatomico, in quanto prende il nome da un organo.
La nefroide
Nefroide viene infatti dal greco νεϕρος (nephros): rene, quindi a forma di rene.
L'immagine lo conferma, il vero rene però ha un solo asse di simmetria!

Come la cardioide anche la nefroide è una particolare epicicloide (a due cuspidi), cioè una curva ottenuta facendo rotolare una circonferenza su un'altra circonferenza: "... una curva descritta da un punto solidale con una curva, detta generatrice, la quale rotoli senza strisciare su un'altra curva, detta direttrice. Se la direttrice è una circonferenza e la curva generatrice un'altra circonferenza di raggio minore (r minore R), che rotola all'esterno della circonferenza fissa, si ha l'EPICICLOIDE, mentre se la circonferenza generatrice rotola all'interno si ha l'IPOCICLOIDE " (prof.ssa M.G. Grandi)
Studiata da Huygens, Jacques Bernoulli nel 1692, da Daniel Bernoulli nel 1725 e da Proctor che le diede il nome nel 1878.
L'equazione parametrica in coordinate cartesiane è:
x = a (3 cos(t) - cos(3 t))
y = a (3 sin(t) - sin(3 t))

Ecco la nefroide, epicicloide. Il luogo dei punti generato da un cerchio di raggio r₁ = a/2 che ruota esternamente a un cerchio di raggio r = a (clic per seguire la costruzione, agire sul pulsante Play)

(in questa immagine la curva ha nelle sue parametriche il segno positivo)

Ora la nefroide, inviluppo di circonferenze
Inviluppo: un modo di descrivere una curva tramite una famiglia di curve. Una famiglia di curve inviluppa una curva, se ogni elemento della famiglia è tangente alla curva.
La famiglia delle circonferenze il cui centro è un punto di una circonferenza di raggio a e tangenti ad uno dei diametri (in questo caso Ox), inviluppano la nefroide.
Clic...

La nefroide inviluppo di una corda.
La famiglia delle corde del cerchio di centro O e di raggio 2a (cerchio circoscritto alla nefroide), i cui estremi percorrano il cerchio nello stesso verso, l'uno con velocità tripla dell'altro (costruzione di Cremona), inviluppa la nefroide (clic...).

Infine, l'evoluta della nefroide, che è ancora una nefroide di dimensioni lineari dimezzate.

L'evoluta di una curva piana, in generale, si ottiene come luogo geometrico dei suoi centri di curvatura. E' anche l'inviluppo delle normali alla curva nel punto di tangenza di una retta tangente alla curva stessa. Si può notare che l'intersezione tra la tangente e la normale coincide con il punto generatore dell'epicicloide (estremo del raggio della circonferenza generatrice).
Le parametriche dell'evoluta:
x = a (3 cos(t) - cos(3 t)) / 2
y = a (3 sin(t) - sin(3 t)) / 2

Insomma... stavolta con GeoGebra direi di essermi proprio divertita! :-)

Butterfly di Fay

Da "Piccolo zoo di curve" del libro Le Curve matematiche tra curiosità e divertimento di Luciano Cresci, che già abbiamo incontrato qui e qui,

Le Curve a farfalla
L'autore in maniera divertente raggruppa per argomenti e accompagna "con versi rievocatori di tempi lontani" la presentazione di alcune curve. Così, le curve a farfalla:

La vispa Teresa

Avea tra l'erbetta
Al volo sorpresa
Gentil farfalletta

E tutta giuliva
Tenendola viva
Gridava a distesa
L'ho presa, l'ho presa!

"Parlando di farfalle, come non ricordare i versi sui quali sono fioriti frizzi e parodie a non finire? Li compose Luigi Sailer (1825-1885), rettore del collegio Calchi-Taeggi in Milano, sua città natale. La poesiola fu composta per la piccola principessa di Savoia, Maria Pia."

Presenta quindi le curve a farfalla create nel 1989 da Temple H. Fay e pubblicate su riviste di matematica americane.
La suggestiva curva è data dalle equazioni parametriche

x = sin(t) (ℯ^(cos(t)) - 2 cos(4 t) - sin(t / 12)⁵)
y = cos(t) (ℯ^(cos(t)) - 2 cos(4 t) - sin(t / 12)⁵)

Ecco l'immagine della mia realizzazione con GeoGebra; cliccando potete seguirne gli svolazzi colorati nella costruzione animata :-) - Agire su Play.

Bizzarrie di folium, rose, bifoglio ... colori: ma, curve matematiche!

Il titolo già dice tutto:
fantasia di foglie, rose, bifoglie, plurifoglie, simmetrie, simmetrie asimmetriche!
qualche immagine

Tutto questo da una:
$ρ \,= \,sin\, ab (φ) cos(φ)$
clic sull'ultima immagine e avviare l'animazione con Play
Da
Le Curve matematiche tra curiosità e divertimento di Luciano Cresci

Folium, o foglia di Descartes

Per spezzare un po', ancora con una geometria più romantica ...
questa:

Ancora da un saggio di Luciano Cresci, Le Curve matematiche tra curiosità e divertimento, abbiamo già citato Le curve celebri,
al capitolo 10
Curve di foglie

"Loria ... rileva l'analogia ... ... con le curve dette trifolium pratense o rodonee...

Folium, o foglia di Descartes
___... vediamo innanzitutto il folium di Descartes (o, come siamo soliti chiamarlo, Cartesio) curva che fu oggetto nel 1638 di uno scambio di lettere tra Descartes e padre Mersenne, e fu studiata nei decenni seguenti anche da Roberval, Fermat, Sluse, Huygens, Barrow, L'Hospital, Jean Bernoulli: insomma dai migliori matematici presenti sulla piazza.
___La curva ha una figura accattivante nella sua semplicità: che abbia l'aspetto di foglia lo asserisce, come dice Loria "altezzosamente", l'autore:
___ ___si vede ad occhio, senza bisogno di spirito o di scienza.
___Roberval le diede il poetico nome di fiore di gelsomino, probabilmente per non avere ben compreso la forma della curva; nella letteratura francese fu spesso chiamata nodo del nastro, o fiocco.
___La curva presenta nell'origine un nodo, con gli assi coordinati come tangenti, e due rami infiniti, tra loro simmetrici.
___Poiché all'epoca di Cartesio le coordinate negative non erano conosciute, la curva veniva tracciata limitatamente al primo quadrante; anzi, Cartesio riteneva che la curva si ripetesse in ogni quadrante.
..."
QUI il mio lavoro, semplice semplice, con geogebra.
Béh, semplice... veramente ho dovuto cercare per l'equazione in forma parametrica in coordinate cartesiane !
Per chi fosse interessato, ho trovato qui
e, devo divertirmi ancora con le altre foglie...:-)

La pelecoide

Ragazzi, titolo un po' strano eh? Che sarà mai questa pelecoide?
Béh, parlando di circonferenze, osservando alcune belle immagini del vostro testo, mi sono venute in mente delle particolari costruzioni geometriche, che si ritrovano fra le cosiddette "curve celebri", dal titolo di un saggio: Le curve celebri di Luciano Cresci. Invito alla storia della matematica attraverso le curve piane più affascinanti.
La pelecoide (è un termine che in greco - toh! :) - significa "a forma di scure") è appunto una curva con circonferenze e archi di circonferenza.
Osservatela costruita con geogebra (al clic sulla figura si apre il foglio di lavoro)

La costruzione non è difficile:
sul diametro AB di una circonferenza bisogna fissare un punto C che delimita il segmento AC, (possono fissarsi anche due punti qualsiasi C e D che suddividono il diametro AB nei segmenti AC, CD e DB).
Si costruisce poi (utilizzando Circonferenza di dato raggio) dal punto B un segmento DB, congruente a AC. Il diametro è suddiviso dunque in tre segmenti.
Si costruiscono 4 semicirconferenze di diametro rispettivamente AC, AD, CB, DB le prime due da una parte e le altre due dalla parte opposta rispetto al diametro AB.
La pelecoide è la figura delimitata dalle quattro semicirconferenze.
Il suo perimetro è uguale alla lunghezza della circonferenza di diametro AB;
la sua area dipende dalla lunghezza del segmento CD: infatti l'area della pelecoide sta all'area del cerchio come la lunghezza di CD sta alla lunghezza del diametro AB.
Si può scaricare il file pelecoide.ggb oppure cliccare sull'immagine per aprire il foglio di lavoro dove sono riportate e possono essere verificate le proprietà.