martedì 28 luglio 2009

La cicloide

Fra le "curve matematiche celebri", abbiamo incontrato le epicicloidi che,
assieme alle ipocicloidi sono casi particolari di roulette, come oggi si definisce in generale una curva descritta da un punto solidale con una curva, che rotoli senza strisciare su un'altra curva fissa.
Ancora un caso particolare di roulette è la cicloide: in questo caso la curva fissa è una retta e la curva che rotola è una circonferenza.
Storia
La cicloide fu oggetto delle meditazioni notturne di Blaise Pascal (1623 – 1662), che la descrisse nella sua Histoire de la roulette: "La roulette è una curva talmente comune, che dopo la retta e la circonferenza essa è quella più frequente; ed è spesso sotto gli occhi di tutti, tanto che c'è da stupirsi che non sia stata studiata dagli antichi...."
Galileo era stato il primo ad occuparsene, riferendosi alla cicloide parlò di una "curvità graziosissima". Nel 1640 scriveva:
"Quella linea arcuata sono più di cinquant'anni che mi venne in mente di descriverla, e la ammirai per la curvità graziosissima per adattarla agli archi di un ponte. Feci sopra di essa, e sopra lo spazio da lei e dalla sua corda compreso, diversi tentativi per dimostrare qualche passione, e parvemi in principio che tale spazio potesse essere triplo del cerchio che lo descrive; ma non fu così, benché la differenza non sia molta."
La studiarono poi padre Mersenne, Roberval, Torricelli, Fermat, Descartes.
Fu Pascal a risvegliare grande interesse per la curva proponendo diverse sfide matematiche riguardanti la cicloide (fu definita, a tal proposito, "la bella Elena" della geometria), a cui parteciparono i più grandi matematici dell'epoca: Wallis, Sluze, Fermat, Huygens, Ricci.
La cicloide dunque, "tanto bella quanto semplice da descrivere":
è definita come il luogo dei punti su una circonferenza data che rotola senza strisciare su una retta.
Clic sull'immagine e agire su Play


Questo tipo di cicloide viene detta ordinaria.
Se il punto non si trova sulla circonferenza, si ha la cicloide accorciata se il punto è interno e la cicloide allungata se il punto è al di fuori della circonferenza.
Clic per vedere il confronto tra le tre curve

Le equazioni parametriche:
x = r θ - h sin(θ)
y = r - h cos(θ)
dove r è il raggio della circonferenza e h è la distanza del punto P dal centro della circonferenza (dunque r). Perciò:
h = r - cicloide ordinaria (cerchio al centro),
h minore di r - cicloide accorciata (cerchio interno),
h maggiore di r - cicloide allungata (cerchio esterno).
I paradossi
__Relativo alla cicloide accorciata, si attribuisce ad Aristotele un paradosso:
"se il cerchio (al centro nella nostra immagine) rappresenta una ruota, ad es al livello di una strada, mentre la ruota fa un giro completo, il punto P si sposterà nel punto P', dove PP' è di lunghezza uguale alla circonferenza della ruota. Se il cerchio interno rappresenta il mozzo della ruota, e si trova all'altezza del marciapiede, nello stesso intervallo di tempo il punto (Q) si sposterà nel punto Q' lungo il marciapiede. Si può allora sostenere che QQ' rappresenta la lunghezza della circonferenza del cerchio piccolo. Le due circonferenze, quella grande e quella piccola avrebbero dunque la stessa lunghezza!"
In realtà il paradosso trova la sua spiegazione nel fatto che la ruota compie una rotazione senza strisciare, mentre il mozzo effettua un movimento composto roto-translatorio, descrivendo appunto una cicloide accorciata. E il centro del cerchio compie un moto unicamente traslatorio.
__Riguardo alla cicloide allungata, un altro paradosso:
immaginiamo una ruota di un treno che rotola sul binario senza strisciare, tranne quando il treno frena. Un punto solidale con la ruota descrive una cicloide. La ruota del treno ha anche una flangia di diametro maggiore, che garantisce l'aderenza della ruota poggiando sulla faccia interna della rotaia. I punti sulla flangia descrivono la cicloide allungata.
La curva forma dei cappi in corrispondenza alle cuspidi della cicloide ordinaria: nel descrivere la parte inferiore del cappio, i punti corrispondenti si muovono all'indietro. Di qui il paradosso che una parte del treno in ogni istante va a ritroso e ciò naturalmente mentre il treno corre veloce, e spensierato, a cento all'ora!
L'evoluta
Le rette normali per ogni punto C della cicloide passano per i suoi centri di curvatura. Costruendo l'inviluppo delle rette normali alla cicloide si ottiene la sua evoluta.
Che è ancora una cicloide..., clic:

Proprietà
Ora le proprietà fisico-matematiche della cicloide che hanno scatenato tra gli scienziati dell'epoca le più accese sfide, lanciate da Pascal.
__Un pendolo che percorre una traiettoria cicloide è isocrono (dal gr. isos = uguale e chronos = tempo), ovvero il suo periodo rimane costante indipendentemente dall'ampiezza delle sue oscillazioni.
__Una scodella di forma cicloidale è tautocrona (dal gr tautos = identico e chronos = tempo), poiché uguali oggetti (tipo sferette) poste a varie altezze del recipiente raggiungeranno il fondo nello stesso tempo.
Huygens, che su tali fenomeni si arrovellava, si accorse della loro similarità. Egli si dilettava di orologeria e capì che il pendolo circolare era isocrono soltanto per le piccole oscillazioni, mentre per la costruzione degli ingranaggi degli orologi era richiesto l'utilizzo di un pendolo che compisse qualsiasi tipo di oscillazione, indipendentemente dall'ampiezza, esattamente nello stesso tempo.
Huygens dimostrò che tale garanzia veniva data solo dalla possibilità di trasformare il pendolo circolare in un pendolo che descrivesse una cicloide.
Per costruirlo Huygens si avvalse proprio della proprietà dell'evoluta della cicloide che è ancora una cicloide, e quindi costruì due ganasce a forma di archi cicloidali rovesciati che si incontrano in una cuspide.
La scodella tautocrona
Clic
Il pendolo isocrono di Huygens.
Clic

Altra versione:

Inoltre:
la cicloide ha la proprietà brachistocrona (dal gr brachistos = più corto e chronos=tempo): infatti essa è la curva su cui un oggetto che scivola impiega meno tempo per percorrere il tragitto fra due punti dati.
I fratelli Jacques e Johann Bernoulli sembra litigarono nella ricerca della curva brachistocrona! Johann (o Jacques?) Bernoulli (1667-1748) chiamò l'arco di curva cicloide curva celerrimi descensus.
Ecco la costruzione con GeoGebra. Cliccare per seguire l'animazione:

il punto S che scorre sulla cicloide, raggiunge per primo il punto (0,0) rispetto al punto U che scorre lungo l'asse x, e per primo l'intersezione della cicloide e la semiretta su cui scorre T.

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10 commenti:

  1. Bello Giovanna, articolo molto documentato.
    Nell'animazione del pendolo isocrono però c'è un errore concettuale. Il filo cui è appesa la pallina deve seguire la sagoma delle due circonferenze altrimenti si tratta di un normale pendolo. Puoi vedere l'animazione corretta qui:

    http://mathworld.wolfram.com/TautochroneProblem.html

    Ciao, Daniele
    http://lnx.sinapsi.org/wordpress/

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  2. E sì, Daniele, anche secondo me era così, seppure non ho precisato. Ma, non avendo trovato animazioni ... diciamo che mi sono accontentata!:-)
    Inoltre mi sono detta che con GeoGebra non avrei saputo dimostrare la proprietà.
    Ho visto l'animazione che segnali, grazie!
    Mmh..ora ci provo chissà se riesco!
    ciao, grazie.

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  3. Come potevi dubitare? Sei riuscita benissimo a realizzare il pendolo in GeoGebra! Complimenti!
    Vorrei saper maneggiare GeoGebra come te!
    Ciao, Daniele
    http://lnx.sinapsi.org/wordpress/

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  4. Ora il pendolo... pendola perfettamente!
    ;))
    r.

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  5. Daniele,
    in rete, a saper/voler cercare, si trovano gli aiuti giusti! :-)
    grazie ancora a te per avermi dato la spinta!
    g

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  6. eheh, Renata,
    con gli aiuti in rete! ;-)
    e... chi la dura la vince!
    g

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  7. Ciao Giovanna, io conosco solo "Il Pendolo di Foucoult" di U.Eco !!! Grazie per i saluti da Skip.
    Buone vacanze.

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  8. ciao Filo!
    bé ora conosci anche quello di Huygens:-)
    salutone! grazie.

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  9. Leonardo Santerelli15 gennaio 2013 20:01

    Salve ragazzi , l'articolo era molto istruttivo e ben costruito , però avevo bisogno di una cortesia non è che avreste la dimostrazione dell'area della cicloide . Su internet è facile trovare la soluzione con le derivate , ma a me servirebbe l'altra con l'introduzione della controcurva ... Grazie mille in anticipo :)

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  10. Ciao, Leonardo
    ooh, mi metti in crisi :-)
    Io ho voluto solo giocare con geogebra e le curve celebri! Non ti saprei proprio dire riguardo all'area della cicloide, mi spiace. Ma, ti suggerisco di insistere con la ricerca in rete. Magari su qualche blog di una scuola superiore.
    grazie a te.

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