domenica 19 luglio 2009

La nefroide

Eh, mica trascuriamo le "nostre" curve matematiche celebri!
Dopo la cardioide, come si legge ne Le curve celebri - L.Cresci, ancora una curva del genere anatomico, in quanto prende il nome da un organo.
La nefroide
Nefroide viene infatti dal greco νεϕρος (nephros): rene, quindi a forma di rene.
L'immagine lo conferma, il vero rene però ha un solo asse di simmetria!


Come la cardioide anche la nefroide è una particolare epicicloide (a due cuspidi), cioè una curva ottenuta facendo rotolare una circonferenza su un'altra circonferenza: "... una curva descritta da un punto solidale con una curva, detta generatrice, la quale rotoli senza strisciare su un'altra curva, detta direttrice. Se la direttrice è una circonferenza e la curva generatrice un'altra circonferenza di raggio minore (r minore R), che rotola all'esterno della circonferenza fissa, si ha l'EPICICLOIDE, mentre se la circonferenza generatrice rotola all'interno si ha l'IPOCICLOIDE " (prof.ssa M.G. Grandi)
Studiata da Huygens, Jacques Bernoulli nel 1692, da Daniel Bernoulli nel 1725 e da Proctor che le diede il nome nel 1878.
L'equazione parametrica in coordinate cartesiane è:
x = a (3 cos(t) - cos(3 t))
y = a (3 sin(t) - sin(3 t))

Ecco la nefroide, epicicloide. Il luogo dei punti generato da un cerchio di raggio r1 = a/2 che ruota esternamente a un cerchio di raggio r = a (clic per seguire la costruzione, agire sul pulsante Play)

(in questa immagine la curva ha nelle sue parametriche il segno positivo)

Ora la nefroide, inviluppo di circonferenze
Inviluppo: un modo di descrivere una curva tramite una famiglia di curve. Una famiglia di curve inviluppa una curva, se ogni elemento della famiglia è tangente alla curva.
La famiglia delle circonferenze il cui centro è un punto di una circonferenza di raggio a e tangenti ad uno dei diametri (in questo caso Ox), inviluppano la nefroide.
Clic...


La nefroide inviluppo di una corda.
La famiglia delle corde del cerchio di centro O e di raggio 2a (cerchio circoscritto alla nefroide), i cui estremi percorrano il cerchio nello stesso verso, l'uno con velocità tripla dell'altro (costruzione di Cremona), inviluppa la nefroide (clic...).


Infine, l'evoluta della nefroide, che è ancora una nefroide di dimensioni lineari dimezzate.

L'evoluta di una curva piana, in generale, si ottiene come luogo geometrico dei suoi centri di curvatura. E' anche l'inviluppo delle normali alla curva nel punto di tangenza di una retta tangente alla curva stessa. Si può notare che l'intersezione tra la tangente e la normale coincide con il punto generatore dell'epicicloide (estremo del raggio della circonferenza generatrice).
Le parametriche dell'evoluta:
x = a (3 cos(t) - cos(3 t)) / 2
y = a (3 sin(t) - sin(3 t)) / 2

Insomma... stavolta con GeoGebra direi di essermi proprio divertita! :-)

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20 commenti:

  1. Oh oh oh! Un file più bello dell'altro. Brava!

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  2. ... ah! mi sento così soddisfatta :-) :-) :
    i complimenti da parte di una ....che dico io?? magica con GG!
    grazie, Renata.

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  3. Maneggi Geogebra come Abbado la bacchetta. E pensare che io l'ho conosciuto grazie a te (sono all'ABC)!
    (Ti segnalo sul mio blog tra i preferiti)

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  4. Pop, grazie!
    ma maneggiare... eh eh.... quanta strada ho da fare!
    però, per ABC, chiedi pure se ti serve!:-)

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  5. Bellissime queste curve, e mi faccio una domanda scema. La matematica ha preso dalla Natura o la Natura dalla matematica? L'ho detto che è scema. Ciao Giovanna.

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  6. bellissima la domanda, non scema, caso mai non troppo ben posta:
    la Natura è scritta con leggi matematiche, direi.
    La matematica interpreta la Natura.
    Già Galileo: "Il libro della Natura è scritto in simboli matematici"
    più o meno così...
    ciao, Al

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  7. '''
    se si pensa poi che la teoria del caos è un settore della matematica ;)

    ciao

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  8. Avevo sentito parlare tante volte del cardioide ma non del nefroide: è interessante vedere come la scienza utilizza queste similitudini per spiegare e semplificare la vita a chi apprende. Avevo il desiderio di passare per una piccola visita e...passerò ancora visto che ho intenzione di proseguire il mio periodo di blogriposo. Un caro saluto, Fabio

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  9. Fabio,
    mi fa piacere sentirti..
    tutto ok? spero bene!
    grazie, passa ancora a trovarci!
    un caro saluto a te e i tuoi.

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  10. Animazioni una più bella dell'altra! Sarebbe magnifico se ci illustrassi come hai raggiunto questi risultati! Ad esempio con un filmatino tutoriale che spieghi passo passo la costruzione con GeoGebra.
    Grazie mille!
    Daniele
    http://lnx.sinapsi.org/wordpress/

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  11. o mamma, Daniele! :-)
    Il filmatino... mmm, vabbé, ci faccio un pensiero, prometto!:-)
    Ho appena fatto un filmatino tutor., per un semplice lavoro per i ragazzi, ho il problema di "come pubblicare", come fai tu, in maniera da visualizzare in una pag web (realizzo con wink, ho l'html che apro con il browser, ma, dal blog, come fare?)
    grazie, ciao!

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  12. Ok Giovanna, lasciamo stare il filmatino, allora insegnami a realizzare queste bellissime curve. Ho provato ad inserire le equazioni parametriche in GeoGebra, ma non ci capisco molto e non en vengo a capo
    Ciao!
    Daniele
    http://lnx.sinapsi.org/wordpress/

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  13. Daniele,
    già mi era venuto in mente di dirti che per il momento potevi cominciare a controllare il protocollo di costruzione.
    Puoi fare questo:
    scarica QUI i file.ggb
    Sul .ggb puoi appunto controllare il prot, ma anche cliccare sugli oggetti e vedere su Proprietà.
    Vedresti anche, per le curve, la loro Definizione (nel relativo campo).
    Comunque, un esempio, campo di inserimento:
    Curva[a (3 cos(t) + cos(3 t)), a (3 sin(t) + sin(3 t)), t, 0, 2 Pi]
    In alcune delle mie (non ricordo, forse in tutte) ho dato ad a il valore 0.9, quindi in questo caso non ho avuto bisogno di definire prima la variabile (a). Cioè creare dapprima il "numero a" mediante strumento Slider.
    Per definire la Curva occorrono dunque 5 parametri:
    espressione (x)
    espressione (y)
    variabile parametro (t)
    valore iniziale(0)
    valore finale (2 pi greco)
    Comunque se spulci il file .ggb trovi tutto!
    Io così faccio! :-)
    In ogni caso, chiedi pure, senza problemi.
    g

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  14. Ottimo indizio! Vado a spulciare i files ggb.
    Ti saprò dire, ciao.
    D.
    http://lnx.sinapsi.org/wordpress/

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  15. Esplorando il ggb ho visto l'uso dell'animazione dentro allo slider: grandioso!
    Non conoscevo questa possibilità!
    Ciao, Daniele
    http://lnx.sinapsi.org/wordpress/

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  16. Perfetto!
    l'"Animazione attiva" è grandiosa!
    evvai, Daniele!:-)

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  17. Consiglio al prof. Daniele di scaricare Geogebra Pre-Release, che si aggiorna automaticamente.

    Ciao:)!

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  18. ottimo suggerimento Renata.
    brava!:)

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  19. prof non trovo più i commenti che le ho mandato mi scrive la sua meil oppure me la manda all'andirizzo di mamma buona notte prof ....sono anna laura

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  20. vista mamma, carissima Annalaura.
    aspetto tua mail! :-)

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