martedì 25 febbraio 2014

Due a settimana ..._6

Eccoli,

i nuovi quesiti due/due settimane!

Senza preamboli, uno numerico, uno geometrico.

Quesito 1, numerico

Un problemino diverso e curioso, per divertirvi, tratto da un introvabile libretto "L'amico delle conversazioni" del canonico P. Tosatti. Il testo è del 1878!

Una domanda iniziale: secondo voi usando quattro cifre dispari possiamo ottenere una somma dispari? Argomentate (dimostrate con argomenti) pure. Anzi, dovete!

Eppure...

Ecco il quesito:
Unire insieme quattro delle seguenti cifre
1, 1, 1, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 5, 5, 5

in modo che sommandole si ottenga come risultato 21.

Potete, ehm, dovete, usare qualche stratagemma e, le soluzioni sono più d’una!

Quesito 2, geometrico

La figura sotto è un triangolo equilatero.

image

Che farci?

Dovete scomporre il triangolo in 3 quadrilateri congruenti.

Congruenti eh: stessa forma, stesse dimensioni, perfettamente sovrapponibili mediante un movimento rigido (traslazione, rotazione, simmetria).

Inutile dire che dovete spiegare la procedura seguita nell’esecuzione del lavoro. Ancora più inutile dire che utilizzando GeoGebra tutto diventa più preciso e ...dinamico!

Una ampliamento per coloro che eventualmente ci prendessero gusto, potrebbe essere: il problema può essere esteso a tutti i poligoni regolari. Un quadrato si può scomporre i 4 quadrilateri congruenti, un pentagono in 5 quadrilateri congruenti, ecc..

Mi aspetto l’ampliamento: dopo il triangolo, un secondo poligono regolare a piacere!

La scadenza: dovrebbe essere domenica 9 marzo 2014. Poiché pubblico con un giorno di ritardo, concedo una proroga di un giorno, quindi lunedì 10 marzo 2014

Buone soluzioni a tutti.

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Sarà mica _ 27, le nostre soluzioni

Sì, decisamente in ritardo

pubblico le soluzioni

del  Sarà mica matematica 27

Riflessione d’obbligo:

per dirla con il prof Davide, ho voluto anch’io stavolta farmi del male. Tuttavia, è il caso di dire subito che: ci ho provato. 

Tant’è che non sono mica arrivate le 35*2 soluzioni attese. Bene: ognuno si è assunto le proprie responsabilità.

Di seguito soluzioni e solutori.

Quesito 1,  i numeri palindromi

Si chiedeva il più piccolo numero palindromo divisibile per 15 e il più grande tra i numeri di 4 cifre, palindromo e divisibile per 15.

Per la classe prima, hanno dato le soluzioni corrette e complete (anche di spiegazione): Miriam, Alessia, Giuseppe P., Gian Franco, Daniele. Daniele spiega meglio la seconda risposta. La soluzione della prima parte del quesito, seppure corretta, è frutto di un ragionamento impreciso (chiarito in classe)

Erika risolve la prima parte, Elisa e Arianna, anche loro solo la prima parte e non forniscono la spiegazione. Antonio risponde ad entrambe le domande utilizzando la divisibilità per 15 ma non spiega come ha ragionato per trovare i due numeri. Matteo risponde alla prima domanda, anche lui motivando la risposta solo con la divisibilità.

Un bravo lo meritano tutti (forse, vero giovini?) per aver trovato da soli quando un numero è divisibile per 15 (in prima non si è ancora parlato di Divisibilità)

Per la classe seconda, rispondono in modo soddisfacente: Manuel, Bachisio, Gabriele G., Pierluigi e Pietro S.

Pietro P. e Gian Mario non spiegano le risposte. Così come Davide A.1, che utilizza il criterio di divisibilità ma non dà altre motivazioni. Vincenzo risponde alla prima domanda, senza spiegazione.

Come al solito, copio-incollo le risposte più belle, più ricche e più gustose Sorriso. Faccio appena un po’ di mix, ma prevale... gli autori si riconoscano!

All'inizio ho pensato che fosse molto difficile ma pensandoci bene ho notato che era molto facile!
Il più piccolo numero palindromo divisibile per 15 è 525.
Prima di tutto un numero divisibile per 15 deve essere divisibile per 5 e per 3.
Per 5 deve finire con 0 o con 5, per 3 la somma delle cifre deve dare 3 o un suo multiplo. Non si può scegliere che finisca con lo zero perché per essere palindromo dovrebbe anche iniziare con la cifra 0 e non avrebbe senso.
Tra tutti i numeri a 2 cifre non ce n’è nemmeno uno che va bene perché tutti finiscono con numeri diversi da 5 tranne il 55 che però non è divisibile per 3. Poi i numeri a tre cifre fino al 400 non possono andar bene perché se iniziano con 1, 2, 3, 4 devono per forza finire con 1, 2, 3, 4 quindi non sono divisibili per 15.
Poi partiamo dal 500 e iniziamo a contare i numeri palindromi che sono 505 e non va bene, 515 e non va bene, poi provo con il 525 e noto che rispetta la richiesta data perché è divisibile per 5, finisce con 5 ed è divisibile per 3, 5+2+5 fa 12 cioè un multiplo di 3 quindi 525 è multiplo di 15 ed è palindromo.

Per la seconda richiesta il più grande dei numeri a 4 cifre, palindromo divisibile per 15 è 5775.
Prendo in considerazione le migliaia del 5000 come nel ragionamento precedente e prendo l'ultimo numero palindromo che è 5995, quest'ultimo non è divisibile per 15 e quindi provo con il penultimo numero che è 5885 e neppure questo va bene. Provo con il terzultimo che è 5775 e secondo il criterio di divisibilità è un numero divisibile per 15.

Quesito 2, bilance e pesi

Bilance non in equilibrio: si chiedeva di ordinare le forme secondo il loro peso, dalla più leggera alla più pesante.

Risolvono e spiegano, per la prima: Alessia, Gian Franco e Giuseppe P. - Miriam, Antonio, Daniele e Matteo non danno troppo chiare spiegazioni.

Per la seconda rispondono: Manuel, Bachisio e Pietro S., bene. Gabriele G. no, non spiega chiaramente.

I ragionamenti più chiari mi sono parsi quelli di Bachisio.

Riporto le figure e... mi tocca scrivere perché il signorino mi dà i foglietti! Sorriso

Fig. 1:

Considero dapprima come unico peso le coppie b-c e b-a: la coppia b-c è più pesante della coppia b-a (i bracci della bilancia pendono sempre dalla parte delle forme più pesanti). Da questo deduco che c è più pesante di a, poiché b e b hanno uguale peso. Osservando ora solo i piatti destro e sinistro della bilancia, uno per volta, è evidente che b pesa più di c e b pesa anche più di a. Quindi l’ordine, dal più leggero al più pesante è: a < c < b

Fig. 2:

In questa figura i piatti a destra (le due c e le due a) mi fanno capire che c è più pesante di a.

Per confrontare b+c+a con la parte destra, posso togliere una c e una a dai bracci sinistro e destro, così:

bilancia1

b è più pesante di c e a messi assieme. Quindi l’ordine è: a<c<b

Fig. 3:

Osservando dapprima solo la parte destra noto che b è più pesante di a e c messi assieme. Quindi b è il più pesante. Confronto ora la parte sinistra con la destra: essendo b uguali non li considero. Tolgo poi anche una a da destra e da sinistra, avrò questa situazione:

bilancia2

c è più pesante di a. Quindi l’ordine anche qui è: a<c<b.

Ho finito? Mi pare di sì. Bravo a chi si è impegnato e ribadisco, per chi non ha lavorato: ognuno è responsabile del proprio operato!

Oh, importantissimo! Spettano a noi i nuovi quesiti. Ok, sono pronti. E’ probabile, ma non certo, che siano in linea fra qualche oretta Sorriso

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martedì 11 febbraio 2014

Sarà mica _ 27

Ragazzi,

il Prof Davide, a velocità supersonica, in anticipo sui tempi Sorriso, pubblica i quesiti del

Sarà mica matematica 27

Anteprima:

Cosa mai ci chiederà di ... bilanciare?

Andate a scoprirlo. Anche voi a velocità supersonica! Sorriso

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lunedì 10 febbraio 2014

Due a settimana ..._5, le soluzioni

Ahi, signora Geometria,

quanta fatica, quanto ci costi!

Già, direi proprio sia necessario guidare e guidare ancora, perché si sappiano utilizzare e sfruttare proprietà. Ma, sono certa di poter aggiungere: è necessario anche impegnarsi!

Tant’è: il

Quesito 1, geometrico

ha trovato solo quattro solutori, due per classe.

Per la classe prima: Gian Franco, Alessia.

Per la seconda: Bachisio, Pietro S.

Riporto le immagini della costruzione di Pietro, realizzata con GeoGebra, rispettando parallelismi e congruenze di lati e angoli del trapezio, curate in classe proprietà e correttezza di costruzione di un trapezio isoscele. [E, sottolineo anche la cura, in entrambe le classi, della visualizzazione dinamica dell’area di un triangolo che non varia quando non mutino le misure della base e dell’altezza. Da pochi, per l’appunto, saputa sfruttare]

Situazione iniziale:

image

Situazione risolutiva:

image

Riporto invece, potendo copincollare, la spiegazione di Gian Franco, adattando la denominazione dei punti:

Allora, l'area del triangolo si trova "(b*h): 2". L'area del terreno di Luigi rimane uguale spostando il punto mobile F della costruzione, perché la base rimane sempre la stessa e anche l'altezza rimane la stessa. Quest'ultima affermazione può essere confermata dal fatto che F si muove sempre su un segmento parallelo a CD che è la base del triangolo di Luigi, e quindi se è parallelo mantiene sempre la stessa distanza da CD. Infine se il triangolo ha la stessa base e altezza ho confermato che il triangolo ha sempre la stessa area.

Devo aggiungere che ci sono stati tentativi di soluzioni diverse, con altre linee di separazione, non corredati però da accettabili spiegazioni. Qualcun altro è ricorso al calcolo delle aree con lo strumento “Area” di GeoGebra, ma questa mossa, notare bene una volta per tutte, non è valida!

E passiamo al

Quesito 2

Con i soldi è andata meglio! Non so, con i soldi va sempre meglio...

Hanno dato la risposta corretta, per la prima: Gian Franco, Arianna, Miriam, Alessia, Elisa.

E per la seconda: Gabriele G., Manuel, Bachisio, Davide A., Pierluigi, Pietro S.

Molte risposte sono simili a questa, di Miriam:

I due fratelli hanno 20 soldi  a testa...

Il primo compra delle uova e le paga 1 soldo ciascuna, perciò compra 20 uova (quindi spende 20 soldi). Poi le rivende a 2 soldi ciascuna e ricava  40 soldi, da quelli però deve togliere i 20 soldi che ha speso per comprarle, quindi guadagna 20 soldi.

Il secondo , sempre con 20 soldi compra le uova a 2 soldi ciascuna, quindi ne compra 10.

Poi le rivende a 1 soldo ciascuna e ricava 10 soldi, da cui deve sottrarre i 20 soldi spesi per acquistare le uova. Lui purtroppo perde 10 soldi.

In tutto i due fratelli hanno guadagnato solo 10 soldi (20+ (-10) = 10) [ho aggiunto io la parentesi interna, ma già Miriam esegue un piccolo calcolo con i numeri relativi Sorriso]

Altri rispondono come Pierluigi. Più o meno:

I due fratelli secondo me guadagnano 10 soldi perché :
Il primo compra 20 uova a 1 soldo e le rivende a 2 soldi ricavando 40 soldi, guadagnandone 20 .
Il secondo compra 10 uova a 2 soldi e li rivende a 1 soldo l'uno perdendo così 10 soldi .
Poi rimettono insieme i soldi (40+10=50) .
Quindi nonostante la perdita subita dal secondo fratello si ritrovano con un guadagno di 10 soldi: 50 (ricavati) –40 (spesi).

Concludo come sempre con i complimenti a chi ha lavorato o tentato. Ma devo considerare con forza: occorre darsi da fare, tanto, con la geometria!

Ps: ho appena letto le soluzioni dei ragazzi del prof Davide:  stavolta, come non mai, vi invito (quasi quasi vi ordino! – Dal prof Davide, leggerete, è stato efficace un certo provvedimento...) ad andare a leggere. Dovete andare a leggere!

E, tenetevi pronti per i nuovi quesiti del Sarà mica matematica.

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