Conta i punti

Ragazzi, tutti!

Lavorando su una griglia come quella della figura, andrete a scoprire un simpatico metodo per calcolare l’area di un poligono qualsiasi (purché non intrecciato)

Scoprire: sarete voi a dover scoprire la formula, eh? Dunque, vediamo chi è il più bravo! Fate i vostri tentativi e comunicate pure eventuali dubbi se non torna qualche conto per ottenere l’esatta soluzione.

Clic su immagine. Trovate tutte le indicazioni sull’applet. Potrete con doppio clic, ormai lo sapete, scaricare il file .ggb

Devo la costruzione della griglia al prof. Daniel Mentrard

(sono del prof. Mentrard gli ultimi lavori segnalati sulla barra laterale “PER LE SCIENZE”)

SCARICARE .ggb per chi ha problemi con applet.

Aiuto per i ragazzi della I!

All’ultima ora abbiamo svolto l’attività in II (sono più fortunati, abbiamo la LIM).

Vi diciamo come abbiamo proceduto:

- abbiamo fatto tanti esempi (diverse costruzioni di poligoni)

-  per ogni esempio, raccolto i dati: c (punti contorno), i (punti interni) e A (area) calcolata con la formula conosciuta.

- osservato attentamente i tre dati

... per vedere se si accendeva la lampadina!

Gli esempi che ci hanno portato alla soluzione:

c = numero dispari

i = 0

A = numero decimale (ok, vi aggiungo anche (..., 5) !

Dovreste già considerare qualcosa, essere vicini ...

Ho incoraggiato: potreste includere il dato i senza che esso ... ehm, non posso scriverlo - vero, II ?    ... disturbi??? (senza che esso disturbi nel caso in cui i = 0)

Ragazzi di I: secondo me riuscite! Avete anche voi strumenti per!

Solito aggiornamento!

Oggi abbiamo affrontato l’attività in I.

Davì e Salvatore avevano costruito i geopiani, abbiamo perciò lavorato su quelli.

I ragazzi sono arrivati un po’ caoticamente alla formula corretta, ma hanno anche saputo ragionare.

E’ stato anche per loro di grande aiuto il caso in cui il poligono ha zero punti interni, area decimale (5 decimi) e un numero dispari di punti - contorno.

Marco N. sfruttando un precedente tentativo di Davì, che aveva diviso per 2 il valore c (punti contorno), ha proposto di dividere per due e sottrarre 1. Igor ha spiegato che un numero dispari diviso per due dà sempre  ...,5, poi Andrea F. (eri tu, Andrea?) ha detto che il dato i = 0 si poteva aggiungere perché zero è l’elemento neutro dell’addizione.

Ok ragazzi, bravi! Ora posso dirvelo: avete lavorato al

Teorema di Pick ...

Formula: A = i + c/2 – 1

Clic sul link per saperne un po’ di più!

Relazioni sul teorema di Pick

Non proprio fedeli alle consegne ...
i ragazzi relazionano a modo loro, sulla scoperta della formula di Pick.
In verità hanno avuto poco tempo, per via di altri impegni scolastici. In questo periodo non insisto più di tanto.
Mi sono stati consegnati diversi fogli e fogliettini, più o meno ordinati. Riporto qualche immagine.

qualche esempio di tentativi poco prima della soluzione:

Qualcuno ha consegnato un file:
1°) Oggi in classe Antonio ha portato il geopiano, tanto atteso dalla prof, che è un pezzo di legno quadrato o rettangolare con dei chiodi equidistanti tra loro.
La prof ha messo degli elastici attorno ai chiodi in modo da formare dei rettangoli e visto che non avevamo un geopiano per tutti lo abbiamo disegnato sul quaderno.
Sul quaderno abbiamo fatto così: ogni due quadretti (sia in lunghezza che in larghezza) dovevamo segnarci un puntino in modo da ottenere una quadrettatura. E poi anche noi abbiamo disegnato dei rettangoli.
L’esercizio consisteva prima di tutto nel trovare l’area del rettangolo nel modo classico cioè, per esempio, base (6) * altezza (7): nel primo rettangolo era 42.
Dovevamo far finta di non conoscerla, ma bisognava contare i puntini che costituivano il bordo del rettangolo (sempre dello stesso rettangolo il primo) per esempio 26 e quelli che stavano all’interno per esempio 30, manipolarli tipo farci delle operazioni ma non era vietato per esempio dividerli o addizionarli per altri numeri.
Giammario è stato il primo a provare e ha sommato i Pi ( punti interni) e i Pc (punti del contorno) e li ha divisi per 2, il risultato era esatto solo per qualche rettangolo.
La prof ha detto che poteva essere un’idea ma bisognava cambiare qualcosa e che la formula era molto semplice.
Poi la prof ha detto che potevamo consultarci e noi ci siamo divisi in gruppi.
Abbiamo fatto un sacco di operazioni e di tentativi, la prof ci diceva ancora che non si poteva usare l’area trovata con i quadratini e si dovevano fare calcoli semplici.
Giammario per primo ha trovato il giusto modo di risoluzione ma la prof non ha svelato questo offrendo a tutti la possibilità di ragionare sulla formula e dunque ognuno di noi ha potuto pensare alla soluzione esatta.
Io e Laura contemporaneamente siamo giunte alla soluzione corretta che consiste nel dividere Pc (26) per 2 e sommare il quoziente a Pi e sottrarre 1.
Cosi abbiamo ottenuto la formula che è la seguente:
(Pc:2)+Pi-1= (es.) (26:2)+30-1 = 42.
Questa formula può essere applicata per ottenere le aree di tutte le figure del mondo. (!)

2°) ….
La prof ha posizionato gli elastici sul geopiano e abbiamo calcolato l’area contando i quadratini che formavano il rettangolo che lei aveva ottenuto.
Poi ci ha detto che dovevamo ricavare una formula per calcolare in un altro modo l’area.
Per ottenere la formula dovevamo fare dei piccoli calcoli sui punti interni e su quelli esterni del rettangolo.
All’inizio Gian Mario ha detto che aveva calcolato l’area di un rettangolo con una operazione coi punti di contorno e quelli interni e il risultato era uguale.
Pc(punti contorno) + Pi(punti interni) = 10+2= 12 :2= 6 = A
Per la prof Gian Mario era sulla buona strada anche se lui ha continuato con quella formula applicata ad altri rettangoli e si è accorto che i risultati erano errati.
Poi ci siamo volontariamente divisi in gruppi.
Il gruppo formato da Giulia D., Giulia G., Sara, Laura e Gimmi ha ricavato un’altra formula e cioè: Pc + Pi : 2 – qualsiasi altro numero intero.
La prof ha detto che questo gruppo era molto vicino alla soluzione ma dopo la classe aveva difficoltà a combinare delle operazioni seguendo quella formula.
Alla fine dell’ora Gian Mario ha trovato la formula giusta e cioè:
Pc/2 +Pi – 1 = A

A casa qualcuno si è divertito a calcolare con la formula di Pick l'area di diversi triangoli confrontandola con il valore calcolato con base e altezza.
Un migliore resoconto dell'organizzazione dell'attività in seno al gruppo e delle proposte dei singoli è stato riportato oralmente.
Qualche gruppo ha deciso che tutti i componenti costruissero rettangoli di uguali dimensioni perché così potevano concentrarsi di più per trovare la soluzione.
Qualcun altro ha riportato di aver trovato delle regolarità eseguendo delle sottrazioni fra i valori Pc e Pi ... ottenevamo sempre 8. (ehmm devono precisare meglio!)
Altri, visto che c'era in gioco una formula da scoprire, pensavano a calcoli più complicati e provavano ad eseguire le radici e le potenze dei due valori e poi sottraevano... ma ottenevano valori strani!
.......................

Il teorema di Pick ... conta i punti!

Ragazzi, vi ho solo detto che si trattava di un teorema ...
poi non c'è stato il tempo dei particolari! :-)
La formula scoperta con l'attività di stamane è nota come formula di Pick o
teorema di Pick.
Prende il nome dal matematico George Pick che nel 1899 scoprì che l’area di un poligono qualsiasi disegnato sul geopiano, e cioè su quel piano in cui è evidenziata una "griglia" di punti, si può calcolare con quella semplice formula ... a cui siamo arrivati!
Aspettando le vostre relazioni, presento il teorema e l'attività, con qualche integrazione.
Considerato dunque un reticolato come questo:

[in matematica è la rappresentazione del piano cartesiano in cui si considerano solo le coordinate intere, la rappresentazione grafica dell'insieme Z² - ragazzi, questo lo capiremo più avanti...]
e un poligono P avente tutti i vertici in punti del reticolato, si può calcolare l’area del poligono P contando semplicemente i punti contenuti in P, e quelli contenuti sul suo contorno.
Noi abbiamo indicato con Pi il numero di punti che stanno dentro il poligono, con Pc (punti contorno) quello dei punti che stanno sul perimetro del poligono.
Ecco due esempi di poligoni sul reticolo. Uno convesso:

Pi = 19 Pc = 10

Uno concavo:

Pi = 21 Pc = 9

La formula di Pick per il calcolo dell'area è la seguente:
A = Pi + Pc/2 - 1

Ho scritto che i ragazzi sono arrivati alla formula... non con questi poligoni!
L'attività è stata condotta per gruppi di lavoro. Ho lasciato che i gruppi si costituissero spontaneamente, ad attività avviata.
Per cominciare, abbiamo considerato poligoni semplici.
Ho chiesto ai ragazzi di rappresentare, ognuno sul proprio quaderno, il reticolo e di costruire in esso due o tre rettangoli.

Di tali rettangoli ho chiesto che calcolassero l'area con il metodo classico, con formula b*h, con unità di misura il quadratino costituito da 4 punti del reticolo.
Tale operazione con lo scopo di avvicinare tutti al problema e confrontare i valori con i risultati ottenuti con la formula da scoprire.
Li ho invitati quindi a: pensare ad una formula per il calcolo dell'area che tenesse conto solo dei punti del contorno e di quelli interni ai rettangoli.
La formula doveva essere valida per tutti i rettangoli disegnati.
Cominciavano a tentare qualche calcolo, e anche a scambiarsi, guardandomi, qualche riflessione.
Ho detto che, certo, potevano! :-)
E, giusto spontaneamente, devo dire molto correttamente (bravi, ragazzi!:-) vedo costituirsi i gruppi da 5. Aggiungo, importante: i gruppi erano eterogenei! Non è stato necessario il mio intervento. Le abilità diverse, favoriti il confronto, l'interazione, lo scambio fra pari.
E via, alla ricerca della formula!
Le mie indicazioni:
- con i valori Pi e Pc dovete operare. Quali operazioni potete fare con dei valori numerici? Ed anche, con un solo valore?
- non potete utilizzare l'area calcolata con la formula.
Ho visto tentativi di formule che utilizzavano calcoli con potenze, radici (concesso l'uso della calcolatrice) e ... l'area calcolata con formula!
Ho dovuto ribadire che:
- l'area "conosciuta" NON poteva essere utilizzata, si era alla ricerca di una formula senza sapere la geometria!
- la strada da percorrere era molto più semplice di quanto pensassero, sarebbero state sufficienti ben più semplici operazioni con i valori Pi e Pc.
Piano piano si è passati a formule più normali, dalla semi somma dei due valori, fino ad arrivare alla corretta conclusione.
Ho dato il mio supporto invitando ripetutamente i ragazzi a confrontare il valore dell'area "calcolata con formula" con i due valori dei punti relativi ai rettangoli. L'osservazione dei valori relativi a rettangoli di grandi dimensioni si è rivelata più efficace rispetto ai dati relativi a rettangoli piccoli, ai fini del raggiungimento dell'obiettivo.
Non tutti i gruppi sono ancora arrivati tuttavia a scoprire la formula corretta (non l'abbiamo svelata, chissà se il segreto regge!).
La consegna è dunque per alcuni, la prosecuzione del lavoro a casa, per altri la stesura della relazione sull'attività. Si dovranno riportare e presentare alla classe i tentativi, i procedimenti, le proposte di ciascun componente il gruppo.
... qui restiamo in attesa delle relazioni, confidando anche nella promessa di calcolo dell'area di altre figure! :-)