Relazioni sul teorema di Pick

Non proprio fedeli alle consegne ...
i ragazzi relazionano a modo loro, sulla scoperta della formula di Pick.
In verità hanno avuto poco tempo, per via di altri impegni scolastici. In questo periodo non insisto più di tanto.
Mi sono stati consegnati diversi fogli e fogliettini, più o meno ordinati. Riporto qualche immagine.

qualche esempio di tentativi poco prima della soluzione:

Qualcuno ha consegnato un file:
1°) Oggi in classe Antonio ha portato il geopiano, tanto atteso dalla prof, che è un pezzo di legno quadrato o rettangolare con dei chiodi equidistanti tra loro.
La prof ha messo degli elastici attorno ai chiodi in modo da formare dei rettangoli e visto che non avevamo un geopiano per tutti lo abbiamo disegnato sul quaderno.
Sul quaderno abbiamo fatto così: ogni due quadretti (sia in lunghezza che in larghezza) dovevamo segnarci un puntino in modo da ottenere una quadrettatura. E poi anche noi abbiamo disegnato dei rettangoli.
L’esercizio consisteva prima di tutto nel trovare l’area del rettangolo nel modo classico cioè, per esempio, base (6) * altezza (7): nel primo rettangolo era 42.
Dovevamo far finta di non conoscerla, ma bisognava contare i puntini che costituivano il bordo del rettangolo (sempre dello stesso rettangolo il primo) per esempio 26 e quelli che stavano all’interno per esempio 30, manipolarli tipo farci delle operazioni ma non era vietato per esempio dividerli o addizionarli per altri numeri.
Giammario è stato il primo a provare e ha sommato i Pi ( punti interni) e i Pc (punti del contorno) e li ha divisi per 2, il risultato era esatto solo per qualche rettangolo.
La prof ha detto che poteva essere un’idea ma bisognava cambiare qualcosa e che la formula era molto semplice.
Poi la prof ha detto che potevamo consultarci e noi ci siamo divisi in gruppi.
Abbiamo fatto un sacco di operazioni e di tentativi, la prof ci diceva ancora che non si poteva usare l’area trovata con i quadratini e si dovevano fare calcoli semplici.
Giammario per primo ha trovato il giusto modo di risoluzione ma la prof non ha svelato questo offrendo a tutti la possibilità di ragionare sulla formula e dunque ognuno di noi ha potuto pensare alla soluzione esatta.
Io e Laura contemporaneamente siamo giunte alla soluzione corretta che consiste nel dividere Pc (26) per 2 e sommare il quoziente a Pi e sottrarre 1.
Cosi abbiamo ottenuto la formula che è la seguente:
(Pc:2)+Pi-1= (es.) (26:2)+30-1 = 42.
Questa formula può essere applicata per ottenere le aree di tutte le figure del mondo. (!)

2°) ….
La prof ha posizionato gli elastici sul geopiano e abbiamo calcolato l’area contando i quadratini che formavano il rettangolo che lei aveva ottenuto.
Poi ci ha detto che dovevamo ricavare una formula per calcolare in un altro modo l’area.
Per ottenere la formula dovevamo fare dei piccoli calcoli sui punti interni e su quelli esterni del rettangolo.
All’inizio Gian Mario ha detto che aveva calcolato l’area di un rettangolo con una operazione coi punti di contorno e quelli interni e il risultato era uguale.
Pc(punti contorno) + Pi(punti interni) = 10+2= 12 :2= 6 = A
Per la prof Gian Mario era sulla buona strada anche se lui ha continuato con quella formula applicata ad altri rettangoli e si è accorto che i risultati erano errati.
Poi ci siamo volontariamente divisi in gruppi.
Il gruppo formato da Giulia D., Giulia G., Sara, Laura e Gimmi ha ricavato un’altra formula e cioè: Pc + Pi : 2 – qualsiasi altro numero intero.
La prof ha detto che questo gruppo era molto vicino alla soluzione ma dopo la classe aveva difficoltà a combinare delle operazioni seguendo quella formula.
Alla fine dell’ora Gian Mario ha trovato la formula giusta e cioè:
Pc/2 +Pi – 1 = A

A casa qualcuno si è divertito a calcolare con la formula di Pick l'area di diversi triangoli confrontandola con il valore calcolato con base e altezza.
Un migliore resoconto dell'organizzazione dell'attività in seno al gruppo e delle proposte dei singoli è stato riportato oralmente.
Qualche gruppo ha deciso che tutti i componenti costruissero rettangoli di uguali dimensioni perché così potevano concentrarsi di più per trovare la soluzione.
Qualcun altro ha riportato di aver trovato delle regolarità eseguendo delle sottrazioni fra i valori Pc e Pi ... ottenevamo sempre 8. (ehmm devono precisare meglio!)
Altri, visto che c'era in gioco una formula da scoprire, pensavano a calcoli più complicati e provavano ad eseguire le radici e le potenze dei due valori e poi sottraevano... ma ottenevano valori strani!
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