Il prodotto cartesiano

Nel nostra discussione sugli insiemi, al momento è un fuori programma …

ma Gabriele, che ha frugato sul file del prof. Popinga, dice di non aver compreso bene e ne vuol sapere di più.

Io dico wow! :-) Saranno curiosi anche gli altri? ?

Partiamo dall’osservazione.

Una tabella a doppia entrata:

Un grafico di Eulero-Venn:

Un grafo ad albero:

Secondo me avete già capito… 

ma parliamone!

Cominciamo con la tabella a doppia entrata (le conoscete: tabella Orario delle lezioni, tabelle delle operazioni, tabella del Pari e Dispari, tabella del V e F , dello 0 (zero) e dell’1 …).

In ogni situazione in cui si costruisce una tabella a doppia entrata si esegue un’operazione su due insiemi A e B, i cui elementi sono disposti rispettivamente nella colonna e nella riga che intestano la tabella.

Questa operazione si indica:  A x B (si legge A prodotto B) e si chiama prodotto cartesiano

E’ un po’ diversa dalle altre operazioni tra insiemi.

Gli elementi dell’insieme  “A x B” non sono singoli ma coppie ordinate.

Attenzione: ordinate. Le coppie ordinate hanno:

come primo elemento un elemento dell’insieme A

come secondo elemento un elemento dell’insieme B

Perciò il prodotto  A x B  è diverso da B x A: non vale la proprietà commutativa!

Se guardate ancora le immagini troverete tutte le coppie ordinate dell’insieme “A x B” : sono tutte le possibili coppie, ogni elemento del primo insieme (A) è associato con ciascuno degli elementi del secondo insieme (B)

Vediamo ancora un esempio:

Il prodotto cartesiano prende il nome dal filosofo e matematico francese Cartesio, vissuto nel 1600.
René Descartes, il suo vero nome (italianizzato Cartesio) ebbe l'idea di un sistema di riferimento con il quale riuscì a unire il mondo dei numeri con quello delle figure geometriche.

E proprio il sistema di riferimento cartesiano è il più famoso esempio di prodotto cartesiano. Osservate:

Tutti i punti (verdi) del piano sono individuati, quindi è ben fissata la loro posizione, da una coppia ordinata di numeri (x ∈A e y ∈ B)

Ehi, provate voi su GeoGebra! Visualizza Assi e Griglia e per i punti Visualizza Valore.

E ora potete anche esercitarvi con il file Operazioni con gli Insiemi del prof. Popinga! Che… a maggior ragione ora ringraziamo! :-)

[LearningObject] Area dei poligoni sul piano cartesiano

Condivido dell'altro materiale didattico.
Si tratta ancora di un Learning Object, inerente le attività sul piano cartesiano. Dopo Punto_Segmento_Retta sul piano cartesiano e Distanze sul piano cartesiano, completiamo con il calcolo dell'area dei poligoni sul piano cartesiano.Resta sempre un supporto integrativo, uno strumento per ripassare e/o apprendere, non sostitutivo degli approcci didattici che ogni docente ritiene opportuni. Anche il suo utilizzo è relativo alle scelte del docente: guidare l'alunno alla consultazione, farlo lavorare in autonomia...

Ecco qualche immagine. Introduzione al lavoro:

Attività per la "scoperta": l'alunno interagisce utilizzando il mouse.

Pagine tutoriali:

Verifiche:

Glossario:

Nelle pagine di verifica in caso di risposta errata si è rimandati a rivedere la spiegazione o la simulazione. Il pulsante "Verifica" permette di controllare l'esito di un test e di assegnare i relativi punteggi.
Per tutte le info e le istruzioni d'uso del LO, premere i pulsanti ? e i nella pagina di copertina.
Clic qui per scaricare il file, lo_Areapoligoni.zip, decomprimere e lanciare il file start.html
Buon lavoro!

[LearningObject] Distanze sul piano cartesiano

In attesa di rimettermi a scrivere qualche post...
Pubblico, a beneficio di tanti lettori che in questi giorni cercano "materiali per la terza media", un altro LearningObject, stavolta sul calcolo delle distanze nel piano cartesiano.
Può essere un utile strumento per ripassare e/o apprendere...
Trovate delle attività o simulazioni, per la "scoperta":

pagine tutoriali e di approfondimento [A]:

un glossario dei termini specifici [G] e diversi esercizi per la verifica di quanto appreso:

In caso di risposta errata si è rimandati a rivedere la spiegazione o la simulazione.
Da scaricare il file lo_distanzesupianocartesiano.zip, decomprimere e lanciare il file start.html

Il Sistema di riferimento cartesiano

Primo post del 2008, ragazzi. Rimettiamoci al lavoro!
Riprendendo dal post del 29 dicembre 2007, I Sistemi di Riferimento.
Avevo concluso dicendo che nel lavoro su Geogebra (come da immagine sul post) il punto su una retta era individuato da due coordinate, la seconda delle quali sempre uguale a zero (0).
Questo perché la costruzione con il programma è basata (come pure la costruzione della semiretta numerica su Excel) sul Sistema di riferimento cartesiano, che qui andiamo a conoscere.

Il Sistema di riferimento cartesiano

Tale sistema di riferimento è utilizzato per stabilire la posizione di un punto P non più sulla retta ma sul piano.
E' detto "cartesiano" dal nome del filosofo e matematico francese Cartesio, vissuto nel 1600.
René Descartes, il suo vero nome (italianizzato Cartesio) ebbe l'idea di questo sistema di riferimento riuscendo a unire il mondo dei numeri con quello delle figure geometriche.
Dunque,
come stabilire la posizione di un punto sul piano?
Seguite passo a passo:
1_Disegniamo come riferimento una semiretta orizzontale (nelle figure leggi la denominazione precisa: assi):

2_Disegniamo una semiretta verticale che abbia la stessa origine della prima, parta cioè dallo stesso punto:

3_Fissiamo ora una unità di misura:

Il punto O, origine comune delle due semirette, è detto origine degli assi:

Possiamo indicare la posizione di un punto P sul piano misurando la sua distanza (a destra) dalla semiretta verticale e la distanza (in alto) dalla semiretta orizzontale.

nella figura il punto P è distante 3 unità dalla semiretta verticale. Tale distanza è misurata sulla semiretta orizzontale (asse delle x).
Il punto P è distante 5 unità dalla semiretta orizzontale. Tale distanza è misurata sull'asse delle y.

Confrontando questa situazione con il sistema di riferimento sulla retta notiamo che:

- la posizione del punto P è individuata da due distanze, non più da una sola;
- l'origine da cui si misurano le due distanze, è un punto che è dato dall'intersezione di due semirette, la verticale e l'orizzontale.

Nel piano un sistema di riferimento così costituito:
* due semirette, una orizzontale ed una verticale, quindi perpendicolari
* il punto origine comune delle semirette
* le distanze di un punto P così ordinate: distanza dalla retta verticale e distanza da quella orizzontale,
prende il nome di sistema di riferimento cartesiano.

Riepiloghiamo con il linguaggio specifico:
Il sistema di riferimento cartesiano è costituito da due semirette perpendicolari, chiamate “assi” che si intersecano in un punto O detto “origine”.
L’asse orizzontale si chiama asse delle ascisse o asse delle x;
L’asse verticale si chiama asse delle ordinate o asse delle y.
Gli assi hanno un verso:
per l’asse delle x il verso (positivo) va dall’origine verso destra;
per l’asse delle y il verso (positivo) va dall’origine verso l’alto.

Le coordinate cartesiane
Le distanze del punto P dalla retta verticale e dalla retta orizzontale, prendono il nome di coordinate cartesiane del punto P.
Possiamo quindi dire che ad ogni punto del piano può essere associata una coppia di numeri:
il primo numero, la distanza dall'asse verticale, viene letto sull’asse delle ascisse (orizzontale), il secondo numero, distanza dall'asse orizzontale, viene letto sull’asse delle ordinate (verticale).
Attenzione all’ordine con cui sono date le coordinate, se le scambi ottieni punti diversi!
Le coordinate di un generico punto P si indicano con le lettere x e y:
P=(x;y). L’ascissa x deve precedere sempre l’ordinata y

Nota: abbiamo parlato di verso positivo per i due assi x e y. Prolungando entrambe le semirette il piano risulta suddiviso in 4 parti, dette quadranti. Per ora ci siamo limitati a conoscere il sistema di riferimento. Abbiamo considerato il quadrante positivo del piano cartesiano [è così chiamato il piano su cui sia fissato il sistema di riferimento cartesiano]. Più avanti approfondiremo il discorso...

Osservazione: vi spiegate a questo punto perché le coordinate di un punto P, che si trova su una retta sono 2 e la seconda è sempre uguale a o (zero)?
Il punto su una retta [presa come riferimento la semiretta orizzontale del riferimento cartesiano], dista o unità dall'asse delle x!

I Sistemi di Riferimento

Ragazzi (sia prima sia seconda),
avevo detto che avrei spiegato qui passo a passo, la procedura per costruire in Excel la semiretta numerica per la rappresentazione dell'insieme N e, per quelli di seconda, dell'insieme Q.
Per comprendere meglio il sistema, il metodo su cui si basa la costruzione della semiretta in Excel, è opportuno introdurre quelli che, per l'appunto, si chiamano

Sistemi di Riferimento

Premetto, lo vedrete da voi, che ciò che descriverò inizialmente, non vi è del tutto nuovo, sia per la vostra precedente esperienza scolastica, sia perché conoscete la struttura del foglio di lavoro in Excel: i riferimenti di una cella non sono altro che le sue coordinate. Poi ... ci sono da acquisire precise conoscenze e abilità sui sistemi di riferimento.
Andiamo a conoscere meglio le coordinate.
Sono un sistema per … orientarsi!
Sono degli strumenti matematici utili in tantissime occasioni: rappresentare graficamente dei numeri (i nostri insiemi numerici), capire le operazioni, rappresentare fatti di vita quotidiana, questioni economiche ecc… Permettono persino di fare geometria in una maniera ancora più simpatica!
Tutti voi conoscete il gioco della battaglia navale. In questo gioco si usa giusto uno strumento, un metodo matematico: il metodo delle coordinate.
Servono due tabelle, dette "a doppia entrata:
in una sono disegnate le vostre navi, l'altra serve per la caccia alle navi dell'avversario.

Nel mare…. di quadretti, con righe e colonne contrassegnate da numeri e lettere, non è difficile scoprire la posizione delle navi dell'avversario. Numero e lettera vi permettono di individuare con sicurezza la posizione delle navi!

Quel numero e quella lettera prendono il nome di coordinate e assieme alle righe e alle colonne costituiscono un sistema di riferimento.
Il metodo delle coordinate non è altro che un sistema per orientarsi: mediante le coordinate vi orientate per scoprire le navi!
Questo modo di organizzare le cose, cioè questa struttura, è usata in tantissime situazioni:
- sulle carte topografiche di una città [il temine "topografia" viene dal greco topographìa, parola composta da topos che vuol dire "luogo" e graphìa che vuol dire "segno grafico", "disegno".
La carta topografica è una cartina che rappresenta, con molti particolari, una piccola porzione di superficie terrestre, quindi per esempio la superficie di una città, di un paese, di un terreno];
- per individuare dei punti in una regione molto più vasta, la superficie terrestre: meridiani e paralleli;
- nel campo della matematica: coordinate su una retta e Sistema di riferimento cartesiano.

Coordinate su una retta
Nel campo della matematica e di altre scienze come la fisica, la biologia etc. si ricorre spesso al metodo delle coordinate per poter studiare delle proprietà o dei fenomeni.
Problema matematico:
Trovare la posizione di un punto su una retta.
Usiamo una coordinata di tipo …matematico: un numero!
In un foglio di carta millimetrata disegniamo una linea retta r, le diamo un verso, quindi orientata, e su di essa segniamo un punto P

Per indicare la posizione del punto P dobbiamo:
1. fissare un punto di partenza, che chiameremo origine (punto O),
2. scegliere una unità di misura per contare a quale distanza dal punto O si trova il punto P ,
3. misurare questa distanza.
Sulla nostra retta scegliamo il centimetro come unità di misura.

Possiamo dire che il punto P si trova a 7 cm dal punto di origine O

Esprimendoci con il linguaggio specifico:
Il Sistema di riferimento sulla retta è costituito da:
a) punto O, origine;
b) unità di misura, u;
c) distanza del punto P dall'origine.
La distanza del punto P dall'origine è la coordinata del punto P. Esempio: P=(7), si legge: punto P di coordinata 7.
Ora un lavoro realizzato con il programma Geogebra (che si può scaricare qui), un interessante software che impareremo ad usare nello studio della geometria. Ci permetterà di realizzare costruzioni geometriche dinamiche!
Osserva l'immagine:

In questo lavoro, come si legge nell'indicazione sull'immagine, è possibile muovere il punto P lungo la semiretta e leggere sulla stessa la sua coordinata (in realtà sono due coordinate, la seconda è uguale a zero (0). Questo fatto sarà più chiaro con lo studio del Sistema di riferimento cartesiano, di cui parlerò nel prossimo post.