La nefroide

Eh, mica trascuriamo le "nostre" curve matematiche celebri!
Dopo la cardioide, come si legge ne Le curve celebri - L.Cresci, ancora una curva del genere anatomico, in quanto prende il nome da un organo.
La nefroide
Nefroide viene infatti dal greco νεϕρος (nephros): rene, quindi a forma di rene.
L'immagine lo conferma, il vero rene però ha un solo asse di simmetria!

Come la cardioide anche la nefroide è una particolare epicicloide (a due cuspidi), cioè una curva ottenuta facendo rotolare una circonferenza su un'altra circonferenza: "... una curva descritta da un punto solidale con una curva, detta generatrice, la quale rotoli senza strisciare su un'altra curva, detta direttrice. Se la direttrice è una circonferenza e la curva generatrice un'altra circonferenza di raggio minore (r minore R), che rotola all'esterno della circonferenza fissa, si ha l'EPICICLOIDE, mentre se la circonferenza generatrice rotola all'interno si ha l'IPOCICLOIDE " (prof.ssa M.G. Grandi)
Studiata da Huygens, Jacques Bernoulli nel 1692, da Daniel Bernoulli nel 1725 e da Proctor che le diede il nome nel 1878.
L'equazione parametrica in coordinate cartesiane è:
x = a (3 cos(t) - cos(3 t))
y = a (3 sin(t) - sin(3 t))

Ecco la nefroide, epicicloide. Il luogo dei punti generato da un cerchio di raggio r₁ = a/2 che ruota esternamente a un cerchio di raggio r = a (clic per seguire la costruzione, agire sul pulsante Play)

(in questa immagine la curva ha nelle sue parametriche il segno positivo)

Ora la nefroide, inviluppo di circonferenze
Inviluppo: un modo di descrivere una curva tramite una famiglia di curve. Una famiglia di curve inviluppa una curva, se ogni elemento della famiglia è tangente alla curva.
La famiglia delle circonferenze il cui centro è un punto di una circonferenza di raggio a e tangenti ad uno dei diametri (in questo caso Ox), inviluppano la nefroide.
Clic...

La nefroide inviluppo di una corda.
La famiglia delle corde del cerchio di centro O e di raggio 2a (cerchio circoscritto alla nefroide), i cui estremi percorrano il cerchio nello stesso verso, l'uno con velocità tripla dell'altro (costruzione di Cremona), inviluppa la nefroide (clic...).

Infine, l'evoluta della nefroide, che è ancora una nefroide di dimensioni lineari dimezzate.

L'evoluta di una curva piana, in generale, si ottiene come luogo geometrico dei suoi centri di curvatura. E' anche l'inviluppo delle normali alla curva nel punto di tangenza di una retta tangente alla curva stessa. Si può notare che l'intersezione tra la tangente e la normale coincide con il punto generatore dell'epicicloide (estremo del raggio della circonferenza generatrice).
Le parametriche dell'evoluta:
x = a (3 cos(t) - cos(3 t)) / 2
y = a (3 sin(t) - sin(3 t)) / 2

Insomma... stavolta con GeoGebra direi di essermi proprio divertita! :-)