La capretta legata

Gente

ancora per i più grandicelli ...

Un altro problemino illustrato con GeoGebra!

L’autore del testo da cui è tratto lo definisce un piccolo problema che chiunque dovrebbe saper risolvere.

Anche voi dovreste!

Vi servirà però ripassare QUI e QUI, fatelo prima e tenete presente...

Problema della

Capra legata

La capra è confinata in un prato di mezzo acro [un acro vale circa 0,4 ettari (ha), cioè circa 4000 metri quadri - più precisamente sono 4046,85 m quadrati], a forma di triangolo equilatero, ed è legata a un palo posto in un angolo.

Quale dovrebbe essere la lunghezza della corda perché la capra possa brucare l’erba che si trova esattamente in metà del campo?  Si assume che la capra possa brucare fino all’estremità della corda. [Cioè l’area pascolabile dalla capra è la metà di quella del campo].

Da IL MISTERO DEL PONTILE H. E. Dudeney – Sfide Matematiche

Clic sulla fig. e vedetevi tutto sull’applet!

Gli uccelli sulle palme

Ragazzi,

vi piace questo disegnino? Fatto da me!

Eh eh, figuratevi se non si tratta di un rompicapo!

Destinato, per ora, ai ragazzi di ex-seconda. Ma voi di ex-prima, vedete l’applet! - Lo so che quei giovini leggono meno qui, ma fa niente, lo discuteremo insieme...

Dunque:

mi sono divertita a illustrare su GeoGebra, il problemino:

Gli uccelli sulle palme

Nell’opera di un matematico arabo del XI secolo troviamo il seguente problema:

Su entrambe le sponde di un fiume crescono due palme, una di fronte all’altra. Una è alta 30 braccia, l’altra 20.

La distanza fra i loro tronchi è di 50 braccia.

Sulla sommità di ciascuna palma c’è un uccello. D’improvviso i due uccelli scorgono un pesce che emerge dalla superficie dell’acqua, fra le due palme.

Gli uccelli si lanciano e acchiappano il pesce nello stesso momento.

A quale distanza dal tronco della palma più alta è apparso il pesce?

Da ALGEBRA RICREATIVA Y. Perelman – Sfide Matematiche

Il problema è una variante del Problema n° 2, delle due torri, del Liber Abaci di Fibonacci.

Cliccando sulla fig. si può scaricare un interessante documento.

 

Voi, ragazzi, letto attentamente il testo del problema?

Andate ad aprire l’applet cliccando sul mio disegno. Vedrete l’animazione del volo degli uccelli che acchiappano il pesce (partono e arrivano assieme), e in più uno schema con i dati del testo e con aiuti per la risoluzione...

Per il momento vi chiedo solo di impostare la soluzione. O quantomeno commentarla.

Per i passaggi algebrici – di algebra si tratta – pretenderò un po’ più avanti!

Il fastidioso otto

Ragazzi,

ricordate il quadrato magico, vero? ... a voglia!

C’è da costruire questo:

La costante magica è 15, dovete dunque utilizzare numeri da 1 a 9, il numero 8 è già posizionato.

Perché fastidioso otto? Mah, non so, è un gioco che ho trovato su

IL MISTERO DEL PONTILE Passatempi matematici III – H.E. Dudeney – Sfide Matematiche

Clic su img, sull’applet indicazioni, aiuti, perfino dopo la digitazione, e ... i complimenti se siete bravi!

Giochino matematico

Ragazzi,

un simpatico giochino per ripassare ...

Provate a regolare questi

Ragazzini sregolati.

Clic su img. Indicazioni sull’applet

da IN CERCA DELLA SOLUZIONE – M. Mataix – Sfide Matematiche

Mi raccomando, prima di guardare la soluzione, sforzarsi! In ogni caso, dovreste ripassare ...

Più veloce della luce!

Ragazzi,

Più veloce della luce è un gioco matematico tratto da L'Elmo Della Mente di Ennio Peres. Ricordate i vari giochini di inizio prima media?

Stavolta ho voluto rielaborarlo con l’aiuto di Excel per potervi esercitare più comodamente. E poi avrete l’occasione di conoscere qualche altra funzion(cina) di Excel...! “Più veloce della luce” sarà il modo in cui dimostrerete di saper eseguire delle somme di numeri da due a ... otto cifre!

Dapprima cercate di capire come funzionano certe somme, sarete guidati sui fogli di lavoro.

Vi eserciterete poi facendo qualche prova e infine, sarete voi a inventarvi un modo per proporre il gioco. A un amico oppure in casa ... 

Si parte da una serie di otto colonne costituite da cinque cifre ciascuna. Le cifre si comportano in modo curioso, se sommate in verticale oppure se lette in orizzontale a costituire cinque numeri da otto cifre ciascuno – comprendendo anche lo zero non significativo –. Calcolando poi la somma di questi numeri ...

Se si sceglie a piacere un numero qualsiasi di colonne...

E si calcola la somma dei numeri ottenuti leggendo le cifre in orizzontale...

(quest’ultima colonnina, i numeri con stile separatore, contiene la formula con le nuove funzioni! Poi osservate anche come ho riportato sul foglio delle colonne a piacere, dal primo foglio senza riscrivere... )

Insomma, conviene scaricare il file Più_veloce_della_luce.xls

Se avete qualche difficoltà e/o non sapete come organizzare il gioco, scrivete pure!

Ciao, Martin Gardner

Ho appena appreso da Gli Studenti di oggi.

Per ricordare il “matematico, illusionista, filosofo e divulgatore statunitense, autore per molti anni della rubrica “Mathematical Games” sulla rivista “Scientific American”, autore di testi (oltre 65 libri) e innumerevoli articoli che hanno dato contributi significativi in diversi ambiti, quali matematica, letteratura, filosofia, religione...” [dalla collana Sfide Matematiche]

vi propongo, ragazzi, da Viaggio nel tempo e altre stranezze matematiche – Martin Gardner -

un simpatico problemino. Leggete e osservate

Ragazzi, poiché non dev’essere una fatica, vi aiuto con la seguente

Martin Gardner sul questo blog ci ha fatto compagnia altre volte. Ciao, Martin.

Numeri riproduttori di Fibonacci

Di Fibonacci e della sua famosa successione,

su questo blog ci siamo occupati a più riprese.

Fra i record del mondo dei numeri, non mancano quelli collegati ai numeri di Fibonacci.

In questo post, i curiosi Numeri riproduttori di Fibonacci 

“Nel 1989, il dottor Googol scoprì che i numeri 129.572.008 e 251.133.297 sono nuovi "numeri riproduttori di Fibonacci" nell'intervallo definito tra 100 e 1.000 milioni. A quel tempo, erano i numeri riproduttori di Fibonacci più grandi scoperti, anche se oggi molte persone hanno raccolto la sfida e scoperto numeri di questo tipo molto più grandi.”

Da LA MAGIA DEI NUMERI – Clifford Pickover – Sfide Matematiche

“Un numero riproduttore di Fibonacci, o repfigit (da replicating Fibonacci digit), ha la notevole proprietà di ripetersi in una sequenza generata partendo con le n cifre di un numero e poi continuando la sequenza con un numero che è la somma dei precedenti n termini. Un esempio dovrebbe chiarirci  meglio.

47 è un repfigit poiché la sequenza: 4, 7, 11, 18, 29, 47, contiene il 47.

Analogamente, 1.537 è un repfigit poiché la sequenza: 1, 5, 3, 7, 16, 31, 57, 111, 215, 414, 797, 1537, contiene 1537.

Nel 1987, Michael Keith ha introdotto il concetto dei numeri riproduttori di Fibonacci. Allora la cifra di questo tipo più alta conosciuta era un numero di 7 cifre, 7.913.837. Nel novembre 1989, furono scoperti 3 numeri riproduttori ancora più grandi e il
numero più grande al mondo era 44.121.607.

La questione se il numero dei riproduttori è infinito oppure no, è ancora irrisolta. Sarebbe interessante trovare  che non esiste un numero riproduttore per numeri maggiori di cifre, oppure scoprire strutture ricercando i numeri più grandi.”

Nella tab. seguente i numeri riproduttori di Fibonacci fino a 5 cifre

n° di cifre
2	14	19	28	47	61	75
3	197	742
4	1104	1537	2208	2508	3684	4788	7385	7647	7909
5	31331	34285	34348	55604	62662	86935	93993

A questa pagina una tabella con numeri riproduttori o di Keith fino a ben 34 cifre!

Per i matematici la sequenza repfigit (Keith) può essere descritta così:

Considerato un numero intero positivo N con n° di cifre $d_1, d_2, ..., d_n$.

Si consideri la sequenza definita da $a_k =  d_k$ (k = 1, 2, …, n) e $a_k =  \sum_{n }^{i=1 } \,\, a_{k-i}\,\,(k>n)$. Se $a_k = N $ per ogni k, N è un numero riproduttore di Fibonacci o numero di Keith.

si veda anche QUI.

Tassellature del piano con poligoni non regolari

Abbiamo già visto in una nostra attività (e anche qui),
che, fra i poligoni regolari, solo il triangolo equilatero, il quadrato e l’esagono regolare possono tassellare il piano, cioè è possibile  “pavimentare” o “piastrellare” il piano accostando i poligoni l'uno all'altro, senza sovrapporli e senza avere degli spazi vuoti tra essi. In ciascuno di tali poligoni l’angolo interno è sottomultiplo di un angolo giro.
E’ però possibile realizzare delle “pavimentazioni” o tassellature, anche con poligoni non regolari.
E’ stato dimostrato che nessun poligono convesso con più di sei lati può tassellare il piano.
Consideriamo dunque i poligoni di tre, quattro, cinque e sei lati. 
Tasselli triangolari
Qualunque triangolo può tassellare il piano. Si può costruire il simmetrico del triangolo rispetto al punto medio di uno dei suoi lati:  “i lati corrispondenti di due triangoli identici combaciano e si forma un parallelogramma. Com’è ovvio, le repliche di un parallelogramma si possono far combaciare lungo i lati per formare una fila illimitata di lati paralleli, e le strisce, a loro volta, si possono avvicinare l’una all’altra per ricoprire interamente il piano”.
Nella costruzione con geogebra, ho utilizzato solamente successive simmetrie di centro punto medio di un lato dei triangoli. Clic sulla figura per aprire l’applet. Sul foglio di lavoro l’indicazione più semplice se si vuole … estendere la pavimentazione! (ho lasciato visibili solo i segmenti esterni per motivi estetici)
Tasselli a forma di quadrilatero
“Qualunque quadrilatero tassella il piano!” Anche in questo caso si può costruire il simmetrico del quadrilatero rispetto al punto medio di uno dei suoi lati:  “i lati corrispondenti di due quadrilateri identici combaciano e si forma un esagono. Ogni lato dell’esagono è necessariamente uguale e parallelo al lato opposto. Tale esagono, con una semplice operazione di traslazione, formerà un motivo tassellante”
Anche in questo caso, con geogebra ho utilizzato successive simmetrie di centro punto medio di un lato dei quadrilateri. Il quadrilatero inoltre può anche non essere convesso. Clic sulla figura per aprire l’applet. Indicazioni sul foglio di lavoro…
Modificando il quadrilatero da convesso a  concavo si può avere una figura simile

Tasselli a forma di pentagono
I tasselli a forma di pentagono convesso possono essere classificati in otto tipologie. Cinque furono trovate da Reinhardt. Kershner li descrive contrassegnando i pentagoni per tipi. Nell’immagine il tipo e la tassellatura corrispondente:
Le caratteristiche dei singoli tipi:

Angoli: A + B + C = 360° Angoli: A + B + D = 360° Angoli: A = C = D = 120° Angoli: A = C = 90°   Angoli: A = 60°, C = 120°

lati: a = d lati: a = b, d = c + e lati: a = b, c = d lati: a = b, c = d

a queste cinque tipologie se ne aggiungono altre tre… e
“Non è dimostrato il fatto che non esistano altri pentagoni convessi capaci di tassellare il piano, per l’eccellente ragione che una dimostrazione completa richiederebbe un libro piuttosto voluminoso”
Con geogebra la tassellatura del 5° tipo.  Costruita con i passi segg:

1. Punto medio del lato e del pentagono ABCDE
2. Simmetrico di ABCDE rispetto al punto
3. Rotazione di 60°  del simmetrico ottenuto, con centro il punto corrispondente del punto A nella simmetria.
4. Rotazioni successive di ampiezza 60°, con medesimo centro, dei pentagoni ottenuti.
5. Ripetere dal punto 1.

Clic sull’immagine per aprire l’applet. Indicazioni sul foglio di lavoro…
Variando la forma del pentagono, conservando le proprietà di lati e angoli…
Infine, se il pentagono diventa concavo
Per ora mi fermo qui. In un altro post le tassellature esagonali (almeno) .
Ma quanto altro nel capitolo 13, Mosaici di poligoni convessi, del:
Viaggio nel tempo e altre stranezze matematiche -  Martin Gardner – Sfide Matematiche  !
- Le scritte in grigio e l’illustrazione dei tipi-tasselli pentagonali, dal testo.-
Link sulle Tassellazioni del piano:
Matematica e dilettanti
Attività di tassellazione con GeoGebra

Il problema dei tre cerchi

Un "piacevole" teorema….
Così lo presenta Martin Gardner nel volume Viaggio nel tempo e altre stranezze matematiche (Sfide Matematiche).
Tracciate tre cerchi di tre dimensioni diverse in una parte qualunque di un foglio, con l'unica eccezione che non si sovrappongano.
Per ogni coppia di cerchi, tracciate le loro due tangenti comuni.
[…] sarete sorpresi di scoprire che le intersezioni delle tre coppie di tangenti si incontrano sulla stessa retta.
Ecco la costruzione realizzata con geogebra. Clic sull'immagine.

 Come ci si potrebbe aspettare, esistono molti modi per dimostrare il teorema mediante costruzioni geometriche.

[Con geogebra ho costruito le coppie di tangenti comuni alle circonferenze c-k e c-e.
A e B sono, rispettivamente, le intersezioni delle due coppie di tangenti.
 L'intersezione C della coppia di tangenti comuni alle circonferenze k-e, cade necessariamente sulla stessa retta r, cui appartengono le due precedenti]
Ad ogni modo, Popular Computing ha riferito, nel suo numero di dicembre 1974, che il teorema si presta ad un'elegante soluzione se si abbandona il piano bidimensionale per passare a una generalizzazione tridimensionale.
[…] I redattori della rivista informano che quando il teorema fu mostrato a John Edson Sweet, un professore di ingegneria alla Cornell University morto nel 1916, questi osservò per un po' il disegno e commentò: "Sì, è perfettamente evidente!"
__Qual era la "dolce" soluzione del professore Sweet?

Naturalmente io sono andata a leggere la soluzione del prof. Sweet e le altre soluzioni descritte nel volume :-)
La soluzione di John Edson Sweet del teorema dei tre cerchi è fornita nella risposta la problema 62 del volume di L.A. Graham Ingenious Mathematical Problems and Methods (Dover 1959).
Si scopre anche che non è necessario che i cerchi siano disgiunti. Il teorema è valido anche per cerchi contenuti completamente uno nell'altro.
Inoltre: il teorema è chiamato "teorema di Monge", in onore del matematico francese Gaspard Monge (amico di Napoleone), che lo enunciò in un trattato del 1798.
 R.C. Archibald, in The American Mathematical Monthy (vol 22, 1915, p.65), fa risalire il teorema agli antichi greci (scrive Donald Keeler)
Il teorema di Monge per tre circonferenze nel piano è citato da Herbert Spencer nella sua autobiografia. Scrive Spencer: "Si tratta di una verità che non posso contemplare senza rimanere colpito dalla sua bellezza e insieme dal sentimento di meraviglia e timore che suscita in me: il fatto che tre circonferenze, apparentemente senza relazione, siano comunque legate da questo plexus di relazioni appare davvero incomprensibile".
Non riporto le dimostrazioni: metti che qualche lettore appassionato voglia proporne una! Se così fosse, ringrazio:-)

Gioco: calcolo mentale semplice!

Eh, il mio pensiero comincia proprio a rivolgersi ai nuovi che ... avanzano! :-)
Ai ragazzi della nuova prima dovrò ricordare di mettere nello zainetto le carte da gioco! Perché si divertano a mostrare la loro abilità nel calcolo mentale.
Giocando naturalmente...
Ancora da L'Elmo Della Mente di Ennio Peres - Sfide matematiche.
Capitolo Numerazione in base 10

La carta mancante

Modalità di esecuzione
1. Porgi un mazzo di 40 carte a uno spettatore e chiedigli di toglierne una a sua scelta, senza fartela vedere.
2. Fatti riconsegnare il mazzo e analizza velocemente il suo contenuto, un paio di volte al massimo.
3. Al termine di questa operazione, comunica con sicurezza quale carta era stata tolta dal mazzo.
Accorgimenti da seguire
Devi attribuire a ciascuna carta il valore di presa che tradizionalmente essa ha in giochi come la Scopa (asso = 1, due = 2, ... fante = 8, cavallo = 9), a eccezione del re, al quale devi assegnare il valore 0.
___Mentre sfogli per la prima volta il mazzo, devi effettuare mentalmente la somma progressiva dei valori delle carte che, di volta in volta, ti capitano sotto gli occhi, usando l’accortezza di memorizzare solo la cifra delle unità di ogni risultato parziale ottenuto. Ad esempio, eseguendo: 7+8 = 15, devi tenere a mente solo: 5.
___Al termine, otterrai un risultato compreso tra 0 e 9. Sottraendo questo numero da 10, ricaverai il valore della carta che è stata messa da parte (se il risultato delle operazioni è 10 il valore della carta mancante in questo caso è il re!)
___Quando sfogli di nuovo il mazzo, devi osservare quali sono i semi con i quali il valore individuato è presente nel mazzo e, per esclusione, ricavare quello della carta mancante.
___(Riepilogo con un esempio:
- il risultato dei tuoi calcoli a mente è 6;
- sottrai 6 da 10: 10-6 = 4
- la carta messa da parte è un 4
- mentre sfogli il mazzo la seconda volta devi controllare di avere solo tre 4; ma devi memorizzare anche di quali semi! Perché la risposta che dovrai dare sarà: hai preso il 4 di ...)
Una tale operazione serve anche a controllare l’esattezza dei calcoli compiuti in precedenza; infatti, se vedi che nel mazzo sono presenti quattro carte del valore da te determinato (e non solo tre), vuol dire che hai sbagliato a fare le somme.
Nota - L'esecuzione di questo gioco risulta tanto più sorprendente, quanto più rapidamente riesci a effettuare le somme a mente. D'altra parte, quanto più ti eserciterai con questo gioco, tanto più rapidamente sarai in grado di effettuare le somme a mente...
___P a r o l e _ s a n t e! :-)
E ora... ci sarebbe da scoprire il perché funziona.
Béh, mi godrò la discussione in classe!
Eventualmente, in seguito segnalerò anche un consiglio pratico.

Triangoli pitagorici ... inoltre!

E sì che ci siamo occupati dei triangoli di Pitagora [e qui] e abbiamo imparato a costruire terne pitagoriche.
Ma si sa, le curiosità in matematica non finiscono mai...
Fra i triangoli pitagorici intanto, non poteva che esserci quello "divino": il più noto, quello con le misure dei lati espresse dai numeri interi 3 - 4 - 5, conosciuto dagli antichi Egizi già nel 3000 a.C.
"Plutarco, descrivendo il Triangolo Sacro, afferma che la Base di Quattro rappresenta la Materia-Iside, l'altezza di Tre rappresenta lo Spirito-Osiride, l'Ipotenusa di Cinque rappresenta il Figlio-Oro, la manifestazione. Il perimetro di tale Triangolo vale 12, le Ore della Creazione, i Segni dello Zodiaco. [...] Se raddoppiamo il Triangolo Sacro otteniamo un perimetro uguale a 14, due volte sette, la somma dei primi cinque numeri che compongono il numero π. [clic sull'immagine per la fonte; ragazzi, continuare la lettura sulla pagina]

I numeri di base del sistema decimale, ad eccezione dell'Uno e del Due che compaiono nascosti nel cerchio inscritto nel triangolo, sono generati dalla figura. Uno è il raggio, Due è il diametro, Tre e Quattro sono i cateti, cinque l'ipotenusa, Sei l'area, Sette Otto e Nove si ottengono sommando a due a due i tre lati."
Ne "Le meraviglie dei numeri" - C. Pickover, al capitolo:
"Tutto quello che avreste voluto sapere sui triangoli ma non avete osato chiedere",
dei triangoli come questo è descritta la particolarità di avere i valori dei cateti espressi da numeri consecutivi: "il triangolo 3 - 4 -5 è il primo di queste gemme esotiche. Il seguente di questo tipo è 21 - 20 - 29. Il decimo triangolo è piuttosto grande: 27304197 - 27304196 - 38613965."
Pickover chiama questi, triangoli che pregano. Descrive il metodo per calcolare la lunghezza dei lati dei triangoli che abbiano tale proprietà.
"Cominciate con 1 e moltiplicatelo per la costante $D\, =\, ( \sqrt{ 2 } +1)^2\, =\,5.828427125$
Troncate il risultato a un valore intero e moltiplicatelo di nuovo per D.
Continuate questo processo tanto a lungo quanto volete, creando una lista di numeri interi: 1, 5, 29, ... [questi costituiscono le ipotenuse]
Per ottenere i valori delle lunghezze dei cateti,
prendete uno di questi interi,
elevatelo al quadrato,
dividetelo per due e estraete poi la radice quadrata.
Le lunghezze dei due cateti si ottengono arrotondando il risultato per difetto e per eccesso."
Ecco fatto in un foglio di Excel, con il controllo pitagorico della terna (se si vuole, clic per scaricare e vedere le formule utilizzate):

Sempre Pickover assegna invece l'attributo "divino" ad altri triangoli pitagorici: quelli per i quali la somma dei cateti e l'ipotenusa siano quadrati.
"Nel 1643, il matematico francese Pierre de Fermat scrisse una lettera al suo collega Mersenne chiedendogli un triangolo pitagorico per il quale la somma dei cateti e dell'ipotenusa fossero quadrati. In altre parole, se i lati sono indicati con X, Y e Z, si deve avere:
X + Y = a²
Z = b²
X² + Y² = Z² = $b ^4$
E' difficile credere che i 3 numeri più piccoli che soddisfano queste condizioni siano :
X = 4.565.486.027.761
Y = 1. 061. 652. 293. 520
Z = 4. 687. 298. 610. 289
Il dottor Googol ha chiamato i triangoli di questo raro tipo "divini" perché soltanto un Dio poteva immaginare un'altra soluzione al problema. Perché? Risulta che il secondo triangolo sarebbe così grande che se i suoi numeri fossero rappresentati in decimetri, i cateti del triangolo supererebbero il diametro dell'orbita della Terra! [...]
Eppure oggi noi possiamo calcolare un tale triangolo. Siamo divenuti gli dei di Pitagora. Grazie al computer e alla matematica"

Il cristallo Omega

Ancora C. Pickover ... !
Il cristallo Omega
" Il dottor Oz indica un affascinante insieme di scatole di grandezze a decrescere. "Dorothy, questo è il cristallo Omega" (la figura è mia. Con GeoGebra!)

Il cristallo Omega

Dorothy si avvicina di qualche passo al cristallo Omega. "Notevole!", afferma mentre esamina la struttura. Le scatole piccole sono così minute che ci vorrebbe un microscopio per vederle. "Se solo avessi una lente d'ingrandimento."
"Non importa. Voglio chiederti altro sulle scatole. I lati decrescono in un'interessante successione." Il dottor Oz tira fuori pezzo di carta con la seguente successione:

$1+ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 4 } }+ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 5} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 6} } + ... + \frac{ 1 }{ \sqrt{ n } }+ ... $

E consegna a Dorothy la carta. "Il bordo della prima scatola in alto è lungo un piede. La scatola successiva ha un bordo lungo un piede diviso per la radice quadrata di due, e quella successiva ancora ha un bordo lungo un piede diviso per la radice quadrata di tre, e così via. Questa serie diverge, o diventa sempre più grande, il che significa che il cristallo Omega è una struttura di lunghezza infinita! Se vuoi dipingere le faccette di un cristallo Omega, hai bisogno di una quantità di pittura infinita."
Alcuni dignitari - originari della costellazione di Vergine - in visita sulla Terra si avvicinano al dottor Oz e a Dorothy. L'addome e il torace dei dignitari trasuda un fluido che profuma come rose in una tiepida mattinata primaverile.
Il dottor Oz accenna un inchino e poi continua. "Fatto stupefacente, anche se la lunghezza è infinita, il volume del cristallo Omega è finito! Qual è il volume? Se capace di rispondermi entro due settimane, ti darò come premio il cristallo Omega, oggetto di grande valore. In caso contrario, lo farò a pezzi, il che susciterà una guerra transgalattica di proporzioni inimmaginabili."
Uno dei dignitari geme e quindi evapora.
Dorothy si volta verso il dottor Oz e chiede, "Dici sul serio?"
"Non proprio." Sussurra il dottor Oz. Ma mi piace usare un linguaggio altisonante per impressionare i nostri ospiti. Ma adesso, al lavoro!"

I volumi dei cubi che formano il cristallo Omega sono parte di questa serie:

$1+ \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2 } } + \frac{ 1 }{ 3 \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{4 \sqrt{4} }+ \frac{ 1 }{ 5 \sqrt{ 5 } } + \frac{ 1 }{ 6 \sqrt{ 6 } } +...+ \frac{ 1 }{ n \sqrt{ n } } +... $

Ad esempio, se usiamo come unità di misura i piedi, la prima scatola avrebbe un volume di un piede cubico e la scatola successiva avrebbe un volume di 0,35 piedi cubici circa. Questa serie converge. Il volume totale del cristallo Omega è dunque finito ma la superficie è infinita! Ovviamente, in realtà un oggetto infinito come questo non può essere costruito perché le scatole alla fine diventerebbero più piccole di un atomo; questo rimane comunque uno splendido esempio di un'ampia classe di oggetti matematici che hanno volumi finiti ma superfici infinite. [...]
... Quelli tra voi veramente bravi in matematica possono notare che la serie converge alla funzione zeta di Riemann, ζ(3/2). "

Il magico * 9 *

E ancora da L'Elmo Della Mente di Ennio Peres - Sfide matematiche.
Si gioca con i numeri: mica abbiamo scoperto tutto della numerazione in base 10!

Il magico 9

Modalità di esecuzione
1. Scrivi il numero 9 su un foglio, senza mostrarlo al pubblico; ripiegalo e inseriscilo in una busta.
2. Fornisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri):
__a) pensate a un numero intero composto da due sole cifre (ad esempio: 85);
__b) eseguite la somma di queste due cifre (85 ---> 8+5=13);
__c) sottraete il risultato così ottenuto dal numero scelto prima (85-13=72);
__d) se come risultato avrete ottenuto un numero composto da una sola cifra, fermatevi qui; altrimenti, eseguite la somma delle sue cifre (72 ---> 7+2=9).
3. A questo punto, chiedi che, al tuo via, ogni spettatore dichiari ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto.
4. Dai il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno in coro: * 9 *.
5. Apri la busta contenente la tua previsione e metti in evidenza che avevi previsto esattamente il risultato che sarebbe stato ottenuto, nonostante avessi lasciato libero ogni spettatore di scegliere il numero che preferiva.

Eh, ragazzi? Magico 9!
Bisogna sapere che:
la differenza fra qualsiasi numero intero n e la somma delle sue cifre è sempre uguale a un multiplo di nove, indipendentemente dal numero di cifre da cui è composto n.
Provate!
Eppoi, come sappiamo, la somma delle cifre di un multiplo di 9 è sempre uguale a 9. (Un numero è divisibile per 9 quando ....)
Non è difficile dimostrare la proprietà.
Occorre scrivere in forma polinomiale (ehi, la ricordate? Se no, ripasso!) il numero a base 10. [attenzione, al link trovate la forma polinomiale di numeri a base diversa da 10].
Dalla scrittura polinomiale, qualche passaggio matematico (per es. considerando un numero di due cifre) ci porta a dire che:
n - (a+b) = 9*a (a e b sono le cifre che compongono il numero, a la cifre delle decine)
Ok, vedremo i passaggi ... in terza! :-)
Ah, una cosa: la somma delle cifre di un numero è detta radice numerica. Più precisamente: si sommano le cifre di un dato numero e si ripete la stessa operazione sui risultati via via ottenuti, finché non rimane una sola cifra. Questo risultato viene detto radice numerica.

Una somma prodigiosa

Ancora un gioco da L'Elmo Della Mente di Ennio Peres - Sfide matematiche.

Si gioca con pari e dispari!

Una somma prodigiosa

Modalità di esecuzione
1. Impartisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri) :
__a) scrivete un primo numero, scegliendolo tra 0 e 1 (ad esempio: 1);
__b) scrivere un secondo numero, scegliendolo tra 2 e 3 (ad esempio: 2);
__c) scrivete un terzo numero, scegliendolo tra 4 e 5 (ad esempio: 4);
__d) scrivete un quarto numero, scegliendolo tra 6 e 7 (ad esempio: 7);
__e) scrivete un quinto numero, scegliendolo tra 8 e 9 (ad esempio: 8);
__f) scrivete un sesto numero, scegliendolo tra 10 e 11 (ad esempio: 11);
__g) scrivete un settimo numero, scegliendolo tra 12 e 13 (ad esempio: 12) ;
__h) calcolate la somma dei numeri così scritti (nel nostro caso: 1+2+4+7+8+11+12 = 45).

2. Chiedi a uno spettatore di dirti solo quanti numeri dispari ha scelto (nel nostro caso: 3, ovvero: 1, 7 e 11) e, istantaneamente, sei in grado di indovinare il valore della somma da lui ottenuta (nel nostro caso: 45).
3. Puoi replicare questa stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a tuo piacere...

Accorgimenti da seguire
Per riuscire in questa impresa, devi semplicemente fare la somma tra il numero fisso 42 e il valore che ti comunica lo spettatore (nel nostro caso: 42 + 3 = 45).

Ragazzi, come sempre cercate di scoprire perché il gioco funziona.
Vi faccio notare: il giocatore sceglie ogni volta tra due numeri , uno pari e quello dispari che viene subito dopo. La somma dei numeri pari previsti è ... ?.
Vi comunica poi *quanti* numeri dispari ha scelto: un dispari supera il pari che lo precede di.... unità! Quindi la somma dei pari aumenta di.... quante unità in tutto??
Béh, mi sa che vi ho aiutato troppo ...

I nanetti impertinenti

E' un altro giochino tratto dal libro
L'Elmo Della Mente di Ennio Peres, della collana Sfide matematiche.
Questo dal capitolo: Inganni geometrici

I nanetti impertinenti

Preparazione
Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete).
__Effettua una fotocopia opportunamente ingrandita delle tre immagini rettangolari riprodotte nelle figure 1, 2 3; incollala su un cartoncino rigido e ritagliala lungo i bordi.
__Dietro ognuno dei tre cartoncini così realizzati applica una striscia di nastro biadesivo, in modo che sia possibile fissarli sulla lavagna mediante una semplice pressione delle mani.

Modalità di esecuzione
1. Fissa sulla lavagna i tre cartoncini ottenuti in base alle precedenti istruzioni, accostandoli nel modo indicato in figura 4

figura 4

2. Fai notare al pubblico che in questo modo l'immagine risultante raffigura 15 nanetti.
3. Scambia di posto i due cartoncini superiori (fig. 5) e fai notare al pubblico che (misteriosamente...) ora i nanetti sono solo 14: uno di loro è scomparso.

figura 5

Ragazzi, cercate di scoprire la magia. Si tratta di ... inganni geometrici!
Suggerimento: contate le porzioni di nanetti contenute nei tre cartoncini delle fig 1, 2 e 3 e osservate bene come si accoppiano le porzioni posizionando i cartoncini come in figura 4 oppure come in figura 5. In entrambe le figure si accoppiano tutte le porzioni?
Nota (dell'autore del libro) - Questo gioco si basa su un principio ideato nel 1907 dal mago statunitense Theodore L. DeLand. Una sua versione a colori è stata realizzata nel 1985 da Susanna Serafini, per la Clementoni.

x^x

Da La Matematica Di Oz - II Clifford Pickover - Sfide Matematiche

Il fuso supremo

...Il dottor Oz si avvicina a Dorothy con in mano alcuni strani grafici. "Oggi mi interessa il grafico di x elevato alla x. Esso ha il potere di creare interessanti forme affusolate. E le porge un foglio:

__Poi guarda il suo monitor tascabile, su cui compare la figura:

[La seguente, invece ... con GeoGebra. Ci si può cliccare per vedere le equazioni]

"Puoi vedere che il grafico è liscio per i valori di x maggiori di 0."
__"Liscio come il sederino di un bebè", dice Dorothy. Poi batte i numeri sul suo calcolatore per produrre qualche valore:

"Cresce piuttosto velocemente", dice Dorothy, "e hai mostrato solo la curva per i valori piccoli di x. Ma, aspetta un momento! Perché la curva della x inferiore a 0 è così spettrale? Perché è frammentata? E perché dici che può creare dei fusi? I fusi sono oggetti tridimensionali."
__Il dottor Oz con il tentacolo dà un colpetto a una tanica di benzina arrugginita. "Se sei capace di rispondere a queste domande, ti lascerò libera."
...................
__È possibile comprendere meglio $x^x$ esaminando i valori complessi. Il grafico di $z \,=\, x^x$, dove x è ancora reale ma a z è permesso di essere complesso, ha una figura simile a un fuso.

Il fuso supremo: il grafico di $z \,=\, x^x$,quando x è reale e z è complesso. Ventun fili sono disegnati per x compreso fra -4 e 2 (su cortese concessione di Mark D. Meyerson)

Mark Meyerson, della U.S. Navy Academy di Annapolis, nel Maryland, che in uno studio ha descritto questo fuso, scrive: "La parola fuso è doppiamente appropriata; non solo la forma generale assomiglia a un fuso, ma il grafico consta anche di un'infinità numerabile di curve o fili avvolti intorno alla figura." Per generare il fuso, osservate che $x^x\,=\,ℯ^{xlogx}$ prende il valore $ℯ^{xlogx+ιπnx}$. Fili diversi corrispondono a valori diversi di n.
Per una spiegazione più dettagliata dei fili e per studiare i misteriosi gap nel fuso, vedi Mark Meyerson, "The $x^x$ spindle," Mathematics Magazine 69(3) (Giugno 1996): 198-9.
[il fuso con geogebra non mi è riuscito!]

I primi imprimibili

Così è intitolato uno dei giochi matematici contenuti nel volume
L'Elmo Della Mente di Ennio Peres, della collana Sfide matematiche.

I primi imprimibili

Preparazione del gioco
(puoi giocare con una o più persone)
.......
Predisponi otto cartoncini quadrati, scrivendo su ognuno di essi un diverso numero di due cifre, come indicato nella figura [esattamente i numeri che vedi]

Modalità di esecuzione

l. Disponi i cartoncini sul piano di un tavolino come nello schema precedente (ovvero, in ordine crescente di valore, da sinistra verso destra e dall'alto verso il basso).
2. Fai notare ai giocatori che su ogni cartoncino è riportato un numero primo (divisibile, cioè, solo per se stesso e per 1).
3. Spiega, però, che quelli da te selezionati sono dei particolari numeri primi, che vengono detti imprimibili, perché godono della proprietà di rimanere talmente impressi nella mente delle persone da poter essere individuati facilmente con la forza del pensiero...
4. Volta le spalle al tavolo da gioco, e chiedi a un giocatore di scegliere uno di questi otto numeri (se i giocatori sono più d'uno, colui che sceglie il numero può indicarlo agli altri).
5. Voltati di nuovo verso il tavolino e gira tutti i cartoncini dalla parte del dorso (badando a lasciarli nello stesso ordine precedente).
6. Prendi la tua personale bacchetta magica (o una comune matita...) e impartisci [molto chiaramente] al giocatore le seguenti istruzioni:
a) pensa intensamente al nome del numero che hai scelto (ad esempio, se questo è: «53», deve pensare: «Cinquantatré»);
b) adesso io darò con la bacchetta una serie di colpetti sui dorsi di alcuni di questi cartoncini; a ogni colpetto, tu devi scandire [mentalmente!], una diversa lettera del nome a cui stai pensando (nel nostro caso, deve scandire, nell'ordine, le lettere: «C-i-n-q-u-a-n-t-a-t-r-é»);
c) quando termini questa scansione, dimmi subito: « Stop ».
[ragazzi, per non sbagliare, suggerisco: accordatevi con il giocatore che ad ogni colpetto - ogni scansione di lettera- con l'altra mano solleverete un dito]
7. Fai eseguire questa operazione al giocatore; quando ti comunica di aver finito, gira l'ultimo cartoncino che hai toccato con la bacchetta e mostra al giocatore/ai giocatori che il numero su di esso riportato è proprio quello pensato dal giocatore!
8. Puoi replicare questa stessa performance, con altri giocatori, una quantità di volte a tuo piacere...

Accorgimenti da seguire
Quando impartisci la serie di colpetti sui cartoncini, i primi cinque puoi darli in un ordine qualsiasi; dal sesto in poi, invece, devi seguire rigorosamente la successione indicata nella figura seguente

Appena lo spettatore dice: «Stop», devi interrompere la successione di colpetti e girare l'ultimo cartoncino toccato con la bacchetta.

- Ragazzi (lettori ...) : provate a capire perché il gioco funziona!
Fate molta attenzione all'esempio e ... all'indicazione del percorso dal 5° colpetto in poi!
C'è una corrispondenza biunivoca! :-)

Nota: il gioco, come tutti gli altri presenti nel libro, è impostato dall'autore in modo da consentire l'esecuzione in forma spettacolare, davanti a un pubblico composto da diversi spettatori.
In questi casi è prevista la disposizione delle figure (cartoncini...) su una lavagna o su un grande foglio bianco appeso a una parete.
Su ciascun lato dei cartoncini si applicherà una striscia di nastro biadesivo in modo che sia possibile fissarli sulla lavagna (o sul supporto alla parete) con una semplice pressione delle mani, sia di faccia che di dorso.

Irrazionali zebra

Non è vero che gli irrazionali non hanno delle regolarità!

"Se le cifre di un numero irrazionale vengono scelte a caso, certamente non bisogna aspettarsi che mostrino percorsi ovvi nelle prime cento cifre...
Mister Plex (alieno, assistente del dottor Oz): 'No, non è vero. Guarda la classe di numeri che i terrestri chiamano irrazionali zebra.' Due dei suoi piedi iniziano a battere eccitati.. 'E adesso ti faccio vedere perché! Qui c'è il mio irrazionale zebra preferito'. Mister Plex mostra una carta con l'equazione:

$f(n)= \sqrt{ \frac{ 9 }{ 121x100^n} + \frac{ (112-44n) }{121 } }$

E aggiunge: 'Voglio mostrarvi un numero irrazionale meraviglioso, generato quando n è uguale a 30'. Porge una carta:

272727272727272727272727272727
2727272727272727272727272727
08
96969696969696969696969696969
6969696969696969696969696969
08
280134
680134 680134 680134 680134
680134 680134 680134 680134
6760129280957725402169846614291058
7355031799476243920688365098232657372074...
il numero irrazionale zebra più bello del mondo

Dorothy indietreggia. "Oh, mio Dio, che disegno."
'Sì, ne ho fatto una composizione grafica per mettere in evidenza i comportamenti.'
II dottor Oz annuisce, apparentemente impressionato dall'abilità matematica di Mister Plex. "Qui ci sono alcune configurazioni bizzarre, che sembra si blocchino improvvisamente all'ultimo 680134, come l'acqua che zampilla da un buco si esaurisce all'improvviso se si chiude la fonte.
Da quel punto in avanti le cifre non seguono alcun comportamento che i miei occhi alieni possano distinguere. Dorothy, qui c'è una calcolatrice. Sei in grado di calcolare altri numeri di questo irrazionale zebra e trovare altre configurazioni? Quali altri irrazionali zebra puoi scoprire?""
Da La matematica di OZ - I Clifford Pickover (Sfide Matematiche)