lunedì 15 giugno 2009

x^x

Da La Matematica Di Oz - II Clifford Pickover - Sfide Matematiche

Il fuso supremo
...Il dottor Oz si avvicina a Dorothy con in mano alcuni strani grafici. "Oggi mi interessa il grafico di x elevato alla x. Esso ha il potere di creare interessanti forme affusolate. E le porge un foglio:

__Poi guarda il suo monitor tascabile, su cui compare la figura:

[La seguente, invece ... con GeoGebra. Ci si può cliccare per vedere le equazioni]

"Puoi vedere che il grafico è liscio per i valori di x maggiori di 0."
__"Liscio come il sederino di un bebè", dice Dorothy. Poi batte i numeri sul suo calcolatore per produrre qualche valore:
"Cresce piuttosto velocemente", dice Dorothy, "e hai mostrato solo la curva per i valori piccoli di x. Ma, aspetta un momento! Perché la curva della x inferiore a 0 è così spettrale? Perché è frammentata? E perché dici che può creare dei fusi? I fusi sono oggetti tridimensionali."
__Il dottor Oz con il tentacolo dà un colpetto a una tanica di benzina arrugginita. "Se sei capace di rispondere a queste domande, ti lascerò libera."
...................
__È possibile comprendere meglio $x^x$ esaminando i valori complessi. Il grafico di $z \,=\, x^x$, dove x è ancora reale ma a z è permesso di essere complesso, ha una figura simile a un fuso.

Il fuso supremo: il grafico di $z \,=\, x^x$,quando x è reale e z è complesso. Ventun fili sono disegnati per x compreso fra -4 e 2 (su cortese concessione di Mark D. Meyerson)
Mark Meyerson, della U.S. Navy Academy di Annapolis, nel Maryland, che in uno studio ha descritto questo fuso, scrive: "La parola fuso è doppiamente appropriata; non solo la forma generale assomiglia a un fuso, ma il grafico consta anche di un'infinità numerabile di curve o fili avvolti intorno alla figura." Per generare il fuso, osservate che $x^x\,=\,ℯ^{xlogx}$ prende il valore $ℯ^{xlogx+ιπnx}$. Fili diversi corrispondono a valori diversi di n.
Per una spiegazione più dettagliata dei fili e per studiare i misteriosi gap nel fuso, vedi Mark Meyerson, "The
$x^x$ spindle," Mathematics Magazine 69(3) (Giugno 1996): 198-9.
[il fuso con geogebra non mi è riuscito!]

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14 commenti:

  1. Guardando i grafici vien da pensare che i numeri possano generare grande armonia. Un caro saluto, Fabio

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  2. Fabio,
    è proprio così,
    e anche:
    "Se segnassimo a caso dei punti su un foglio di carta, si potrebbe individuare sempre e comunque un'equazione matematica tale da rendere conto di quanto fatto." (Leibniz)
    dalla mia sidebar !:-)
    ciao Fabio.

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  3. Sinceramente non conoscevo questo aspetto della funzione esponenziale potenza. La "spettralità" è comunque dovuta al fatto che la funzione reale di variabile reale x^x è definita per x>0. Il fuso con geogebra? Mah, se ci riesci dimmelo, ché poi mi libero di Derive e Cabri.
    Ciao, Giò, bel post :-)

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  4. una citazione di leibniz mi ricordo in particolare: "quello in cui viviamo è il migliore dei mondi possibile"

    ciao giovanna, ho risposto qui alla tua domanda!

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  5. ciao Maurizio,
    grazie.
    il fuso con geogebra? macché, non c'è verso che mi prenda la funzione ℯ^xlogx+ιπnx
    e non so proprio come fare!
    vedi invece tuuuu... sai più mate di me!!!:-)

    Tenebrae, ti ringrazio tantissimo, vado a leggere!

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  6. Dice Dorothy: perché i valori di x e y sono numeri reali ecc...
    Gio, te lo dico sottovoce, tu non dirlo a nessuno, ho letto il libro di Pickover ;-)
    Ciao Paolo

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  7. aah, bene Paolo!!
    forte Pickover eh?
    salutoneee!
    ah, bentornato qui!:-)

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  8. Ottima la scelta del nuovo template!
    Proprio bello, Giovanna.

    r.

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  9. Grazie. Interessantissimo post.
    Buona fine settimana.
    Vale

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  10. grazie PL
    buona fine settimana anche a te.

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  11. Newton was wrong16 luglio 2009 21:47

    Scusa Maurizio ma x^x è definita anche per x<0

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  12. ciao, Newton was wrong
    Non so se Maurizio legge.
    Quanto alla tua domanda,
    ... non mi fido a darti una risposta! :-)
    Nel testo parla di curva frammentata per valori di x<0
    Hai visto l'applet geogebra?
    io ho creato 4 curve di cui due:
    (-(x))^x e
    -(-(x))^x
    Il "tratteggio" l'ho dato io.
    Non so se questo ti è d'aiuto!
    Vediamo se Maurizio legge ancora i commenti al post, potrei caso mai riferire io...

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  13. PS: "Nel testo *si* parla...." :))

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