lunedì 30 luglio 2007

Il sistema binario già nel Neolitico!

Lo avremmo immaginato?

Noi conosciamo il sistema binario o a base 2, come uno dei sistemi di numerazione di tipo posizionale (il valore delle cifre dipende dalla posizione che esse occupano nel numero). Nel sistema binario i valori delle cifre, da destra verso sinistra variano secondo le potenze crescenti del 2. Per scrivere i numeri si utilizzano solamente le cifre 0 e 1.
E sappiamo che il sistema binario è importante perchè utilizzato dai circuiti del calcolatore, del computer, che eseguono le operazioni aritmetiche. Il calcolatore distingue soltanto due possibili stati all'interno dei suoi circuiti elettronici: acceso (passa corrente), contraddistinto dalla cifra 1; spento (non passa corrente), corrispondente alla cifra 0.

Vi sorprenderà quindi sapere che questo sistema per contare già nel periodo Neolitico (ultimo periodo dell’Età della Pietra, dal greco neos=nuovo e lithos=pietra, VIII - IV/III millennio a.C.), era usato da una popolazione dell'Australia, i Gumulgal.

Contavano così:
1 = urapon
2 = ukasar
3 = ukasar - urapon
4 = ukasar - ukasar
5 = ukasar - ukasar - urapon
6 = ukasar - ukasar - ukasar
7 = ... ?
8 = ... ?
ecc.
Ci accorgiamo che questo sistema utilizza due sole cifre (i simboli), che in questo caso sono delle parole, ma essi sono combinati, per la scrittura del numero, secondo la legge additiva.
Altri sistemi a base 2 avevano parole particolari per 3 e 4, così 6 e 8 diventavano "2 volte 3" e "2 volte 4".
Anche in Africa e Sud America sono stati rinvenuti reperti che testimoniano sistemi per contare, con l'uso di soli due simboli.
ciao!:-)
i P.S. che mi vengono sempre "dopo": esistono 10 tipi di persone al mondo: quelle che capiscono il sistema binario e quelle che non lo capiscono.

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domenica 29 luglio 2007

Matematica curiosa continua ...

Cari piccini miei,

... contateci [oops! non "1, 2, 3, ...." :-)]: apriremo il nuovo a.s. divertendoci!
Per i nuovi: come andiamo a tabelline? Vabbè.... se proprio non le ricordiamo bene... anzi, facciamo finta di saper solo contare.................
E dobbiamo eseguire una moltiplicazione!
Guardate lo schema qui sotto. Dobbiamo eseguire: 14 x 23



Che è? Come si fa???
Seguitemi:
1) Considerate il 1° fattore:
  • tracciate tante rette orizzontali quante sono le sue decine (nell'esempio, una linea)
  • distanziandovi un po' tracciate tante rette orizzontali quante sono le sue unità (nell'es. quattro rette)
2) Considerate il 2° fattore:
  • tracciate tante rette verticali quante sono le sue decine (nell'es. due linee)
  • distanziandole un po', tracciate tante rette verticali quante sono le sue unità (nell'es. tre rette)
Parlo di orizzontali e verticali per semplicità, potrebbero pure essere oblique, è importante solo che le rette relative ai due fattori si intersechino.
3) Separate con un tratteggio gli insiemi dei punti che sono le intersezioni fra le rette orizzontali e verticali come indicato nello schema. Per comodità ho evidenziato nel disegno solo un gruppo di tali punti.
4) Contate per ciascun gruppo, il numero di punti di intersezione fra le rette, come potete osservare nello schema.
5) A partire dalla destra: se il numero di punti del gruppo supera le 9 unità, bisogna aggiungere il numero di decine al totale dei punti indicati immediatamente a sinistra (nello schema: 1 va a sommarsi agli 11 punti di intersezione della parte centrale)
6) Si procede alla stessa maniera per i gruppi successivi (nello schema: il numero di decine del 12 - 1 decina - va a sommarsi ai 2 punti di intersezione del gruppo più a sinistra)
7) Abbiamo il risultato della moltiplicazione! Da sinistra verso destra si scrivono le unità totalizzate per ogni gruppo (in ciascun gruppo saranno rimaste solo delle unità). Nell'esempio: 3, 2, 2 --->322
Potete osservare sulla destra in alto l'esecuzione classica della moltiplicazione che conferma il risultato.
Che dite? E' divertente vero?
Certo lo è, ma sicuramente ci offre degli spunti di riflessione....
Io ne faccio qualcuna ma le più importanti voglio farle insieme a voi!

Io dico che è divertente ma non proprio ... comodissimo. E' scomodo davvero se si hanno fattori con molte cifre e con cifre "alte", tipo 6, 7, 8, 9.
Questo mi fa concludere che ... le tabelline è meglio saperle! :-) Certo, abbiamo anche le calcolatrici oppure excel che ben ci possono fare i calcoli! Vero, ma quelli complessi!
Ma vuoi mettere l'elasticità mentale? Vuoi mettere l'abilità di calcolo rapido? Vuoi mettere poter gareggiare con i compagni? ecc....

Poi ci sono anche le proprietà delle operazioni che, se opportunamente usate, ci semplificano i calcoli.
Ora invito chi di voi dovesse affacciarsi al blog in questo periodo, a cominciare a riflettere su questo curioso procedimento per moltiplicare.
Osservate bene i "gruppi di punti delle intersezioni",
riflettete sulle unità dei due fattori tra loro moltiplicate....
Provate ad esercitarvi con altri semplici esempi. Vi aiuterà a comprendere il meccanismo!
Oh, scordavo! Clic qui per vedere un filmato su questa curiosità matematica!
B u o n d i v e r t i m e n t o!
alla prox! :-)
[Aggiornamento] Apprendo in rete che questa curiosa modalità è chiamata "Moltiplicazione Vedica". Per saperne di più sulla Matematica Vedica si legga QUI

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venerdì 27 luglio 2007

Un'espressione aritmetica ... e altro!

Raga.... guardate qui, semplice semplice:

(77+77) x [7/(7+7)] = 77

7 volte la cifra 7 ----> risultato 77!



"Perdona non 7 ma 77 volte 7 " [Vangelo]

7 sono le meraviglie del mondo
7 sono i giorni della settimana
7 sono i colori dell'arcobaleno
7 sono le vite di un gatto
7 sono i colli di Roma
7 sono i nani nella favola di Biancaneve
7 sono i peccati capitali
7 sono gli anni di studio "matto e disperatissimo" di Giacomo Leopardi
7 sono i bracci del candelabro ebraico: Menorah
7 sono i saggi filosofi greci

7 il numero atomico dell'Azoto (N)
7 sono i metalli alcalini: idrogeno, litio, sodio, potassio, rubidio, cesio, francio
7 sono le unità fondamentali del S.I. (sistema Internazionale): lunghezza (metro), massa (chilogrammo), tempo (secondo), corrente elettrica (Ampere), temperatura termodinamica (Kelvin), quantità di sostanza (mole), intensità luminosa (Candela)
7 sono le stelle della costellazione dell'Orsa Maggiore
7 sono le ossa del tarso (nel piede umano): calcagno, astragalo, scafoide, cuboide, tre cuneiformi
7 :
è il quarto numero primo, prima dell'11
è un
numero primo di Mersenne, 7 = 2^3 - 1
è un
numero primo cubano
è un
numero primo euclideo 7 = (2 × 3) + 1

ooo, ma... avevo per caso promesso di raccontare qualcosa sul numero 7? :-)

E certo che non è tutto!

Andate su:
LA MATEMATICA E… IL NUMERO SETTE, splendida pagina!

La magia del sette

Numero 7

continuate voi la ricerca!
ciao!:-)
questo è un post scriptum: oggi è il giorno 27/07/2007 - ma non l'ho fatto apposta!

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giovedì 26 luglio 2007

I quattro sette

Volete ancora divertirvi con i quesiti ...?
Quello che segue è un problema del massimo esperto inglese di giochi matematici, Henry Ernest Dudeney

Illustrazione originale del problema di Dudeney

“Il Professor Rackbrane illustra ai suoi allievi uno dei suoi quesiti. Come si vede, fa vedere come sia possibile ottenere 100 con quattro cinque, utilizzando alcuni semplici segni aritmetici. Qualsiasi giovane lettore può verificare che l’esempio è corretto. Ora, com’è possibile ottenere 100 con quattro sette? Se avesse chiesto di usare quattro 9, avremmo potuto scrivere 99 + 9/9, ma con i quattro sette, come si fa?”

Per risolvere il problema è necessario conoscere la notazione inglese .... (ok, vi aiuto: per la scrittura dei numeri decimali...), leggermente diversa dalla nostra. Altrimenti è necessario usare anche lo zero oltre al 7.

Come al solito, ancora non vi rimando alla risposta! :-)

(Il quesito è solo un anticipo di quanto vi racconterò sul .... numero 7, "il numero della saggezza". Quanto ancora da scoprire sui rapporti tra i numeri e la scienza, la società, l’arte, la religione e la magia, la storia o la superstizione.....!)

a presto! :-)

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mercoledì 25 luglio 2007

Impossibile, ma vero

Lo sapevate che

usando quattro cifre dispari possiamo ottenere una somma dispari ?

Ecco il quesito :
Unire insieme 4 delle seguenti cifre

1, 1, 1, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 5, 5, 5

in modo che sommandole diano 21.


per ora non vi dico dove potete trovare la risposta! ehehe....

ciao!:-)

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Ancora un omaggio a Eulero


"Una cosa era certa: di tutti i matematici, Eulero era stato di gran lunga il più generoso fornitore di "denominazioni di origine controllata", offrendo il suo nome a una lista impressionante di formule, teoremi, metodi, criteri, relazioni, equazioni...

Nella geometria, si conoscevano il cerchio, la retta e i punti di Eulero relativi ai triangoli, più la relazione di Eulero, che riguardava il cerchio circoscritto a un triangolo. Nella teoria dei numeri, il criterio di Eulero, l'indicatore di Eulero, l'identità di Eulero, la congettura di Eulero... ("Sì, anche lui ne ha una!"). Nella meccanica, gli angoli di Eulero. Nell'analisi, la costante di Eulero. Nella logica, il diagramma di Eulero. Nella teoria dei grafi, di nuovo la relazione di Eulero. Nell'algebra il metodo di Eulero relativo alla soluzione di equazioni di quarto grado. [...]

La caratteristica di Eulero (in comproprietà con Jules-Henri Poincaré) riguardante i poliedri, i grafici, le superfici... [...] Eulero, il "re dei numeri amicabili". Mentre i suoi predecessori si erano accontentati di scovarne al massimo due o tre coppie, lui ne scoprì oltre sessanta."

(Il teorema del pappagallo - Denis Guedj)



Ragazzi (miei): questa immagine fa parte di ... un discorso che noi tratteremo. Potremo consultare anche questa pagina.

ciao:-)

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martedì 24 luglio 2007

I "signori" Eulero e Venn

Per rappresentare graficamente gli insiemi

usiamo i diagrammi di Eulero-Venn.

Forse vi sarete chiesti chi erano questi signori, o questo signore di nome Eulero e di cognome Venn.
In realtà questi signori non solo erano due, ma non si sono mai conosciuti, essendo vissuti a più di un secolo di distanza l'uno dall'altro.

Leonhard Euler (ricorre quest’anno il trecentesimo anniversario della sua nascita), nome spesso italianizzato in Eulero, era svizzero e fu professore di fisica e di matematica nelle più importanti Accademie d'Europa dell'epoca: Berlino e San Pietroburgo. Lo si ritiene il più grande scienziato del '700. Fu matematico, fisico, astronomo e filosofo, contribuì allo sviluppo della matematica per quanto riguarda l'aritmetica, la geometria e l'algebra.

In particolare diede seguito alle intuizioni che Leibnitz (filosofo e matematico del '600) aveva avuto in merito alla rappresentazione di ragionamenti mediante simboli, schemi, rappresentazioni grafiche.
Abbiamo testimonianza dell'uso dei «cerchi di Eulero» in una sua opera di divulgazione scientifica: Lettere a una principessa tedesca. Si tratta di 234 lettere scritte, tra il 1768 e il 1772, alla figlia del marchese di Brandeburgo, all'epoca la più importante regione della Germania settentrionale.

A Eulero era stata affidata l'educazione scientifica della signorina ed egli utilizzò i suoi «cerchi» per spiegarle dei modi di ragionare.

Vediamo di che si tratta.
Eulero rappresenta alcune affermazioni mediante cerchi e le relazioni tra le affermazioni risultano rappresentate dalla posizione reciproca dei cerchi.
Potete intuire queste idee osservando gli esempi

  1. Tutti i rettili sono vertebrati
  2. Tutte le lucertole sono rettili




Se si rappresentano i vertebrati con un cerchio, i rettili saranno un cerchio che sta dentro quello dei vertebrati.
Le lucertole saranno, a loro volta, un cerchio che sta dentro ai rettili.


Dallo schema dei «cerchi di Eulero» si possono osservare immediatamente le posizioni reciproche dei cerchi che rappresentano le relazioni tra le affermazioni e si può ricavare una nuova affermazione: che tutte le lucertole sono vertebrati.
Vediamo un'altra situazione.
  1. Tutti i rettili sono vertebrati
  2. Tutte le lucertole sono animali con quattro zampe
Questa volta il cerchio delle lucertole sta dentro un cerchio (quello degli animali a quattro zampe), che non è il cerchio già rappresentato.
L'affermazione riguardante le lucertole sarà quindi rappresentata da due cerchi separati dai precedenti.
L'osservazione dello schema ci dice che non possiamo ricavare alcuna nuova affermazione.

II matematico e logico inglese John Venn visse molto tempo dopo Eulero, morì infatti nel 1923 a 89 anni.
Egli lavorò sulla logica matematica e precisò meglio sia la relazione tra i «cerchi» e le affermazioni che questi potevano rappresentare, sia il possibile uso di queste rappresentazioni.

Oggi noi usiamo non dei cerchi, ma delle figure meno regolari, che però hanno in comune con i cerchi la fondamentale caratteristica di essere delle linee chiuse, che separano un «interno» da un «esterno». In questo modo si possono rappresentare gli insiemi distinguendo bene gli elementi che appartengono all'insieme, che sono rappresentati dall'«interno» da quelli che non vi appartengono, che sono rappresentati dall'«esterno».

E ora, volete mettervi alla prova? Un esercizio facile facile!
Osservate il diagramma di Eulero Venn e indicate se le affermazioni che seguono sono
VERE o FALSE
Tutti i gatti sono mammiferi V F
Tutti i felini sono mammiferi V F
Tutti i vertebrati sono gatti V F
Tutti i mammiferi sono gatti V F
Tutti i mammiferi sono vertebrati V F
ciao
alla prox! :-)

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lunedì 23 luglio 2007

i numeri naturali che ... non bastano.

"Nell'aritmetica ordinaria dei numeri naturali si possono sempre eseguire le due operazioni fondamentali, l'addizione e la moltiplicazione. Ma le operazioni inverse, la sottrazione e la divisione, non sono sempre possibili. [...] Un gran passo per rimuovere queste restrizioni fu compiuto quando si introdusse il simbolo 0, ponendo a - a = 0.
Ma ancora più importante fu l'introduzione dei simboli -1, -2, -3, ... che, insieme con la definizione b - a = -(a - b) nel caso b minore di a, resero la sottrazione possibile senza restrizioni nel campo dei numeri interi positivi e negativi. Per includere i nuovi simboli -1, -2, -3, ... in un'aritmetica più estesa che comprenda i numeri interi sia positivi che negativi, dovremmo, naturalmente, definire le operazioni su di essi in maniera tale che siano mantenute le proprietà originarie delle operazioni aritmetiche"
(Courant, Robbins - Che cos'è la matematica)

ciao:-)

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numeri....

"La maggior parte delle proposizioni, nella teoria dei numeri, come accade per la matematica nel suo complesso, non si riferiscono a un singolo oggetto, il numero 5 o il numero 32, ma a un'intera classe di oggetti aventi qualche proprietà in comune, come
la classe di tutti i numeri pari,

2, 4, 6, 8, ......
o la classe di tutti i numeri interi divisibili per 3,
3, 6, 9, 12, ....
o la classe di tutti i quadrati dei numeri interi,
1, 4, 9, 16, ...
e così via"
(Courant, Robbins - Che cos'è la matematica)
alla prox!

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certe divisioni.....!

"E poi le divisioni non le reggo.
- Perché no?
- Ma perché quando si usa il più o il meno, o si moltiplica, i conti tornano sempre. Quando si divide invece no. Spesso c'è un qualche resto che mi da un fastidio tremendo.
- La domanda che bisogna porsi è: quando succede?
- Succede cosa? chiese Roberto
- Quando succede che c'è un resto e quando non succede, spiegò il mago. E' questo il punto essenziale. A certi numeri glielo si legge in faccia che si possono dividere senza resto"
(Hans M. Ensensberger - Il mago dei numeri)
ciao:-)

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sabato 21 luglio 2007

Giochi matematici e logici

Questo post è destinato principalmente ai ragazzi che devono arrivare in prima media, seppure divertente (e utile) anche per quelli che la prima l'hanno appena superata!

Piccoletti ... nuovi!
come andiamo a ... fantasia? siete forti con il calcolo? volete sfidare i vostri compagni?

Giochi logici e matematici fa per voi!
E' una pagina del Quaderno a quadretti di maestra Tiziana. Un sito simpatico, divertente, ricco di interessanti risorse. Visitatelo!

Segnalo qui alcuni dei giochi proposti. Siete pronti a giocare al solo clic del mouse!

La torre di Hanoi: si devono spostare tutti i dischi dall'asta di sinistra a quella di destra, mantenendo l'ordine dato e utilizzando l'asta centrale come base d'appoggio. Si può muovere un solo disco alla volta e non è possibile posizionare un disco più grande sopra uno più piccolo.

Il Tangram: il gioco consiste nel riprodurre delle figure in cui non siano evidenti le disposizioni dei singoli pezzi (cioè non devono rimanere spazi tra le diverse figure), con la sola regola di utilizzare tutti e sette i pezzi del tangram (tan) senza mai sovrapporli.

Calcolo mentale: sei bravo nel calcolo?
Quale punteggio pensi di ottenere in un minuto? Prova... e sfida anche amici e compagni!


Trova il numero: prova di abilità nel calcolare addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni al volo, prima che i numeri arrivino a terra!

Bingo: gioca contro il computer. Se sei tu il primo giocatore che completa una linea di cinque numeri - orizzontale, verticale o diagonale - puoi gridare: "BINGO!"

Gioco del 15: lo scopo del gioco e' quello di ordinare le tessere dal numero 1 al numero 15, partendo da una configurazione casuale che lascia in basso a destra un tassello vuoto. Sembra facile!

Quadrato magico. Prova di abilità nel calcolo mentale: devi disporre 9 numeri nelle caselle di un quadrato in modo tale che la somma dei tre numeri in orizzontale, verticale e diagonale dia come risultato lo stesso numero.

Troverete altri giochi sulla pagina segnalata.
Divertitevi!

ciao:-)

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venerdì 20 luglio 2007

Operazioni con gli insiemi 2

Ragazzi,

Parliamo ora dell'operazione di

unione fra insiemi

Consideriamo ancora due insiemi A e B.
Per elencazione: A={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} e B={2; 4; 6; 8; 10}

Mediante il diagramma di Eulero-Venn



Per caratteristica, cioè individuando la proprietà comune a tutti gli elementi.
L'insieme A costituito dai numeri naturali, zero escluso, minori di 8.
In simboli: A={x/x è un numero naturale maggiore di zero e minore di 8} – sapete già come si legge: A è l'insieme formato dagli elementi x tali che (la sbarretta"/") x è un numero naturale maggiore di zero e minore di 8.
L'insieme B costituito dai numeri pari minori o uguali a 10.
In simboli: B={x/x è un numero pari minore o uguale a 10} - che leggiamo: B è l'insieme formato dagli elementi x tali che x è un numero pari minore o uguale a 10

Dati questi due insiemi possiamo costruirne un terzo, prendendo tutti gli elementi che appartengono almeno a uno dei due insiemi.

Per elencazione otteniamo in questo caso l'insieme C={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10}

Gli elementi dell'insieme C compaiono almeno in uno dei due insiemi A e B.

Sono certa che volete fare qualche osservazione!

Eh sì, gli elementi presenti sia in A sia in B vanno inseriti nell'insieme C una sola volta!

Lo sapevamo no? Per quanto riguarda un insieme ci interessa solamente sapere se un certo elemento appartiene o non appartiene all'insieme.

Abbiamo eseguito l'operazione di unione fra i due insiemi.

L'insieme C è l'insieme unione

L'operazione di unione si indica con il simbolo

Scriveremo:

e leggeremo: insieme C uguale A unione B

L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A o a B o a entrambi.


E la rappresentazione grafica dell'insieme unione mediante il diagramma di Venn?

A questo punto penso non troviate grosse difficoltà!

Soffermiamoci tuttavia su qualche particolare.

Possono presentarsi tre casi

1) Gli insiemi hanno elementi comuni.

Il diagramma di Venn per l'insieme unione sarà:



2) Un insieme è sottoinsieme dell'altro.

L'insieme unione sarà così rappresentato:



3) I due insiemi sono disgiunti.

La rappresentazione sarà:



E ancora, in che modo l'insieme unione può essere definito per caratteristica?

Sappiamo che:
gli elementi dell'insieme unione devono appartenere o ad A o a B oppure ad entrambi.
La caratteristica dell'insieme unione sarà perciò almeno una delle due caratteristiche degli insiemi A e B.
Nel nostro esempio: gli elementi dell'insieme A unione B "sono ………" o "sono ………….."

In simboli:



E' la congiunzione "o" che connette (lega) le due caratteristiche, le due proprietà.

Anche la congiunzione "o" è uno dei connettivi logici.

ciao:-)

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giovedì 19 luglio 2007

libromania e non solo!!!

Benvenuti a tutti nel piccolo spazio per i piccoli e i grandi appassionati di matematica ma anche di libri!!
La matematica riserva un sacco di sorprese ed è bello vedere come tanti siano riusciti a farla diventare protagonista di favole, storie, e così via..
Per questo motivo qua tutti possono suggerire libri, cd, film, ecc riguardanti la matematica ...
in più chi magari avesse già letto un libro nominato, o già visto un film di quelli elencati..be' può con tanta tranquillità lasciare pure un commentino con qualche suggerimento..insomma tutto è lecito..nei limiti della correttezza!..e più ci consigliamo meglio è!!

tanto per cominciare io vi consiglio un libro, di facile lettura e anche simpatico a mio parere:
l'autore è Hans M.Enzensberger, il titolo è "Il mago dei numeri".
un bel libro da leggere anche d'estate che insegna tante piccole cose all'interno di una storia fantasiosa e assai coinvolgente.

Ora tocca a voi..a presto!
tanti saluti alla mia madrinuccia preferita! -)
complimenti a tutti gli alunni che hanno collaborato e collaborano con lei per la realizzazione di questo blog che è davvero carino!
ciao da Valentina!

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Operazioni con gli insiemi 1

Cari ragazzi della ex-I A,

abbiamo parlato delle operazioni con gli insiemi e, ricorderete, vi avevo mostrato un lavoro in Excel, ancora in costruzione.
Ho completato quel lavoro e voglio ora condividerlo sul nostro blog.

Dobbiamo presentare ai compagni della nuova I A le due operazioni con gli insiemi: intersezione e unione fra insiemi. Naturalmente, facciamo in modo da ... non dirgli proprio tutto. Se no, che gusto c'è, non è così? :-)

Ipotizziamo dunque la nostra lezione (questa sarà naturalmente preceduta dalla presentazione della teoria degli insiemi, dalla simbologia propria....), e parliamo dapprima della

operazione di intersezione

Con gli insiemi, come con i numeri, è possibile eseguire delle operazioni. Possono cioè essere combinati fra di loro, per formare altri insiemi, così come combinando fra loro i numeri mediante operazioni, per es l'addizione o la moltiplicazione, otteniamo altri numeri.

Consideriamo due insiemi, A e B
Per elencazione: A ={a; e; i; o; u} e B={a; u; b; c; s}
Mediante il diagramma di Eulero-Venn




Per caratteristica, cioè individuando la proprietà comune a tutti gli elementi:
L'insieme A costituito dalle vocali dell'alfabeto italiano. In simboli:
A={x/x è una vocale dell'alfabeto italiano} - che si legge: A è l'insieme formato dagli elementi x tali che (la sbarretta"/") x è una vocale dell'alfabeto italiano.
L'insieme B costituito da elementi che sono lettere dell'alfabeto italiano. In simboli:
B={x/x è una lettera dell'alfabeto italiano} - che leggiamo: B è l'insieme formato dagli elementi x tali che x è una lettera dell'alfabeto italiano.
Dati questi due insiemi possiamo costruirne un terzo, prendendo i loro elementi comuni.
Per elencazione otteniamo in questo caso l'insieme C={a; u}


Come possiamo rappresentare l'insieme C, graficamente, mediante il diagramma di Venn?
Oh forse è ancora presto...
Devo dirvi che abbiamo in questo modo eseguito l'operazione di intersezione fra i due insiemi.
Come per le operazioni con i numeri, anche per quelle con gli insiemi si usano dei simboli specifici.
L'intersezione si indica con il simbolo
Scriveremo:

e leggeremo: insieme C uguale A intersezione B
L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B.
Nel nostro esempio, abbiamo l'insieme intersezione

Ora è più facile rispondere alla domanda sulla rappresentazione grafica.
Formulo ancora più chiaramente la domanda: come possiamo rappresentare graficamente l'operazione di intersezione? (già vi vedo... tante mani alzate e... "posso venire alla lavagna?")
Ma, per i più riservati oppure ... un po' distratti :-) : fate attenzione al termine "intersezione". Viene da intersecare che è una parola composta e a sua volta deriva dal latino "inter" che vuol dire "fra" e da "secare" che significa "tagliare". Dunque: tagliare fra loro (i diagrammi degli insiemi...).
Ma siii, ora è chiaro ... !
Può succedere che gli insiemi A e B non abbiano elementi comuni. In questo caso, come sarà l'insieme interzezione?
Ma sì, lo sapete...
Sarà un insieme privo di elementi! E, l'insieme privo di elementi ha un nome...
E no, mica lo dico io! Posso ricordarvi al più che ... ha pure un simbolo! (ehi? mani alzate mi raccomando ... tutti devono avere la possibilità di rispondere).
Aggiungiamo che quando gli insiemi A e B non hanno elementi comuni, cioè sono tali che la loro intersezione è un insieme [...], vengono detti insiemi disgiunti.
Dobbiamo ancora vedere in che modo l'insieme intersezione fra A ={a; e; i; o; u} e B={a; u; b; c; s} può essere definito per caratteristica.

Già! In che modo???

Sappiamo che:
gli elementi dell'insieme intersezione devono essere comuni ad A e B;
devono appartenere sia ad A sia a B.
Ciò significa che devono possedere contemporaneamente le caratteristiche dell'insieme A e di quello B!
Dunque, dobbiamo costruire la frase che esprime la caratteristica di avere ...due caratteristiche!
Sù, facciamolo: gli elementi dell'insieme A intersezione B "sono .............." e "sono ...................."
E' la congiunzione "e" che connette (lega) le due caratteristiche, le due proprietà.

Un piccolo approfondimento
La congiunzione "e" è uno dei connettivi logici, a cui dedicheremo delle altre lezioni.
Per il momento accontentiamoci di sapere che la logica studia le proposizioni (le frasi) espresse in una forma tale da poter dire in maniera inequivocabile se esse sono VERE oppure FALSE. Non sono considerate dalla logica frasi del tipo: "domani sarò a Roma". E' una frase probabile! Oppure: "come stai?" E' una frase interrogativa. O ancora: "per favore, portami il libro". Esprime una richiesta. Di queste frasi non si può dire se siano VERE oppure FALSE.

Per il momento è tutto, al prox post per l'unione tra insiemi!
QUI potete scaricare il file .xls sulle operazioni con insiemi. Per qualsiasi richiesta o segnalazione potete scrivere un commento. Grazie!
ciao :-)

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La divisione egizia

Bèh, ragazzi belli che vi godete le vacanze!

Ho voglia di raccontarvi ancora qualcosa sulle origini della matematica nell'Antico Egitto.
Sono sicura che al rientro vi incuriosirete, ci servirà per partire un po' rilassati e ci divertiremo insieme a leggere e indagare ... e coinvolgeremo naturalmente i compagni della nuova prima!

Vogliamo chiederci come gli antichi egizi eseguivano i calcoli?

I procedimenti usati per addizionare e sottrarre erano abbastanza semplici.
Potete leggere in proposito e per tutte le operazioni fondamentali, su questo simpatico sito.

Qui vi voglio parlare del metodo usato dagli egizi per eseguire la divisione.

La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione. Questo già sapevano gli Egizi e utilizzavano proprio la moltiplicazione per eseguire la divisione.

Vediamo come facevano.
Supponiamo di dover eseguire 252:12 secondo la tecnica egizia

Disponiamo due colonne:
in una prima colonna scriviamo 12
sotto il 12 scriviamo il suo doppio, 12*2, cioè 24
ancora sotto scriviamo 12*2*2, cioè il quadruplo di 12, quindi 48
sotto ancora 12*2*2*2 e così via.
Ci si ferma quando l'ulteriore raddoppiamento porterebbe a superare il 252.

Nella seconda colonna a fianco di ciascun numero scriviamo l'ordine dei multipli di 12

12 multiplo secondo 1
24
multiplo secondo
2
48
multiplo secondo
4
96
multiplo secondo
8
192
multiplo secondo 16

Poiché 252 = 12 + 48 + 192, il risultato della divisione si otterrà sommando gli ordini corrispondenti a 12, 48 e 192, eseguendo cioé 1 + 4 + 16 = 21
21 è il risultato della divisione 252 : 12

Ricordando che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione, riuscite da soli a spiegare la divisione egizia?
ehmm ... un piccolo aiuto: tenete presente anche la proprietà distributiva della moltiplicazione!

ciao! :-)

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martedì 17 luglio 2007

Oggetti impossibili

Restiamo in tema di paradossi ...

Un oggetto impossibile è un oggetto che non può essere costruito nella realtà tridimensionale perché in contrasto con le leggi della geometria, pur essendo rappresentabile in due dimensioni.
La percezione dell'immagine bidimensionale come oggetto verosimile rappresenta un paradosso ed è per questo una illusione ottica.

Un artista olandese Maurits Cornelis Escher (1898 – 1972), litografo ed incisore, uno dei più famosi grafici ed illustratori di tutti i tempi, è conosciuto per le sue costruzioni impossibili, esplorazioni dell'infinito e di motivi a geometrie interconnesse in costruzioni impossibili, dal significato assolutamente enigmatico.
Ha prodotto diverse opere in cui oggetti impossibili sono alla base dell'architettura di edifici e paesaggi fantastici.
Escher è molto colpito dal rapporto esistente tra le dimensioni. Si è soliti rappresentare forme tridimensionali su superfici che non ne hanno che due. Questo antagonismo crea dei "conflitti".


La sua prima litografia dedicata alle costruzioni impossibili: Belvedere

Escher scrive a proposito di quest'opera: In basso a sinistra giace un pezzo di carta su cui sono disegnati gli spigoli di un cubo. Due piccoli cerchi marcano le posizioni ove gli spigoli si intersecano. Quale spigolo è verso di noi e quale sullo sfondo? E' un mondo tridimensionale allo stesso tempo vicino e lontano, è una cosa impossibile e quindi non può essere illustrato. Tuttavia è del tutto possibile disegnare un oggetto che ci mostra una diversa realtà quando lo guardiamo dal di sopra o dal di sotto.
La scala che porta al secondo piano dell'edificio inoltre è una scala impossibile: è contemporaneamente all'interno e all'esterno dell'edificio.

Il cubo di cui parla Escher è un cubo impossibile, un'illusione prospettica, che non è precisamente quello noto come cubo di Necker.

Altri paradossi costruttivi di Escher


L'Infinito di Escher.
I quadri di Escher si ricollegano a concetti matematici astratti: ad esempio, Limite del cerchio III è la raffigurazione artistica del modello di Poincaré, il quale fu l’ideatore di una geometria non-euclidea che si sviluppa sulla superficie di una sfera, anziché di un piano.

Limite del cerchio III

Collezione di opere di Escher: interessante sito da cui si possono scaricare le immagini in diverse risoluzioni.


Altri oggetti impossibili
Triangolo di Penrose

Tridente impossibile o colonnato ambiguo



ciao:-)

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domenica 15 luglio 2007

Il Museo del Calcolo

Navigando in rete ...
segnalo questo interessante museo

Il Museo del Calcolo
già Museo di Informatica e Storia del Calcolo,
presenta la storia, gli strumenti, le idee e i concetti di una fra le più affascinanti avventure del pensiero umano

TOUR VIRTUALE

Il museo Mateureka si trova a Pennabilli (PESARO).
Buon tour!

ciao!:-)

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Il libro dei paradossi

Propongo ai miei ragazzi (ma mi sa che i miei monelli sono tutti al mare!) e ai visitatori del nostro blog, una lettura estiva stimolante e divertente:

Il libro dei paradossi di Nicholas Falletta Edizioni TEA

Che cos'è un paradosso?
Rispondo citando l'introduzione del testo:

Il paradosso è stato definito, in modo bizzarro, come «una verità che poggia sulla testa per attirare l'attenzione». Probabilmente tale espressione si avvicina più di ogni altra definizione formale all'essenza del paradosso perché, in effetti, un paradosso è cosa veramente difficile da definire.
La parola deriva dal greco (parà e doxa) e significa «contrario all'opinione comune». Nell'accezione attuale, il termine «paradosso» assume una pluralità di significati e la sua accezione più generale è quella di «affermazione o credenza contraria a quanto ci si aspetta o all'opinione accettata». Le definizioni di paradosso che interessano questo libro sono un po' più specifiche e comprendono fondamentalmente tre diversi significati:


1. un'affermazione che sembra contraddittoria ma che, in realtà, è vera;
2. un'affermazione che sembra vera ma che, in effetti, contiene una contraddizione;
3. un'argomentazione valida o corretta che porta a conclusioni contraddittorie.

Ovviamente i tipi 1 e 2 di affermazioni paradossali sono spesso, anche se non sempre, conclusioni di argomentazioni del tipo 3. Questo libro tratta argomenti - visivi, logici, matematici, scientifici e di altro genere - che cercano di portare a conclusioni paradossali.

Mentre vi consiglio dunque la lettura di questo testo, vi do qualche "assaggio di paradosso".

Il barbiere

In un paese c'è un solo barbiere e il barbiere è l'unica persona che rade tutti coloro che non si radono da soli.
Chi rade il barbiere?

Il mentitore

"Io mento".

Nel fare questa affermazione sto dicendo il vero o il falso?

E a proposito di "verità"!

Una famiglia di mentitori

Un viaggiatore si trova davanti a due strade, di cui una porta a un villaggio, e al bivio c'è un uomo. La regione è abitata da due famiglie che si distinguono per il solo fatto che i membri dell'una dicono sempre la verità e quelli dell'altra mentono sempre. Il viaggiatore non sa a quale delle due famiglie appartenga l'uomo. Gli pone allora questa domanda: "Se tu fossi dell'altra famiglia, quale strada mi indicheresti per raggiungere il villaggio?"

ciao! :-)

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giovedì 12 luglio 2007

Spoon River ...

*[Per i miei alunni: non vi preoccupate, queste sono divagazioni estive della vostra prof .... !]

... freddure da matematici per matematici o affini

Antologia di Spoon River in miniatura su soggetti matematici

Qui giace la parte principale di Mittag-Leffler
Dirichlet riposa entro questo contorno
A queste coordinate giace Cartesio
Eulero costante
Pascal giace qui probabilmente
(Pascal giace qui, potete scommetterci)
Riemann riposa sotto la superficie
In questo spazio giace David Hilbert
Qui riposa il povero Fourier, fattorizzato nelle sue componenti pure
(Qui ha scelto di stare Goedel, incompleto)
(G.Lolli - Il riso di Talete)
ciao :-)

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Matematica e poesia

"Quando un matematico vuole intervenire sui problemi curricolari, scrive una poesia, ma lo fa anche magari perché ama la matematica" (G.Lolli - Il riso di Talete)

Algoritmi
di
R. P. Boas*

Anni fa, a scuola,
il prof diceva:
"Ogni problema ha la sua regola,
fate solo così".

Ma all'università
mi hanno detto che devo
applicare le conoscenze,
diffidare delle regole.

La New Math voleva
che ogni bimbo ci provasse.
Non importa cosa,
ma dire almeno il perché.

Poi vennero i computer
e gli algoritmi, sì,
non puoi sbagliare,
anche se vuoi.

Un algoritmo? Ma è una regola,
una ricetta,
indietro
si torna a scuola!
*R.P. Boas, Lion Hunting & Other Mathematical Pursuits
ciao :-)

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mercoledì 11 luglio 2007

Numeri onesti seconda parte

Visto che alcuni miei amici si sono divertiti molto con i "numeri onesti", completo il discorso, come d'altra parte promesso, parlando di un particolare viaggio intorno al mondo in proposito.
Da questo sito riporto:

CACCIA GLOBALE AI NUMERI ONESTI
Il 2 va bene in basco, il 3 in italiano, il 4 in tedesco. Il segreto? Nascosto nelle lettere.

Nel 1913, quando Gabriele D'Annunzio scriveva una lettera la datava «1912 + 1», per superstizione (e così si intitola anche un romanzo di Leonardo Sciascia ambientato in quell'anno).

In inglese 12 + 1 si dice «twelve + one», ed è proprio un bel caso che questo sia l'anagramma di «undici più due»: «twelve + one = two + eleven».

L'equivalenza funziona sia per l'aritmetica che per la lingua.
Questo classico anagramma inglese è l'ennesima dimostrazione che i nomi dei numeri sono un bell'argomento.

In queste settimane stiamo parlando dei «numeri onesti», quelli che nominano il numero delle lettere da cui sono composti (in italiano: tre è una parola di tre lettere).

Tommaso Abrate ha fatto un viaggio intorno al mondo;

«in russo 3 si dice "tri";
e poi: in maltese "Hamsa" è 5;
in hindi "Do" è 2 (anche in Punjabi, irlandese e ladino);
in turko "Dört" è 4;
in zulu "ishuminanye" è 11 e "ishuminesihlanu" è 15 (record riconosciuto);
in basco"Bi" è 2, "bederatzi" è 9 più la coppia "Hiru" e "Lau" rispettivamente 3 e 4».

Questo è dunque un ciclo, o una «combriccola» di numeri (sono onesti solo fra di loro).
C'è anche un bell'esempio in latino:«quattuor» ha otto lettere e «octo» ne ha quattro.

In olandese e tedesco "Vier" è 4;
in finlandese "Viisi" è 5;
in malese c'è la combriccola formata da coppia "Empat" (4) e "Lima" (5);
in swahili la combriccola "Tatu" (4) e "Nne" (3);
in ainu "rep" è 3, "Inep" è 4, "Iwanpe" è 6 e "Arwanpe" è 7 (altrove però la traslitterazione è diversa).
E volendo essere ancor più esotici ecco due belle lingue Gur (o Voltaiche) della famiglia Niger Gongo, il kirma ("niedie" è 6), e il tyurama (con la combriccola "Siel" 3, "Nuâ" 4, e "Nanden" 6), o la meravigliosa coppia wolof"fukkaakbenna", che è 11, e "Fukkaakñaar"che è 12.

E per finire una nota in Esperanto: Du, Tri, Kvar (2, 3, 4),
non dimenticando il norvegese e danese "To", che è 2».

Per rincasare, abbiamo il lettore Sandro a cui una amica ha scritto questa e-mail:

«Quante lettere ha la risposta a questa domanda?»
L'unica possibile risposta, in italiano, è apparentemente «tre».
Dico apparentemente perché a Sandro sono poi apparse risposte alternative, del tipo: «Undici, direi»; «Sparo a caso, sedici»; «Mi viene in mente ventidue».
Mi chiede se sono da considerarsi risposte «oneste», e io non avrei nulla in contrario.

È invece molto affascinante il quesito di Delio Mugnolo: «Esisterà una lingua frattale in cui il numero pi greco è onesto?».
E sul sogno di una lingua frattale, il lessico si fa un bel giro fra le nuvole.
ciao!:-)

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Elevamento a potenza e proprietà in Excel

Puoi scaricare un file interattivo per esercitarti con le potenze e le loro proprietà.
Buon divertimento!

ciao! :-)

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giovedì 5 luglio 2007

Magica matematica

A proposito di rapporti e proporzioni,
come resistere alla tentazione di parlare di un noto rapporto "magico"?
Il rapporto aureo, la Sezione Aurea, il numero d'Oro, la "proporzione divina"
Un rapporto che ci dimostra le forti relazioni tra "Armonia", "Bellezza" e "Matematica".

"La Geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l' altro è la Sezione Aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d' oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello". Johannes Kepler [1571-1630]

Scopriamo la magia della matematica, la magia dei numeri!

Sin dai tempi più antichi, dagli egiziani ai più moderni frattali, esiste una proporzione divina (o sezione aurea) che è stata presa in considerazione per ottenere una dimensione armonica delle cose. Dalla geometria all'architettura, dalla pittura alla musica, fino alla natura del creato possiamo osservare come tale rappresentazione corrisponda ad un rapporto che è stato definito pari a 1,618... (numero d'oro)*

La pianta del Partenone di Atene è un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza, mentre nell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più volte.

Anche nella progettazione della Cattedrale di Notre Dame a Parigi e del Palazzo dell'ONU a New York sono state utilizzate le proporzioni del rettangolo aureo.

Nelle arti del passato, in molte opere di Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini, Sandro Botticelli, si ricorreva spesso alla sezione aurea (la divina proportione), considerata quasi la chiave mistica dell'armonia nelle arti e nelle scienze.

Anche nella musica, Beethoven, nelle "33 variazioni sopra un valzer di Dabelli" suddivise la sua composizione in parti corrispondenti ai numeri di Fibonacci*, il cui rapporto corrisponde al numero d'oro.

Negli oggetti quotidiani, possiamo trovare alcuni esempi di sezione aurea: dalle schede telefoniche alle carte di credito e bancomat, dalle carte SIM dei cellulari alle musicassette. Sono tutti rettangoli aurei con un rapporto tra base ed altezza pari a 1,618.

Per quanto riguarda il corpo umano troviamo misurandolo, il fatidico rapporto aureo: altezza totale/altezza da terra dell'ombelico; lunghezza braccio/avambraccio; lunghezza gamba dall'anca/gamba dal ginocchio; nel rapporto tra falange, falangina e falangetta delle dita; tra le diverse sezioni della colonna vertebrale ...
La sezione aurea in natura

* Il numero d'oro "phi"
Dietro l'idea di armonia e di perfezione, nella natura come nell'arte, si nasconde un numero il cui valore non è esprimibile in cifre decimali se non in forma approssimata: 1,618034... Si tratta infatti di un celebre numero irrazionale: il numero d'oro, che all'inizio del secolo scorso, il matematico americano Mark Barr propose di indicare con la lettera greca "phi", dall'iniziale di Fidia, il grande scultore greco che lo ebbe sempre presente nel realizzare le sue sculture e nella costruzione del Partenone di Atene.
Il suo valore esatto è:
Un metodo per ottenerlo servendoci di una calcolatrice, è partire da 1, ed estrarre la radice quadrata secondo questo schema:

Ripetendo la stessa operazione n volte, otterremo un numero molto vicino al numero d'oro (dopo l'undicesima radice si ottiene 1,618034). Tra le numerose proprietà del numero aureo, il "phi" è l'unico numero positivo che mantiene le stesse cifre decimali anche nel proprio reciproco, Infatti 1/1,618034 = 0,618034.....
Il rapporto 1:1,618.. è stato, sin dai tempi più antichi, preso in considerazione per costruire opere la cui armonia é dettata dalla "divina proporzione" tanto da nominarla Sezione aurea.
Su QUESTA PAGINA potete scaricare la costruzione della sezione aurea realizzata con Geogebra (per i miei alunni: l'occasione per scaricare il programma)

[Aggiornamento - 02/01/2010] Segnalo anche qui

Il manoscritto di Milano del «De Divina Proportione»

ne parlo QUI


* I numeri di Fibonacci
Il numero "magico" trova ulteriori conferme anche nella matematica dei numeri arabi ...
Quei numeri su cui aveva studiato un altro Leonardo, detto Fibonacci, che nel 1202 presentò una sequenza numerica destinata a diventare famosissima:



1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ecc...

Sulla serie di Fibonacci qui non vi dico di più. Scopriamola con EXCEL

Intimamente legata ai numeri di Fibonacci è la spirale logaritmica, a dimostrazione degli esempi sulla sezione aurea in natura.


ciao! :-)
P.S. nello scrivere questo post il mio pensiero è andato a Caterina D.

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martedì 3 luglio 2007

Le proporzioni

In Excel
QUI si può scaricare un lavoro sulle proporzioni. Ci si può esercitare nella risoluzione di proporzioni e nell'applicazione delle loro proprietà.
Per eventuali richieste di chiarimenti o segnalazioni di qualsiasi genere, potete lasciare un commento.

ciao!

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domenica 1 luglio 2007

Lo sapevate che....

... esistono i numeri onesti ?
I numeri "onesti" sono quei numeri composti da tante lettere quante ne indica il numero stesso. In Italiano, il numero "onesto" è il 3; infatti, il suo nome è composto da tre lettere: "t r e"!
Un numero onesto è quindi un numero che afferma correttamente il suo numero di lettere.

Il "3" verifica anche un'altra incredibile proprietà.
Provare per credere! Scegliamo un numero a caso, ad esempio:
168
c e n t o s e s s a n t o t t o ha sedici lettere;
allora passiamo a: 16
s e d i c i ha sei lettere;
quindi abbiamo 6
s e i che ha tre lettere;
e infine 3
t r e ha tre lettere.
Riproviamo:
35
t r e n t a c i n q u e ha dodici lettere;
12
d o d i c i ha sei lettere;
6
s e i ha tre lettere;
3
t r e ha tre lettere.
Si finisce sempre con tre. Sarà sempre vero?
Provate voi con altri numeri! *
E ora un problemino facile facile:
32, 9, 4, 7, 5, ? ......
Come continua la sequenza? :-))
Qualcuno ha chiamato la sequenza ottenuta da un numero a qualsiasi in questo modo, DNA italiano di un numero a, DNA.it(a).
E i DNA(a) francesi, inglesi, spagnoli?
Ne parliamo una prox volta!
* ...ok, se non avete voglia fatelo fare a Excel. In un file da scaricare

ciao!:-)

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A proposito di potenze ...

Le nostre "moderne" potenze.
Ragazzi,
sapete che amo molto lavorare con Excel. Così approfitto per preparare dei materiali per le nostre attività. Ho appena preparato un lavoretto sulle potenze di 10. Così avremo l'occasione per approfondire il discorso sull'utilità delle potenze, in particolare quelle del 10.
Già sappiamo che l'operazione di elevamento a potenza ci permette di scrivere in maniera abbreviata il prodotto di fattori tutti uguali, quindi dei numeri che possono essere anche grandi.
Nella ricerca e nell'applicazione di molte scienze, per esempio la fisica, l'astronomia, la biologia, la chimica... si utilizzano largamente le potenze, in particolare le potenze del 10, per esprimere le misure delle grandezze studiate negli specifici ambiti.
Le potenze di 10 permettono di scrivere comodamente numeri molto grandi o numeri molto piccoli.
E' poi semplicissimo calcolare una potenza di 10:
la successione delle potenze di 10 si costruisce aggiungendo alla cifra 1 tanti 0 quanti sono indicati dall'esponente.
Es. la quinta potenza di 10 (10 ^5) è: 100 000
E' molto più semplice scrivere cento milioni nella forma 10^8, anziché 100 000 000
Così come è più semplice scrivere il numero 0,0000001

(1:10.000.000) con una potenza di 10 con esponente negativo:
10^(-7)
Ora andate a scaricare il file
potenzedi10.xls nel quale potete interagire per scoprire degli esempi sull'utilizzo pratico delle potenze di 10 e … vi rimanderà ad altre sorprese ...! :-)

ciao!:-)

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