Restiamo in tema di paradossi ...
Un oggetto impossibile è un oggetto che non può essere costruito nella realtà tridimensionale perché in contrasto con le leggi della geometria, pur essendo rappresentabile in due dimensioni.
La percezione dell'immagine bidimensionale come oggetto verosimile rappresenta un paradosso ed è per questo una illusione ottica.
Un artista olandese Maurits Cornelis Escher (1898 – 1972), litografo ed incisore, uno dei più famosi grafici ed illustratori di tutti i tempi, è conosciuto per le sue costruzioni impossibili, esplorazioni dell'infinito e di motivi a geometrie interconnesse in costruzioni impossibili, dal significato assolutamente enigmatico.
Ha prodotto diverse opere in cui oggetti impossibili sono alla base dell'architettura di edifici e paesaggi fantastici.
Escher è molto colpito dal rapporto esistente tra le dimensioni. Si è soliti rappresentare forme tridimensionali su superfici che non ne hanno che due. Questo antagonismo crea dei "conflitti".
La sua prima litografia dedicata alle costruzioni impossibili: Belvedere
Escher scrive a proposito di quest'opera: In basso a sinistra giace un pezzo di carta su cui sono disegnati gli spigoli di un cubo. Due piccoli cerchi marcano le posizioni ove gli spigoli si intersecano. Quale spigolo è verso di noi e quale sullo sfondo? E' un mondo tridimensionale allo stesso tempo vicino e lontano, è una cosa impossibile e quindi non può essere illustrato. Tuttavia è del tutto possibile disegnare un oggetto che ci mostra una diversa realtà quando lo guardiamo dal di sopra o dal di sotto.
La scala che porta al secondo piano dell'edificio inoltre è una scala impossibile: è contemporaneamente all'interno e all'esterno dell'edificio.
Il cubo di cui parla Escher è un cubo impossibile, 
un'illusione prospettica, che non è precisamente quello noto come
L'Infinito di Escher.
I quadri di Escher si ricollegano a concetti matematici astratti: ad esempio, Limite del cerchio III è la raffigurazione artistica del modello di Poincaré, il quale fu l’ideatore di una geometria non-euclidea che si sviluppa sulla superficie di una sfera, anziché di un piano.
Limite del cerchio III
Collezione di opere di Escher: interessante sito da cui si possono scaricare le immagini in diverse risoluzioni.
Triangolo di Penrose
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Gentile Prof.ssa Arcadu,
RispondiEliminarieccomi al suo blog, attirato questa volta dagli “oggetti impossibili” di questo post. Non ho potuto evitare di dire la mia su questo argomento che tanto mi attira.
È un argomento – secondo me – che deve approfondire chi si dispone alla didattica scolastica per percorrere l'itinerario di ottimo docente secondo un ricercato algoritmo appropriato. È mia opinione che non è da tutti insegnare, specie ai giovanissimi, senza rischiare di ingenerare idee confuse negli scolari, proprio perchè si trascura la possibile ambiguità espressiva di cui si è soggetti inavvertitamente.
Perciò ora mi permetto di dire alcune cose su ciò che deriva dall'esposizione di “oggetti impossibili”, non solo dell'arte, sul tema che ne deriva, il rapporto della realtà con l'illusione.
Su questo tema risulta ad hoc un articolo, fra i diversi, di un dotto della matematica, il dott. Paolo Gregorelli, pubblicato sul Giornale di Brescia del 14 luglio 1999. Il titolo in grassetto era «Realtà e illusione fra le note di Bach». Naturalmente l'ho sfrondato per non dilungarmi troppo in questa sede.
Dunque afferma Paolo Gregorelli, sul tema del rapporto della realtà con l'illusione, «che c’è in atto cioè il tentativo di svelare problematiche − comuni a distanti reparti del sapere, dalla logica matematica alla musica, dall’arte all’informatica, dall’intelligenza artificiale alla psicologia −, problematiche che hanno vestito i panni propri e particolari di un determinato settore, rispettando oltretutto ed inevitabilmente le contingenze temporali di una data epoca, e che vengono ora analizzate senza veli, fuori del tempo, per giungere al contenuto autentico che esse intendono trasmettere.
Una fra queste, problematiche tra le più affascinanti, riguarda il rapporto tra illusione e realtà: il disorientamento di fronte al capovolgimento della realtà, lo smarrimento del criterio che possa riportare l’ordine iniziale, la nascita dell'equilibrio che si ricostruisce inaspettato sopra la follia.
Immaginiamo ad esempio di trovarci di fronte a “Galleria di stampe”, un opera del 1956 di M.C. Escher − il famoso maestro delle prospettive invertite, delle architetture da capogiro, dei mosaici fantastici – in cui è raffigurato un giovane in piedi che guarda un quadro che raffigura una nave al porto di una piccola cittadina maltese con le sue torri, le sue cupole ed una donna che si sporge appoggiandosi al davanzale della sua abitazione situato proprio sopra la galleria in cui un giovane in piedi guarda un quadro che raffigura una nave al porto di una piccola cittadina maltese con le sue torri, le sue cupole ed una donna...
Pensiamo ora al “canone eternamente ascendente” (Canon Triplex a 6 voci) dall’Offerta musicale di J.S. Bach, in cui il grande compositore riesce a cambiare tonalità senza che l’ascoltatore se ne renda conto ed a ritornare dopo sei modulazioni alla originaria tonalità di DO con le tre voci che si trovano esattamente un’ottava sopra, cosicché il pezzo può essere interrotto, anche se certamente questa non era l’intenzione di Bach.
Infine proviamo a riflettere sul significato globale delle due affermazioni incise su un cartoncino, su un lato del quale sta scritto “L’enunciato scritto sull’altro lato del cartoncino è falso”, mentre sull’altro lato si legge “L’enunciato scritto sull’altro lato è vero”.
Le tre situazioni, che abbiamo scelto dall’opera più importante di Douglas R: Hofstadter, appartengono ad ambiti assolutamente separati: quello artistico per quanto concerne l’opera di Escher, quello musicale per l’Offerta di Bach e quello logico-matematico per i due enunciati, che peraltro rappresentano una riformulazione dell’antico paradosso del mentitore.
Ciò che li accomuna è l’idea di rendere finiti i confini dell’infinito, cioè di riuscire a costringere nella ripetizione di un percorso limitato un concetto, quello dell’infinito, che sfugge per sua natura ad ogni tentativo di prigionia. E tutto ciò viene realizzato trasformando un’ambiguità visiva, in “Galleria di stampe”, un’ambiguità musicale nell'“Offerta musicale”, ed una ambiguità di linguaggio, nel paradosso del cartoncino, realtà ed illusione, sono diabolicamente interscambiati.
Non si tratta semplicemente della creazione di una geometrica circolarità statica di concetti che dà la sensazione di cancellare inizio e fine confondendoli, ma della sovrapposizione dinamica di diversi piani di realtà che differiscono gli uni dagli altri solo per ordine di complessità.
Russel e Whitehead, due personaggi che hanno dato contributi fondamentali alla formazione della logica moderna, ci hanno spiegato bene con la loro “teoria dei tipi” come si formano e quindi come si possono evitare questi “strani anelli” che collegando e confondendo realtà ed illusione finiscono spesso per partorire pericolosi paradossi.
Basta creare infatti una gerarchia organizzatrice delle strutture matematiche e non solo matematiche per cui una struttura (l’insieme di tutti gli insiemi) non può appartenere a sé stessa in quanto è di un tipo superiore a quello degli oggetti che la costituiscono.
Ecco quindi che il paradosso del cartoncino viene eliminato proprio perché ciascun enunciato, parlando dell’altro enunciato, dovrebbe appartenere ad un livello superiore a quelle dell’altro enunciato. Il paradosso smette quindi di esistere in quanto i due enunciati sono privi di significato. Così i piani di vista del quadro di Escher − conclude il suo articolo il dott. Gregorelli − possono essere immaginati nel modo seguente: il quadro è nella galleria e la galleria è nel quadro».
Cordialità, Gaetano Barbella
Il geometra pensiero in rete
Gent. Geometra Barbella,
RispondiEliminaancora una volta la ringrazio per il suo prezioso contributo.
Davvero interessanti approfondimenti!
grazie.
cordialmente,
giovanna arcadu