Traslazione: un problema

III,

un problema stimolante!

L’esagono blu è regolare e ha il perimetro di 42 cm.

Bisogna trovare il perimetro e l’area della figura con il contorno rosso (EOD” ), sapendo che gli ultimi due archi a destra sono ottenuti per traslazione del primo a sinistra, che fa parte della circonferenza circoscritta all’esagono.

Aiuto: equivalenza - equiscomponibilità. Individuate porzioni equivalenti, dimostrando perché lo sono.

Un problema (per la II!)

Ragazzi,

proposto stamane, mentre finivate ricreazione, prima che uscissi... a Marco D. e Stefano.

Chi legge, cerchi di risolvere!

Se si congiunge un punto di una diagonale di un parallelogramma con i quattro vertici, si decompone la figura in quattro triangoli equivalenti a due a due. Perché?

Costruite voi su geogebra, muovete il punto sulla diagonale ...

Marco D. mi ha già inviato la soluzione corretta!

Compiti con geopiano

Davì

mi invia le foto dei suoi compiti svolti utilizzando il geopiano - costruito con le sue mani!

                  Es. 1

              Es. 2

             Es. 3

             Es. 4

            Es. 5

            Es. 6

Davì: sì, il triangolo è 1/4 dell’intero quadrato. L’esercizio chiedeva di suggerire un modo per suddividere il quadrato in 4 parti equivalenti. Non capisco la tua spiegazione: “dal punto” , quale punto? “a quello parallelo”, a quello parallelo??? Ti prego di ... rettificare!

Per il resto, bravo!

Davì corregge (prof di fretta le mando la rettifica) Un modo per suddividere il quadrato in 4 parti equivalenti:

ok Davì!

Il lato della bandiera! [Aggiornato]

Ragazzi,

I: dapprima, come d’accordo, dovete lavorare su... post sotto! Se poi volete, non è vietato cimentarsi su questo rompicapo  ?

II: ecco a voi!

La bandiera del Castello

Il signor Sarto deve fare una bandiera quadrata proprio uguale a quella grandissima che sventola sulla torre più alta del castello. Ritrova un foglietto dove aveva disegnato il modello della bandiera, ma non riesce a leggere tutte le misure e non può salire sulla torre per prendere le misure della bandiera.

Quanto misura il lato della bandiera?

Spiegate come può fare il signor Sarto per essere sicuro di non sbagliare.

10° Rally Matematico Transalpino ( anno 2002)

Come commentato... potete lavorare sfruttando:

- relazione lato - diagonale di un quadrato e relazione inversa [vi ricordo che sapete lavorare con le radici anche indicando il n° irrazionale, senza calcolarne il valore decimale ...]

- oppure lavorare per via “geometrica” ...  equi scomponibilità!

(quest’ultima via potrebbe essere utilizzata dai ragazzi della classe prima)

Aggiorno

Letizia e Maria Chiara (cl.II) hanno risolto il problema utilizzando la relazione diagonale-lato quadrato e hanno saputo eseguire passaggi matematici con le radici ....

In classe abbiamo risolto anche con il metodo di equiscomposizione.

Le ragazze hanno riportato le soluzioni su un foglio GeoGebra.

Ormai sono brave con slider e “condizioni per mostrare oggetto”, ma devo dire che mi diventano brave anche con il LaTex! Sono proprio contenta!

Clic su immagine (scelta apposta...)

- Anche in prima stamane abbiamo lavorato su questo problema: direi che sono stati bravissimi!

Giustamente, lo dicevano in un commento, “ho trovato un metodo ma ... non è da prima media” !

Infatti ragionavano sulla diagonale di un quadrato ... Non sapevano perciò andare avanti con le formule ma: hanno utilizzato le lettere per indicare i segmenti e hanno risolto il problema!

Abbiamo poi ricostruito la situazione con le striscioline e i fermacampioni e con l'equi scomposizione, facendo scorrere le figure... : bravi e partecipi tutti! Nonostante non tutte le porzioni di piano fossero “trascinabili”, mi sono piaciuti, in particolare, nel cogliere la diversa distribuzione di aree in una medesima figura.

Abbiamo avuto occasione di parlare di equivalenza, congruenza, e di tanto altro!

Raga... come d’accordo, io aspetto i disegni! (con le riflessioni... formule, ecc.)

Ecco risposta di Bea!

Ora, o voialtri... : altro metodo!

Ecco la seconda soluzione illustrata da Davì e Davide P.

Da un quadrato inscritto ....

Ah, nostalgia di geogebra!

Voi no, ragazzi?? ehehe... ;-)

E dunque, un gioco!

- Partiamo da un quadrato inscritto in un cerchio

 

...arriviamo a una girandola! (fate clic sull’immagine per giocare sull’applet. Per rispondere utilizzate lo strumento Inserisci testo. La girandola ... gira eh?!)

Rielaborato con geogebra, dal Laboratorio di Matematica del prof. Gianfranco Arrigo

Strane superfici …

aventi la stessa area di un quadrato di partenza.

Abbiamo un quadrato circoscritto a un cerchio 

Ecco una figura della stessa area

 

E un’altra

Chi sa costruirne delle altre? Più belle e originali?

E ancora, da quadrati e cerchi

 

Anche questa figura ha la stessa area del quadrato di partenza

Dalle proposte didattiche del prof. Gianfranco Arrigo

La nostra soluzione del problema del quarto di cerchio

Il problema era questo

E’ stata davvero un’interessante attività.

Ha richiesto diversi incoraggiamenti è vero (ma in questo sta il vero interesse!). Tra un’ipotesi esatta e una errata … siamo giunti a una conclusione.

Riportiamo la figura. Si tratta di riconoscere che la porzione rossa e quella blu della figura hanno la stessa area. Il settore circolare AOB è equivalente a  $\frac{ 1 }{ 4} $ del cerchio c.
I due semicerchi gialli sono equivalenti ciascuno a  $\frac{ 1 }{8 }$ del cerchio c:  presi assieme formano un cerchio che equivale a $\frac{ 1 }{ 4}$ del cerchio c. Questo perché  il raggio del cerchio giallo è pari alla metà del raggio del cerchio c.
Dunque il cerchio giallo e il settore circolare rosso sono equivalenti.
Ma non congruenti perché hanno diversa forma.
Nei due semicerchi gialli sono costruiti due rispettivi segmenti circolari (le parti blu). Questi, disponendo il cerchio giallo all'interno del settore rosso, sono equivalenti ai segmenti circolari gialli che restano fuori dal settore rosso. (come si potrà visualizzare nell’applet geogebra… vedi sotto)
I due segmenti circolari blu sono quindi equivalenti alla porzione rossa di settore, che resta visibile.

Abbiamo realizzato tutti insieme, per ora in maniera semplificata, la dimostrazione con geogebra.

Io avevo anticipato la costruzione un po’ più elaborata (vista dai ragazzi naturalmente solo dopo le attività). Clic sull’immagine per aprire l’applet.

Ancora un GRAZIE dunque al prof. Daniele: con questa attività abbiamo imparato molto! Sul suo blog abbiamo lasciato il nostro commento.

Ps: devo un GRAZIE  anche alla mia amica Renata per un suggerimento nella costruzione dell’animazione :-)

Ripasso on line

Ragazzi, da UbiMath, vi segnalo degli esercizi da svolgere on line.
Clic per un'esercitazione sull'equivalenza di figure piane. Avrete anche il riscontro sulle vostre risposte con il punteggio ottenuto..
Es:

Brava vero? :-))
Ehi, troverete dei quesiti più interessanti!

Area del triangolo con geogebra

I ragazzi avevano promesso di
dimostrare con geogebra che il triangolo è equivalente alla metà di un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza del triangolo.

Marina, aiutata dal lavoro di Gimmi, che abbiamo discusso in classe e scoperto un pochino impreciso, ha deciso di realizzare la costruzione.

Ora (giusto in questa ora di lezione!), con Antonio e Stefano, hanno scritto il commento al lavoro e decidiamo di pubblicare.

Ecco la figura

"Dimostro con questa costruzione che il triangolo è la metà del rettangolo perché il triangolo è formato da due parti e il rettangolo da quattro.
Nella figura vedo che il triangolo DAC è uguale al triangolo AHC e il triangolo CHB è uguale a CEB. Quindi il triangolo ABC e il rettangolo ABED sono formati da parti uguali: sono equicomposti; il rettangolo è formato da due di ciascun pezzo uguale, il triangolo da uno solo di ogni pezzo uguale"

PS:Marina era strafelice: "bello, bello! Ma.. come lo vedono il mio file??" :-)
- Da qua il pennino.
Ecco come, Marina :-)

Area del trapezio con geogebra

Ragazzi, non abbiamo ancora "scoperto" come si calcola l'area del trapezio. Vediamo di farlo ora, con l'aiuto di geogebra. Questa dunque è una lezione che, ovviamente, conduciamo insieme!
Nell'applet di geogebra che andrete ad aprire, avete la possibilità di attivare l'animazione cliccando sul pulsante Play in basso a sinistra. Consiglierei tuttavia di agire manualmente sul punto dello slider o (numero o), per seguire meglio l'avanzamento della costruzione.
Dunque:
il trapezio sappiamo è un quadrilatero con due lati paralleli e gli altri due non necessariamente uguali né necessariamente paralleli. La caratteristica del trapezio è quella di avere due lati paralleli.

i lati paralleli sono le basi del trapezio, qui indicate con b e b'
la distanza fra le due basi è l'altezza del trapezio, indicata con h

Ora cliccate sulla figura ma aprite in una nuova scheda, perché dovrete seguire quanto diciamo qui e rispondere alle domande ...
Dobbiamo trovare la formula dell'area del trapezio.
Non dovremmo smentirci: dovrebbe derivare anch'essa da quella del rettangolo ...
Possiamo però ricondurla a quella di un'altra figura che già conosciamo, per esempio a quella del triangolo oppure a quella del parallelogramma. Il calcolo dell'area di questi deriva da quello dell'area del rettangolo, no? (siete d'accordo sul fatto che non ci smentiamo??)
In questo lavoro decidiamo di ricondurre il trapezio, cioè trasformarlo in un triangolo, mediante la solita equiscomposizione/composizione.
Seguite passo a passo sul foglio di lavoro di geogebra l'avanzamento dello slider e rispondete:
- quando il numero o = 1, cosa succede sul lato AB del trapezio? Lo abbiamo ...... .
- per o = 2? Abbiamo costruito sul ...... di AB, un ...... .
Il segmento BF ha una lunghezza pari a quella di ... cioè della ... ... del trapezio.
- cosa succede per o = 3? quali due vertici risultano uniti?
- portate o sul valore 4 e osservate attentamente: si "stacca" un pezzo di trapezio!
- spostate o al valore 5: ops, riattacchiamo il "pezzo staccato" prima! Ma, sarà proprio "quello staccato prima"? Dobbiamo verificarlo!
Ora vediamo di parlare in termini più matematici.
Lo avete già visto sul foglio di lavoro, sono comparsi anche i valori delle aree, abbiamo trasformato il trapezio ABCD nel triangolo ADF.

I valori dell'area del trapezio e di quella del triangolo (calcolati da geogebra, si possono anche modificare le dimensioni e la posizione del trapezio muovendo i punti A e B, liberi e C e D, semiliberi) sono esattamente uguali.
Evidentemente il triangolo DCG, prima staccatosi dal trapezio, è congruente al triangolo GBF, riunitosi a formare il triangolo ADF.
Qui vi voglio: perché DCG è conguente a GBF?
Ma sii, già me le vedo le mani sollevate! Eppoi... c'è il nostro pezzo forte! :-)
Osservate:
b'' (lato BF) e b' (lato DC) sono segmenti tra loro ... ;
sono anche segmenti di due rette .... ?
Queste due rette sono tagliate da ... ..., no?? Attenti da due ... !
Consideratele una per volta. Osservate prima la coppia di angoli:
$F\widehat{B}G$ e $D\widehat{C}G$
essi sono angoli ... ... ; come sono tra loro?
E la coppia di angoli:
$G\widehat{F}B$ e $G\widehat{D}C$
sono anch'essi ... ... e sono tra loro ... .
Quindi i due triangoli DCG eGBF hanno un lato congruente e gli angoli ad esso adiacenti .... (oppure il lato congruente è compreso fra due angoli ...).
Essi sono perciò, per uno dei principi di congruenza fra triangoli, tra loro congruenti!
E in definitiva, siamo certi che il nostro trapezio ABCD è equivalente (stessa area) al triangolo ADF !
Tanto vale ... calcolare l'area del triangolo!
Insomma...
Vediamo di arrivare alla formula che cerchiamo: A_trapezio.
La formula dell'area di un triangolo è, sappiamo:
$A = \frac{ b * h }{ 2}$
Cerchiamo di scrivere la formula dell'area del nostro triangolo ADF
La sua base AF è costituita dai segmenti AB che è la ... ... del trapezio e BF che, come già detto, è la ... ... del trapezio.
L'altezza del triangolo è la stessa altezza del trapezio.
Dunque, utilizzando per l'area del triangolo ADF gli elementi del trapezio, dovremmo scriverla:
$A = \frac{ (... + ...) * h }{ 2}$
E no, completate voi! :-)
Ma... abbiamo finito! Quella che avete completato è la formula dell'area del trapezio!
E, generalizzando, diremo che:
un trapezio è equivalente ad un triangolo che ha per base la ... delle ... del trapezio e per altezza la stessa altezza del trapezio.
PS: ce la faremo a "raccontare" ai lettori com'è andata? :-)

Area del rombo con geogebra

Ragazzi, qualcuno di voi ha promesso di provare a dimostrare con geogebra la formula dell'area del triangolo. Aspettiamo... :-)Nel frattempo, avete già trovato e dimostrato sul quaderno, la formula per l'area del rombo. Che ora vediamo con geogebra.
Il rombo equivalente alla metà di un rettangolo ....

... avente base e altezza congruenti alle diagonali del rombo (su questo avete lavorato).
Clic sulla figura per aprire l'applet geogebra.
Sul foglio avviate l'animazione con il pulsante in basso a sinistra. Completata la dimostrazione potete bloccare per osservare le formule e per modificare le dimensioni. Agite sui punti A, B oppure C.Ma il rombo... è anche un parallelogramma è vero?
Dunque, visto come tale, la sua area può calcolarsi mediante ... base e altezza! (ehi, ogni lato può funzionare da base e ha un'altezza relativa)

Clic sulla figura.
Sul foglio di lavoro potete muovere i punti A, B o C e modificare... Potete anche confrontare l'area calcolata con i due metodi.
Ribadisco ancora un concetto:
nel rappresentare le figure con il disegno tendiamo a privilegiare delle posizioni che ci facilitano la comprensione (e, sul quaderno ci facilitano la costruzione): nel primo caso vediamo meglio le diagonali del rombo e il rettangolo disposti sull'orizzontale e sulla verticale.
Allo stesso modo nel caso del parallelogramma: base sull'orizzontale e altezza sulla verticale.
MA: sappiamo bene che un movimento di rotazione è un movimento rigido che NON deforma le figure. Gli angoli retti restano retti! ecc... Dunque, ruotiamo e verifichiamo che non cambiano le cose!Infine:
voi ragazzi sapete che non amo molto dare le formule inverse. E sapete: formule inverse, operazioni inverse!Dunque quando servono, si possono trovare.Tuttavia... potrebbero fare comodo a qualche lettore (ehmm anche a qualcuno di voi... che vuol faticare un po' meno!).
Formula diretta A rombo:
A = (d x D)/2
Inverse:
d = 2* A/D
D = 2*A/dRombo come parallelogramma:
A = b x h
troppo facili :-) :
b = A/h
h = A/bAncora una nota:per la costruzione del rombo su geogebra ho utilizzato il metodo di Irene, che potete seguire su questo tutoriale. Naturalmente non è l'unico metodo. Se qualcuno vuole cimentarsi ... :-)

Alla prox!