domenica 29 gennaio 2012

Considerazioni sul Teorema di Pitagora

Davì

mi invia la realizzazione su GeoGebra dell’osservazione proposta dal libro di testo.

Ho aggiunto io il testo dinamico: devono ancora imparare bene! Clic su img per aprire la costruzione dinamica. Con le considerazioni...

considerazione su Teorema di Pitagora

Davì, bene la costruzione!

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venerdì 27 gennaio 2012

Altro problema con i monomi

Nei lavori per ‘coppie d’aiuto’,

un trio (in classe si è in numero dispari) ha risolto il problema

 n° 4: Due rettangoli aventi la medesima base 3a, hanno rispettivamente altezza $ \frac{2}{3}b   \; \;  e \; \;  \frac{4}{3}b  $

Calcola area e perimetro di ciascun rettangolo. La somma delle aree è un monomio? La somma dei perimetri è un monomio?

Soluzione (copio dal loro foglio di quaderno; ragazzi, riprovo con le formule LaTex, ho modificato, potete vederle avvicinandovi con il mouse alla formula stessa)

$\left\{\begin{array}lA_1=b*h_1\\ A_2=b*h_2\\ P_1=2b+2h_1\\ P_2=2b+2h_2\\ \end{array}\right.$      $\left\{\begin{array}l A_1=3a*\frac{2}{3}b\\ A_2=3a*\frac{4}{3}b\\ P_1=2*3a+2\frac{2}{3}b\\ P_2=2*3a+2\frac{4}{3}b\\ \end{array}\right.$       $\left\{\begin{array}l A_1=2ab\\ A_2=4ab\\ P_1=6a+\frac{4}{3}b\\ P_2=6a+\frac{8}{3}b\\ \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}l A_1+A_2=2ab+4ab\\ P_1+P_2=6a+\frac{4}{3}b+6a+\frac{8}{3}b\\ \end{array}\right.$       $\left\{\begin{array}l A_1+A_2=6ab\\ P_1+P_2=12a+\frac{12}{3}b=12a+4b\\ \end{array}\right.$

La somma delle aree è un monomio, la somma dei perimetri non è un monomio.

- Sono contenta di questi ragazzi [insomma, mica sempre Sorriso - prima che si montino la testa...]: lavorano già benino con il calcolo letterale. Ma, ancora NON abbiamo trattato, in algebra, il “calcolo con monomi e polinomi”! Per ora sappiamo solo che : mele + mele = mele; mele * mele= mele ^2; mele^2/mele =mele, ...ah, e anche che: mele + pere = mele + pere, ma, mele*pere= melepere !  Inoltre sanno applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma e differenza. Abbiamo preferito questo approccio, ora il calcolo algebrico sarà facile e più simpatico! Ok, ragazzi?

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martedì 24 gennaio 2012

Problemi con i monomi [Aggiornato - soluzioni]

più facili di questo!

Sì, il problema di ieri si è rivelato un po’ impegnativo. Ma la discussione in classe lo ha privato di molte difficoltà, no? E avete trovato diversi “approcci”. Bene!

Ripartiamo con problemi più semplici, sempre utili per sviluppare, in maniera più graduale, le abilità nel generalizzare.

1. Il quadrato in figura ha il lato lungo l. Determina a quale monomio corrisponde l’area della parte colorata

frazione di quadrato

Soluzione

Questo è stato di facile soluzione: sono colorati i 3/8 della figura, l’area del quadrato: $A=l^2 $ per cui, la parte colorata si può esprimere con il monomio: $\frac{3}{8}l^2$

2. L’area totale della figura equivale al monomio $\frac{9}{4} x^2$, mentre l’area del quadrato più piccolo è rappresentata dal monomio $\frac{1}{4} x^2$

poligono

a) Sapendo che l’altezza del rettangolo è uguale a x, scrivi il monomio che esprime il perimetro della figura.

Soluzione (quella di Letizia e altri...?)

in base ai dati, la figura è stata così suddivisa:

poligono suddiviso 
L’area del quadrato piccolo ha permesso di calcolare il lato: $ \sqrt{\frac{1}{4}x^2} = \frac{1}{2}x$

Il contorno della figura risulta suddiviso in 14 segmenti tutti uguali a $\frac{1}{2}x$, per cui il perimetro è uguale al monomio: $14*\frac{1}{2}x = \frac{14}{2}x = 7x$

- Altri hanno risolto calcolando l’area del rettangolo, la sua base, e i lati del poligono... Le operazioni con i monomi:

$A_{rett.}=\frac{9}{4} x^2-\frac{1}{4}x^2=\frac{8}{4}x^2=2x^2$

$base_{rett.}=\frac{2x^2}{x} =2x$

Come sopra il lato del quadrato, quindi la somma:

$x+2x+x+2*\frac{1}{2}x+2x = x+2x+x+x+2x = 7x$

(considerati solo due lati del quadrato per utilizzare per intero la seconda base del rettangolo)

b) Disegna una figura diversa dalla precedente il cui perimetro sia espresso dallo stesso monomio ricavato al punto a).

- Non è stata disegnata un’altra figura!

3. Un triangolo isoscele ha l’altezza uguale a $\frac{1}{4}$ della base, che è 4a.

Un rettangolo con base coincidente con la base del triangolo ha altezza uguale a $\frac{2}{3} a$.

image

Trova l’area S della figura. L’espressione di S è un monomio?

Trova il valore di S per a = 3 cm.

Soluzione

$ S=\frac{4a*a}{2} +(4a*\frac{2}{3}a )= \frac{4a^2}{2}+\frac{8}{3}a^2=2a^2+\frac{8}{3}a^2=\frac{14}{3}a^2$

Sì, l’espressione di S è un monomio.

Per a = 3, $S = \frac{14}{3}3^2 = \frac{14}{3} *9=42$

bravi, ragazzi!

Da online.scuola.zanichelli.it/

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domenica 22 gennaio 2012

Problemino per la III_2

Ragazzi,

Ve la siete cavata molto bene con questo. Cominciamo ad andare oltre l’intuizione, impariamo a generalizzare, a matematizzare ...  Le equazioni sono un versatile strumento per risolvere problemi!

Ecco il secondo problema.

In un casolare montano un gruppo di 120 ragazzi ha provviste alimentari per 45 giorni.
Dopo 10 giorni arrivano altri 20 ragazzi e un gruppo di adulti; sapendo che 5 ragazzi mangiano quanto 4 adulti e tenendo conto del fatto che le provviste finiscono dopo 14 giorni dall’arrivo dei 20 ragazzi e degli adulti,

quanti adulti sono arrivati?

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sabato 21 gennaio 2012

Un problema. Con l’aiuto di Excel

Proposto dal libro di testo,

risolto con Excel. Anche con Excel!

Maria Chiara riporta tutto. Copio le immagini dal foglio di lavoro

problematab Excel per soluz problema

Il file problema ditta.xlsx si può scaricare. Così può vedersi come i raga ora usano le formule, alla bisogna, con più disinvoltura! Sorriso

PS: M.Chiara! Mi accorgo solo ora che hai scritto più volte “dita”. Quali sono le dita interessate?? aaah! Triste - Ora non correggo più...

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venerdì 20 gennaio 2012

Il problemino per la III!

a momenti scordavo...

e invece, ecco il problema per voi (suuu, dài!)

In una fabbrica ci sono due macchine: la prima produce 10 pezzi all’ora e la seconda 7 pezzi all’ora.
Le due macchine hanno prodotto in tutto 191 pezzi, lavorando complessivamente 23 ore.

 Quanti pezzi ha prodotto ciascuna macchina?

Se sarete bravi, domani un altro! eh eh...

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mercoledì 18 gennaio 2012

Ancora un problema sulla piramide

Maria Chiara

ha scelto il problema e lo ha risolto, con qualche ... licenza geometrica!

La base della piramide è un trapezio isoscele. In classe abbiamo discusso e perfezionato e, e ...: la prof a casa ha ulteriormente perfezionato la costruzione con SketchUp!

Clic su figura per seguire la risoluzione passo a passo

Piramide_base_trapezio_isosceleimage

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Teorema di Pitagora. Video-dimostrazione_2 e...

Daniele,

dimostra il Teorema di Pitagora, pesando...

Bravo Dani, sei forte!

... evviva la freschezza dei ragazzi! Sorriso

Aggiungo il bel lavoro sul quaderno, di Andrea F.  che, assente per un paio di lezioni, ha lavorato a casa. Bravo! Clic per ingrandire se necessario.

Teorema di Pitagora

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domenica 15 gennaio 2012

Matematica dei fiori soluzioni.... [Aggiornato]

dovrei dire si attendono,

al quesito!

fioreAl momento è arrivata quella di Davide D.: corretta, con spiegazione e procedimento e tanto di costruzione geogebra!

E no, la vedete ancora “muta”!

Attendo altre e poi pubblico via via su questo post.

[Aggiorno]

Dopo il lavoro in classe con discussione, posso pubblicare le soluzioni. Di:

Davide D.

soluzione problema fiore huernia

Beatrice – la spiegazione sull’applet. clic su fig.

soluzione problema fiore huernia

Marco D.

soluzione problema fiore huernia

Davì. – la prende più alla larga..., mi invia il testo:

Soluzione al fiore:

l'angolo richiesto misura 144°. Ho ragionato così:

devo calcolare l’ampiezza degli angoli alla base dei triangoli isosceli, 4 di questi hanno lo stesso vertice dell’angolo cercato.

trovo così:

la somma degli angoli interni di un pentagono si trova moltiplicando (180° x 5 ) (somma interni + esterni) – 360° (somma esterni) =
900° - 360° = 540°

540° : 5 = 108° ;   108° :2 = 54°

54° x 4 = 216° ;    360°- 216° = 144°

In classe, valide le soluzioni di Igor e Stefano. Per gli altri si sono rese necessarie domande-guida, ecc...!

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Teorema di Pitagora. Video-dimostrazione di Perigal

Dopo aver visto

e lavorato sulla nostra dimostrazione di Perigal del Teorema di Pitagora,

Davì, che ha anche realizzato la costruzione su GeoGebra,

ispirato dal video dei ragazzi di prof Daniele, ha anche lui ... toccato con mano!

Bene, Davì!

Tutti, in classe, abbiamo invece costruito, ritagliato, accostato... con questa dimostrazione. I ragazzi molto bravi anche a dimostrare la condizione di quadrato di C (proprietà lati e angoli!)

 image

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Anche i fiori sanno la matematica!

Per tutti!

- O, ragazzi di seconda, bravissimi nelle dimostrazioni sugli angoli, questo bel problemino è per voi!

Ma, voi terza, ... vi tirerete mica indietro?

Il fiore della huernia presenta un'unica corolla maculata e,

huernia

quando è in boccio, richiama la forma di un pentagono regolare.

 huernia

 huernia schemaQuanto misurano gli angoli che si formano fra le punte quando è aperto completamente?

Indicate il procedimento seguito.

Fonte: Matematica Senza Frontiere

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sabato 14 gennaio 2012

Problema su piramide quadrangolare regolare

Di Letizia, su GeoGebra

Passo a passo la risoluzione sull’applet. Clic sotto.

problema su piramide

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Espressioni con razionali relativi su Geogebra

Risolte da:

Erica. Che ha ben utilizzato il LaTex

Clic sull’immagine per aprire l’applet e seguire i passi della risoluzione.

[In LaTex non è agevole visualizzare le semplificazioni delle frazioni. Con il comando \not il segno di semplificazione appare sulla sola prima cifra dei numeri]

espressione razionali relativi

Gabriele. Ancora bene con La Tex!

espressione razionali relativi

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mercoledì 11 gennaio 2012

Differenza fra due numeri quadrati

A tutti!

In terza abbiamo accennato stamane, in seconda... bé, non stiamo parlando di quadrati e di radici? Il lavoretto non è legato alle radici, ma voi vi siete espressi dicendo ben “numeri quadrati”. Allora... vedetevelo tutti!

- per la verità, con l’attuale terza lo avevamo visto in prima. Maaa, ora ci si avvia alla ...matematizzazione!

Matematizzazione, parole e simboli

Da un numero quadrato sottraggo un numero quadrato

differenza di quadrati

Differenza fra due quadrati = somma per differenza !

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martedì 10 gennaio 2012

Rettangolo trasformato in un quadrato di area uguale

Cari III,

ecco il secondo problema dal Sulbasutra di Baudhayana di cui abbiamo parlato stamane e avviato ...

Sì, forse era un tantino più complesso del primo e perciò la soluzione promessa.

Trasformare un rettangolo in un quadrato di area uguale.

Il risultato, secondo il Sulbasutra di Baudhayana, è quello mostrato in figura.

ABCD è il rettangolo di partenza, il quadrato richiesto è JSTR.

La dimostrazione dell’equivalenza delle due figure deriva dal Teorema di Pitagora.

Sull’applet seguite i passi della costruzione. Per visualizzarli agite sul pulsante “inizio” e selezionate Mostra/Nascondi oggetto dalla barra degli strumenti. Alla fine fate clic sullo strumento Muovi per nascondere nuovamente gli oggetti e concentrarvi ancora sulla costruzione. Clic su imgrettangolo trasformato in quadrato

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lunedì 9 gennaio 2012

Geometria con la LIM

E’ sempre cosa da me graditissima

ricevere in regalo un libro. Se poi il regalo arriva da una cara amica che stimo e, ma sì lo dico, mi stima, il gradimento è doppio. Anzi, io voglio dire, elevato a potenza !

Libro da condividere con i lettori del blog: per la didattica! E non solo con la Lim, lo dico da subito, e non solo per la scuola primaria!

  geometria con la LIM  Il prezioso regalo appena ricevuto dalla mia carissima amica Renata Rosso (la nostra Maestra Renata)

Grazie Renata!

Geometria con la LIM nella scuola primaria

Giorgio Bolondi, Aurelia Orlandoni, Francesca Storai

In collaborazione con Irene Ferrari, Renata Rosso, Eva Pigliapoco, Ivan Sciapeconi.

Centro Studi Erickson 

Collana: CLIM - Classe Interattiva Multimediale

Dalla quarta di copertina:

La collana CLIM (Classe Interattiva Multimediale) mette a disposizione degli insegnanti della scuola primaria e della secondaria di primo grado gli studi e gli strumenti più aggiornati sulla didattica con la LIM e, più in generale, con le nuove tecnologie.
L’obiettivo è di far acquisire le competenze teoriche e pratiche per introdurre in aula i dispositivi didattici digitali — primo fra tutti la Lavagna Interattiva Multimediale — attraverso la presentazione di alcuni percorsi di insegnamento e delle modalità corrette per allestire e gestire i materiali inclusi in ogni volume della serie (italiano, storia, scienze, ecc.).

In particolare in questa proposta i docenti troveranno le riflessioni di esperti di applicazioni delle nuove tecnologie nell’area disciplinare della matematica e

tre moduli didattici per l’insegnamento della geometria per la scuola primaria.


In questo volume
• Introduzione all’utilizzo della LIM nel curricolo di geometria
• Geometria con le nuove tecnologie: cosa cambia
• Metodi, strumenti e risorse didattiche per l’apprendimento della geometria con la LIM
La LIM in classe: percorsi di insegnamento/apprendimento
Esplorazione, costruzione e trasformazione di poligoni
a cura di Irene Ferrari
Costruzione di figure con «GeoGebra» a cura di Renata Rosso
Calcolo delle superfici piane a cura di Eva Pigliapoco, Ivan Sciapeconi.

Come ho detto, ho ricevuto il libro appena da qualche ora. E, i percorsi di insegnamento/apprendimento sono le prime pagine sfogliate.

Il titolo del libro recita “nella scuola primaria”. Io tengo a sottolinearne l’utilità per la secondaria di primo grado

Si tratta di didattica, di buone prassi didattiche. Precisati  Tematiche, Finalità e Obiettivi di Apprendimento, Metodologie, Funzione della Lim, ciascun percorso è corredato dalle Fasi delle attività e diverse Schede operative di lavoro.

Non mancano riferimenti all’utilizzo di materiali concreti, da manipolare (quanto ancora è necessario nella secondaria di primo grado il ricorso al concreto, la manipolazione!),  all’utilizzo di riga e compasso per le costruzioni geometriche. Aggiungo: trovo i riferimenti alla didattica della grande Emma Castelnuovo.

Non solo Lim, dunque. Ma, software didattici sì! Geogebra, il nostro Geogebra: maestra Renata egregiamente ne presenta caratteristiche, utilizzi e contributi nella didattica. Per una didattica costruttiva, un uso critico e creativo delle tecnologie a supporto della didattica, che può portare a modificare le metodologie educative, a incidere sugli stili di apprendimento ... Anche Renata sottolinea l’adoperare le mani prima di usare il software. E, ragazzi, se avete letto fin qui, a me imbarazza un po’ ma sono certa che a voi no e ne sarete ben felici: maestra Renata nel suo contributo cita il nostro blog, i vostri lavori e qualche esempio di attività condotte in collaborazione. Grazie, Renata. Ti dobbiamo tanto... !

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giovedì 5 gennaio 2012

Spirale delle radici!

Appena ricevuta da Beatrice:

Professore’ ho costruito la spirale delle radici su ggb seguendo le istruzioni del blog!!
Ciao!

Clic per aprire l’applet. Con animazione o slider!

spirale radici quadrate image

Sì sì, Bea hai seguito proprio bene le istruzioni. Brava!

Aggiungo la “chiocciola” di Davì

chiocciola radici

Non metto l’applet, ma ho controllato la costruzione: corretta! Bravo, Davì. Si impara, si consolida sempre qualcosa, a fare!

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mercoledì 4 gennaio 2012

La geometria dei Sulbasutra

In seconda

stiamo per parlare di Teorema di Pitagora. So che qualcuno ha già sbirciato sul blog e, può darsi abbia già visto che la conoscenza di questo teorema può essere attestata in molte tradizioni matematiche antiche.

E i Sulbasutra?

Sono alcune “appendici”, note come Vedanga, dei principali Veda, i testi sacri dell’induismo [da Indù (chi abita oltre l'Indo). Religione dell'India...].

I Vedanga sono suddivisi in sei rami di conoscenza:
1) fonetica, la scienza dell’articolazione e della pronuncia,
2) grammatica,
3) etimologia,
4) metrica (chandah), l’arte della prosodia dal greco pros, "verso" e odè, "canto"),
5) astronomia e
6) regole per riti e cerimonie (kalpa).

Negli ultimi due Vedanga si trovano le fonti più importanti della matematica del periodo vedico. La testimonianza è generalmente in forma di Sutra, un modo di scrivere particolare che tende alla massima brevità e spesso utilizza uno stile poetico per catturare l’essenza di un argomento o di un risultato (possiamo definirli aforismi della saggezza indiana).

Una gran parte del sapere veniva resa più facilmente memorizzabile cercando di evitare il più possibile l’uso dei verbi e componendo nomi molto lunghi. La condensazione nei Sutra era anche una strada per integrare la scarsità di materiale scrittorio (che serve per scrivere. Interessante per voi ragazzi, questa pagina).

 I Sulbasutra contenevano le istruzioni per la costruzione e la misurazione degli altari destinati ai sacrifici rituali. Il termine in origine significava “regole per condurre riti sacrificali", ma in seguito la parola sulba si riferì al tratto di fune usato per la misurazione degli altari. Buona parte di quello che sappiamo della geometria vedica proviene da questi sutra.

Clic per ingrandire l’immagine

altare sacrificale vedico a forma di falco Altare sacrificale vedico a forma di falco

LA GEOMETRIA DEI SULBASUTRA

La geometria dei Sulbasutra (riportati in forma scritta fra l'800 e il 600 a. C.) scaturì dall'esigenza di assicurare una rigida conformità dell’orientamento, della forma e dell’area degli altari alle prescrizioni stabilite dalle scritture vediche.

Questa precisione era estremamente importante per l’efficacia del rituale come lo era la pronuncia meticolosa dei canti vedici (o mantra).

I tre aspetti della geometria dei Sulbasutra:
1. le conclusioni geometriche e i teoremi esplicitamente enunciati;
2. le procedure per costruire altari di forme diverse;
3. gli strumenti algoritmici contenuti nei punti (1) e (2).

L'enunciato più importante della prima categoria è il teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo.

L'enunciazione attuale del teorema di Pitagora, espressa in termini di lati e diagonali di quadrati e rettangoli, si trova nei Sulbasutra di Baudhayana, Apastamba e Katyayana. La versione di Baudhayana dice:

La fune che viene tesa attraverso la diagonale di un quadrato produce un’area di dimensione doppia rispetto al quadrato originale.

I tre Sulbasutra forniscono una proposizione più generale:

La fune [tesa per la lunghezza] della diagonale di un rettangolo forma un’[area] pari alla somma di quella formata dal lato verticale e da quello orizzontale.

Ed ecco un esempio che illustra il modo in cui questa proposizione veniva applicata al disegno e alla costruzione di un particolare tipo di altare.

Nell’immagine sotto, il progetto della base dell’altare mahavedi (un altare “cimitero” sul quale veniva offerta una bevanda inebriante chiamata soma come sacrificio agli dei). Se si voleva che il sacrificio desse frutti questa base doveva essere costruita adottando dimensioni precise.

Nel Sulbasutra di Apastamba venivano date tutte le istruzioni per la costruzione dell’altare: con l’aiuto di una fune ...

Voi trovate, in notazione moderna, i passi della costruzione, sull’applet GeoGebra. Clic su img.

Le istruzioni portano ad individuare dei triangoli rettangoli con i lati aventi misure espresse da “terne pitagoriche” intere (vedete meglio sull’applet).

progetto altare sacrificale mahavediAX = XD = 12 pada
BY = YC = 15 pada
XP = 5 pada
PR = 23 pada
RQ = 7 pada
QY= 1 pada
XY = 36 pada

Come si vede, doveva essere un trapezio isoscele ABCD in cui AD e BC erano 24 e 30 pada (letteralmente “piedi”). L’altezza del trapezio (cioè la distanza tra i punti di mezzo X e Y di AD e BC) doveva essere esattamente 36 pada.

Oltre alle terne pitagoriche intere, per costruire triangoli rettangoli venivano anche utilizzate due frazioni conseguenti: $ 2\frac{1}{2},  \; 6, \;  6\frac{1}{2} \; e \; 7\frac{1}{2}, \; 10, \; 12\frac{1}{2} $

Inoltre la costruzione di alcuni altari comportava l’uso di terne come: $1, \; 1, \; \sqrt{2}; \; \;  5\sqrt{3}, \; 12\sqrt{3}, \;13\sqrt{3}; \;  \;15\sqrt{2}, \;36\sqrt{2}, \;39\sqrt{2} $ Questi numeri scaturivano probabilmente da necessità rituali che imponevano costruzioni di altari le cui aree erano multipli integrali o frazioni di aree di altri altari della stessa forma. Per es. si arrivava alle dimensioni di un altare soutramani (a base triangolare con i lati $5\sqrt{3}, \; 12\sqrt{3}, \;13\sqrt{3}$, cominciando con un triangolo 5, 12, 13, con un’unità di misura che era la purusha (quasi 2,5 metri, oppure l’altezza di un uomo con le braccia sollevate).

I Sulbasutra erano prima di tutto manuali di istruzione per costruzioni geometriche: quadrati, rettangoli, trapezi e cerchi che dovevano conformarsi a dimensioni e aree stabilite. Qualsiasi inesattezza avrebbe invalidato rituali e sacrifici!

Ecco un esempio su cui potete, voi ragazzi, provare a cimentarvi (è facile, servitevi dell’aiuto, poi, onestiii!, mi direte se siete riusciti....): 
due quadrati per ottenerne un terzo

Fonte: C’era una volta un numeroLa vera storia della matematicaGeorge Gheverghese J. - Il Saggiatore

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