Numeri riproduttori di Fibonacci

Di Fibonacci e della sua famosa successione,

su questo blog ci siamo occupati a più riprese.

Fra i record del mondo dei numeri, non mancano quelli collegati ai numeri di Fibonacci.

In questo post, i curiosi Numeri riproduttori di Fibonacci 

“Nel 1989, il dottor Googol scoprì che i numeri 129.572.008 e 251.133.297 sono nuovi "numeri riproduttori di Fibonacci" nell'intervallo definito tra 100 e 1.000 milioni. A quel tempo, erano i numeri riproduttori di Fibonacci più grandi scoperti, anche se oggi molte persone hanno raccolto la sfida e scoperto numeri di questo tipo molto più grandi.”

Da LA MAGIA DEI NUMERI – Clifford Pickover – Sfide Matematiche

“Un numero riproduttore di Fibonacci, o repfigit (da replicating Fibonacci digit), ha la notevole proprietà di ripetersi in una sequenza generata partendo con le n cifre di un numero e poi continuando la sequenza con un numero che è la somma dei precedenti n termini. Un esempio dovrebbe chiarirci  meglio.

47 è un repfigit poiché la sequenza: 4, 7, 11, 18, 29, 47, contiene il 47.

Analogamente, 1.537 è un repfigit poiché la sequenza: 1, 5, 3, 7, 16, 31, 57, 111, 215, 414, 797, 1537, contiene 1537.

Nel 1987, Michael Keith ha introdotto il concetto dei numeri riproduttori di Fibonacci. Allora la cifra di questo tipo più alta conosciuta era un numero di 7 cifre, 7.913.837. Nel novembre 1989, furono scoperti 3 numeri riproduttori ancora più grandi e il
numero più grande al mondo era 44.121.607.

La questione se il numero dei riproduttori è infinito oppure no, è ancora irrisolta. Sarebbe interessante trovare  che non esiste un numero riproduttore per numeri maggiori di cifre, oppure scoprire strutture ricercando i numeri più grandi.”

Nella tab. seguente i numeri riproduttori di Fibonacci fino a 5 cifre

n° di cifre
2	14	19	28	47	61	75
3	197	742
4	1104	1537	2208	2508	3684	4788	7385	7647	7909
5	31331	34285	34348	55604	62662	86935	93993

A questa pagina una tabella con numeri riproduttori o di Keith fino a ben 34 cifre!

Per i matematici la sequenza repfigit (Keith) può essere descritta così:

Considerato un numero intero positivo N con n° di cifre $d_1, d_2, ..., d_n$.

Si consideri la sequenza definita da $a_k =  d_k$ (k = 1, 2, …, n) e $a_k =  \sum_{n }^{i=1 } \,\, a_{k-i}\,\,(k>n)$. Se $a_k = N $ per ogni k, N è un numero riproduttore di Fibonacci o numero di Keith.

si veda anche QUI.

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