venerdì 30 ottobre 2009

Tassellature del piano con poligoni non regolari

Abbiamo già visto in una nostra attività (e anche qui),
che, fra i poligoni regolari, solo il triangolo equilatero, il quadrato e l’esagono regolare possono tassellare il piano, cioè è possibile  “pavimentare” o “piastrellare” il piano accostando i poligoni l'uno all'altro, senza sovrapporli e senza avere degli spazi vuoti tra essi. In ciascuno di tali poligoni l’angolo interno è sottomultiplo di un angolo giro.
E’ però possibile realizzare delle “pavimentazioni” o tassellature, anche con poligoni non regolari.
E’ stato dimostrato che nessun poligono convesso con più di sei lati può tassellare il piano.
Consideriamo dunque i poligoni di tre, quattro, cinque e sei lati
Tasselli triangolari
Qualunque triangolo può tassellare il piano. Si può costruire il simmetrico del triangolo rispetto al punto medio di uno dei suoi lati:  “i lati corrispondenti di due triangoli identici combaciano e si forma un parallelogramma. Com’è ovvio, le repliche di un parallelogramma si possono far combaciare lungo i lati per formare una fila illimitata di lati paralleli, e le strisce, a loro volta, si possono avvicinare l’una all’altra per ricoprire interamente il piano”.
Nella costruzione con geogebra, ho utilizzato solamente successive simmetrie di centro punto medio di un lato dei triangoli. Clic sulla figura per aprire l’applet. Sul foglio di lavoro l’indicazione più semplice se si vuole … estendere la pavimentazione! (ho lasciato visibili solo i segmenti esterni per motivi estetici)tassella_triang
Tasselli a forma di quadrilatero
“Qualunque quadrilatero tassella il piano!” Anche in questo caso si può costruire il simmetrico del quadrilatero rispetto al punto medio di uno dei suoi lati:  “i lati corrispondenti di due quadrilateri identici combaciano e si forma un esagono. Ogni lato dell’esagono è necessariamente uguale e parallelo al lato opposto. Tale esagono, con una semplice operazione di traslazione, formerà un motivo tassellante”
Anche in questo caso, con geogebra ho utilizzato successive simmetrie di centro punto medio di un lato dei quadrilateri. Il quadrilatero inoltre può anche non essere convesso. Clic sulla figura per aprire l’applet. Indicazioni sul foglio di lavoro…tassella_quadri
Modificando il quadrilatero da convesso a  concavo si può avere una figura simile


Tasselli a forma di pentagono
I tasselli a forma di pentagono convesso possono essere classificati in otto tipologie. Cinque furono trovate da Reinhardt. Kershner li descrive contrassegnando i pentagoni per tipi. Nell’immagine il tipo e la tassellatura corrispondente: IMG
Le caratteristiche dei singoli tipi:
  1. Angoli: A + B + C = 360°
  2. Angoli: A + B + D = 360°
  3. Angoli: A = C = D = 120°
  4. Angoli: A = C = 90°  
  5. Angoli: A = 60°, C = 120°  
  1. lati: a = d
  2. lati: a = b, d = c + e
  3. lati: a = b, c = d
  4. lati: a = b, c = d
a queste cinque tipologie se ne aggiungono altre tre… e
“Non è dimostrato il fatto che non esistano altri pentagoni convessi capaci di tassellare il piano, per l’eccellente ragione che una dimostrazione completa richiederebbe un libro piuttosto voluminoso
Con geogebra la tassellatura del 5° tipo.  Costruita con i passi segg:
  1. Punto medio del lato e del pentagono ABCDE
  2. Simmetrico di ABCDE rispetto al punto
  3. Rotazione di 60°  del simmetrico ottenuto, con centro il punto corrispondente del punto A nella simmetria.
  4. Rotazioni successive di ampiezza 60°, con medesimo centro, dei pentagoni ottenuti.
  5. Ripetere dal punto 1.
Clic sull’immagine per aprire l’applet. Indicazioni sul foglio di lavoro…tassella_penta
Variando la forma del pentagono, conservando le proprietà di lati e angoli…tassella_penta2
Infine, se il pentagono diventa concavotassella_penta_concavo
Per ora mi fermo qui. In un altro post le tassellature esagonali (almeno) .
Ma quanto altro nel capitolo 13, Mosaici di poligoni convessi, del:
Viaggio nel tempo e altre stranezze matematicheMartin Gardner – Sfide Matematiche  !
- Le scritte in grigio e l’illustrazione dei tipi-tasselli pentagonali, dal testo.-
Link sulle Tassellazioni del piano:
Matematica e dilettanti
Attività di tassellazione con GeoGebra

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18 commenti:

  1. Perchè oggi non è venuta a scuola ?
    E domani verrà ?

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  2. Gabriii, che caro!:-)
    Oggi ho avuto qualche problema, domani ci sarò!
    baci baci:-)

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  3. Giovanna, è per questo motivo che non ho mai detto ai miei studenti di avere un blog! ;-)

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  4. ahah..i miei sono piccini.. Gabri è di prima...
    Ciononostante ... oggi indago un po' sul vero perché della domanda :-))
    eheheh
    ciao Pop,
    corro a scuola!!:)

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  5. Naturalmente Gabriele sarà rimasto deluso dal fatto che la prof "domani verrà". ;)
    Eheh, so che non è così.

    Sempre bello l'argomento "tassellazioni" e sempre d'effetto i lavori con il 'nostro' geogebra. Grazie per il link Gio'.
    Abbraccio.
    r.

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  6. Raggio di sole:))Bellissimo post! Amo le tassellature e ho letto con avidità i tuoi approfondimenti.
    Complimenti, amicamia, forse forse ci vedremo domani.
    un bacione, mgio

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  7. Renataa ! :-)
    certo che quel laconico "a domani" .... :-)
    Comunque..i compiti erano stati fatti! :-))
    abbraccio a te.

    Mgio', ehi ben-ritrovata!
    graziee:-)
    Spero di vederti domani dunque!

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  8. Senti io avrei da fare un pavimento dove le trovo quelle piastrelle lì, le ultime intendo. Ce ne sono di firmate?
    @Pop - figurati se non lo sanno che hai un blog!

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  9. Enrico :-)
    e vabbé... preparerò diversi fogli geogebra!! ah, firmate da me, naturalmente! :-D

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  10. Bellissimi gli applet interattivi di GeoGebra!
    Daniele

    p.s. c'è un link che non funziona:
    Matematica e dilettanti
    mi manda ad una pagina:
    403 Forbidden

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  11. Grazie Daniele,
    il link di Pintadera è sempre stato un po' "anomalo". Succede anche a me. Ma, alla pag Forbidden si può cliccare su : please bypass this message e la pagina voluta si apre.
    ciao, buon giorno dei Santi :-)

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  12. ciao novella Escher, è un pò che non vengo a trovarti. Sempre interessanti i tuoi articoli.
    Ciao Paolo

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  13. ciao Paolo,
    se, see ... :)
    saluto caro!

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  14. Oggi son molto contento perchè il Cagliari ha tassellato l'Atalanta...anzi no, ad occhiometro, si dice tartassato. Un salutone, Fabio

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  15. Ahah Fabio!!
    bene, per campanilismo siamo contenti tutti!:-))
    caro saluto a te.

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  16. Forte la magia delle textures, tipo queste:
    http://ecx.images-amazon.com/images/I/51CM6QX59EL._SL500_AA240_.jpg
    Saluti. Beppe S.

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