L'insieme N dei numeri naturali e la sua rappresentazione sulla semiretta

In questi giorni più di un alunno della classe prima è stato assente perché malatuccio.
Ci siamo portati un po' avanti con le nostre attività. Provo ad informare gli assenti attraverso il nostro blog. Vedi mai che qualcuno si colleghi e cominci a studiare in autonomia? :-)
Con tranquillità, perché naturalmente al rientro in classe riconsidereremo insieme ogni cosa!

Abbiamo appena studiato gli Insiemi e abbiamo visto che gli elementi di un insieme possono essere i più diversi: città, oggetti, lettere dell'alfabeto, animali, ..., e numeri!
E' venuto il momento di approfondire la conoscenza degli insiemi di tipo numerico, degli insiemi numerici appunto.
Impareremo nel corso dei tre anni della scuola media, a conoscere ... tutti i tipi di numeri esistenti! (li chiameremo infatti Reali - perché esistono i numeri ... immaginari!). Servendoci del linguaggio degli insiemi li metteremo al giusto posto, faremo ordine, conosceremo tutti gli insiemi numerici che andranno a costituire i numeri Reali.
Ma andiamo per gradi.
Cominciamo a considerare i numeri che conosciamo fin da bambini.
Come avete cominciato a contare?
1, 2, 3, 4,..........
Già, mai sentito un bambino piccolo contare le sue macchinine: 1,3; 2,8....... (anche se ha qualche macchinina rotta....!)
Dunque avete cominciato con i numeri interi, vi è venuto ....naturale!
Infatti l'insieme dei numeri interi è chiamato Insieme dei numeri naturali.
Gli insiemi si indicano con la lettera....?
Maiuscola!
L'insieme dei numeri naturali si indica con la lettera maiuscola N.
Essendo un insieme esso si può rappresentare:

• per elencazione o in forma tabulare: N= {0; 1; 2; 3; ...}
• per caratteristica: N= {x|x è un numero naturale}
• graficamente con il diagramma di Eulero-Venn

Fra tutti i numeri naturali ce n'è uno che può sembrare un po' "meno naturale" degli altri: lo zero.
L'uomo in effetti, ha cominciato a usare lo zero molto più tardi rispetto agli altri numeri perché, quando cominciò a contare ciò che possedeva, non si preoccupò di contare qualcosa che non aveva! E neppure un bambino conta: 0 (zero) macchinine.
Naturalmente poi, come sappiamo, con il sistema posizionale, ricorse all'uso dello zero, per riempire gli eventuali vuoti delle singole posizioni. Ad es nel numero 105, lo zero riempie il vuoto delle decine.
A volte si ha la necessità di considerare l'insieme dei numeri naturali escludendo lo zero.
Esiste un simbolo appropriato: con N0 si indica l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero.
Anch'esso si rappresenta:

• per elencazione: N0 = {1; 2; 3;...}
• per caratteristica: N0 = {x|x è un numero naturale diverso da 0} (diverso da ha un suo simbolo: il segno di uguale con una sbarra trasversale)
• graficamente: nel diagramma di Eulero-Venn non si immette lo zero.

Quali sono le proprietà dell'insieme N?
Quanti sono i numeri naturali?
Ma si, sappiamo che i numeri sono infiniti. Se infatti pensate un numero, grandissimo, potete sempre aggiungere 1 a quel numero e poi ancora aggiungere 1 ..... ottenendo dei numeri ancora più grandi.
Dunque N è un insieme infinito.

Ora pensate un numero qualsiasi (per gli assenti che ora leggono: i vostri compagni in classe hanno fatto ciò che descrivo)
Il numero che avete pensato precede quale numero?
Il numero che avete pensato segue quale numero?
Ripetete la stessa cosa per altri numeri. Potreste farlo per qualsiasi numero?

Sì, ogni numero viene prima di un altro e viene dopo un altro numero.
Potete sempre dire che un numero è maggiore di un altro oppure che esso è minore di un altro, come potete dire anche che esso è diverso da un altro.
Potete cioè sempre confrontare due numeri.

In generale indicando con a e b due numeri naturali qualsiasi (sapete che per generalizzare si usano le lettere) possiamo stabilire se a precede (è più piccolo) oppure segue (è più grande) b.
Possiamo quindi scrivere i numeri naturali in modo ordinato partendo dal più piccolo (in ordine crescente) o dal più grande (in ordine decrescente) :
3, 5, 8, 12, 22 (ordine crescente)
23, 12, 11, 9, 7 (ordine decrescente)
Come possiamo indicare dunque questa proprietà dei naturali?
Dobbiamo trovare un aggettivo... se possiamo ordinare i numeri, l'insieme può essere un insieme... ordinato! (in classe i ragazzi sono stati bravi a trovare l'aggettivo!)
L'insieme N dei numeri naturali è un insieme ordinato.

E ora un lavoro: come possiamo rappresentare i numeri naturali?
No, non intendo la rappresentazione dell'insieme, ma una rappresentazione mediante ... un disegno.
Ecco, qualche compagno ha proposto di disegnare una scala sul quaderno a quadretti e sistemare i numeri sui gradini, in ordine crescente.
Ma... non è troppo comodo....
Abbiamo detto che i numeri sono infiniti... ah ecco, qualcuno dice: una linea!
Oh, Marina ha già disposto i numeri su una linea retta!!!
Sì, la linea retta va bene perché anch'essa è ... infinita (anche la linea retta è un insieme. Di.... punti!)
Fine della lezione!
Eh... dobbiamo spiegare la rappresentazione dei numeri naturali sulla retta. O meglio, vedremo, sulla semiretta.

Alla prossima lezione!

Nel frattempo potete cominciare a scaricare N su semiretta.xls in excel: rifaremo insieme il lavoro!

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