Il teorema di Pick ... conta i punti!

Ragazzi, vi ho solo detto che si trattava di un teorema ...
poi non c'è stato il tempo dei particolari! :-)
La formula scoperta con l'attività di stamane è nota come formula di Pick o
teorema di Pick.
Prende il nome dal matematico George Pick che nel 1899 scoprì che l’area di un poligono qualsiasi disegnato sul geopiano, e cioè su quel piano in cui è evidenziata una "griglia" di punti, si può calcolare con quella semplice formula ... a cui siamo arrivati!
Aspettando le vostre relazioni, presento il teorema e l'attività, con qualche integrazione.
Considerato dunque un reticolato come questo:

[in matematica è la rappresentazione del piano cartesiano in cui si considerano solo le coordinate intere, la rappresentazione grafica dell'insieme Z² - ragazzi, questo lo capiremo più avanti...]
e un poligono P avente tutti i vertici in punti del reticolato, si può calcolare l’area del poligono P contando semplicemente i punti contenuti in P, e quelli contenuti sul suo contorno.
Noi abbiamo indicato con Pi il numero di punti che stanno dentro il poligono, con Pc (punti contorno) quello dei punti che stanno sul perimetro del poligono.
Ecco due esempi di poligoni sul reticolo. Uno convesso:

Pi = 19 Pc = 10

Uno concavo:

Pi = 21 Pc = 9

La formula di Pick per il calcolo dell'area è la seguente:
A = Pi + Pc/2 - 1

Ho scritto che i ragazzi sono arrivati alla formula... non con questi poligoni!
L'attività è stata condotta per gruppi di lavoro. Ho lasciato che i gruppi si costituissero spontaneamente, ad attività avviata.
Per cominciare, abbiamo considerato poligoni semplici.
Ho chiesto ai ragazzi di rappresentare, ognuno sul proprio quaderno, il reticolo e di costruire in esso due o tre rettangoli.

Di tali rettangoli ho chiesto che calcolassero l'area con il metodo classico, con formula b*h, con unità di misura il quadratino costituito da 4 punti del reticolo.
Tale operazione con lo scopo di avvicinare tutti al problema e confrontare i valori con i risultati ottenuti con la formula da scoprire.
Li ho invitati quindi a: pensare ad una formula per il calcolo dell'area che tenesse conto solo dei punti del contorno e di quelli interni ai rettangoli.
La formula doveva essere valida per tutti i rettangoli disegnati.
Cominciavano a tentare qualche calcolo, e anche a scambiarsi, guardandomi, qualche riflessione.
Ho detto che, certo, potevano! :-)
E, giusto spontaneamente, devo dire molto correttamente (bravi, ragazzi!:-) vedo costituirsi i gruppi da 5. Aggiungo, importante: i gruppi erano eterogenei! Non è stato necessario il mio intervento. Le abilità diverse, favoriti il confronto, l'interazione, lo scambio fra pari.
E via, alla ricerca della formula!
Le mie indicazioni:
- con i valori Pi e Pc dovete operare. Quali operazioni potete fare con dei valori numerici? Ed anche, con un solo valore?
- non potete utilizzare l'area calcolata con la formula.
Ho visto tentativi di formule che utilizzavano calcoli con potenze, radici (concesso l'uso della calcolatrice) e ... l'area calcolata con formula!
Ho dovuto ribadire che:
- l'area "conosciuta" NON poteva essere utilizzata, si era alla ricerca di una formula senza sapere la geometria!
- la strada da percorrere era molto più semplice di quanto pensassero, sarebbero state sufficienti ben più semplici operazioni con i valori Pi e Pc.
Piano piano si è passati a formule più normali, dalla semi somma dei due valori, fino ad arrivare alla corretta conclusione.
Ho dato il mio supporto invitando ripetutamente i ragazzi a confrontare il valore dell'area "calcolata con formula" con i due valori dei punti relativi ai rettangoli. L'osservazione dei valori relativi a rettangoli di grandi dimensioni si è rivelata più efficace rispetto ai dati relativi a rettangoli piccoli, ai fini del raggiungimento dell'obiettivo.
Non tutti i gruppi sono ancora arrivati tuttavia a scoprire la formula corretta (non l'abbiamo svelata, chissà se il segreto regge!).
La consegna è dunque per alcuni, la prosecuzione del lavoro a casa, per altri la stesura della relazione sull'attività. Si dovranno riportare e presentare alla classe i tentativi, i procedimenti, le proposte di ciascun componente il gruppo.
... qui restiamo in attesa delle relazioni, confidando anche nella promessa di calcolo dell'area di altre figure! :-)

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