Due curve "di mare"

*Curve di mare*: così titola Luciano Cresci il capitolo 8 de Le Curve matematiche tra curiosità e divertimento.
La prima descritta fra queste curve è la

Concoide di Nicomede

La concoide (o clocoide) di Nicomede prende il nome dal matematico e filosofo vissuto tra il III° e il II° sec. a.C. ad Alessandria ed Atene. Della sua vita non si hanno notizie. Proclo (410-485 d.C.) e Pappo (III-IV sec. d.C.) testimoniano che Nicomede scoprì le curve concoidi, insieme alle loro proprietà e caratteristiche, e grazie a queste risolse il problema della trisezione dell'angolo e della duplicazione del cubo.
Il nome concoide deriva dal greco κονκοειδεσ, concheides, e significa simile ad una conchiglia, proprio perché la forma della curva ricorda quella di una conchiglia.
Infatti:

e:

oppure:

Fra i matematici del XVII° sec. la concoide di Nicomede ebbe grande popolarità: Fermat e Roberval completarono la ricerca sulle tangenti alla curva. Huygens giunse alla costruzione dei flessi applicando il metodo di Cartesio e trovò che l'area tra i rami della curva è infinita. Newton propose di includerla, insieme alla retta e alla circonferenza, tra le curve "di buon servizio" per i problemi di terzo e quarto grado.
L'equazione della curva in coordinate polari è:
$ρ\,=\, \frac{ a }{ cos(θ)} + c$

l'equazione cartesiana:
$y\, =\,\pm \frac{ x }{ x -a} \sqrt{ c² - (x - a)² }$

Come si costruisce la concoide di Nicomede.
Sia data una retta a, un punto A non sulla retta. Si traccia la retta b perpendicolare ad a e passante per A, con D punto di intersezione con a e con DC di lunghezza fissata c. Si ruota la retta b attorno ad A. Si traccia quindi la circonferenza di centro un punto C1 della retta a e raggio c. Si individuano i punti di intersezione, F e G, della circonferenza con la retta b' (b ruotata di un angolo α).
La concoide è il luogo dei punti F e G.
Clic per visualizzare l'animazione su geogebra, che evidenzia i parametri variabili ...

In particolare si nota che la forma della concoide è sempre simmetrica rispetto alla retta b: questa passa per il polo A e per i vertici della concoide. La retta base a è un asintoto sia per il ramo esterno che per il ramo interno ma la forma del ramo interno della concoide dipende dal rapporto fra i due parametri a e c ossia tra le lunghezze dei segmenti AD e il raggio della circonferenza:
per a ‹ c il ramo interno ha un cappio e il polo è un nodo,
per a = c si una cuspide, il cappio del ramo interno si riduce al polo,
per a › c il ramo interno non passa per il polo e quest'ultimo è un punto isolato della curva.
Per l'animazione "conchiglia" clic QUI
La curva base, anziché una retta, può essere qualsiasi curva.
Se per es. la curva è una circonferenza, e il punto fisso A è un punto della circonferenza, la concoide è una lumaca. Se la lunghezza fissa c è uguale al raggio della circonferenza, la concoide diventa una cardioide
Se la curva base è una spirale di Archimede e il punto fisso è il centro della spirale, la concoide è ancora una spirale di Archimede. (torneremo su lumaca e spirale?)

E ora la seconda curva...
La conchiglia di Dürer
Imparentata con la concoide di Nicomede, la conchiglia di Dürer è una curva studiata dal grande artista, pittore e incisore, e matematico Albrecht Dürer.
Nella sua opera Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt descrive un apparecchio per tracciare una curva da lui chiamata Muschellinie (in tedesco, "curva a conchiglia").
La curva ha un ramo di concoide e un altro con andamento sinuoso. Graziosissima nella sua semplicità!
Clic per aprire l'animazione con geogebra.

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