La supposizione di Goldbach

Ragazzi,

a proposito di numeri primi…

Sappiamo che a parte il 2, tutti gli altri numeri primi sono dispari e quindi la somma di due primi è sempre un numero pari.

È vero il contrario? Cioè un numero pari è sempre la somma di due numeri primi?

Sembra di sì, perché ciò è vero per 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3,

8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, ecc.

Inoltre, in qualche caso, la decomposizione si può fare anche in modi diversi; ad esempio:

10 = 3 + 7 = 5 + 5,

20 = 3 + 17 = 7 + 13

È questa la famosa “supposizione o congettura di Goldbach”.

Christian Goldbach, un matematico tedesco vissuto nel ‘700, sosteneva che “ogni numero pari è somma di due primi”.

Nessuno è mai riuscito a dimostrare che è cosi, ma nessuno ha
mai neppure dimostrato il contrario. Per questo si chiama supposizione: la supposizione di Goldbach (immagine da “Ce li hai i numeri?” Editoriale Scienza)

Goldbach chiese nel 1742 a Eulero (ormai conosciamo … vero?) di trovare una dimostrazione, ma Eulero e nessun altro dopo di lui è riuscito a darla.

Anzi si racconta che le cose possano essere andate così:

nel lontano 1742, in una lettera ad Eulero, Goldbach scriveva: "ogni numero maggiore di 5 è la somma di tre primi". In risposta, Eulero affermò: "Ogni numero pari maggiore di 4 è la somma di due numeri primi". Da quel giorno in poi l'affermazione è stata definita congettura di Goldbach, ed è diventata uno dei più arditi enigmi degli ultimi due secoli e mezzo.

Oggi i matematici possono controllare se la sua affermazione è vera facendo fare il calcolo a un computer, e lo si è fatto fino al numero 4oo.ooo.ooo.ooo (4oo miliardi).

Abbiamo visto che ci sono modi diversi per formare un numero pari con due numeri primi.
Il numero 14 = 3 + 11, ma anche 14 = 7 + 7.
E 24 = 5 + 19, ma anche 24 = 7 + 17 = 11 + 13.

Nel numero 14 il 3 è il numero primo più basso e l’11 il più alto che insieme, possano formare il numero 14.

Dato che ci sono più modi per formare un numero pari con due numeri primi, potete costruire una tabella, con i numeri pari da 4 a 100, in due modi diversi.
• Scrivete i numeri primi che trovate prima e più facilmente.
• Scrivete il numero primo più basso e quello più alto che, sommati, danno il numero pari.

Sembra che non esista uno schema che regoli i numeri primi.

Per esempio il numero 3. In certi casi ricorre come numero primo più basso due volte di seguito, in altri tre volte di seguito e in altri ancora solo una volta. Non c’è proprio nessun ordine. O per lo meno i matematici non l’hanno ancora individuato. Voi riuscite a vederlo?

Ragazzi,

queste considerazioni mostrano come i matematici, lavorando in modo empirico, hanno da tempo giocherellato con i numeri primi, forse nella speranza di trovare alla fine qualcosa che potesse giustificare i loro risultati: ma scoprivano, in sostanza, solo delle belle congetture, senza riuscire poi a trasformare queste in teoremi di validità universale.

- Sul blog tempo fa segnalai Pintadera - La supposizione di Goldbach della mia amica maestra M.Giovanna.

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