Un cerchio famoso: il cerchio dei nove punti

Ragazzi, vi faccio conoscere un’altra interessante curiosità geometrica!
Osservate la figura (prima di fare clic su di essa può esservi utile leggere sotto. Oppure, chi crede può anche scoprire da se... Nell'applet muovete un qualsiasi vertice del triangolo)

Come vedete si tratta di un cerchio la cui circonferenza passa per ben nove punti caratteristici di un triangolo:
- i piedi delle tre altezze
- i punti medi dei tre lati
- i punti medi dei segmenti che uniscono i tre vertici del triangolo all'ortocentro.
Esiste un teorema che dice proprio così:
I piedi delle tre altezze di un triangolo, i punti medi dei tre lati e i punti medi dei segmenti che congiungono i tre vertici all'ortocentro, giacciono tutti sulla medesima circonferenza.
Il cerchio definito da questa circonferenza viene detto cerchio dei nove punti (o anche cerchio di Eulero o di Feuerbach).
Nonostante le denominazioni, la prima dimostrazione della sua esistenza venne in realtà pubblicata da J. V. Poncelet nel 1821 mentre K.W. Feuerbach ottenne un'altra interessante proprietà di tale cerchio.
Proprietà che andiamo a scoprire (qui, per voi ragazzi, credo davvero sia meglio leggere prima le spiegazioni sotto...)

In figura, oltre al cerchio dei nove punti, riconoscete bene il cerchio inscritto al triangolo (in azzurro-viola).
Ci sono delle novità: sono costruiti altri tre cerchi ciascuno dei quali risulta tangente ad un lato e ai prolungamenti degli altri due.
Questi tre cerchi sono detti excerchi o ex-inscritti al triangolo.
Come si costruiscono?
È sempre da considerare il punto di incontro delle bisettrici, l'incentro.
Ma stavolta occorre tracciare anche le bisettrici degli angoli esterni del triangolo.
Per costruire i quattro cerchi, quello inscritto e i tre excerchi, si procede nel modo seguente:
- si tracciano le tre rette passanti per i vertici del triangolo
- si costruiscono le bisettrici dei tre angoli interni, che come sappiamo si incontrano tutte in un punto (l'incentro, indichiamolo I).
- per disegnare la circonferenza inscritta, lo sapete, conviene tracciare la retta perpendicolare ad un lato qualsiasi del triangolo e passante per l'incentro I; segnato il punto di intersezione (L) di tale retta con il lato, si traccia il segmento IL e infine la circonferenza di centro I e raggio IL.
- si tracciano le bisettrici degli angoli esterni [ricordate: ciascun angolo esterno ha come lati rispettivamente un lato del triangolo e il prolungamento del suo consecutivo].
Tali bisettrici si incontrano a due a due nei punti D, D1, D2: gli excentri
- per costruire una delle circonferenze exinscritte, si traccia per esempio da D1 la perpendicolare ad un lato del triangolo, segnato il punto di intersezione (K), si traccia la circonferenza di centro D1 e raggio D1K
- si ripete la costruzione per le altre due circonferenze.

Nella costruzione possiamo ora rilevare una proprietà decisamente interessante: il cerchio iscritto è sempre tangente internamente al cerchio dei nove punti e quest'ultimo a sua volta, risulta tangente esternamente a tutti e tre i cerchi ex-inscritti.
Vedete evidenziati i punti di tangenza tra tutti i cerchi coinvolti nel teorema: questi quattro punti vengono detti punti di Feuerbach del triangolo ABC.
Potete verificare la proprietà muovendo nell'applet un qualsiasi vertice del triangolo.
Il teorema che enuncia formalmente tale proprietà viene attribuito proprio a K.W. Feuerbach che ne pubblicò la dimostrazione nel 1822.
Teorema di Feuerbach
Il cerchio inscritto è tangente internamente al cerchio dei nove punti e questo è tangente esternamente ai tre cerchi ex-inscritti.
Il teorema di Feuerbach permette quindi di associare ad un triangolo altri quattro punti tutti appartenenti al cerchio dei nove punti: è per questo motivo che tale cerchio viene anche detto cerchio di Feuerbach.
Noi ci fermiamo qui, non approfondiamo le dimostrazioni e le altre interessantissime proprietà del cerchio dei nove punti.

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