mercoledì 11 novembre 2009

Il lampione

Ho proposto ai ragazzi una prova descritta nel

Quadro di riferimento della matematica - Valutazione dei quindicenni” - OCSE-PISA 2003.

Esempio 1 - IL LAMPIONE
Il consiglio comunale ha deciso di mettere un lampione in un piccolo parco
triangolare in modo che l’intero parco sia illuminato. Dove dovrebbe essere
collocato il lampione?

Ecco una delle relazioni dei ragazzi (tutti hanno partecipato all’attività, hanno verbalizzato in molti, NON tutti!):

Oggi la prof ci ha proposto un problema che possiamo trovare anche nella vita quotidiana per farci capire la scuola è vita e che quello che facciamo a scuola non è inutile o fatto a caso.
Il problema è questo:

- un Comune deve collocare un lampione in una piazza a forma triangolare in modo che illumini tutte le parti della piazza nello stesso modo. Dove deve essere collocato il lampione?

La piazza non è “un triangolo equilatero” ma ha la forma di un triangolo qualsiasi.
La prima ipotesi è stata quella di mettere il lampione al centro della piazza e quindi la prof ci ha chiesto di trovare il centro della piazza.

Abbiamo disegnato un triangolo, Giammario ha detto che tracciando le bisettrici … (cioè dividere gli angoli in due parti uguali e segnare il punto d’intersezione)  ma Sara ha detto subito [“ma” io ho notato Gimmi ricredersi prima ancora che Sara intervenisse eh!] che il punto d’incontro delle bisettrici cioè l’incentro, è diversamente distante dagli angoli (o meglio dai vertici del triangolo).

La seconda ipotesi è stata quindi quella di tracciare gli assi di un triangolo e poi segnare il punto d’incontro cioè il circocentro. Il centro del triangolo è il circocentro, cioè  il  centro della circonferenza circoscritta. Il circocentro è equidistante dai vertici.

Ecco la costruzione con GeoGebra (In classe abbiamo lavorato alla lavagna, Anna Laura ha realizzato il geogebra. Clic per aprire l’applet)circocentro

Ma costruendo un triangolo qualsiasi, cioè anche ottusangolo, il lampione risulta fuori dalla piazza. Oppure se il triangolo è rettangolo, come ha ricordato Giammario e anche Giovanni Andrea, il lampione risulta nel punto medio dell’ipotenusa. In tutti i casi però è equidistante da ogni vertice del triangolo.

Il lampione essendo fuori dalla piazza, nella vita reale causerebbe dei problemi perché magari nel punto dove dovrebbe essere collocato c’è una strada o delle case o degli alberi, quindi anche trovando il centro perfetto si dovrebbe tener conto di tutti questi aspetti.

Con questa attività abbiamo capito meglio e ripassato tante proprietà. La prof ci ha citato alla fine della lezione una frase di Dante: “non può esistere un triangolo inscritto in un semicerchio che non sia rettangolo.”

Anna Laura non dice che la prof era soddisfatta della classe perché (in tanti) hanno saputo “utilizzare informazioni precedentemente acquisite”. Mica succede sempre! :-)

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14 commenti:

  1. I signori del PISA dovrebbero però specificare che la soluzione più logica è comunque quella che il Comune non prenderà in considerazione. Se qualche tuo allievo ha posto il lampione su uno dei vertici non farà il matematico, ma magari il sindaco sì.

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  2. :-))
    ah ma i miei allievi sono solo -troppo- matematici! almeno per ora! :)

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  3. Giovanna, scusa se rompo, ma non credo che la soluzione del circocentro sia sempre la piu' logica.
    Come osservate voi, in un caso di triangolo ottusangolo il lampione, pur essendo equidistante dai tre vertici, e' al di fuori della piazza.
    Anche non considerando questo problema "urbanistico", pero', se lo scopo e' quello di ottenere tutti i punti illuminati al meglio possibile (cioe' il piu' vicini possibile al lampione), il circocentro puo' non essere una buona scelta. Ad esempio, prendendo l'animazione di geogebra, spostando il punto B in alto a sinistra ottenendo quindi l'angolo in C molto aperto, il circocentro C' se ne va molto lontano.
    Se il raggio della circonferenza circoscritta arriva ad essere addirittura piu' lungo dei tre lati, mi pare che qualunque punto appartenente al triangolo sia una scelta migliore del circocentro.

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  4. Uhm... la butto li'... secondo me se il triangolo e' acutangolo, il circocentro e' il punto migliore. Se invece e' ottusangolo direi che e' meglio il punto medio del lato opposto all'angolo ottuso.

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  5. Dario, non rompi affatto anzi,
    graditissime le tue osservazioni.
    Che trovo giuste, la prima specialmente.
    Anche i ragazzi hanno fatto le loro osservazioni, lasciando però la soluzione ... all'architetto o ingegnere del Comune! :-)
    Certo concordo con te su un punto interno nei casi considerati.
    Un bel complemento alle nostre riflessioni! leggeremo con i raga...
    grazie!

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  6. a me questo sembra un crittogramma travestito.....cara giovanna, mi sforzo ma non trovo una soluzione....
    un caro saluto a te e ai tuoi intraprendenti allievi;))
    roberta.

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  7. ma dai, Roby
    ... che noi facciamo cose faciline!
    grazie da parte dei miei... monelli!
    salutone

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  8. Insisto sulla mia soluzione che sembra non convincerti troppo.
    Per ovvie ragioni se il triangolo e' acutangolo, il lampione va messo nel circocentro.
    Se invece il triangolo e' ottusangolo, va messo nel punto medio del lato piu' lungo.

    Infatti, il punto medio del lato piu' lungo e' equidistante dai vertici di quel lato (e per altro e' anche piu' vicino del circocentro, che sta sulla mediana di quel lato, e il punto piu' vicino alla mediana di un segmento e' evidentemente il punto medio del segmento).
    Per quanto riguarda l'altro vertice:
    Considerando il lato lungo una corda della circonferenza circoscritta, e' evidente che il segmento che congiunge il suo punto medio con il vertice e' minore del raggio della circonferenza. Se infatti fosse maggiore (o uguale), la corda si troverebbe dalla parte opposta del centro della circonferenza (o coincidente con esso), e quindi il triangolo sarebbe acutangolo (o rettangolo). Tra l'altro mi pare abbastanza facile mostrare che il segmento che congiunge il vertice ottuso del triangolo con il punto medio del lato lungo e' piu' corto della meta' del lato lungo. Quindi, per quel vertice la soluzione del punto medio del lato lungo e' migliore del circocentro (ed e' anche una soluzione migliore di quanto lo sia per gli altri due vertici).
    Insomma, per i due vertici del lato lungo il punto medio e' il migliore, per il terzo vertice e' anche meglio, cosa si puo' volere di piu' dalla vita? Soltanto il sole a mezzogiorno puo' illuminare meglio la piazza! ;-)

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  9. oh, Dario, no,
    non mi sono spiegata troppo!
    Non ero affatto poco convinta.
    Il fatto è che io devo tener conto del fatto che lavoro con ragazzi di 13 anni, devo tener conto della loro personale situazione e "storia", abilità, capacità, ecc. Ero già soddisfatta di quanto la classe, tenuto conto...., ha dato.
    Naturalmente il tuo è un discorso più approfondito, caspita. Di questo ti ringrazio, concordo con le tue considerazioni. Io non posso però proporle alla mia, particolare, classe. Non riuscirebbero a seguirne tutti i passi. Escluso qualcuno e sicuramente con fatica. E il rischio di "disamoramento" è sempre in agguato!:-)
    Il tuo primo commento invece si può sicuramente proporre, l'ho detto, a completamento della discussione.
    Per altro...lasciamo che maturi il loro pensiero razionale.
    grazie Dario.

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  10. >> Il fatto è che ....
    del fatto che ...

    perdono :-(
    tornata a casa stanchissima!

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  11. ;-) oh scusa, avevo capito male...
    ...e' che in queste cose mi lascio prendere dall'entusiasmo.

    uhm... 13 anni.... mi viene da considerare che quando loro sono nati io ero gia' laureato da qualche anno. E si' ero abbondantemente fuori corso!

    Complimenti ai tuoi ragazzi quindi che sono cosi' svegli!

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  12. grazie Dario,
    sei molto buono! ;-)

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  13. otiimo blog, lo metto tra i preferiti!

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