Il calcolo con le frazioni

Eseguiamo le operazioni con le frazioni perché esse sono, oltre che operatori su grandezze, anche dei numeri. Sono i numeri razionali.
Sì, non i naturali, quelli non bastavano più!
Quando l’uomo si è trovato a dover risolvere certe divisioni, quelle non fattibili in N, insieme dei numeri naturali, (si dice non interne ad N) si è dovuto inventare l’insieme Q (insieme dei numeri razionali). Più precisamente, ricordiamo che per numero razionale si intende una classe di equivalenza che è: l’insieme delle infinite frazioni equivalenti ad una frazione primitiva.
Vediamo le più semplici operazioni con frazioni, l’addizione e la sottrazione.
Un esempio:
2/3 + 5/3 + 4/3 = 11/3.
In questo caso mi è venuto molto facile perché dovevo addizionare sempre dei terzi, aggiungere sempre la stessa unità frazionaria che è 1/3, cioè sommare unità frazionarie omogenee, come si fa con le grandezze omogenee (solo fra grandezze omogenee si può operare, fare calcoli).
Quando invece dobbiamo eseguire un addizione con diverse unità frazionarie come sarà il procedimento?
Facciamo un esempio:
2/3 + 5/4 + 7/2
So che posso sommare solo unità frazionarie uguali, quindi devo avere uguali i denominatori. Questo con le frazioni è possibilissimo. Abbiamo uno strumento: riduzione al minimo comune denominatore. Lo abbiamo usato tante volte, per es. per confrontare frazioni.
Cerco il m.c.m. (il minimo comune multiplo) fra i denominatori, che in questo caso è 12 e lavoro così:
2/3 + 5/4 + 7/2 =
8/12 + 15/12 + 42 /12 = 65/12 (sul quaderno anziché scrivere il 12 per quanti addendi sono presenti, lo scrivo una volta sola sotto un’unica linea di frazione).
Come avete potuto vedere anche i numeratori sono cambiati, perché abbiamo seguito la regola dell’invariantiva, che è la proprietà della divisione, che ci permette di trovare frazioni equivalenti.

Cioè se il 3 per diventare 12 è stato moltiplicato per 4, anche il 2 a sua volta deve essere moltiplicato per 4, per questo è diventato 8. Così è stato anche per il 5 ed il 7. Per le sottrazioni si usa lo stesso procedimento.

dalla bozza di Laura,

la II A

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