mercoledì 10 ottobre 2007

Il calcolo con le frazioni

Eseguiamo le operazioni con le frazioni perché esse sono, oltre che operatori su grandezze, anche dei numeri. Sono i numeri razionali.
Sì, non i naturali, quelli non bastavano più!
Quando l’uomo si è trovato a dover risolvere certe divisioni, quelle non fattibili in N, insieme dei numeri naturali, (si dice non interne ad N) si è dovuto inventare l’insieme Q (insieme dei numeri razionali). Più precisamente, ricordiamo che per numero razionale si intende una classe di equivalenza che è: l’insieme delle infinite frazioni equivalenti ad una frazione primitiva.
Vediamo le più semplici operazioni con frazioni, l’addizione e la sottrazione.
Un esempio:
2/3 + 5/3 + 4/3 = 11/3.
In questo caso mi è venuto molto facile perché dovevo addizionare sempre dei terzi, aggiungere sempre la stessa unità frazionaria che è 1/3, cioè sommare unità frazionarie omogenee, come si fa con le grandezze omogenee (solo fra grandezze omogenee si può operare, fare calcoli).
Quando invece dobbiamo eseguire un addizione con diverse unità frazionarie come sarà il procedimento?
Facciamo un esempio:
2/3 + 5/4 + 7/2
So che posso sommare solo unità frazionarie uguali, quindi devo avere uguali i denominatori. Questo con le frazioni è possibilissimo. Abbiamo uno strumento: riduzione al minimo comune denominatore. Lo abbiamo usato tante volte, per es. per confrontare frazioni.
Cerco il m.c.m. (il minimo comune multiplo) fra i denominatori, che in questo caso è 12 e lavoro così:
2/3 + 5/4 + 7/2 =
8/12 + 15/12 + 42 /12 = 65/12 (sul quaderno anziché scrivere il 12 per quanti addendi sono presenti, lo scrivo una volta sola sotto un’unica linea di frazione).
Come avete potuto vedere anche i numeratori sono cambiati, perché abbiamo seguito la regola dell’invariantiva, che è la proprietà della divisione, che ci permette di trovare frazioni equivalenti.

Cioè se il 3 per diventare 12 è stato moltiplicato per 4, anche il 2 a sua volta deve essere moltiplicato per 4, per questo è diventato 8. Così è stato anche per il 5 ed il 7. Per le sottrazioni si usa lo stesso procedimento.

dalla bozza di Laura,
la II A

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15 commenti:

  1. Ciao, seguo sempre il tuo blog, non mi ricordo se ti avevo detto che alla mia veneranda età mi sono iscritto al corso di laurea in matematica, una passione che ho calpestato per anni, ora divenuta realtà.
    Volevo consigliarti un libro, se già non lo conosci, è meraviglioso: "Il re dello spazio infinito" di Siobhan Roberts, edizioni Rizzoli. Una biografia su Coxeter...

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  2. Ciao... Innanzitutto ti ringrazio per essere passata dal mio blog e aver lasciato un commento. Poi vorrei precisare che io e la matematica parliamo due lingue completamente diverse ed incompatibili però prometto che tenterò quantomeno di leggere il tuo blog. La verità è che sono proprio una "crapa" in matematica, fisica, chimica e quant'altro... Se non altro, il tuo blog servirà a stimolare la mia mente. =D

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  3. ciao Morgan,
    è un piacere leggerti qui...:-)
    no. Non conosco il libro e ti ringrazio. Lo segnalo nella sezione libri e lo acquisto sicuramente!
    Sono felice della tua scelta per Matematica. Io purtroppo non ho una laurea in matematica... ma c'è tanta passione !!!
    grazie!

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  4. nemo,
    grazie pure a te per il commento.
    Sììì, ti invito a trovare sul mio blog la *magia* della matematica!:-)
    fruga nell'archivio, leggi le categorie e ...scegli!
    a presto! :-)

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  5. difficile fare un commento su un post di matematica, anche se sono un prof di lettere quasi pentito (avevo fatto lo scientifico per fare l'ingegnere, e invece...); ma sono contento che esistano prof. di mate come te. La matematica è bella, gli studenti... anche, i collegi invece... Buona vita!

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  6. wow! come sono contenta delle tue parole. Sì sì, i miei ragazzi sono belli!
    I collegi... ehehehe, letto il mio commento al tuo post vero? ;-)
    grazie Agati!

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  7. Gaetano Barbella16 ottobre 2007 17:59

    Cara Giovanna,
    faccio capolino per un po' di ricreazione che ce ne vuole a iosa a scuola! Specie dopo un'ora di matematica, o no? È sempre stato così. Umorismo ci vuole e dei matematici c'è n'è da dire! I matematici sembra che siano ispirati dall'arte della matematica piuttosto che da qualunque speranza di una utilità finale. Essi dedicano il loro tempo, energia e fantasia a creare strutture associate astratte e questo li porta inevitabilmente a smarrire il senso delle cose concrete.
    Di qui una sfilza di produzione di battute, aneddoti, tutti sfiziosi non dissimili dalle trovate spiritose e pungenti sui carabinieri, per esempio. Non sono io che lo dico ma raccolgo delle cose a riguardo da un bell'articolo, fra i tanti, di un matematico, Paolo Gregorelli, pubblicato sul Giornale di Brescia del 23.03.2002.
    Ecco una delle storielle che Gregorelli ha riportato con l'articolo suddetto. Qui si mettono in risalto due aspetti centrali dell'attività di un matematico: l'inutilità come principio e la precisione come requisito irrinunciabile. Ma comincio con la storiella.
    Un gruppo di amici volano a bordo di una mongolfiera, quando ad un tratto, trasportati da un vento, forte e improvviso, si perdono nel profondo di una valle. Ad uno di loro viene allora l'idea di gridare aiuto, in modo che l'eco possa trasportare le voci lontano, dove qualcuno possa sentirle.
    «Aiuto, dove siamo?» - urlano in coro. Finalmente, dopo 15 minuti, arriva l'eco di una voce che dice: “Vi siete persi in una valle”.
    Il giovane del gruppo, studente di matematica, subito commenta: «Chi ha risposto è di sicuro un matematico, e lo è per tre motivi. Primo. Ci ha messo un sacco di tempo per rispondere. Secondo. È stato assolutamente preciso e corretto. Terzo. La sua risposta è assolutamente inutile».
    Andando un poco oltre i confini di questa storiella – dopo aver raccontato altre gustose battute sui matematici, Gregorelli riprende a fare delle riflessioni sulla storiella appena terminata. La precisione della risposta data agli sfortunati amici in mongolfiera - egli rileva - traduce la naturale resistenza dei matematici alle generalizzazioni, o per lo meno la loro iniziale diffidenza verso facili deduzioni, ed afferma la volontà di procedere passo dopo passo con cautela.
    La conclusione è che trasportare la matematica dentro divertenti storielle, come quella suddetta, svela l'irrefrenabile impulso che la matematica stessa sente nel mettere in ridicolo il senso comune con la precisione dei suoi concetti. Nel contempo, però, rispetto alla semplicità del senso comune, finisce essa stessa per scadere nel ridicolo con complicazioni esorbitanti, strappando magari una risata. Forse è proprio qui il lato comico.
    Cari saluti, Gaetano

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  8. Gaetano,
    la ringrazio per il gustosissimo commento.
    E' ben vero che i matematici, sono soggetti a smarrire il senso delle cose concrete! Per cui umorismo e ironia al riguardo... ce n'è, ce n'è! :-)
    saluti cordiali,
    g.

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  9. Ciao, volevo solo lasciarti un saluto...
    Taz
    Ciaooo :-)

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  10. mi potete eseguire l'espressioni con le frazioni?

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  11. Carissimo/a piccolo/a "anonimo", (spero sia così, piccolo/a! Visto che sei stato un po' distratto/a e non hai letto le indicazioni su come lasciare i commenti...:-)).
    Ci chiedi di "eseguirti le espressioni con le frazioni"
    Ti rispondo:
    Non è meglio se ci dici qual è la tua difficoltà nella risoluzione delle espressioni con frazioni?
    Sai fare i calcoli con le frazioni? (e su questo blog trovi la guida...)
    Conosci le "regole di precedenza" nelle espressioni?
    Saremmo felici di aiutati. Ma non è giusto eseguire noi per te le espressioni! Scusa, ma che gusto tu ci proveresti??? :-)
    ciao ciao!

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  12. ciao sono leo, faccio la seconda media ho un problema nel eseguire le frazioni, non ho capito come si calcola i 2 denominatori con numerazione differenti tipo 2/4 + 6/8 = grazie anticipatamente dell'aiuto ciao.

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  13. Ciao Leo!
    io sarei ben felice di aiutarti ma.... devo proprio chiederti se hai letto attentamente il post.
    Mi pare ci sia la risposta alla tua domanda.
    Ti prego, rileggi da:
    "Quando invece dobbiamo eseguire un addizione con diverse unità frazionarie [cioè con denominatore diverso] come sarà il procedimento?
    Facciamo un esempio:
    2/3 + 5/4 + 7/2
    ecc......"
    Se leggi con attenzione comprendi che bisogna calcolare il minimo comune multiplo fa i denominatori e poi modificare i numeratori come spiegato nel post...
    Sai calcolare il m.c.m. fra due o più numeri?
    Se hai difficoltà in questo puoi cercare sul blog i post sul minimo comune multiplo appunto!
    Cerca nella sezione "categorie" sulla barra alla destra.
    Fammi sapere!
    Dai, sei in gamba!

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  14. Ciao a tutti io ho difficoltà nel fare le espressioni con le frazioni che hanno la divisione qualcuno sa spiegarmi come si eseguono ? Grazie =D

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  15. Giusy,
    puoi vedere anche questo post:
    Calcolo frazioni2
    e questo, anche se tu non parti da numeri periodici ecc...
    Espressioni con numeri razionali
    Le divisioni, assieme alle moltiplicazioni, in una espressione hanno la precedenza. Dopo l'elevamento a potenza!

    RispondiElimina

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