La II alle prese con i quadrati perfetti.

Scrivono, in tanti, ... i monelli di II!:-)
E' loro anche il titolo.

Le indagini sulle radici quadrate continuano. In particolare: un numero è o no un quadrato perfetto?
Per riconoscere un quadrato perfetto oltre a osservare l’ultima cifra che potrebbe essere 0, 1, 4, 5, 6, 9, la prof ci ha fatto notare che c’è anche un altro modo, quale?
Ha scritto alla lavagna: $\sqrt{ 2^2 }$ .
Ci ha chiesto: qual è la radice?
Abbiamo risposto subito: 2!
Era facile, abbiamo dato la spiegazione che l’estrazione di radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.
Qualcuno ha detto che era facile perché 2²=4 e radice di 4 è 2.
Sì - ha detto la prof - ma come ho scritto il 4?
Esitazione, poi Gimmi ha detto: "sotto forma di potenza".
- E ricordate quando ci è capitato di scrivere i numeri sotto forma di potenza?
Non rispondevamo, nonostante la prof ci desse tanti indizi ... suu, dalla "cassetta degli attrezzi"....
Finalmente qualcuno: ... la scomposizione in fattori primi?
- Perfetto! - C'eravamo arrivati!
E adesso?
Altre domande: - Cosa può essere successo al 2² estraendo la radice? Diventa 2 ...
La prof ha scritto:
(sappiamo già che l'indice di radice, 2, è sottinteso)
Ma poteva servirci vederlo...
Infatti dopo un po'... discussione... : si può semplificare!
Così: = 2
Quindi, un altro modo per estrarre la radice di un numero, oltre a quello con l'algoritmo!
Era proprio così...
abbiamo proposto altri numeri, scomposti in fattori primi e scritti sotto forma di fattori sotto radice:
es: $\sqrt{ 1600 }\, =\, \sqrt{ 2^6*5^2 }\, =\, 2^3*5\,=\,40$
Ma, con le varie proposte, abbiamo scoperto che ... non tutti gli esponenti dei fattori si potevano semplificare!
per es: $\sqrt{ 180 }\,=\,\sqrt{ 2^2*3^2*5 }$
Noi volevamo semplificare solo gli esponenti del 2 e del 3, ma la prof ci ha detto: o tutti o nessuno! Per ora... (Eppoi ci ha ricordato quello che abbiamo visto nelle reazioni chimiche....H2SO4, non si può semplificare!)
Quindi ancora a riflettere...
4 = 2² è un quadrato perfetto, infatti radice di 4 = 2
1600 = $2^6*5^2 $ è un quadrato perfetto, infatti radice di 1600 = 40.
e così con altri esempi...
Il problema dell'inizio era proprio riconoscere un quadrato perfetto.
Quindi??
Ci siamo dovuti arrivare ...!
Un numero è un quadrato perfetto SE, scomposto in fattori primi, ha tutti i fattori con esponente pari. E allora possiamo semplificare con l'indice di radice.

Pensavamo di aver finito il lavoro ma la prof ha ripreso un esempio di numero in fattori sotto radice:

ci ha detto che c'era una possibilità per poter semplificare, quello che si può semplificare!
Proponevamo qualcosa?
Noi non avevamo idee...
- Eppure esiste una proprietà....
Quale poteva essere?
Un po' abbiamo tirato a indovinare, abbiamo detto commutativa... ... alla fine era la distributiva.
- Ma, cosa distribuisco???
Si distribuisce la radice ai singoli fattori, così:

e canticchiando come un motivetto che fa: la radice di un prodotto è uguale al prodotto delle radici dei singoli fattori. Man mano che cantavamo segnavamo degli archetti: sotto il prodotto, sotto il segno uguale, sotto il segno * e sotto le radici dei singoli fattori.
Quindi:
$\sqrt{ 2^4} * \sqrt{ 3}* \sqrt{ 7^2}\,=\,2^2\,*\,\sqrt{ 3}\,*\,7$
si eseguono i prodotti possibili e si può lasciare $\sqrt{ 3}$ così, indicata.
Il risultato è 28 * $\sqrt{ 3}$.

La prof poi ci ha detto la stessa cosa per la radice di un quoziente: la radice di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate del dividendo e del divisore.
$\sqrt{36:9}\, =\,\sqrt{36}\,:\,\sqrt{9}\,=\,6:3\,=\,2$
Ma come al solito la prof non si è accontentata e ci ha invitato a riflettere che questa operazione si poteva rappresentare in un altro modo.
Sottolineava il 36:9 ...
Non riuscivamo a ricordare ma alla fine Giulia D. ha risposto esattamente: si poteva scrivere sotto forma di frazione!
$\sqrt{ \frac{36 }{9 } }\, =\, \frac{ \sqrt{36} }{\sqrt{9} } \,=\, \frac{ 6 }{3 } \,=\,2$
Per un po' tutti gli altri siamo rimasti male dopo questa risposta: perché ci rendevamo conto che doveva venirci in mente!
È così con tutti questi lavori, ancora una volta abbiamo capito che niente del lavoro fatto va dimenticato ma tutto va mandato nella cassetta degli attrezzi!
E bravi Giulia G, Laura, Gimmi, AnnaLaura, Saverio, Sara, G.Andrea, Maria, Adriano! :-)

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