Poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza

Come da titolo, Alessandra e Irene ci parlano di

Poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza.

Questo è un poligono inscritto in una circonferenza:

Osserviamo che tutti i vertici del poligono si trovano sulla circonferenza, sono punti della circonferenza.
La circonferenza si dice circoscritta al poligono.
Non sempre un poligono si può inscrivere in una circonferenza.
Sulla figura abbiamo tracciato il raggio della circonferenza, il punto F è un vertice del poligono.
E' necessario quindi un punto del poligono che sia equidistante dai vertici del poligono stesso.
Un punto con questa proprietà è il punto di incontro degli assi (tutti i punti dell'asse di un segmento AB sono equidistanti dagli estremi A e B del segmento).

Quindi diciamo che :
un poligono è inscrittibile in una circonferenza se gli assi dei suoi lati si incontrano in un unico punto detto circocentro del poligono. Il centro della circonferenza circoscritta coincide con il circocentro del poligono.

Questo è un poligono circoscritto in una circonferenza:

Osserviamo che tutti i lati del poligono sono tangenti alla circonferenza.
La circonferenza si dice inscritta al poligono.
Non sempre un poligono si può circoscrivere in una circonferenza.
Abbiamo tracciato il raggio.
Occorre che ci sia un punto equidistante dai lati del poligono. Questa proprietà la troviamo nel punto di incontro delle bisettrici degli angoli del poligono (tutti i punti della bisettrice di un angolo sono equidistanti dai lati dell'angolo)

Quindi diciamo che :
un poligono è circoscrittibile in una circonferenza se le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un unico punto detto incentro del poligono. Il centro della circonferenza inscritta coincide con l'incentro del poligono.

Da quanto abbiamo detto si capisce che i poligoni regolari si possono sempre inscrivere e circoscrivere in una circonferenza, perché il circocentro e l'incentro coincidono.

Il raggio della circonferenza inscritta si chiama apotema del poligono. Il circocentro e l'incentro sono il centro del poligono.

Anche i triangoli sono sempre inscrittibili e circoscrittibili.
Un triangolo si può sempre inscrivere in una circonferenza perché esiste sempre il circocentro che è unico.

Ora si capisce anche meglio il motivo per cui il punto di incontro degli assi di un triangolo si chiama circocentro: perché è il centro della circonferenza circoscritta.

Il triangolo si può sempre circoscrivere perché esiste sempre l'incentro che è unico.

Si capisce perché il punto di incontro delle bisettrici si chiama incentro: è il centro della circonferenza inscritta.
Abbiamo utilizzato Geogebra per tutte le costruzioni.
I file:
Poligono inscritto e poligono circoscritto.ggb
Poligoni regolari e triangoli.ggb

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