venerdì 27 febbraio 2009

Poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza

Come da titolo, Alessandra e Irene ci parlano di

Poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza.
Questo è un poligono inscritto in una circonferenza:
Osserviamo che tutti i vertici del poligono si trovano sulla circonferenza, sono punti della circonferenza.
La circonferenza si dice circoscritta al poligono.
Non sempre un poligono si può inscrivere in una circonferenza.
Sulla figura abbiamo tracciato il raggio della circonferenza, il punto F è un vertice del poligono.
E' necessario quindi un punto del poligono che sia equidistante dai vertici del poligono stesso.
Un punto con questa proprietà è il punto di incontro degli assi (tutti i punti dell'asse di un segmento AB sono equidistanti dagli estremi A e B del segmento).

Quindi diciamo che :
un poligono è inscrittibile in una circonferenza se gli assi dei suoi lati si incontrano in un unico punto detto circocentro del poligono. Il centro della circonferenza circoscritta coincide con il circocentro del poligono.

Questo è un poligono circoscritto in una circonferenza:

Osserviamo che tutti i lati del poligono sono tangenti alla circonferenza.
La circonferenza si dice inscritta al poligono.
Non sempre un poligono si può circoscrivere in una circonferenza.
Abbiamo tracciato il raggio.
Occorre che ci sia un punto equidistante dai lati del poligono. Questa proprietà la troviamo nel punto di incontro delle bisettrici degli angoli del poligono (tutti i punti della bisettrice di un angolo sono equidistanti dai lati dell'angolo)

Quindi diciamo che :
un poligono è circoscrittibile in una circonferenza se le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un unico punto detto incentro del poligono. Il centro della circonferenza inscritta coincide con l'incentro del poligono.

Da quanto abbiamo detto si capisce che i poligoni regolari si possono sempre inscrivere e circoscrivere in una circonferenza, perché il circocentro e l'incentro coincidono.

Il raggio della circonferenza inscritta si chiama apotema del poligono. Il circocentro e l'incentro sono il centro del poligono.

Anche i triangoli sono sempre inscrittibili e circoscrittibili.
Un triangolo si può sempre inscrivere in una circonferenza perché esiste sempre il circocentro che è unico.

Ora si capisce anche meglio il motivo per cui il punto di incontro degli assi di un triangolo si chiama circocentro: perché è il centro della circonferenza circoscritta.
Il triangolo si può sempre circoscrivere perché esiste sempre l'incentro che è unico.

Si capisce perché il punto di incontro delle bisettrici si chiama incentro: è il centro della circonferenza inscritta.
Abbiamo utilizzato Geogebra per tutte le costruzioni.
I file:
Poligono inscritto e poligono circoscritto.ggb
Poligoni regolari e triangoli.ggb

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9 commenti:

  1. Ottimo spunto per una serie di prossime lezioni su circonferenza e poligoni.
    Grazie!
    Daniele
    http://lnx.sinapsi.org/wordpress/

    RispondiElimina
  2. Brave Alessandra e Irene, siete riuscite a inscrivermi e circoscrivermi nella vostra interessante esposizione.
    A voi e alla prof
    buona fine settimana.
    Vale

    RispondiElimina
  3. LA MASTHRA CAGAZZÙA

    Il poligono inscritto al cerchio, come un certa memoria dai lati incerti, mi porta a memorie inserite nella mente. E tu che sei di Sassari, cara Giovanna Arcadu, che ho tralasciato di dedicare commenti come tempo addietro, meriti che io ponga rimedio. Lo faccio con una poesia dialettale sarda del 1900, sassarese per la precisione. Come un certo prezioso poligono, non importa se non tanto regolare come tutti vorrebbero, è come un altare al passato, qui alla masthra cagazzùa, una maestrina preelementare senza studi e cultura. Insegnava l’alfabeto e la dottrina cristiana per pochi centesimi al mese. La scuola? Quasi sempre un vano terreno, umido, freddo e senza luce: un vero tugurio. Sparita ormai, da tanto, la caratteristica figura di questa maestra cagazzùa, com'era definita allora in sassarese.

    Da:
    SASSARI VÉCCIA E NÓBA
    di Salvator Ruju
    a cura di Caterina Ruju
    Edizione ILISSO

    LA MASTHRA CAGAZZÙA (19)
    Ad Arturo Filippi

    Éra isthrìzura e ciatta che l’azzùa
    e cu la bòzi bèdda e diricada,
    e da tant’anni ignòra Ciara Fada
    vibìa fèndi la masthra cagazzùa.
    Di nótti iscìa calchi vóltha accùa
    a vindissi la còsa rigarada:
    un pògu di prunaldha inzuccarada,
    lintiza mòra, calchi pésu d’ùa.
    E ni turraba cu l’imborighéddi
    e l’impullitta, cu la cunfittura
    pa rigalalla a li só piccinnéddi.
    E a di nótti, sóra, cu l’ammènti,
    si ni cazzaba chissa só tristhura
    cicchittèndisi tutta l’ebardhènti.


    LA MAESTRA PREELEMENTARE

    Era allampanata e piatta come un’acciuga
    e con la voce bella e delicata,
    e da tanti anni signora Chiara Fada
    viveva facendo la maestra preelementare.
    Di notte usciva qualche volta di nascosto
    per vendersi le cose che le avevano regalato:
    un poco di susine secche inzuccherate,
    lenticchie scure e qualche grappolo d’uva.
    E tornava con i pacchettini
    e la bottiglietta, con i dolciumi
    per regalarli ai suoi piccolini.
    E di notte, sola, con i ricordi,
    scacciava quella sua tristezza
    sorseggiando tutta l’acquavite.

    Gaetano Barbella

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  4. Ah la geometria mi è sempre piaciuta molto con le sue figure e le sue dimostrazioni! Buona domenica, Fabio

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  5. Ciao Giovanna, questo articolo mi è stato utile per capire meglio....

    CIao..

    RispondiElimina
  6. Pier Luigi, ricevuto solo ora il tuo commento,
    ti ringrazio,
    salutone.

    Gaetano,
    che gradita sorpresa! eheh... mi dimenticavi...! :-)
    Grazie per la poesia, che non conoscevo. Molto carina.

    Fabio,
    grazie, buona domenica a te.

    Matteo,
    sono felice quando siamo utili!
    un bacione.

    RispondiElimina

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