martedì 29 gennaio 2008

L'algoritmo dell'estrazione di radice quadrata

Come si estrae la radice quadrata di un numero qualsiasi con il calcolo manuale?

Si potrebbe pensare che tale operazione sia di scarsa utilità (abbiamo a disposizione calcolatrici e ... excel!) e scarso valore didattico trattandosi di un procedimento, un algoritmo, che solitamente si impara meccanicamente.
E' possibile tuttavia, almeno in parte alla scuola media, comprendere i "passi" da compiere, eseguire dunque il calcolo per l'estrazione di una radice quadrata, con una certa consapevolezza.
Gli strumenti per capire appieno l'algoritmo si acquisiscono con lo studio del calcolo letterale e precisamente dei prodotti notevoli. Per il momento tali strumenti non sono alla portata dei ragazzi di seconda media.

Abbiamo tuttavia cercato, insieme, di capire perché si deve procedere in un certo modo....
Una stima iniziale.
Riflettiamo sul numero di cifre della parte intera della radice di un numero intero qualsiasi.
La radice di un numero intero di 2 cifre ha una sola cifra.
La radice di un numero intero di 3 o 4 cifre è un numero di 2 cifre.
La radice di un numero intero di 5 o 6 cifre ha 3 cifre.
La radice di un numero intero di 7 o 8 cifre ha 4 cifre. ....
Una seconda stima:
qual è la prima cifra della radice di un numero?
Consideriamo un numero di 3 cifre: 354.
Abbiamo stabilito che la radice, nella sua parte intera, è costituita da 2 cifre. La prima cifra non potrà quindi che essere un 1. Ipotizzando il 2, il numero più basso di 2 cifre, sarebbe 20, ma 20^2 = 400!
Consideriamo un numero di 4 cifre: 1378
La sua radice, nella sua parte intera, è costituita da 2 cifre. La prima cifra non può che essere 3. Se ipotizzassimo 4, il numero più basso, di 2 cifre, sarebbe 40, ma 40^2 = 1600!
Nasce da queste osservazioni l'esigenza di suddividere il numero di cui si deve estrarre la radice, il radicando, in gruppi da 2 cifre a partire da destra.

Prepariamoci dunque ad estrarre al radice di un numero qualsiasi. Prendiamo come esempio il numero, di 5 cifre, 14161
Passo 1:
dividiamo il numero in gruppi di due cifre a partire da destra:


Dobbiamo trovare un numero che elevato alla seconda potenza non superi 1. Tale numero è 1. Sarà 1 la prima cifra della radice. Eseguiamo 1^2. Il risultato va sottratto alla cifra 1 (a sinistra) del radicando.
A questo punto,
Passo 2:
vogliamo ricordare come si esegue una divisione?
Siamo portati a dire: "Aah! Abbasso il 4!"
E no, attenzione! Noi si estrae una radice quadrata che è l'inversa dell'elevamento a potenza 2!
Perciò.... si abbassano 2 cifre!
Ecco (la sottrazione 1-1, abbreviata) la situazione:

Passo 3:
questo è quello la cui comprensione non è alla nostra portata!
Si raddoppia il risultato finora ottenuto, la cifra 1, e si scrive sotto la linea di separazione: otteniamo 2.
Ora... attenti: bisogna trovare una cifra, indichiamola con x, da affiancare al 2 per ottenere 2x e tale che 2x * x non superi il 41, il "resto" che abbiamo in basso a sinistra.
Come regolarsi?
La cifra x NON può essere un 3 perché: 23*3 = 69
Potrebbe essere 2? Potrebbe! Infatti 22 *2 = 44. Almeno con le decine, ci siamo!
Tuttavia 44 è maggiore di 41, per cui la cifra giusta è 1.
Il "fare i conti" con le decine è perciò la considerazione esatta per "regolarsi". Che vuol dire non "andare a naso", ma scegliere con consapevolezza!
Quindi potrebbe essere di aiuto separare nel resto, la cifra delle decine, es: nel 41, mettere un puntino (in basso, per non confondere con la precedente separazione del radicando): 4.1, quindi stabilire: il 2 nel 4 è contenuto (ci sta) 2 volte. Verificare, eseguendo il prodotto, che la cifra 2 è troppo alta e provare con la cifra inferiore: 1.
La cifra 1, valida, va a completare il risultato, quindi si affianca alla prima cifra (1), ottenuta in precedenza.
Il prodotto 21, va sottratto dal 41.
Ecco lo schema (sottrazione 41-21 abbreviata):

Passo 4:
si abbassano le altre 2 cifre del radicando, 61;
si ripete la procedura: raddoppio ancora il risultato finora ottenuto, e lo scrivo sotto una seconda linea di separazione: 22.
Cerco una cifra x, da affiancare al 22 per ottenere 22x e tale che 22x * x non superi il 2061, il "resto" che abbiamo ora in basso a sinistra.
Come ci si "regola"?
Separiamoci l'ultima cifra del resto. Consideriamo quante volte il 22 è contenuto nel 206, quindi il 2 nel 20. Sappiamo che 2 nel 20 è contenuto 10 volte. Possiamo dunque partire affiancando la cifra 9.
Se 229 * 9 dovesse superare 2061, scriveremmo, sotto un'altra linea di separazione [quindi non abbiamo bisogno di cancellare (o pasticciare)], 228 *8. Ma ... non siamo andati "a naso"! :-)
Il nostro 229 *9 è tuttavia uguale a 2061. Va ...perfetto!
La cifra 9 va a completare il risultato. Si sottrae il prodotto 2061 dal 2061 e ... resto pari (zero)!

La radice quadrata di 14161 è 119.
Il numero 14161 è un quadrato perfetto: non abbiamo ottenuto resto.

Nel caso in cui il radicando non fosse un quadrato perfetto, avremmo il resto diverso da zero.
Come continuiamo?
"Metto la virgola nel risultato e aggiungo... lo zero al resto!"
E no! Sempre la solita attenzione! Estraggo la radice quadrata che è......
Devo aggiungere 2 zeri al resto!
Poi ripeto il passaggio 4 .....
Anche l'algoritmo dell'estrazione di radice quadrata offre dunque spunti per acquisire la consapevolezza (e padronanza) del calcolo!
Naturalmente nel caso in cui l'estrazione di radice diventi strumento per risolvere altre questioni, il calcolo si fa eseguire alla calcolatrice!
...e dovremmo tuttavia essere in grado di accorgerci di eventuali errori grossolani dovuti a malfunzionamenti o nostre distrazioni nel dare istruzioni alla macchina! :-)
Segnalo in rete questo articolo, di .mau. che offre ancora un esempio e una spiegazione passo a passo dell'algoritmo.

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40 commenti:

  1. Volevo chiedere una cosa: vuoi il processo per estrarre la radice lo chiamate algoritmo?? A dire la verità non ho letto tutta la spiegazione perchè di algoritmi me ne escono da tutti i buchi della testa! Anche se devo dire che mi è piaciuto come argomento...!^^
    CIAO!!!

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  2. Susy, ciao!
    Bèh, dai abbiamo usato questo termine che sembra un pochino difficile, ma, quando si "conosce", nulla è difficile!
    Comunque si tratta semplicemente di un procedimento. In questo caso quello per l'estrazione di radice quadrata. Che poi, dici di ..non poterne più di algoritmi! :-)
    Per cui sai già che si tratta di procedimenti per eseguire operazioni o in generale per la risoluzione di un problema.
    Tu immagino sai estrarre dunque le radici! Altrimenti ti invito invece a fare lo sforzo di leggere il procedimento :-) Magari impari qualche "trucco"!
    Ehehehe, mai fidarsi degli insegnanti!!! :-)
    un baciotto!

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  3. ciao, sono un ragazzo di 12 anni ke sta studiando le radici quadrate. La vostra spiegazione mi è servita molto grazie !!

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  4. Simone, ciao!
    Siamo felicissimi di esserti stati utili.
    In bocca al lupo per i tuoi studi!
    Torna a trovarci magari. Puoi anche chiederci qualche info :-)

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  5. con tale metodo come si fa a calcolare la radice di un numero decimale che sia per esempio 0,573 approssimata per difetto a meno di 0.001? dovrei aggiungere tre zeri giusto? pero poi rimane isolato lo zero..radice di zero è zero.poi dovrei fare il quoziente tra un numero naturale e lo zero che è impossibileee

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  6. Scusami anonimo,
    anche se sei anonimo :)
    posso risponderti solo più tardi, perché lo faccio in dettaglio...
    ora devo uscire per scrutini!
    spero tanto non si tiri troppo per le lunghe!
    a presto

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  7. Dunque anonimo...
    per calcolare la radice di un decimale, sia pure minore di 1, come 0,573, è valido comunque l'algoritmo descritto.
    E' esatto aggiungere 3 zeri per l'approssimaz. a meno di un millesimo.
    Quindi, come tu dici, la radice di zero è zero (la parte intera deve infatti rimanere separata da quella dec).
    Non ti seguo invece quando dici: "dovrei fare il quoziente tra un numero naturale e lo zero"
    Perché dovresti fare questo?
    Dopo aver messo lo zero come primo valore della radice(il risultato),
    seguendo l'algoritmo, dovresti,, "raddoppiare", e otterresti zero. Puoi metterlo oppure no.
    Avrai messo la virgola dopo lo zero e "abbassato" le due cifre (57),
    ora devi trovare una cifra da "affiancare" allo zero (se lo indichi). Devi poi moltiplicare per tale cifra in modo tale che il prodotto non superi 57. Tale cifra è il 7.
    puoi avere 07*7
    oppure 7*7
    Così di seguito...
    Qual è il problema?
    spero di esserti stata d'aiuto!

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  8. grazie 1000, avevo bisogno di una rinfrescata!

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  9. Complimenti per il blog. Un saluto a tutti i lettori

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  10. Grazie, Scarlettblue e Fraxxx!
    verrò a trovarvi... :-)

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  11. utilzzando l'algoritmo spiegato nn mi vengono le radici quadrate di 5056 e 9801. aiutoo

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  12. su su, anonimo,
    riprova con calma.
    il secondo è pure un quadrato perfetto. Il primo no, e devi approssimare continuando con la stessa procedura.

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  13. grazie mille finalmente ho trovato qualcuno che mi spiega bene la matematica!! ancora grazie mille :)

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  14. Ilaria, sono contenta di essere stata d'aiuto.
    grazie a te!:-)

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  15. ciao!!sono 1 ragazza di 12 anni.....!!grazie mi è servito...però vorrei sapere anche come si calcola con i numeri decimali limitati o illimitati con approssimazione ai centesimi decimi o millesimi...perchè tra poco ho la verifica e non ci sto capendo niente!!!!!!!:(solo se è possibile pero!!!:)

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  16. Questo commento è stato eliminato dall'autore.

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  17. Sofy,
    calma, calma... ci siamo (quasi sempre!)
    Per l'estraz radice con i decimali leggi QUI
    Per l'approssimazione ai decimi, centesimi o millesimi...:
    se ti si chiede l'appross. (per difetto) a meno di un decimo (0,1) devi estrarre fino ad avere il risultato con un solo decimale (decimi),
    se a meno di un centesimo (0,01), devi avere due cifre decimali (centesimi) nel risultato, eccc...
    ciao!

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  18. aaaaaaa....quindi se ho il numero 657,7 a meno di 1 decimo x difetto devo scrivere 657,70 giusto???e poi lo svolgo...ok è mlt + facile di come pensavo......e coi numeri irrazionali è sempre lo stesso???comunque grazie 1000!!!

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  19. ok e,
    "con i numeri irrazionali..."
    è un lapsus oppure devo chiederti: quali sono i numeri irrazionali?

    ehehe... mai fidarsi degli insegnanti! Finisce che ti fanno le domande! :-) :-)

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  20. sono quei numeri ke,nell'algoritmo,nn hanno mai testo 0.......eccco fatto.....credo!!xD
    quindi non è uguale...booooo...con i numeri decimali ho kapito...ma cn questi??

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  21. o, cara Sofy, sei una brava alunna!
    Lo dichiaro perché non hai "lasciato perdere".
    Ma, diciamolo meglio:
    *irrazionali* (per ora, in questo contesto) sono *le radici* (cioè i risultati dell'estrazione di radice) di numeri che non sono quadrati perfetti, cioè "nell'algoritmo" (di estrazione della loro radice) non si ottiene mai resto zero. E, continuando ad estrarre a meno di 0,0000 ...1 (o all'infinito!) non si ottiene mai un numero periodico.
    I periodici sono razionali!
    Per cui:
    a te credo si chieda di estrarre la radice di:
    numeri interi,
    numeri decimali limitati
    numeri dec illimitati periodici
    (che sono tutti *razionali*)
    E, lo abbiamo spiegato! Rivedi ancora il post ultimo segnalato.

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  22. aaa....vabbe forse non mi sono spiegata con la definizione di irrazionali.....ora vado a vedere anche perchè domani ho la verifika....e mi allenerò con molti esercizi...:)
    grazie 100000000....finalmente ho trovato 1 sito k me lo spiega!!!xD
    auguratemi buona fortuna!!-.-";)
    ciaoo!!e grazie x la sua pazienza!!!xD

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  23. Ma vai tranquilla, sofy, farai benissimo, non può essere che così, ti impegni!
    - Mi farà piacere sapere poi come è andata! :-))
    In bocca al lupo!

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  24. PS: non scrivere verifika nella verifica!
    Il prof/la prof ti toglie un punto! :-))

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  25. crepi!!!ok..poi le diro come è andata...ma credo k al massimo mercoledi ci dara i voti....spero bene!!!:)
    grazie ankora!!!zaooo!!xD

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  26. Scusate mi chiamo Simone e sono in 2 media questo argomento me l'hanno spiegato sabato ma non ho capito un bel niente?? mi potreste aiutare quello dei numeri 4 o 5 cifre lo capito ma tipo come faccio con il numero 556 o provato a usare lo stesso procedimento ma non riesco mi aiutereste??

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  27. Simone, ciao.
    con i numeri a tre cifre il procedimento è lo stesso:

    - si divide il numero in gruppi di due cifre a partire da destra, es: 9.86
    - devo trovare un numero che, moltiplicato per se stesso non superi 9
    - e così via come spiegato nei "passo a passo"
    Riprova con calma!

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  28. Ciao sono un ragazzo della seconda alle prese con l'algoritmo.... Come si fa con questo metodo l'estrazione di 0,05346 approssimata ai decimi????? Grazie mille in anticipo per l'aiuto....

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  29. ciao, ultimo anonimo :-)
    Nei commenti un altro anonimo ha posto la domanda simile alla tua. Leggi, ho risposto.
    Guarda anche questo post
    Leggi tutto con attenzione!

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  30. LA SIGNORA negata25 luglio 2012 17:21

    Non ho capito molto bene e essendo completamente negata in matematica potresti rispiegarmelo? GRAZIE!!!!!

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  31. Signora negata: no, io non credo alle "negazioni" :-)
    La matematica si capisce con un po' di pazienza, di curiosità, di impegno, nel senso di fatica anche, perché negarlo?? :-) Tutto si ottiene con l'impegno!
    grazie a te.

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  32. Ciao la vostra spiegazione mi è stata molto utile anche perchè domani ho compito xD Grazie ;)

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  33. Sono contenta,
    in bocca al lupo per la verifica!

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  34. grazie di tutto giovanna







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  35. grazie a te, anonimo!
    ma peccato che sei anonimo :-)

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  36. Facendo la radice di 2 , dato che ha un numero infinito di cifre , l'algoritmo non dovrebbe terminare mai.

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  37. grazie a scuola nnon l'avevo cfapitto ma ora grazie al sito lo capito orasa vado a fare gli esercizi grazie ancora
    ciao
    alessia,12 anni ,

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  38. Bene, Alessia,
    mi raccomando gli esercizi... :-)
    grazie a te

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