venerdì 6 febbraio 2009

La II alle prese con i quadrati perfetti.

Scrivono, in tanti, ... i monelli di II!:-)
E' loro anche il titolo.

Le indagini sulle radici quadrate continuano. In particolare: un numero è o no un quadrato perfetto?
Per riconoscere un quadrato perfetto oltre a osservare l’ultima cifra che potrebbe essere 0, 1, 4, 5, 6, 9, la prof ci ha fatto notare che c’è anche un altro modo, quale?
Ha scritto alla lavagna: $\sqrt{ 2^2 }$ .
Ci ha chiesto: qual è la radice?
Abbiamo risposto subito: 2!
Era facile, abbiamo dato la spiegazione che l’estrazione di radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.
Qualcuno ha detto che era facile perché 2²=4 e radice di 4 è 2.
Sì - ha detto la prof - ma come ho scritto il 4?
Esitazione, poi Gimmi ha detto: "sotto forma di potenza".
- E ricordate quando ci è capitato di scrivere i numeri sotto forma di potenza?
Non rispondevamo, nonostante la prof ci desse tanti indizi ... suu, dalla "cassetta degli attrezzi"....
Finalmente qualcuno: ... la scomposizione in fattori primi?
- Perfetto! - C'eravamo arrivati!
E adesso?
Altre domande: - Cosa può essere successo al estraendo la radice? Diventa 2 ...
La prof ha scritto:
(sappiamo già che l'indice di radice, 2, è sottinteso)
Ma poteva servirci vederlo...
Infatti dopo un po'... discussione... : si può semplificare!
Così:
= 2
Quindi, un altro modo per estrarre la radice di un numero, oltre a quello con l'algoritmo!
Era proprio così...
abbiamo proposto altri numeri, scomposti in fattori primi e scritti sotto forma di fattori sotto radice:
es: $\sqrt{ 1600 }\, =\, \sqrt{ 2^6*5^2 }\, =\, 2^3*5\,=\,40$
Ma, con le varie proposte, abbiamo scoperto che ... non tutti gli esponenti dei fattori si potevano semplificare!
per es: $\sqrt{ 180 }\,=\,\sqrt{ 2^2*3^2*5 }$
Noi volevamo semplificare solo gli esponenti del 2 e del 3, ma la prof ci ha detto: o tutti o nessuno! Per ora... (Eppoi ci ha ricordato quello che abbiamo visto nelle reazioni chimiche....H2SO4, non si può semplificare!)
Quindi ancora a riflettere...
4 =è un quadrato perfetto, infatti radice di 4 = 2
1600 = $2^6*5^2 $
è un quadrato perfetto, infatti radice di 1600 = 40.
e così con altri esempi...
Il problema dell'inizio era proprio riconoscere un quadrato perfetto.
Quindi??
Ci siamo dovuti arrivare ...!
Un numero è un quadrato perfetto SE, scomposto in fattori primi, ha tutti i fattori con esponente pari. E allora possiamo semplificare con l'indice di radice.

Pensavamo di aver finito il lavoro ma la prof ha ripreso un esempio di numero in fattori sotto radice:

ci ha detto che c'era una possibilità per poter semplificare, quello che si può semplificare!
Proponevamo qualcosa?
Noi non avevamo idee...
- Eppure esiste una proprietà....
Quale poteva essere?
Un po' abbiamo tirato a indovinare, abbiamo detto commutativa... ... alla fine era la distributiva.
- Ma, cosa distribuisco???
Si distribuisce la radice ai singoli fattori, così:

e canticchiando come un motivetto che fa: la radice di un prodotto è uguale al prodotto delle radici dei singoli fattori. Man mano che cantavamo segnavamo degli archetti: sotto il prodotto, sotto il segno uguale, sotto il segno * e sotto le radici dei singoli fattori.
Quindi:
$\sqrt{ 2^4} * \sqrt{ 3}* \sqrt{ 7^2}\,=\,2^2\,*\,\sqrt{ 3}\,*\,7$
si eseguono i prodotti possibili e si può lasciare $\sqrt{ 3}$ così, indicata.
Il risultato è 28 * $\sqrt{ 3}$.

La prof poi ci ha detto la stessa cosa per la radice di un quoziente: la radice di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate del dividendo e del divisore.
$\sqrt{36:9}\, =\,\sqrt{36}\,:\,\sqrt{9}\,=\,6:3\,=\,2$
Ma come al solito la prof non si è accontentata e ci ha invitato a riflettere che questa operazione si poteva rappresentare in un altro modo.
Sottolineava il 36:9 ...
Non riuscivamo a ricordare ma alla fine Giulia D. ha risposto esattamente: si poteva scrivere sotto forma di frazione!
$\sqrt{ \frac{36 }{9 } }\, =\, \frac{ \sqrt{36} }{\sqrt{9} } \,=\, \frac{ 6 }{3 } \,=\,2$
Per un po' tutti gli altri siamo rimasti male dopo questa risposta: perché ci rendevamo conto che doveva venirci in mente!
È così con tutti questi lavori, ancora una volta abbiamo capito che niente del lavoro fatto va dimenticato ma tutto va mandato nella cassetta degli attrezzi!
E bravi Giulia G, Laura, Gimmi, AnnaLaura, Saverio, Sara, G.Andrea, Maria, Adriano! :-)


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14 commenti:

  1. ciao prof. ho visto il lavoro ora sono alla ricerca di altro.
    Saverio

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  2. Ciao Saverio,
    ook! che so, cerca "geometria"...
    PS riesci a visualizzare le formule? (ho usato il LaTex). Se non riesci, se usi Explorer, scarica e installa Mathlplayer.
    Clic sul link indicato nella info sulla barra laterale. E' una cosa veloce!

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  3. giovanna, sei troppo brava. non capisco perché a me (con firefox 3) non si visualizzino le formule che già si visualizzavano tempo addietro. comunque non importa, complimenti ancora a te e ai tuoi bravi alunni.

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  4. papà..
    strano con firefox3.
    Io lo avevo installato ma mi rallentava ulteriormente il caricamento delle pagine (se ce ne fosse bisogno, non abbiamo ADSL, non so se a te l'ho mai detto!) quindi ho reinstallato firefox 2.
    Magari per le formule bisogna attendere qualche istante, qualcuno, anche con connessione veloce, una volta aveva scritto così (io devo attendere più di qualche istante...).
    grazie a te,
    tu, troppo buono! :-)

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  5. Ciao Prof....
    Che bello se avessi avuto una Prof come te....
    Leggendo il lavoro dei tuoi alunni sono rimasta colpita da come li hai coinvolti...!!!
    Saranno anche "monelli" ma sicuramente monelli svegli!!!
    Un forte abbraccio Roberta.

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  6. ciao carissima,
    si, monelli è un vezzeggiativo anche se un pochino lo sono! :-)
    Ma nelle attività sono sempre coinvolti, questo sì.
    grazie Roby

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  7. Ciao Giò. Passavo per un saluto e ho prelevato l'indirizzo delle immagini per la matematica che non conoscevo! Molto interessante !
    grazie
    buona settimana

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  8. Ciao Eli!
    Certamente ... anch'io ho trovato molto interessante.
    grazie a te,
    buona settimana
    a presto

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  9. ciao prof sono Andrea o visto le formule,dopo un pò di tempo mi sono apparse

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  10. Andrea, bravo!
    hai visto che carine sono? :-)
    Andre? "ho" non "o"
    bacino! :-)

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  11. ciao prof sono Andrea o trovato un nuovo metodo per calcolare la radice quadrata su excel.Il metodo è di un matematico chiamato (NEWTON-RAPHSON):lei prof lo conosce

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  12. Andrea,
    sei fantastico!
    Sì, lo conosco quel metodo (sono due matematici -più che matematici...-), per voi mi pare un pochino difficile però!
    Mi racconterai come lo hai trovato e....

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  13. ciao prof., sono giovanni, volevo scrivere che la radice di 2^2 è 2 e non di 22 come è scritto nel blog.
    ciao giovanni

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  14. ciao Nanni,
    sai che non riesco a trovare l'errore che tu mi segnali?
    probabilmente sul tuo pc non visualizzi correttamente qualche formula...
    Io vorrei invitarti a leggere l'ultimo post: Il triangolo di Tartaglia.
    E magari inizi a costruirlo, che dici? è divertente, stamane Simo e Marina lo hanno costruito!:-)
    ciao!

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