La radice quadrata di 2 non può essere un numero razionale!

Pubblico questo post con un sorriso ...
Un nostro nuovo lettore, Cristian, mi ha chiesto in commento: "Perchè non gli DIMOSTRI che la radice di 2 è irrazionale?"
Io, si può vedere la mia risposta, ho espresso le mie perplessità sull'idea di proporre ai ragazzi delle scuole medie una dimostrazione matematica.
Tuttavia... Cristian, e come no, la matematica piace assai anche a me! E ho deciso di accettare il tuo suggerimento, proponendo ai ragazzi ... solo un bel brano da leggere!

« Dimostrazione per assurdo dell'irrazionalità della radice di 2», annunciò Lea con voce argentina, tirando a sé la lavagnetta che Max usava alle elementari.
……
«Supponiamo che esista una frazione a/b il cui quadrato sia uguale a 2 », sussurrò Jonathan, chinandosi verso gli spettatori con aria complice.
«Dunque si avrà a^2/b^2 = 2 », continuò Lea, scrivendo sulla lavagnetta.
« Prendiamo la frazione più piccola, detta irriducibile, che ha questa forma. I suoi termini, a e b, sono primi tra loro, vale a dire che non hanno un divisore comune. »
« Dunque a e b non possono essere tutt'e due pari! » dichiaro Lea.
« E se a^2/b^2 = 2, è ovvio che a^2 = 2*b^2. »
« Dunque a^2 è un numero pari, poiché è uguale a un doppio », annunciò Lea.
Ma che cos'hanno? rifletté Perrette che li fissava, sbigottita.
« Ora, solo il quadrato di un numero pari è pari », li informo Jonathan, lanciando un'occhiata furtiva alla madre.
« Quindi a è pari, insisto », esclamò Lea.
«Quindi a è un doppio, per esempio del numero c», intervenne Jonathan, scrivendo sulla lavagnetta. « Vale a dire a= 2*c. »
« Non così in fretta », protestò il signor Ruche, al quale tuttavia piaceva seguire quel procedimento.
« Torniamo all'uguaglianza iniziale: a^2 = 2*b^2, e proviamo a sostituire a con 2*c. Otteniamo (2*c) ^2 = 2*b^2. Dunque 4*c^2 = 2*b^2 e quindi 2*c^2 = b^2. »
« In cui b^2 è uguale a un doppio... »
« Avete una scrittura da analfabeti, e dire che ho la vista buona », brontolò Ruche.
« Ricomincio daccapo », annunciò Jonathan. « Dunque, se b^2 equivale a un doppio, significa che b è pari. »
« Esattamente come prima. Dunque b è pari, insisto! » intervenne Lea.
« Riprendiamo i tre 'insisto' che scandiscono il ragionamento per assurdo.
Da un lato, a e b non possono essere entrambi numeri pari;
dall'altro, a e b sono tutt'e due pari. Impossibile! Qual è la causa di questa assurdità? » domandò Jonathan, fissando gli ascoltatori con aria inquisitoria.
Vederli appassionarsi a una dimostrazione matematica era un miracolo. Perrette e il signor Ruche si guardarono, come se si volessero chiedere a vicenda: Vede quello che vedo io? Sente quello che sento io?
Lo stupore di quei due adulti entusiasmò Max: era fiero dei gemelli.
«Qual è la causa di questa assurdità?» domandò di nuovo Jonathan.
« La mia ipotesi », confessò Lea, abbassando la testa.
« Ripetila, questa ipotesi fasulla! » ordinò jonathan.
« Esiste una frazione il cui quadrato è pari a 2 », balbettò Lea. « Vediamola! » ruggì Jonathan.
Insieme, presero la forchetta e si misero a battere sul bicchiere, come Max, la sera prima, aveva colpito i vasi pitagorici.
Seguendo un ritmo reggae, intonarono:

Si risolve la questione:
neppur là sul K2
troverai una frazione
che al quadrato faccia due!

Uno scroscio di applausi accolse quel numero inedito: la conclusione a ritmo reggae di una dimostrazione per assurdo!
Allora Lea e Jonathan corsero da Ruche, gridando: « Anche noi, anche noi! » E gli rivolsero la domanda cruciale: «Allora, signor Ruche, acusmatici o matematici? » [ragazzi, ricordate vero...???]
Atteggiandosi a esaminatore pitagorico, lui borbottò: « Memoria, OK. Comprensione delle dimostrazioni, OK. C'è tutto ». Batté Il pugno sul tavolo. « Matematici, non c'è dubbio! »
Consacrati grazie a quella brillante dimostrazione, i due si erano guadagnati un posto oltre il sipario, dove avrebbero potuto, volendo, misurarsi con formule e teoremi, proposizioni e dimostrazioni.

Da Il Teorema del pappagallo - Denis Guedj

grazie Cristian!:-)

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