sabato 2 febbraio 2008

La radice quadrata di 2 non può essere un numero razionale!

Pubblico questo post con un sorriso ...
Un nostro nuovo lettore, Cristian, mi ha chiesto in commento: "Perchè non gli DIMOSTRI che la radice di 2 è irrazionale?"
Io, si può vedere la mia risposta, ho espresso le mie perplessità sull'idea di proporre ai ragazzi delle scuole medie una dimostrazione matematica.
Tuttavia... Cristian, e come no, la matematica piace assai anche a me! E ho deciso di accettare il tuo suggerimento, proponendo ai ragazzi ... solo un bel brano da leggere!

« Dimostrazione per assurdo dell'irrazionalità della radice di 2», annunciò Lea con voce argentina, tirando a sé la lavagnetta che Max usava alle elementari.
……
«Supponiamo che esista una frazione a/b il cui quadrato sia uguale a 2 », sussurrò Jonathan, chinandosi verso gli spettatori con aria complice.
«Dunque si avrà a^2/b^2 = 2 », continuò Lea, scrivendo sulla lavagnetta.
« Prendiamo la frazione più piccola, detta irriducibile, che ha questa forma. I suoi termini, a e b, sono primi tra loro, vale a dire che non hanno un divisore comune. »
« Dunque a e b non possono essere tutt'e due pari! » dichiaro Lea.
« E se a^2/b^2 = 2, è ovvio che a^2 = 2*b^2. »
« Dunque a^2 è un numero pari, poiché è uguale a un doppio », annunciò Lea.
Ma che cos'hanno? rifletté Perrette che li fissava, sbigottita.
« Ora, solo il quadrato di un numero pari è pari », li informo Jonathan, lanciando un'occhiata furtiva alla madre.
« Quindi a è pari, insisto », esclamò Lea.
«Quindi a è un doppio, per esempio del numero c», intervenne Jonathan, scrivendo sulla lavagnetta. « Vale a dire a= 2*c. »
« Non così in fretta », protestò il signor Ruche, al quale tuttavia piaceva seguire quel procedimento.
« Torniamo all'uguaglianza iniziale: a^2 = 2*b^2, e proviamo a sostituire a con 2*c. Otteniamo (2*c) ^2 = 2*b^2. Dunque 4*c^2 = 2*b^2 e quindi 2*c^2 = b^2. »
« In cui b^2 è uguale a un doppio... »
« Avete una scrittura da analfabeti, e dire che ho la vista buona », brontolò Ruche.
« Ricomincio daccapo », annunciò Jonathan. « Dunque, se b^2 equivale a un doppio, significa che b è pari. »
« Esattamente come prima. Dunque b è pari, insisto! » intervenne Lea.
« Riprendiamo i tre 'insisto' che scandiscono il ragionamento per assurdo.
Da un lato, a e b non possono essere entrambi numeri pari;
dall'altro, a e b sono tutt'e due pari. Impossibile! Qual è la causa di questa assurdità? » domandò Jonathan, fissando gli ascoltatori con aria inquisitoria.
Vederli appassionarsi a una dimostrazione matematica era un miracolo. Perrette e il signor Ruche si guardarono, come se si volessero chiedere a vicenda: Vede quello che vedo io? Sente quello che sento io?
Lo stupore di quei due adulti entusiasmò Max: era fiero dei gemelli.
«Qual è la causa di questa assurdità?» domandò di nuovo Jonathan.
« La mia ipotesi », confessò Lea, abbassando la testa.
« Ripetila, questa ipotesi fasulla! » ordinò jonathan.
« Esiste una frazione il cui quadrato è pari a 2 », balbettò Lea. « Vediamola! » ruggì Jonathan.
Insieme, presero la forchetta e si misero a battere sul bicchiere, come Max, la sera prima, aveva colpito i vasi pitagorici.
Seguendo un ritmo reggae, intonarono:

Si risolve la questione:
neppur là sul K2
troverai una frazione
che al quadrato faccia due!

Uno scroscio di applausi accolse quel numero inedito: la conclusione a ritmo reggae di una dimostrazione per assurdo!
Allora Lea e Jonathan corsero da Ruche, gridando: « Anche noi, anche noi! » E gli rivolsero la domanda cruciale: «Allora, signor Ruche, acusmatici o matematici? » [ragazzi, ricordate vero...???]
Atteggiandosi a esaminatore pitagorico, lui borbottò: « Memoria, OK. Comprensione delle dimostrazioni, OK. C'è tutto ». Batté Il pugno sul tavolo. « Matematici, non c'è dubbio! »
Consacrati grazie a quella brillante dimostrazione, i due si erano guadagnati un posto oltre il sipario, dove avrebbero potuto, volendo, misurarsi con formule e teoremi, proposizioni e dimostrazioni.

Da Il Teorema del pappagallo - Denis Guedj

grazie Cristian!:-)

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20 commenti:

  1. Grazie!
    Anche di esserti presa il rischio.
    A presto,

    Cristian

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  2. ciao! ti auguro un buon lunedì!
    un saluto!!

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  3. ciao arte carissima,
    grazie!
    e anch'io ti auguro buon lunedì, martedì...:-)
    salutone!

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  4. Eccomi qua, sono venuta subito a vedere. E' venuto un bel lavoro! Vedrai, sarà utile agli utenti del blog e anche a te. So che sulla sidebar viene un po' stretta, ma è ugualmente leggibile. Nella mia tabella i caratteri sono n.9 e le righe strette, la tua è più "allargata"...
    A presto
    Maria Pia

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  5. grazie Maria Pia,
    che carina sei stata!
    Sì, penso sia davvero utile.
    Mi divertirò anche a modificare! :-)
    a presto!
    g.

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  6. Peccato non esista un editor adeguato per scrivere relazioni, formule ed espressioni matematiche! E questo mi sembra un controsenso: la matematica produce materiali per altri ambiti e non per se stessa.

    Comunque complimenti per l'articolo e per il blog in generale.

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  7. Ciao Sonny...
    dici editor. Non so se ti riferisci alla possibilità di scrivere formule ed espressioni matem., su un blog, quindi all'eventuale opportunità offerta dalla piattaforma...
    Su altre non so, su Blogger non è possibile.
    Quanto ad editor, forse conosci LaTex, un software di composizione tipografica che permette di scrivere formule matematiche ecc...
    Ti do questo link:
    http://www.guit.sssup.it/latex/

    grazie per la visita e i complimenti! :-)

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  8. Sì, sì, mi riferivo alla piattaforma. Su Blogger, ma anche su WP e su Splinder, è impossibile fare matematica senza ricorrere ad astrusi formalismi sintattici.

    Grazie per il link.

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  9. un complimento a cristian... BRAVO!!!!!!
    Per Giovanna: gli algoritmi gli ho già fatti e il mio prof. me li ha spiegati molto bene! è molto bravo a spiegare!!!! Vado a dormire!!!^^

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  10. eheh.. lo sapevo che grazie a Cristian avrei fatto felice qualcuno!:-)
    sogni d'oro Susy!!!

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  11. Se penso quanto ho sofferto sulla matematica, ma vedo che il metodo per appassionarsi e imparare con serenità esiste. Un caro saluto, Fabio

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  12. ciao Fabio,
    grazie!
    un salutone a te!
    a presto;-)

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  13. sisi, mi è piaciuto come argomento. A scuola mi prendevano per pazza...! :D
    Vabbè se non mi distinguo dagli altri non sto' bene... BOOOOO!!Sarò suonata io!
    P.S. da voi hanno già consegnato le pagelle? A noi sì. Sono andate bene!

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  14. Ciao,
    dato che è passato qualche giorno dalla pubblicazione del post ero davvero curioso di sapere se i tuoi ragazzi ti avevano detto qualcosa in proposito.
    Ti hanno fatto qualche domanda o la dimostrazione è passata inosservata?
    Ciao

    Cristian

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  15. Per Susy:
    e bravaaaa!:-)
    ma fai bene a distinguerti! Ne sono proprio felice, ma cerca di coinvolgere eh?
    Non abbiamo consegnato le schede, abbiamo gli scrutini il 14.
    Complimenti a te, brava ancora!
    baciotti!

    Cristian,
    Con la classe abbiamo lavorato sul blog, dedicata la seconda parte dell'ora all'articolo. Io ho semplicemente invitato i ragazzi alla lettura, dopo qualche minuto ho cominciato a vedere qualcuno che annotava qualche formula sul quaderno, quelli che si trovavano in due su una postazione cominciavano a discutere tra loro, ho fatto in tempo solo a porre qualche domanda iniziale. L'interesse non è mancato e il discorso andrà sviluppato, forse non con tutti gli alunni ma in attività di potenziamento.
    Tieniti in contatto, ti riferirò!:-)
    grazie Cri'!

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  16. Sugli irrazionali procediamo proprio di pari passo!

    Il libro è carino, una sorta di "Mondo di Sofia" però sulla matematica. Validissimo didatticamente.

    Michelangelo

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  17. Vero! Là c'è praticamente la storia della filosofia, qui della matematica....

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  18. Grazie mille, oggi a lezione non avevo capito bene questa dimostrazione, ora la dimostrazione è scritta in maniera impeccabile sul quaderno :D. Grazie ancora :]!

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  19. ciao Marko,
    grazie a te!
    mi fa piacere quando un pochino siamo utili!:-)
    e, tu frequenti l'università no?
    in bocca al lupo per i tuoi studi!

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