Così hanno intitolato
Erica e Letizia, la relazione sulle nostre attività inerenti i poliedri regolari, probabilmente colpite dalla visione cosmologica di Platone di questi solidi perfettissimi.
Nella lezione di oggi abbiamo continuato a parlare dei meravigliosi poliedri regolari, che come abbiamo già potuto constatare nelle lezioni precedenti, sono dei solidi delimitati da poligoni regolari.
I poliedri regolari sono solo 5: tetraedro, avente 4 facce a forma di triangolo equilatero, esaedro (comunemente detto cubo) avente 6 facce quadrate, ottaedro avente otto facce a forma di triangolo equilatero, dodecaedro avente dodici facce pentagonali (pentagoni regolari) e infine l'icosaedro avente venti facce a forma di triangolo equilatero.
Perché ci sono solo 5 poliedri regolari???
Avevamo già analizzato la situazione: nel tetraedro il numero delle facce per vertice è pari a 3 e la somma degli angoli che si incontrano nel vertice è uguale a 180° quindi non raggiunge 360°. Se avesse raggiunto 360° sarebbe stato un bel guaio!! Perché un angolo di 360° è un angolo giro e quindi si appiattirebbe sul piano e non si formerebbe l'angoloide. [Angoloide: parte di spazio delimitato da tre o più facce con
un vertice comune]. Perciò il massimo numero di triangoli equilateri che si possono incontrare in un solo vertice è 5.
La stessa cosa vale per gli altri poliedri regolari.
Nel cubo (esaedro) si incontrano in un vertice 3 facce (3*90° va bene, non si potrebbero incontrare 4 facce (4*90° = 360°).
Nel dodecaedro si incontrano 3 facce pentagonali: 108° *3 =324°
I 5 poliedri regolari vennero descritti da Platone come simboli dell'universo e dei suoi elementi: il fuoco (tetraedro),la terra (esaedro), l'aria (ottaedro), l'acqua (icosaedro) e per concludere la quinta essenza (dodecaedro). [Segnalo ancora QUESTO che contiene tra l’altro, un’interessante integrazione:
Il manoscritto di Milano del «De Divina Proportione» dal blog di Popinga]Oggi abbiamo pensato di costruire una tabella nella quale indicare il tipo di poliedro, il tipo di poligono, n° facce per vertice, n° totale facce (f), n° vertici (v), n°spigoli (s).
Sotto ve ne riportiamo una copia:
Lo scopo di ciò era di trovare la relazione che lega f, v e s che viene chiamata relazione di Eulero.
La prof ci ha chiesto di osservare la tabella concentrando la nostra attenzione sulle ultime tre colonne e subito abbiamo notato che f + v - 2 equivale a s o anche, di conseguenza, f + v = s + 2. Facciamo degli esempi: 4 + 4 – 2 = 6 ; 6 + 8 – 2 = 12 ; 12 + 20 – 2 = 30
Questa regola vale per tutti i poligoni, anche quelli irregolari purché siano “senza buchi”.
La prof ci ha ricordato che avevamo già incontrato la relazione di Eulero in prima media in un gioco topologico. Questi sono i nostri lavori:
Gioco topologico
Come fece Eulero …
E poi avevamo scoperto la relazione, in un'applet geogebra:
Scopri la formula di Eulero!
Fine
Brave, Leti e Erica. Aggiungerò al post le altre nostre foto non appena le riceverò da Gabri.
Ho raccolto le foto dei vostri poliedri, in una breve presentazione
grazie Gabri, Bravi tutti!
Post
Bello.
RispondiEliminaTempo fa mi chiedevo quali fossero i solidi "quasi-regolari", cioe' quelli formati da poligoni regolari anche di diversa tipologia. Ad esempio il pallone da calcio, formato da pentagoni ed esagoni, in modo che ogni esagono confini con sei pentagoni. In effetti mi sa che questo e' l'unico solido "quasi-regolare.... mmmmh.... o no?
Be', ciao, Giovanna. Sono stato un po' preso in altre cose, ma e' bello ritornare a leggerti.
Ciao Dario,
RispondiEliminagrazie per essere passato... Sìì, ti seguo e so che eri preso da un bel viaggio! :-) Eh, mi ripromettevo di andare a salutarti, ti leggo dal google reader.
I solidi quasi-regolari. Anch'io conosco, se si può definire così, solo il pallone da calcio.
Poi ci sono quelli con i buchi, tipo toro ...
Ma il pallone da calcio: non è il pentagono ad essere circondato da 5 esagoni? wikipedia lo riporta così :-)
si' si', sbaglio io.... uhm.... ma se mettiamo 5 pentagoni intorno a un esagono funziona? Un pallone a rovescio?
RispondiEliminaCoi buchi come il toro? fatto con i poligoni regolari? Uhm... mi stai prendendo in giro...
il pallone a rovescio: provo a farlo fare a un mio alunno su SketchUp :-)
RispondiEliminasi siii tipo toro:
clicca!
Ah, forte il quasi-toro. Mmh... pero' si puo' fare solo con i triangoli.... uhm.... o no? boh... ci penso e ti dico...
RispondiEliminaokkk, io aspetto :-))
RispondiEliminaUhm... mi sa che si puo' fare con tutti i poligoni. Ho pensato ad esempio al dodecaedro. Se lo appoggi al tavolo, ha un pentagono sotto e uno, parallelo, sopra. Sul pentagono sopra puoi incollare un altro dodecaedro, appiccicando il pentagono sotto di quello nuovo con quello sopra di quello vecchio, e cosi' via. Costruiresti una catena di dodecaedri, che e' regolare, nel senso che e' costituita da pentagoni regolari.
RispondiEliminaIl pallone da calcio "a rovescio", forse anche lui e' costituito da dodecaedri incollati insieme (piu' alcuni esagoni per "tappare i buchi"? Mmh... e' piu' difficile da vedere...
domanda.... qual'e' l'angolo tra le normali di due facce consecutive di un dodecaedro? E di un icosaedro? Un ottaedro? Un tetraedro? Quella del cubo lo so :-)
Mah.... (scusa, mi vengono in mente a raffica)... in realta' mi rendo conto che mi sfugge qualcosa sulla definizione di solidi regolari. Se tu pigli due tetraedri e incolli la base di uno sulla base dell'altro ottieni un solido a sei facce, regolare perche' e' costituito da poligoni regolari, ma non e' un esaedro.
Forse un solido regolare ha i vertici disposti sulla superficie di una sfera?
Boh!
uuh che belle domandine!
RispondiEliminadovrei approfondire, direi. Mica le facciamo tutte queste cosette :-)
comunque, bella l'idea dei dodecaedri in successione...
Due tetraedri incollati su una faccia non formano un esaedro regolare perché su tre vertici confluirebbero 4 facce e avremo gli angoloidi disuguali. Questa è un'altra proprietà dei solidi regolari.
Senti, Dario, ti segnalo una bella lettura di approfondimento, dal blog di un amico:
Poliedri e disposizione di punti sulla sfera
ciaoo!
Urca! sono andato a vedere il link e mi ci stavo quasi appiccicando. No, invece, me lo gustero' domani con calma!
RispondiEliminaAh, per quella proprieta' che dici tu, i due tetraedri incollati non costituiscono un solido regolare.
Pero' non lo fa nemmeno la catena dei dodecaedri e nemmeno il tuo simil-toro. Quindi non c'e' verso, gli unici poliedri regolari sono solo quei cinque.
Ecco perche' sconfinare in una quarta dimensione spaziale per cercarne degli altri! :-)
Esatto! Solo quei 5
RispondiEliminaInfatti i poliedri con buchi non rispondono nemmeno alla relazione di Eulero.