La fontana. E le progressioni aritmetiche

Ragazzi, un semplice problema:
La fontana.
Nel giardino del paese di Bellagioia c’è una fontana come quella rappresentata nella figura.
La prima vasca, dove c’è lo zampillo, contiene 5 litri d’acqua.
La seconda contiene 8 litri in più della prima, la terza 8 litri in più
della seconda e così via sino alla settima.
Quanti litri contiene complessivamente la fontana quando le 7 vasche sono tutte colme?

L'ho premesso, il problema è semplice, direi elementare, e sono certa che non avrete difficoltà a risolvere.
Tuttavia esso ci dà l'occasione per approfondire, in qualche caso affrontare, il discorso sulle progressioni aritmetiche.
Consiglio di rivedere qui sul blog Inserimento dati in Excel e soprattutto
Numeri poligonali. Su quest'ultimo, andate in particolare al punto: I numeri poligonali si possono ottenere sommando gli elementi di progressioni aritmetiche...
Vi accorgete che in una progressione aritmetica la differenza fra qualsiasi termine ed il suo precedente è costante.
Es:
1+2+3+4+.... (ragione r=1, numeri triangolari): 2-1=1; 3-2=1; 4-3=1; ecc.
1+3+5+7+... (ragione r=2, numeri quadrati): 3-1=2; 5-3=2; 7-5=2; ecc.
1+4+7+10+13+... (ragione r=3, numeri pentagonali): 4-1=3; 7-4=3; 10-7=3; ecc.
E' la differenza costante tra due termini consecutivi che viene appunto chiamata ragione (r) della progressione.
Ora, notate che nel nostro problema della fontana abbiamo a che fare con una progressione aritmetica?

Qual è la ragione r, della progressione?
Il problema chiede i litri di acqua totali quando le 7 vasche siano piene.
Possiamo dunque vederlo come:
Somma di n termini consecutivi di una progressione aritmetica.
Sotto forma di gioco matematico, sul blog abbiamo già incontrato un problema simile: ... alla corte di Carlomagno. Problemi per rendere acuta la mente dei giovani­

Su quel post non lo scrissi, ma:
Si racconta che il maestro delle elementari di quello che sarà chiamato il re dei matematici, C.F. Gauss, propose questo problema sperando di impegnare i suoi studenti per almeno 1 ora: “Sommare i primi 100 numeri naturali”. Quello che chiedeva il maestro era determinare il risultato di: $\sum_{n=1 }^{100 } n = S_{100} = 1+ 2 + 3 + 4 + ... + 100$
[questo bel simbolo è quello di sommatoria, si usa per indicare, in forma compatta, una somma da... a..., è la lettera sigma maiuscola dell'alfabeto greco]
Gauss risolse il problema in molto meno di 1 ora, senza alcun errore! Ecco come fece.
Dispose i numeri da 1 a 100 in ordine crescente e poi li riscrisse allineati in colonna ordinandoli in modo decrescente.
Infine eseguì la somma in colonna scoprendo che otteneva 101 ogni volta, ossia 100
volte .

1, 2, 3,...., 98, 99, 100
100, 99, 98, ...., 3, 2, 1
_________________________________
101, 101, 101, ... , 101, 101, 101
(per 100 volte)

Il risultato della somma dei primi 100 numeri risultava essere quindi:

$S_{100}= \frac{ 1+100 }{ 2} *100=5050$

Il ragionamento di Gauss si può estendere ad una successione qualunque di cui si voglia determinare la somma di n termini consecutivi conoscendo il primo (a1) e l’ultimo (an).
Si ottiene la formula generale:

$S_{n}= \frac{ a_{1}+a_{n} }{ 2} *n$

Dunque ... possiamo sfruttare questa per risolvere rapidamente il nostro problema!
Il primo termine della progressione è ... ? L'ultimo termine è ... ? (quanti 8 bisogna aggiungere?)

Ma non finisce qui! :-)
Volutamente più sopra, ho scritto la progressione aritmetica del contenuto delle vasche in quel modo così ordinato (anzi, ho creato appositamente un'immagine).
Eh, volevo dare l'idea di un ... trapezio!
Ma forse è meglio se lo rappresento così:

La formula per il calcolo della somma dei termini di una progressione qualsiasi non ricorda quella dell'area di un trapezio?
Somma delle basi : (a1 + an)
per altezza: (n)
diviso 2.
Ancora una volta abbiamo quindi dato un significato geometrico ai numeri, in questo caso a una formula.

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