La formula più bella di Ramanujan

Ragazzi, non importa se per ora non potete apprezzare appieno certa "bellezza" della matematica,
ma... cominciate solo a osservare qualche formula: vi sembrerà certamente una cosa strana, però seminerete per apprezzare in futuro!

Srinivasa Ramanujan (1887-1920),
il più grande genio matematico di tutta l'India e uno dei più grandi matematici del XX secolo,
autodidatta, usava il suo istinto viscerale per oltrepassare i confini dell'analisi matematica del suo tempo (funzioni modulari, teoria analitica dei numeri, partizioni, teoria dell'iterazione...).
...
Per Ramanujan le equazioni non erano soltanto i mezzi per arrivare a dimostrazioni o calcoli. La bellezza dell'equazione ne era il valore supremo.
La più "bella" formula di Ramanujan fornisce un'incredibile connessione tra una serie infinita (a sinistra) e una frazione continua (al centro).
E' meraviglioso che né la serie né la catena di frazioni si possano esprimere tramite le famose costanti numeriche π ed e, mentre invece la loro somma sia misteriosamente uguale a $ \sqrt{ \frac{ πe }{2 } } $.
Provate a calcolare il valore del membro sinistro della formula, per parecchi termini, poi controllate cosa succede al membro destro quando si sostituisce π=3,141592 ed e=2,718282

Ecco la formula più bella di Ramanujan
$1+ \frac{ 1 }{ 1*3} + \frac{ 1 }{1*3*5 } + \frac{ 1 }{ 1*3*5*7} + \frac{ 1 }{ 1*3*5*7*9}+...+ \frac{ 1 }{1+ \frac{ 1 }{1+ \frac{ 2 }{1+ \frac{ 3 }{1+ \frac{ 4 }{1+... } } } } \\= \sqrt{ \frac{ πe }{2 } } $

(il simbolo & non fa parte della formula, LaTex mi da qualche problema)
Da Le meraviglie dei numeri, Clifford Pickover, Sfide Matematiche, vol. 15.
Potete (ri)leggere su questo blog anche La formula di Dio, ancora da
La magia dei numeri, Clifford Pickover, Sfide Matematiche, vol. 4.

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