Grandezze direttamente proporzionali

Le mie "care" alunne di III hanno finalmente deciso di riprendere (?) a scrivere!:-)
Abbiamo rielaborato in classe le bozze di Alessandra, Laura e Irene.
Qualche tempo fa (ormai...) suddivisi per gruppi, avevamo svolto l'attività sulle "Decorazioni". Tutti eravamo arrivati alla giusta soluzione, in generale ragionando così:
il numero di barattoli di colore, usati per dipingere le figure, 18, 21 e 27, sono multipli di 3, quindi abbiamo dedotto che per ogni quadratino dell'area di ogni figura, erano stati usati 3 barattoli.
Le aree delle figure erano (partendo da sinistra): 8 quadratini, 7 quadratini, 9 e 6 quadratini. Quindi:
- per la figura da 6 quadratini sono stati usati 18 barattoli e la figura è rossa
- per la figura da 7 quadratini sono stati usati 21 barattoli e la figura è blu
- per la figura da 9 quadratini sono stati usati 27 barattoli e la figura è gialla.
Perciò per la figura che rimane, da 8 quadratini, sono stati usati 24 barattoli di colore nero.

La prof ci ha detto che il ragionamento non era male, e ha aggiunto che con questo esercizio ci siamo avviati allo studio della proporzionalità fra grandezze. E che ora dovevamo "mettere in ordine" e completare le nostre conoscenze.
Per svolgere l'attività non è stato neppure necessario usare le proporzioni, abbiamo intuito che il numero di barattoli usati era "proporzionale" all'area delle figure.

Per studiare meglio la proporzionalità abbiamo costruito una tabella, mettendo in relazione Area figure e n° barattoli:
La prof ci ha fatto osservare la tabella e ci ha chiesto cosa notavamo.
Discutendo un po' tutti, siamo arrivati a dire (è stata Laura a dirlo con il linguaggio più appropriato):
nella tabella noto che esiste un rapporto costante tra i valori n° barattoli e Area figure.
Il valore di questo rapporto è 3. Il numero 3, il numero di barattoli che che noi avevamo detto erano serviti per ogni quadratino.
La prof ci ha detto che per cominciare a "generalizzare" e ampliare, potevamo dire: rapporto costante tra le due grandezze (n° baratt. e Area figure) e che questo rapporto costante viene chiamato coefficiente di proporzionalità.
Infatti, moltiplicando le aree delle figure per 3, si ottiene il numero di barattoli per ogni figura.
La prof voleva farci notare qualche altra proprietà.
Ci ha chiesto: se avessimo un'altra figura con area di 12 quadratini, quale sarebbe il valore corrispondente del n° di barattoli?
Naturalmente basta fare 12*3, quindi 36.
Immaginando ancora una figura da 18 quadratini, avremmo n° di barattoli: 54
Ora osserviamo ancora la tabella (abbiamo calcolato anche il rapporto costante tra le due grandezze):
notiamo che al raddoppiare, triplicare ... del valore dell'area, raddoppia, triplica... il valore del n° di barattoli.
Queste due proprietà:
1) rapporto costante tra le due grandezze;
2) al raddoppiare, triplicare...dell'una, raddoppia, triplica... anche l'altra, sono le proprietà caratteristiche delle grandezze direttamente proporzionali.

Abbiamo fatto tanti altri esempi di grandezze direttamente proporzionali.
Esempi presi dalla geometria: l'area di un rettangolo è direttamente proporzionale alla base, se si tiene fissa l'altezza.
Esempi presi dalla fisica: lo spazio percorso da un'automobile, in un certo tempo fisso, è direttamente proporzionale alla Velocità.
Esempi dalla vita quotidiana: la spesa per l'acquisto di una certa merce è direttamente proporzionale alla quantità di merce...
Tutti questi esempi sono particolari, ma rispettano tutti una legge generale (stiamo infatti generalizzando, la prof ha detto: siamo in terza media!).
Qual è la legge generale della proporzionalità diretta?
Dobbiamo trovare la relazione che lega le grandezze.
Prima di passare a scrivere la relazione tra le grandezze, la legge che le lega, occorre precisare che ora stiamo studiando le grandezze non più "statiche" (come in geometria l'anno scorso, es: avevo l'area di un triangolo...) ma nella loro variabilità.
Nei diversi esempi vediamo che si possono avere grandezze variabili e grandezze costanti.
Nei nostri esempi abbiamo due grandezze variabili (che abbreviamo dicendo solo "variabile") e una grandezza costante (diremo solo "costante")
Es: spazio e velocità sono grandezze variabili, il tempo è costante.
Per generalizzare indichiamo con x e y le due grandezze variabili, con K la grandezza costante.
Le due due variabili inoltre sono una "dipendente" dall'altra.
Es:
il numero dei barattoli utilizzati dipende dall'area della figura;
lo spazio percorso dipende dalla velocità della macchina;
il costo della merce dipende dalla quantità, eccc..
Precisiamo che:
la variabile dipendente si indica con y, quella indipendente si indica con x.
Ora possiamo provare a scrivere la legge che lega le grandezze direttamente proporzionali, la legge della proporzionalità diretta.
Partendo ancora dagli esempi:
n° barattoli = 3 * area figura;
A rettangolo = b * h (k);
Spesa = prezzo unitario (k) * quantità merce;
Spazio = t (k) * Velocità.
Quindi in generale:
y (variabile dipendente) = k (costante) * x (variabile indipendente)
y = k*x è la legge della proporzionalità diretta.
Per completare lo studio delle grandezze direttamente proporzionali abbiamo riportato in un diagramma cartesiano i valori delle due varibili:
il grafico che si ottiene è sempre una linea retta che passa per l'origine degli assi cartesiani.

prolungando la retta verso l'origine degli assi, ci accorgiamo che essa passa per l'origine.

La prox volta parleremo di grandezze inversamente proporzionali.
Sul blog, un lavoro in Excel sulla proporzionalità diretta e inversa (di una nostra ex alunna).

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