La proporzionalità inversa, grandezze inversamente proporzionali

Continuo la pubblicazione del lavoro sulla proporzionalità.
Possiamo considerare il post ... collettivo :-)

La prof ci ha dato da risolvere un problema che, ha detto, potremmo trovarci a dover affrontare! Abbiamo a disposizione 20 € per organizzare la festicciola di compleanno con i nostri amici. Una merendina, qualcosa di non troppo impegnativo...
Dovremmo fare i nostri conti: la somma di cui disponiamo per ciascun amico dipende dal numero di amici che decidiamo di invitare.
Ci siamo chiesti: se organizziamo per 10 amici, quanto possiamo spendere per ciascuno? E se invece riduciamo il numero a 5 amici? O a 4? Sarebbe anche meglio!
Non è stato difficile rispondere: è bastato fare le divisioni
20 : 10 = 2 € per ogni persona
20 : 5 = 4 €
20 : 4 = 5 € .
Insomma diminuendo il numero di amici si dispone di una somma maggiore per ciascuno.
La prof al solito, ci consiglia di riportare la situazione in una tabella: Facciamo le osservazioni: le due grandezze in gioco, le variabili, questa volta sono il n° di persone e la somma per persona;
notiamo che si mantiene costante il prodotto dei valori delle due grandezze;
questo prodotto è uguale a 20: i 20 euro di cui si dispone in totale.
E' la grandezza costante, che prende il nome in questo caso, di: coefficiente di proporzionalità inversa.
Notiamo poi più esattamente che al dimezzare del numero di amici raddoppia la somma disponibile per ciascuno, se il numero di amici diventa 1/5, la somma per ciascuno diventa 5 volte tanto, ecc...
Queste due proprietà:
1) prodotto costante fra le due grandezze;
2) al raddoppiare, triplicare... oppure dimezzare.... di una grandezza, l'altra diventa la metà, 1/3... oppure raddoppia....,
sono le caratteristiche delle grandezze inversamente proporzionali.

Abbiamo fatto altri esempi di grandezze inversamente proporzionali, come al solito trovandole in campi diversi:
nella geometria: se abbiamo una serie di rettangoli equivalenti, cioè di area costante, al raddoppiare della base l'altezza diventa la metà, ecc.... quindi l'altezza è inversamente proporzionale alla base: h = A/b;
nella fisica: il tempo impiegato a percorrere un certo tragitto, costante, è inversamente proporzionale alla velocità, considerando una velocità uniforme (dalla legge del moto rettilineo uniforme: V = s/t);
l'esempio della festa di compleanno è un problema di vita quotidiana;
ancora dalla fisica: la pressione esercitata da un corpo è inversamente proporzionale alla superficie di appoggio: P = peso/superficie.

Da tutti questi esempi, con le stesse considerazioni già fatte per la proporzionalità diretta, non è stato difficile trovare la
legge generale della proporzionalità inversa.
Indicando con x la variabile indipendente e con y la variabile dipendente,
la relazione che le lega è: y = K/x oppure y*x =K (il prodotto costante).
Anche in questo caso abbiamo costruito il diagramma cartesiano della proporzionalità inversa:
Si ottiene come grafico una curva chiamata: ramo di iperbole equilatera.

Articoli correlati per categorie