mercoledì 10 dicembre 2008

La proporzionalità inversa, grandezze inversamente proporzionali

Continuo la pubblicazione del lavoro sulla proporzionalità.
Possiamo considerare il post ... collettivo :-)

La prof ci ha dato da risolvere un problema che, ha detto, potremmo trovarci a dover affrontare! Abbiamo a disposizione 20 € per organizzare la festicciola di compleanno con i nostri amici. Una merendina, qualcosa di non troppo impegnativo...
Dovremmo fare i nostri conti: la somma di cui disponiamo per ciascun amico dipende dal numero di amici che decidiamo di invitare.
Ci siamo chiesti: se organizziamo per 10 amici, quanto possiamo spendere per ciascuno?
E se invece riduciamo il numero a 5 amici? O a 4? Sarebbe anche meglio!
Non è stato difficile rispondere: è bastato fare le divisioni
20 : 10 = 2 € per ogni persona
20 : 5 = 4 €
20 : 4 = 5 € .
Insomma diminuendo il numero di amici si dispone di una somma maggiore per ciascuno.
La prof al solito, ci consiglia di riportare la situazione in una tabella: Facciamo le osservazioni: le due grandezze in gioco, le variabili, questa volta sono il n° di persone e la somma per persona;
notiamo che si mantiene costante il prodotto dei valori delle due grandezze;
questo prodotto è uguale a 20: i 20 euro di cui si dispone in totale.
E' la grandezza costante, che prende il nome in questo caso, di: coefficiente di proporzionalità inversa.
Notiamo poi più esattamente che al dimezzare del numero di amici raddoppia la somma disponibile per ciascuno, se il numero di amici diventa 1/5, la somma per ciascuno diventa 5 volte tanto, ecc...
Queste due proprietà:
1) prodotto costante fra le due grandezze;
2) al raddoppiare, triplicare... oppure dimezzare.... di una grandezza, l'altra diventa la metà, 1/3... oppure raddoppia....,
sono le caratteristiche delle grandezze inversamente proporzionali.

Abbiamo fatto altri esempi di grandezze inversamente proporzionali, come al solito trovandole in campi diversi:
nella geometria: se abbiamo una serie di rettangoli equivalenti, cioè di area costante, al raddoppiare della base l'altezza diventa la metà, ecc.... quindi l'altezza è inversamente proporzionale alla base: h = A/b;
nella fisica: il tempo impiegato a percorrere un certo tragitto, costante, è inversamente proporzionale alla velocità, considerando una velocità uniforme (dalla legge del moto rettilineo uniforme: V = s/t);
l'esempio della festa di compleanno è un problema di vita quotidiana;
ancora dalla fisica: la pressione esercitata da un corpo è inversamente proporzionale alla superficie di appoggio: P = peso/superficie.

Da tutti questi esempi, con le stesse considerazioni già fatte per la proporzionalità diretta, non è stato difficile trovare la
legge generale della proporzionalità inversa.
Indicando con x la variabile indipendente e con y la variabile dipendente,
la relazione che le lega è: y = K/x oppure y*x =K (il prodotto costante).
Anche in questo caso abbiamo costruito il diagramma cartesiano della proporzionalità inversa:
Si ottiene come grafico una curva chiamata: ramo di iperbole equilatera.


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8 commenti:

  1. Bravi ragazzi.
    La prof. sara' brava, ma e' sparagnina mica male.
    Solamente con la proporzionalita' inversa, grandezze inversamente proporzionali siete riusciti ad organizzare la festa, altrimenti con 20€...

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  2. Pier Luigi,
    ma scherzi? Se a quelli gli davo più di 20 euro ci compravano anche le birre! :-) :-)

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  3. Si' ma cosi' neanche un bicchiere di minerale con le bollicine per potersi inebriare...
    TVB
    Vale

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  4. Giovanna scusa, ma i ragazzi hanno avuto problemi nella costruzione del grafico?trattandosi di un ramo di iperbole...o li hai guidati tu?

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  5. Ciao, Simona (sei una collega?)
    No, quei ragazzi (parliamo di a.s.2008/09) non hanno avuto nessuna difficoltà. Come vedi, si davano da fare, hanno aggiunto anche la ''linea di tendenza'' in Excel.
    Ovviamente, in precedenza avevo mostrato loro come si costruisce un grafico qualsiasi in Excel. In fondo lo fa Excel:-) Basta impostare correttamente la tabella dei dati, i ''dati di origine' del grafico, scegliere il tipo giusto, grafico a dispersione, e poi... aggiustare, abbellire i formati.
    grazie a te!

    RispondiElimina

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