mercoledì 28 maggio 2008

La frequenza dei numeri primi con Excel

Gimmi, Anna Laura e Saverio hanno svolto un'attività proposta dal loro libro di testo.
"Vogliamo confrontare le quantità di numeri primi presenti nelle centinaia a partire da 100. I numeri primi sono distribuiti in modo uniforme e regolare o si presentano senza regole precise?
Compila una tabella su un fog
lio di Excel e disegna il grafico"
Ecco le immagini del lavoro di Gimmi:

Ecco l'istogramma:




Istogramma

Ecco uno dei grafici di Anna Laura

E il grafico di Saverio:

NON C'E' UNA REGOLARITA' SU COME SI PRESENTANO I NUMERI PRIMI!
Lo avevamo letto nel post:
Gli Atomi dell’aritmetica
Bravi raga!:-)

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martedì 27 maggio 2008

Due problemi sulle aree di triangoli

Alessandra e Irene, per altro poco in forma in questo periodo... :-)
decidono di accontentare qualche richiesta dei nostri lettori e propongono
la risoluzione di due problemi sull'area del triangolo.
Il problema di Alessandra:

Testo:
In un triangolo isoscele gli angoli alla base misurano 45° ciascuno. Il lato BC misura 32 cm. Quanto misura l’area?


Innanzitutto osservo che: se il triangolo è isoscele il lato BC è uguale al lato AC: anch'esso è di 32 cm.
Poi, siccome la misura degli angoli interni di un triangolo è di 180°, allora se gli angoli alla base sono di 45° ciascuno, l’angolo al vertice misura 90°, angolo retto: si tratta di un triangolo rettangolo isoscele.
Posso dire di aver risolto il problema, in quanto conosco i dati necessari per trovare l’area di un triangolo, ossia la base e l’altezza.
Infatti, essendo i due cateti perpendicolari tra loro, costituiscono la base e l'altezza del triangolo.
Ruotando il triangolo, mi accorgo che effettivamente conosco la base e l’altezza del triangolo [privilegio la posizione orizzontale-verticale].


Il problema di Irene:
(immagine da Geogebra)

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venerdì 23 maggio 2008

Ricerca M.C.D. ma con numeri grandi!

Seguendo la medesima successione delle lezioni sul mcm.....
Adriano, Gimmi, AnnaLaura e Saverio, descrivono la
ricerca del MCD quando non è possibile il calcolo mentale.

La lezione è iniziata sempre costruttivamente [qui parla il "sempre saggio" Saverio!:-)].
La prof ha ripreso, alla lavagna, i numeri 75 e 125 già considerati per la ricerca del mcm.
Ecco: lei voleva fare la prova se ricordavamo i loro fattori senza effettuare la scomposizione in fattori primi!
Noi lo ricordavamo [quasi!]: 75 ha come fattori: 3*5^2, mentre 125 ha: 5^3.
La prof ha approfittato però per dirci: è semplice, pensate: 75 è 25 preso 3 volte, dunque è uguale a 3*5^2.
Poi: 125: béh su, 25 preso 5 volte! E' 25*5, cioè 125=5^3
Dunque, dovevamo ancora servirci della scomposizione in fattori primi.
Abbiamo raccolto ordinatamente i fattori:
75 _= 3 x 5^2
125 = _ x 5^3
(notare: lasciato vuoto il posto del fattore che 125 non ha)
Allora io ho detto la mia [lascio sempre il Saverio, che sa assumersi le proprie responsabilità!]:
per trovare il MCD si devono prendere: 3 e 5^2
La prof ha dato la parola agli altri e.... ci siamo dichiarati d'accordo con Saverio!
Quindi la domanda: cosa stiamo cercando?
- Un divisore, prof!
- Ottima risposta! [ché già hanno "focalizzato" qualcosa...]. Un numero che deve essere contenuto, vero? E che divisore?
- Un divisore comune!
- OOH! Comune eh???
Allora noi ci siamo rimessi in carreggiata e abbiamo detto che si deve prendere solo il 5^2!
La prof ci ha fatto notare che il nostro errore era dovuto al fatto di non aver dato importanza alla parola COMUNE. E ha detto che spesso accade ai ragazzi di non "dare importanza" alle parole! Cioè non è che non si sappia il significato, solo che "non ci si pensa", non si da importanza!
Per fissare meglio la prof ci ha detto che come per la ricerca del mcm i fattori si scelgono in modo da accontentare tutti e due i numeri, così per il MCD non ci devono essere fattori estranei ad alcuno dei due numeri, quindi: solo i fattori comuni ai due numeri. E, se i numeri sono più di due, vale la stessa regola!
In conclusione: MCD(75;125)=5^2=25
Non si può prendere 5^3! uno dei 5 del 125 NON è contenuto nel 75!
In questa lezione non abbiamo solo imparato come si calcola il M.C.D. ma anche a prendere coscienza delle parole [questa è di Anna Laura! ...ma mi diventano tutti saggi? :-)]

Ragazzi, una integrazione alla
ricerca del mcm e del MCD:
Ricordate le operazioni con gli Insiemi? Insieme Unione, Insieme Intersezione?
Bisognerebbe rivedere questi post: Operazioni con gli insiemi 1 e Operazioni con gli insiemi 2, oppure controllare sui vostri quaderni di appunti!
Dovreste provare a pensare: posso utilizzare le operazioni con gli insiemi per la ricerca del m.c.m. e del M.C.D. ?
Se considerate come insiemi quello dei divisori e quello dei multipli di due numeri,
non vi pare ci sia una relazione tra "elementi comuni a due insiemi". Operazione di ... ? e "divisori comuni a due numeri" ? Oppure fra "elementi appartenenti a almeno uno degli insiemi". Operazione di ... ? e "multipli comuni a due numeri" ?
Cominciate a rivedere le due operazioni con gli insiemi. In classe esamineremo le possibilità del loro utilizzo per comprendere ancora più a fondo il mcm e il MCD.
Sul primo post trovate anche un link per scaricare il file: operazioni con insiemi.xls (se doveste avere dei problemi per scaricare il file, cliccate sulla sidebar a destra: Ultimi lavori da scaricare, Cartella materiali. Vi trovate il file operaz.insiemi.xls)

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giovedì 22 maggio 2008

Ricerca di M.C.D. di coppie di numeri

La relazione di Anna Laura conteneva anche il calcolo mentale del MCD fra coppie di numeri...
ma io ho eliminato, inavvertitamente il file :-(
Scusa piccola!
Riporto io la sintesi. Lo sappiamo no, meglio avere i materiali a disposizione....
Come già fatto per il mcm, quando abbiamo a che fare con numeri non troppo grandi, dobbiamo saper calcolare mentalmente il loro MCD.
Riconsideriamo 3 casi:
1) In una coppia di numeri, i due NON hanno divisori comuni, sono cioè primi fra loro.
Es: 3; 4
Qual è il loro MCD?
Qualcuno di voi è rimasto perplesso, qualcun altro ha detto 3 (ricordo male?), ma già un successo il fatto che nessuno abbia detto 4, facendosi erroneamente colpire dalla parola massimo! (errore frequente...)
Naturalmente si è dovuto ribadire: sto cercando un divisore!
Ah, dunque il 3 non va bene!:-)
Qualcuno peròòò... ha detto: è l'1!
Caspita, bravissimo!
Certo: tutti i numeri hanno un divisore comune: il numero 1!
Eccome no, l'1 è contenuto in tutti i numeri.
[Il nu­mero uno (generatore di tutti i numeri), il nu­mero della ragione, il numero per eccellenza, "divino". Pitagora]
dunque: se due numeri sono primi fra loro il loro MCD è 1; MCD(3;4)=1

2)
Due numeri sono l'uno multiplo dell'altro o uno divisore dell'altro.
Es: 6; 12
Sappiamo: ogni numero è divisore di se stesso. E' contenuto 1 volta in se stesso!
E dunque?
Fra due numeri uno divisore dell'altro, il più alto divisore, il MCD, è ... quel divisore! Il più basso dei due (ma badate sempre di non ricordare il più basso, perché più basso, questo si dimentica! Badate al fatto che è un divisore di entrambi!) MCD(6;12)=6

3)
Due numeri hanno fattori comuni (naturalmente oltre all'1!) e non sono l'uno divisore dell'altro.
Es: 6;8
Indago fra i divisori del numero minore e mi chiedo SE e quali, fra i divisori trovati, sono contenuti nel numero maggiore.
Es: il 6 ha come divisori il 2 e il 3
Quali fra questi sono contenuti nell'8?
Soltanto il 2. MCD(6;8)=2
Ancora un es: 25;35
25
ha come divisore il 5, lo contiene 5 volte, dunque ha come fattori 5x5, 5^2
35
ha come fattori, divisori, il 5 e il 7
Dunque solo uno dei 5 del 25 è divisore comune a entrambi. MCD(25;35)=5
Gli allenamenti sono stati fatti....:-)

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IL MASSIMO COMUNE DIVISORE: la sua scoperta

Saverio e Annalaura ci raccontano la scoperta del MCD!

Nella nostra classe andiamo un po’ a rilento ma non per questo non svolgiamo il programma, bene o male siamo arrivati a scoprire cosa è il MCD (massimo comune divisore) [questo lo afferma il saggio Saverio!].
All’inizio la prof ci ha fatto ragionare con un problema che diceva:
ho 2 scatole che contengono rispettivamente, 120 penne nere e 96 penne rosse, le devo distribuire e devo mettere in pacchetti lo stesso numero di penne nere e di penne rosse. Quanti pacchetti tutti uguali posso fare?
Abbiamo deciso che siccome dovevamo distribuire allora ci voleva una divisione.
Si dovevano fare più pacchetti possibili.
Dovevamo dividere le 120 penne nere e le 96 penne rosse...
bisognava cercare un divisore comune sia a 96 che a 120.
Dicevamo: il 2 va bene ma siccome dovevamo farne più possibili allora siamo andati oltre abbiamo provato con il 4 e con il 6; tutti e due andavano bene.
Ci siamo accorti che i divisori comuni potevano essere tanti altri e dopo una bella discussione, che per fare il maggior numero di pacchetti, occorreva il divisore più alto possibile!
Ah ecco, fra i divisori, il più alto, come ci ha detto la prof, è il più famoso! Si chiama massimo comune divisore (M.C.D. maiuscolo!). E sarà anche questo un attrezzo della cassetta….!
(Invece fra i multipli il più famoso è il più basso, m.c.m.)
Abbiamo allora cercato tutti i divisori dei due numeri.
In questo modo:
eseguiamo delle divisioni aventi divisori, a partire da 1, in ordine crescente: sappiamo che se si trova un divisore, automaticamente se ne trovano due. Divisore = fattore, quindi…
Ecco i divisori di 96:

Non serve continuare con altre divisioni perché la prossima divisione sarebbe
96: 12 = 8
Ma il 12 e l'8 sono già elencati fra i divisori.
Ecco i divisori di 120:
Abbiamo visto che fra i divisori dei numeri 96 e 120, il più alto è 24.
Quindi possiamo fare 24 pacchetti tutti con lo stesso numero di penne rosse e penne nere.
(Esattamente 5 penne nere e 4 penne rosse in ogni pacchetto)
Il massimo comune divisore di 96 e 120 è 24. M.C.D (24;120) = 24
Abbiamo capito anche questa volta un metodo nuovo per risolvere dei piccoli problemi!

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mercoledì 21 maggio 2008

[Contributi] La favola del 4

Un nostro gentile lettore, Pier Luigi Zanata, giornalista professionista, ci ha lasciato un commento al post Intrusioni che è davvero un peccato lasciare come tale! Mi autorizza a pubblicare...una bella favola!
Dice Pier Luigi:
I matematici sono anche dei gran filosofi. Dalla soluzione dei problemi matematici e geometrici possono venire grandi insegnamenti di vita. Conosci la favola del quattro? Eccola:
Un giorno il numero 4 si stanco' di essere pari. I numeri dispari, pensava, sono molto piu' allegri e spiritosi. E si stanco' di quella sua forma un po' insipida, a sediolina. Guarda il 7, si diceva, come e' svelto ed elegante, e il 3 come e' tondo e arguto, e io sono tutto pieno di angoli e privo di personalita'. E si stanco' di essere due piu' due, che tutti lo sanno e anzi quando vogliono dire una cosa che sanno tutti dicono ''Quanto fa due piu' due?''. Sognava di essere un numero lungo e difficile. Certo era un bel problema, perche' non e' che il quattro volesse diventare un altro numero, per esempio 5, o il 1864372. Lui voleva essere lui, rimanere se stesso, eppure voleva anche essere come il 5, dispari, cioe', o come il 1864372, cioe' lungo e difficile. Sembra proprio che il quattro non possa essere dispari e non possa essere lungo e difficile, oppure non sarebbe il quattro. Sarebbe un'altra cosa e lui non voleva essere un' altra cosa. Un problema cosi' il quattro non sapeva risolverlo. Allora decise di andare dal Grande Matematico. Se c' era una soluzione lui doveva saperla. Cosi' il quattro ando' dal Grande Matematico e gli espose il suo caso. Il Grande Matematico sorrise. Anche lui una volta avrebbe voluto essere diverso: non un altro, perche' voleva rimanere se stesso, ma un po' piu' simile al Grande Ballerino, al Grande Tennista, al Grande Centravanti... Anche lui aveva avuto il problema del quattro e sapeva come affrontarlo. Lo fece accomodare per terra, una sedia sarebbe stata proprio inutile e allusiva. Comincio' a parlare. ''Vedi 4 - disse - non c' e bisogno di diventare diverso, di essere dispari o lungo e difficile. Tu sei gia' diverso, anche se non ti rendi conto. A te sembra di essere una stupida seggiolina che fa due piu' due e tutti lo sanno, e invece ci sono in te cose che nessun altro ha, cose molto speciali. Per esempio tu sei due piu' due, ma anche due per due, e anche (qui andiamo sul difficile) due alla seconda. E questo e' un fatto straordinario: tre piu' tre non e' anche tre per tre, e certo non e' tre alla terza. Oppure prendi quest' altra: quattro per quattro sommato a tre per tre fa cinque per cinque, il che vuol dire che tre, quattro e cinque sono una famiglia di numeri pitagorici consecutivi, e di famiglie cosi' non ce ne sono altre. Il sette, che tu ammiri tanto, non ne ha una una. Oppure ...'' A questo punto il quattro era un po' confuso e prego' il Grande Matematico di smettere. Quella faccenda dei numeri pitagorici non la capiva proprio e voleva pensarci su, perche' gli sembrava importate. Se ne ando', e da allora e' li' che conta. Ha capito i numeri pitagorici e molte altre cose ancora, e ogni giorno scopre di essere piu' diverso.

La favola è di Ermanno Bencivenga, professore di filosofia all'Universita' di California, Irvine, logico di fama mondiale, che per illustrare i temi chiave sui quali la filosofia da sempre si interroga ha scelto il linguaggio delle favole.

Grazie Pier Luigi! ci auguriamo di averti ancora fra i nostri lettori:-)

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martedì 20 maggio 2008

Ricerca m.c.m. ma con numeri grandi!

Anna Laura, Giulia G., Gimmi e Saverio ci dicono, tutti più o meno come segue...
sulla ricerca del m.c.m. quando non è possibile il calcolo mentale.

Come sempre la nostra prof non ci da subito “la pappa pronta” come dice lei ma ci fa arrivare alla soluzione da soli.
Dovevamo scoprire come si trova il minimo comune multiplo di una coppia di numeri grandi, che hanno divisori in comune.
La prof ci ha scritto alla lavagna due numeri: 75 --- 125
e ci ha detto che per trovare il loro m. c. m., dato che mentalmente può essere difficile, bisogna usare uno strumento della cassetta degli attrezzi del matematico.
Con vari interventi, siamo arrivati a dire che servono i criteri di divisibilità,
che a loro volta servono per fare la scomposizione in fattori primi.
Abbiamo scomposto i due numeri e raccolto ordinatamente i fattori
75 = 3 * 5^2
125 = 5^3
Abbiamo detto che per trovare il m.c.m. dovevamo prendere 3*5^2 e 5^3 però facendo così avremmo trovato si un loro multiplo ma non il minimo.
Alla fine con l’aiuto della professoressa, Sara ha detto che bisognava prendere solo 3 e 5^3.
Questo perché 5^2 è contenuto nel 5^3.

Carissimi,
detta così potrebbe sembrare che la lezione sia volata via, tutto sommato, liscia!:-)
Non è proprio così vero?
Può essere utile ricordare meglio le diverse considerazioni fatte, che voglio lasciarvi qui. Si sa mai....
Per prima cosa:
dopo la raccolta dei fattori primi dei due numeri, abbiamo dovuto insistere sull'importanza del simbolo di uguale: "=". Questo simbolo a volte è trascurato! Uguale, "=", matematico, corrisponde all'italiano "è", verbo essere! La destra e la sinistra dell'uguale sono i due piatti della bilancia in equilibrio!
Quindi, riflettiamo:
75 = 3 * 5^2
dire 75 è come dire: 3 * 5^2 e
125 = 5^3
dire 125 è come dire: 5^3
Seconda considerazione:
il nostro problema è la ricerca del minimo comune multiplo: devo concentrarmi sul fatto che sto cercando un multiplo! E un multiplo comune a entrambi i numeri.
Cos'è un multiplo di un numero dato?
Sappiamo che è quel numero che contiene il numero dato.
Che contenga il numero dato o che contenga i suoi fattori è cosa diversa? NO, vero? L'uguale....!
Dunque ora il problema è:
cerco un numero (il multiplo comune) che contenga i fattori dei due numeri dati.
Nel nostro caso il multiplo, che deve contenere sia 75, sia 125, deve contenere i fattori del 75 e del 125.
Saremmo portati, come voi avete proposto, a considerare i fattori: 3 * 5^2 e 5^3
Ma!
stiamo cercando il multiplo comune, ma il più piccolo! il minimo! E' importante solamente, nella scelta dei fattori, accontentare entrambi i numeri: prendendo i fattori di entrambi ma non in eccesso!
Non è necessario prendere fattori ripetuti!
5^2 è già contenuto nel 5^3,
perché prendere un doppione?
Concludiamo che
per avere il m.c.m. di 75 e 125 basta prendere e moltiplicare fra loro, i fattori:
3, 5^3,
cioè m.c.m. (75;125) = 3*5^3 = 3*125 = 375
Devo essere sicuro:
375
contiene i fattori di 75? Sì!
375 contiene i fattori di 125? Ma certamente! :-)

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domenica 18 maggio 2008

Intrusioni

Il titolo del post è spiegato QUI
"Scienza e letteratura si guardano, a volte da lontano, altre senza barriere tra loro. Non sempre l'una sa dell'altra, può capitare che la prima s'intrufoli in pagine letterarie e faccia capolino, quasi senza rendersene conto, da un paragrafo, un capitolo, un brano di qualche libro"
E....
"Un matematico che non abbia un po’ del poeta non può essere un perfetto matematico" - Karl Weirstrass

Omaggio a Gödel*

Di Münchhausen* il teorema, il cavallo, la palude e il ciuffo,
ciò affascina sì, ma non scordare:
Münchhausen era un bugiardo.

Di Gödel il teorema a vista si presenta
poco appariscente, ma tu rifletti:
Gödel ha ragione.

"In ogni sistema a sufficienza ricco
si possono formulare proposizioni
che all'interno dello stesso sistema
non sono dimostrabili né refutabili,
a meno che non sia inconsistente
il sistema stesso".

Tu puoi la tua lingua nella tua lingua
descriverla, ma non del tutto.
Tu puoi il tuo cervello
esplorarlo col tuo stesso cervello,
ma non del tutto.
Eccetera.

Ogni concepibile sistema per dimostrar
giusto se stesso deve trascendere
e dunque distruggersi.

"Sistema sufficientemente ricco" o no:
libertà di contraddizione è fenomeno di coerenza
o contraddizione di termini.

(Certezza=inconsistenza)

Ogni concepibile cavaliere,
dunque anche Münchhausen,
dunque anche tu sei un sottosistema
di una palude sufficientemente ricca.

E un sottosistema di questo sottosistema
è il tuo ciuffo,
questo meccaniscmo di sollevamento
per riformisti e bugiardi.

In ogni sistema sufficientemente ricco,
dunque anche in questa palude qui,
si possono formulare proposizioni
che all'interno dello stesso sistema
non sono dimostrabili né refutabili.

Afferra questi proposizioni e tira!

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venerdì 16 maggio 2008

Alla ricerca di m.c.m. di coppie di numeri

Andrea, Gimmi e AnnaLaura ci raccontano come siamo arrivati a calcolare mentalmente il minimo comune multiplo fra due numeri.

Oggi abbiamo scoperto come tra 2 numeri si trova il loro minimo comune multiplo (mcm - minuscolo).
La professoressa prima ci ha chiesto: qual è il minimo comune multiplo dei numeri 3 e 4?
Noi abbiamo detto: 12. Perché 3*4=12.
Va bene.
Poi ha scritto alla lavagna delle coppie di numeri:
4--3 __________________ 4*3
6--8 _________________ NON 6*8
15--25 _________________ NON 15*25
5--8 ___________________ 5*8
7--6 ____________________ 7*6
8--9 ____________________9*8
6--16 ___________________ NON 6*16
3--15 ___________________ NON 3*15
Allora ci ha detto: "per trovare i mcm di queste coppie dovete sempre moltiplicare?
Vi dico già, per aiutarvi, che nella seconda coppia se moltiplichiamo troveremo un loro multiplo ma non il più basso".
Infatti ci ha chiesto di trovarlo e qualcuno ha detto che di 6 e 8 il mcm è 24.
Però dovevamo trovare una regola, per distinguere sempre quando moltiplicare oppure no.
Molti hanno fatto diverse osservazioni, a un certo punto Giacomo ha detto: "si moltiplica solo quando uno dei numeri della coppia è primo".
Qell’osservazione era sbagliata. Per dimostrarcelo la prof ci ha fatto notare l'esempio della coppia 3--15: anche se 3 è numero primo, moltiplicando si trova un multiplo di 3 e 15 ma non il minimo (infatti il mcm di 3 e 15 è 15, perché 15 è un multiplo di 3 e poi ogni numero è multiplo di se stesso).
Però la prof. per far valere la spinta di Giacomo ci ha fatto questa domanda: "quali sono le caratteristiche dei numeri primi?"
E noi: "si possono dividere per se stessi e per 1"
Poi ci ha detto: "potete dirmelo in un altro modo? lo abbiamo letto anche sul brano del blog..."
- "hanno come divisori o fattori se stessi e 1"
Quindi la prof ci ha chiesto di considerare i divisori dei numeri delle coppie.
Di vedere se i numeri hanno o no divisori in comune.
Analizzando gli esempi abbiamo scritto la parte a destra, a fianco alle coppie.
Siamo arrivati a dire:

1) quando in una coppia di numeri non ci sono divisori in comune (si dice che in questo caso sono numeri primi fra loro), si moltiplica. Es. 3; 4 -- m.c.m. = 12
2) Quando invece in una coppia di numeri ci sono dei divisori in comune (se si tratta di numeri "piccoli"), si considerano i multipli del numero più grande fino ad arrivare a trovare il multiplo comune ai due numeri. Si considera il numero più grande perché si fa prima a trovare il minimo comune multiplo. Es. 6; 8. Multipli di 8: 16, 24. Trovato! Va bene anche per il 6; m.c.m.= 24
3) Se in una coppia uno dei due numeri è multiplo dell'altro, il mcm è proprio il multiplo, cioè il più grande dei due. Es. 3;15 -- m.c.m. = 15

Tutti i ragazzi hanno raccolto in una mappa il percorso descritto.
Eccone qualche esempio:





Bravi tutti!

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mercoledì 14 maggio 2008

La formula di Erone

La furba e a volte sofisticata Irene di II A,
scrive:

Erone
L’altro giorno in classe, risolvendo il cruciverba dei quadrilateri preparato dalla prof, sussisteva (l'ho detto: a volte sofisticata!) una definizione a noi sconosciuta. Si tratta di: "nome di un matematico famoso per la formula dell’area del triangolo". Ripeto, noi non sapevamo la risposta a questa definizione.
Poiché nel cruciverba è presente la formattazione condizionale, vale a dire se la lettera è giusta si colora di blu, se la lettera è errata si colora di rosso, noi con l’astuzia tentavamo ogni lettera fino a che non si colorava di blu. Quindi abbiamo raggiunto la risoluzione dell’enigma: Erone.
La prof dice:
ahh! veramente il mio obiettivo era un altro: farvi andare a ricercare questo famoso matematico! ora fate!!! Come per dire: Adesso cercate da voi informazioni su Erone. Appena sono arrivata a casa mi sono documentata con l’enciclopedia. Ho letto quindi che: Nato e vissuto nel 1° secolo A. C. ad Alessandria. Ha scoperto un metodo generale per trovare un valore approssimato della radice quadrata di un numero non perfetto. Ma soprattutto (Ire? toh, imparato!:-)) ha scoperto la formula dell’area di un triangolo qualsiasi ottenuta con i soli lati:

S indica l’area della superficie, p/2 il semiperimetro, e le lettere a, b, c i tre lati.
Irene
E ...brava Ire!:-)

Erone di Alessandria
Per saperne di più su Erone, cliccate sull'immagine qui sotto

E ora, come promesso, la mia sorpresa!

Triangolo nel piano cartesiano - formula di Erone
In figura vedete il triangolo ABC, costruito sul piano cartesiano, del quale vedete indicata anche la misura dell'area di superficie, S, espressa in m^2.
E' l'immagine del file Excel dove troverete le formule utilizzate per il calcolo dei lati del triangolo, del perimetro e la formula di Erone per il calcolo della superficie.
Il triangolo è dinamico: basta premere il tasto F9 per vederne modificate le dimensioni e la posizione.
Lo studieremo insieme...
Scaricate triangolo nel piano cartesiano.xls
Divertitevi!

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Risoluzione di un sistema di equazioni lineari - Excel

Viste le richieste da "chiavi di ricerca", pubblico un lavoro sui sistemi di equazioni lineari realizzato in Excel.
Il mio era stato un piccolo contributo al lavoro dei miei amici Ignazio e Maurizio.
Questo l'articolo di presentazione:
La cartella di lavoro allegata è un'esempio su come usare Excel per risolvere un sistema di n equazioni lineari in n incognite.
Nella cartella vengono mostrati 2 diversi approcci al problema mediante Excel:

  • statico
  • dinamico
Al foglio Sistema statico, contenente vari esempi per la risoluzione di sistemi in cui il numero di eq./inc. è fisso, stabilito, predeteminato (n costante), viene contrapposto il foglio Sistema dinamico, esempio di calcolo flessibile, in cui l'utente può scegliere il numero di eq./inc. (n variabile).
La cartella contiene inoltre un foglio descrittivo (INFO) ed un foglio di esempi di calcolo (Sistema dinamico - Esempi).
Due immagini:


EquazioniLineari.zip è l'allegato da scaricare.

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martedì 13 maggio 2008

[Esercitazioni] I cruci-numeri di Gimmi e di AnnaLaura

Gimmi (che sarebbe il nostro GianMario di I A), e AnnaLaura hanno creato il loro cruciverba numerico.
Gimmi:


Scaricate cruci numeri_gimmi.xls
Anna Laura:

Bravi gimmi e AnnaLaura!

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sabato 10 maggio 2008

Il più piccolo multiplo comune

Oggi (ieri) a scuola la professoressa di matematica ci ha fatto fare un gioco riguardante la divisibilità.
Ci ha detto di immaginarci un bel viale con ai lati panchine, alberi e fontane. Ogni 2 metri del viale c’è una panchina, ogni 3 un albero e ogni 5 una fontana. All'inizio del viale ci sono: la panchina, l'albero e la fontana.
Ci ha posto una domanda riguardante il gioco: "quand’è che nel viale ci saranno panchina, albero e fontana nuovamente insieme in fila?"
Non sapevamo dare la risposta giusta e allora la professoressa ci ha consigliato di fare il disegno della situazione sul quaderno.
Molti di noi hanno fatto bene i disegni, altri un po' pasticciati, non esatti, e quindi non si arrivava a dare la soluzione giusta.
Questo è il mio disegno


Al 30° metro ci sono la panchina, l'albero e la fontana.
La prof ha detto: brava!!!
Impiegavamo molto tempo con i disegni e a un certo punto la prof ha scritto alla lavagna solo i numeri delle distanze in metri, per ogni panchina, per ogni albero e per le fontane.
Panchine: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
Alberi: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21
Fontane: 5, 10, 15, 20, 25, 30
Scritti così, non trovavamo a quale "metro" si presentavano ancora tutti insieme.
Allora abbiamo deciso di aggiungere ancora dei metri…
Per le panchine: 22, 24, 26, 28, 30.
La prof ci ha detto: attentii!
E noi abbiamo notato il "30" sia per le panchine che per le fontane!
Abbiamo continuato la numerazione per gli alberi:
24, 27, 30.
Trovato! Al 30° metro si ritrovano insieme panchine, alberi e fontane.
A questo punto la prof ci chiede di considerare attentamente i numeri, riga per riga…
Siamo arrivati a dire che:
la riga dei metri delle panchine sono tutti multipli di 2;
quella degli alberi sono i multipli di 3;
quella delle fontane sono i multipli di 5.
E anche che questi tre numeri hanno dei multipli uguali. Cioè multipli comuni. Il 30 è il primo multiplo comune a tutti e tre, che si incontra.
La prof dice: quanti sono i multipli di un numero?
Noi: Infiniti.
- Quale fra i multipli comuni a dei numeri possiamo "privilegiare"? Sono così tanti...
Di sicuro il più piccolo!
Infatti fra i tanti multipli comuni a due o più numeri il più piccolo di essi è "famoso": si chiama Minimo Comune Multiplo.
La prof ci ha detto che è molto importante per risolvere tante situazioni, che, quando sapremo calcolarlo con facilità, sarà uno "strumento", che infatti fa parte della "cassetta degli attrezzi" della matematica!
Quindi abbiamo capito meglio il nostro gioco: al 30° metro la panchina, l'albero e la fontana sono tutti in fila. 30 è un multiplo di 2, di 3 e di 5, ed è il più piccolo fra i multipli comuni.
Anna Laura I A

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venerdì 9 maggio 2008

Cruci_divisibilità

Con i ragazzi di prima stiamo imparando a realizzare il cruciverba con Excel.
Dopo i cruci_geometrici, come non regalare loro un cruci_numeri?
In attesa delle vostre personali creazioni, risolvete il cruci_divisibilità!


Le modalità d'uso le conoscete, e ... per voi un premietto finale!:-)
Scaricate cruci_divisib_tà.xls

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giovedì 8 maggio 2008

Gli Atomi dell’aritmetica

"I numeri primi sono i veri e propri atomi dell’aritmetica.
Si definiscono primi i numeri interi indivisibili, cioè quelli che non possono essere scritti come prodotto di due numeri interi più piccoli. I numeri 13 e 17 sono primi, mentre il numero 15 non lo è, dato che può essere scritto come il prodotto di 3 e 5. I numeri primi sono gioielli incastonati nell’immensa distesa dei numeri, l’universo infinito che i matematici esplorano da secoli. Ai matematici i numeri primi infondono un senso di meraviglia: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23..., numeri senza tempo che esistono in un mondo indipendente dalla nostra realtà fisica. Sono un dono che la Natura ha fatto al matematico."
Ragazzi, questo brano è tratto da un libro affascinante:

L'ENIGMA DEI NUMERI PRIMI
di
Marcus Du Sautoy

Voi potrete apprezzare meglio questa lettura fra qualche anno; qui vi propongo ancora qualche passo:
"La loro importanza per la matematica deriva dal fatto che hanno il potere di costruire tutti gli altri numeri. Ogni numero intero che non sia primo può essere costruito moltiplicando questi elementi di base primari.
Ogni molecola esistente nel mondo fisico può essere costruita utilizzando gli atomi della tavola periodica degli elementi chimici. Un elenco dei numeri primi è la tavola periodica del matematico. I numeri primi 2, 3 e 5 sono l’idrogeno, l’elio e il litio del suo laboratorio. Padroneggiare questi elementi di base offre al matematico la speranza di poter scoprire nuovi metodi per costruire la mappa di un percorso che attraversi le smisurate complessità del mondo matematico.
Eppure, a dispetto della loro apparente semplicità e della loro natura fondamentale, i numeri primi restano gli oggetti più misteriosi studiati dai matematici. In una disciplina che si dedica a trovare andamenti regolari e ordine, i numeri primi presentano la sfida estrema. Provate a esaminare un elenco di numeri primi. Scoprirete che è impossibile prevedere quando apparirà il successivo. L’elenco sembra caotico, casuale, e non fornisce alcun indizio riguardo al modo di determinare il suo prossimo elemento. L’elenco dei numeri primi è il ritmo cardiaco della matematica, ma è una pulsazione stimolata da un potente cocktail a base di caffeina:

I numeri primi compresi fra 1 e 100: il battito cardiaco irregolare della matematica.

Riuscite a trovare una formula che generi i numeri di questo elenco, una regola magica che vi dica qual è il centesimo numero primo?
Questo problema affligge la mente dei matematici da molti secoli. Nonostante più di duemila anni di sforzi, i numeri primi sembrano vanificare ogni tentativo di inserirli in un semplice schema regolare. Generazioni sono rimaste sedute ad ascoltare il ritmo del tamburo dei primi che emette la sua sequenza di numeri: due colpi, seguiti da tre colpi, poi da cinque, sette, undici. Man mano che la sequenza continua, è facile essere indotti a pensare che il tamburo dei numeri primi emetta un rumore bianco casuale, privo di una logica interna. Al centro della matematica, della ricerca dell’ordine, i matematici riescono a sentire soltanto il suono del caos.
I matematici non sopportano di dover ammettere che non esista una spiegazione del modo in cui la Natura ha scelto i numeri primi. Se la matematica non avesse una struttura, se non possedesse una sua meravigliosa semplicità, non varrebbe la pena di studiarla. L’ascolto di un rumore bianco non è mai stato considerato un passatempo piacevole. Come scrisse il matematico francese Henri Poincaré, «lo scienziato non studia la Natura perché è utile farlo; la studia perché ne trae diletto, e ne trae diletto perché la Natura è bella. Se non fosse bella, non varrebbe la pena di conoscerla, e se non valesse la pena di conoscere la Natura, la vita non sarebbe degna di essere vissuta»."
...a partire dall'ipotesi di Riemann, in questo libro Marcus Du Sautoy

Ritratto di Marcus du Sautoy
presenta con chiarezza esemplare i principali enigmi risolti e irrisolti del mondo dei numeri primi, spiegando quale sia la loro importanza attuale in campi come la fisica quantistica e la sicurezza informatica. Continua

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lunedì 5 maggio 2008

Cruci_solidi con Excel

Ancora un cruciverba in Excel.
Stavolta sui solidi geometrici: vedi mai che qualcuno della III B si colleghi? :-)
In ogni caso a noi, II A, sarà utile l'anno prox!


Le indicazioni d'uso sono le stesse:
Per leggere le definizioni bisogna cliccare sulle celle dove appare il triangolino rosso. E' indicato orizzontale o verticale; vedete un esempio sull'immagine.
Se la lettera immessa nella cella è esatta il carattere apparirà di colore verde;
se la lettera è errata, apparirà di colore rosso!
Scaricate cruci_solidi.xls

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domenica 4 maggio 2008

Studio analitico della circonferenza in Excel

Presento un lavoro realizzato tempo fa con la collaborazione del mio amico Ignazio, sulla

Rappresentazione grafica della circonferenza in Excel.

Il file è costituito da due Fogli di lavoro:
"circonferenza_0;0". Fruitore: studente/docente di Scuola second. di 1°gr.
Riporta l'equazione e la rappresentazione grafica di una circonferenza che ha per centro l'origine degli assi cartesiani.
Mediante la casella di selezione sulla sinistra in alto è possibile far variare il valore della misura del raggio.
Mediante la casella di selezione sulla destra si può seguire lo spostamento del punto A lungo la curva e la sua equidistanza dal centro al variare delle sue coordinate.

Il secondo foglio di lavoro,
"circonferenza_XoYo": contiene la rappresentazione grafica dell'equazione della circonferenza che ha per centro un punto qualsiasi del piano cartesiano.
Sono inoltre riportati, con lo schema usato nel calcolo manuale, dinamico a seconda dei valori impostati, i "passaggi" algebrici che dall'equazione di una circonferenza dati il centro ed il raggio, portano all'equazione canonica e i procedimenti inversi che da quest'ultima permettono di calcolare il raggio e le coordinate del centro. Evidenziati anche i casi particolari delle costanti nell'equazione canonica.
Richiedendo più sviluppate abilità nel comprendere relazioni algebriche che traducono proprietà geometriche, questa parte è rivolta maggiormente a studenti del 1° o 2° anno della secondaria superiore.
Due menu "convalida dati" consentono la variazione delle coordinate del centro,
due caselle di selezione, rispettivamente, la variazione della misura del raggio e delle coordinate di un punto P, appartenente alla circonferenza, "mobile" sulla curva.
Essendo il lavoro mirato in prima istanza, ad integrare la trattazione didattica della rappresentazione grafica dell'equazione, nel secondo foglio sono state nascoste le colonne contenenti i dati origine del grafico. Le coordinate del centro e quelle del punto P, usate per la rappresentazione dei due punti, sono nascoste dal colore bianco del carattere.

Gli utenti di Excel possono trarre esempi su:

* Realizzazione di un grafico dinamico.
* Formule.
* Formati personalizzati
* Convalida dati
* Strumento Moduli
Il file circonferenza.zip è scaricabile da questa pagina (allegato all'articolo).

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