giovedì 29 gennaio 2009

[Contributi] Antichi Sistemi di Numerazione_5

Ringraziamo ancora Paolo per la bella Storia dei Sistemi di Numerazione.
Ecco l'ultimo suo post (in merito eh, Paolo!:-)).


Il Sistema di numerazione posizionale e l'introduzione dello zero
Il sistema di numerazione posizionale, adottato prima dai Cinesi e poi dagli Indiani, poteva rappresentare in forma simbolica e compatta numeri anche molto grandi, usando pochi simboli. Nel caso del sistema decimale sono i dieci simboli da zero a nove.
In tale sistema, uno stesso simbolo ha diverso valore se scritto prima degli altri o, comunque, in una particolare posizione rispetto agli altri.
I Cinesi, infatti, fin da epoche remote, per rappresentare un numero, ad esempio il 23, scrivevano come in figura (ricordiamo che la scrittura si sviluppava verticalmente dall'alto in basso).
Ne risultava quindi un valore di posizione perché la posizione occupata dal numero 2 (le prime due lineette in alto) indicava che il valore non era 2 bensì 2 x 10 (il + rappresentava il 10), seguono poi le tre lineette del numero 3.
Gli Indiani, all'incirca nel 7° secolo d.C., si accorsero però che quando all'interno di un numero non comparivano unità di un certo ordine, lo spazio vuoto utilizzato per rappresentare il concetto di niente poteva venire confuso con la separazione fra due numeri e generare confusione. Introdussero pertanto un nuovo simbolo, lo zero, che loro rappresentavano con un punto. Successivamente trasformato in un simbolo a forma di uovo.
Sunya, che significa vuoto, è la parola che gli Indiani attribuivano al punto, da loro utilizzato sulle tavole di calcolo per simboleggiare il concetto di niente.
Il nostro termine zero deriva dal latino ziphirum, che a sua volta deriva dalla parola araba sifr, che a sua volta deriva della parola indiana sunya.
Vi è da sottolineare che anche altre popolazioni antiche avevano introdotto l'uso dello zero, però più come marcatore di uno spazio vuoto piuttosto che come simbolo con valenza numerica.
I sacerdoti Maya, per esempio, intorno al 1° secolo d.C., adottarono lo zero quale segnaposto nei calcoli legati all'astronomia e al calendario, scienza che seguivano con particolare interesse. Nella località archeologica di Chichenitza (o Chichén Itzà), nello Yucatan, si può tuttora ammirare un edificio dedicato alle ricerche astronomiche: il Caracol.
Il passaggio del sistema di numerazione dagli Indiani agli Arabi avvenne nell'8° secolo d.C., mentre nell'Europa cristiana, attraverso la Spagna araba, solamente nel 13°.
L'Europa del tempo non assunse però la forma delle cifre arabo/orientali quali erano usate dagli arabi, come nello specchietto seguente

bensì quelle occidentali, dette ghubar, di derivazione diretta dalle indiane.
Nel grafico seguente riportiamo l'evoluzione della forma delle cifre quale si è sviluppata nel periodo citato:
dove:
• il Brahmi è l'arcaico linguaggio indiano del X sec. a.C.;
• l'Indiano antico è successivo e viene intorno al VI sec. d.C.;
• il Sanscrito-Devanagari è un linguaggio indiano del VII-XII sec. d.C.;
• l'Arabo antico risale al VIII-X sec. d.C.;
• i sistemi di numerazione che seguono si riferiscono all'Europa nei secoli indicati.
L'introduzione, dapprima in Italia, e poi in tutta Europa, delle cifre arabe e del sistema di numerazione posizionale fu in gran parte dovuta alla diffusione del Liber Abaci di Leonardo Fibonacci (1202), noto soprattutto, presso i matematici, per la famosa successione di Fibonacci, preceduto da un trattato sul computo di Guido D'Arezzo nel quale venivano usate le cosiddette figure d'abaco (vedi figura seguente)
che, come si può facilmente notare, anticipavano, nell'aspetto, i simboli numerici che oggi tutti conosciamo ed utilizziamo.
Paolo, è un prezioso lavoro, grazie per il tempo che dedichi a noi!

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lunedì 26 gennaio 2009

Aritmetica modulare / 2

Ragazzi,
.mau. ha pubblicato la seconda parte sull'Aritmetica modulare. E noi la sfruttiamo!:-)
"
Moltiplicazione, ma soprattutto divisione!" dice Mau. Leggeremo ... ci spiegherà!
Intanto osservate qui la sua tabella della moltiplicazione modulo 10:

http://xmau.com/notiziole/arch/200901/005223.html
Osservare attentamente! Come sono tra loro i prodotti nelle diverse righe o colonne?
2*2=? e 2*7=?
Giusto, no? Si lavora con il Mod 10.
E questo cosa vuol dire se consideriamo la divisione? E' l'inversa vero?
Dunque: 4:2=? e 4:7=?
E se volessimo eseguire: 9:2? uhm.... andremo a leggere...!
In altre colonne o righe invece, tutti i prodotti....

Osservate ora la tabella della moltiplicazione Mod 11:
http://xmau.com/notiziole/arch/200901/005223.html

Se escludiamo la colonna e la riga dello zero, tutti i prodotti sono .... come sono tra loro?
Riflettete inoltre: esiste sempre il prodotto 1, in tutte le righe o colonne.
Perché ve lo faccio notare?
Mah, vi ricordo che 5 *1/5 = 1; 3*1/3 = 1; 4*1/4 = 1; ecc...
Ogni numero moltiplicato per il suo .... = 1.
Credo ci serva per eseguire facilmente le divisioni Mod 11 ...!
Discutiamone un po'.... poi andiamo a leggere da Mau!
grazie ancora Mau:-)

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[Contributi] Antichi Sistemi di Numerazione_4

Il mio amico Paolo, gentilissimo, integra il lavoro sugli

Antichi Sistemi di Numerazione.
Sistema Indiano
Il Sistema di Numerazione Indiano si può datare con inizio dal IX secolo avanti Cristo.
Nel periodo più antico venivano usati dei semplici trattini verticali disposti a gruppi, un trattino per l'uno, due per il due, tre per il tre, riprendendo poi gli stessi raggruppamenti per comporre numeri più alti.
Di questi sono state trovate diverse testimonianze in più parti dell'India ed erano rappresentate da solo quattro serie di numeri dall'uno al cinque, come nell'immagine seguente.

Successivamente, pur continuando ad usare il principio ripetitivo, secondo il quale il valore di un numero era rappresentato dalla mera ripetizione di segni unitari uguali, vennero aggiunti nuovi simboli di ordine superiore per indicare i numeri successivi al tre ma, curiosamente, mancanti del numero nove. Questa scrittura, detta Karosthi, si presentava come nella tabella seguente:

Come si può notare, il sistema in questione era già posizionale a notazione decimale, vale a dire che le cifre assumevano un diverso valore in base alla loro posizione e si incrementavano in base 10.
Una successiva graduale evoluzione portò all'adozione della notazione in caratteri Brahmi che introduceva il numero nove come mostrato dalla seguente figura.

Il riferimento a nove cifre, anziché dieci, dimostra che, a quel tempo, lo zero non era ancora conosciuto, infatti, venne introdotto molto più tardi, verso la fine dell'800 d.C., completando di fatto il moderno sistema di numerazione per gli interi.
L'implementazione dello zero avvenne nella notazione cosiddetta Devanagari (divina) che, come mostra la tabella di comparazione con altri sistemi, portò un'ulteriore evoluzione anche nella simbologia delle cifre.
In realtà, agli Indiani non dovrebbe essere attribuita l'invenzione dello zero, pare infatti che questa abbia avuto origine nell'antica Grecia, però va loro ascritto il merito di averlo applicato nella sua moderna concezione.
Curiosità.
Il sistema di numerazione indiano, utilizzato oggi in India, Pakistan, Bangladesh, Nepal e Myanmar (Birmania), è basato sul raggruppamento di due decimali anziché tre come in molte parti del mondo.
Questo sistema di misurazione presenta il separatore delle migliaia ogni due cifre eccettuato il primo migliaio. Così, per esempio, 30 milioni (3 crore) di rupie è scritto 3,00,00,000, con una virgola al migliaio e, successivamente, ogni due zeri.
Si veda la seguente tabella indicativa:

Sistema Arabo
All'inizio del VI secolo d.C. gli Arabi che popolavano la Penisola Arabica erano variamente distribuiti. Nella parte centrale e settentrionale abitavano tribù prevalentemente nomadi mentre in quella meridionale popolazioni sedentarie di origine mesopotamica.
L'avvento di Maometto (570-632 d.C.), a partire dai primi del 600, con una serie di battaglie e conversioni, favorì la riunificazione della popolazione araba.
Popolo di conquistatori ed unificati nella fede islamica, intorno al VII secolo gli Arabi affermarono la loro supremazia in tutto il Mediterraneo meridionale, nel Vicino e Medio Oriente e nell'Africa settentrionale. Nell'VIII e nel IX secolo rispettivamente, occuparono parte della Penisola iberica e la Sicilia.
Un tale vasto impero doveva necessariamente avvicinare diverse culture, in effetti, essi ebbero approfonditi e proficui contatti con il sapere dei popoli conquistati. Ne subirono anche notevolmente l'influenza, tanto che, nelle scienze matematiche tali differenze ne segnarono profondamente l'evoluzione; in alcune opere veniva utilizzata la notazione numerica indiana, in altre lo schema di numerazione alfabetico dei greci (dove le lettere erano sostituite da quelle arabe equivalenti), anche se, poi, la notazione indiana finì per prevalere.
Nel mondo arabo, le varianti nella forma delle cifre utilizzate nella parte orientale ed in quella occidentale, erano così numerose da fare pensare ad origini completamente diverse. E' probabile che le cifre usate in Oriente provenissero dall'India, mentre quelle usate in Occidente da forme greche o romane (vedi specchietto seguente).

Uno dei primi riferimenti al sistema indiano si data nel 650 d.C. quando un vescovo siriano, certo Severus Sebock, in un suo scritto accennò ai nove segni degli Indiani con cui si riusciva a scrivere ogni numero.
Attorno all'850 d. C., il matematico persiano Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, nel libro Algoritmi de numero Indorum, traduzione latina di uno dei suoi più importanti studi sul sistema di numerazione indiano, riprese i concetti di notazione posizionale e di numero zero. La parola algoritmo o algorismo deriva da Algoritmi, la latinizzazione del suo nome che compare nel titolo del libro citato.

Nel X-XI secolo i sistemi fondamentali di numerazione usati nei testi di scienziati arabi erano tre:
- il primo prevedeva la scrittura in parole per esteso del numero e derivava dalle pratiche di conteggio con le dita, indigitazione (vedi tabella a fianco), usate soprattutto dalla comunità dei commercianti e contabili;
- il secondo era il sistema sessagesimale derivato da quello babilonese che usava come simboli le lettere dell'alfabeto arabo ed era applicato prevalentemente nelle opere di astronomia;
- il terzo era il sistema di numerazione indiano, la cui diffusione si andava estendendo sempre più soprattutto nella parte occidentale, divenendo il modo usuale di scrivere e calcolare anche per la gente comune.
Vedi anche: QUI
continua...
grazie Paolo!

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domenica 25 gennaio 2009

Irrazionali zebra

Non è vero che gli irrazionali non hanno delle regolarità!

"Se le cifre di un numero irrazionale vengono scelte a caso, certamente non bisogna aspettarsi che mostrino percorsi ovvi nelle prime cento cifre...
Mister Plex (alieno, assistente del dottor Oz): 'No, non è vero. Guarda la classe di numeri che i terrestri chiamano irrazionali zebra.' Due dei suoi piedi iniziano a battere eccitati.. 'E adesso ti faccio vedere perché! Qui c'è il mio irrazionale zebra preferito'. Mister Plex mostra una carta con l'equazione:

$f(n)= \sqrt{ \frac{ 9 }{ 121x100^n} + \frac{ (112-44n) }{121 } }$
E aggiunge: 'Voglio mostrarvi un numero irrazionale meraviglioso, generato quando n è uguale a 30'. Porge una carta:
272727272727272727272727272727
2727272727272727272727272727
08
96969696969696969696969696969
6969696969696969696969696969
08
280134
680134 680134 680134 680134
680134 680134 680134 680134
6760129280957725402169846614291058
7355031799476243920688365098232657372074...
il numero irrazionale zebra più bello del mondo
Dorothy indietreggia. "Oh, mio Dio, che disegno."
'Sì, ne ho fatto una composizione grafica per mettere in evidenza i comportamenti.'
II dottor Oz annuisce, apparentemente impressionato dall'abilità matematica di Mister Plex. "Qui ci sono alcune configurazioni bizzarre, che sembra si blocchino improvvisamente all'ultimo 680134, come l'acqua che zampilla da un buco si esaurisce all'improvviso se si chiude la fonte.
Da quel punto in avanti le cifre non seguono alcun comportamento che i miei occhi alieni possano distinguere. Dorothy, qui c'è una calcolatrice. Sei in grado di calcolare altri numeri di questo irrazionale zebra e trovare altre configurazioni? Quali altri irrazionali zebra puoi scoprire?""
Da La matematica di OZ - I Clifford Pickover (Sfide Matematiche)

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venerdì 23 gennaio 2009

Massimo comun divisore

Fresco da Matematita...
Mimando l'algoritmo euclideo delle divisioni successive, si può illustrare il MCD tra due numeri a e b con la seguente costruzione: si parte da un rettangolo di a per b quadretti, si disegnano poi in questo rettangolo il maggior numero possibile di quadrati di lato b (se a>b) e si itera il procedimento sul rettangolo residuo, finché il rettangolo di partenza non è completamente decomposto in quadrati. Il MCD fra a e b è allora il lato del quadrato più piccolo che compare in questa decomposizione.
Un es:


MCD(14; 6):
abbiamo un rettangolo 14 x 6,
possiamo scomporlo in due quadrati di lato 6;
rimane un rettangolo 6 x 2;
possiamo scomporlo, esattamente, in tre quadrati di lato 2.
MCD(14; 6) = 2
Altri due esempi:

Nella figura 1, MCD(7; 4) = 1,
nella 2, MCD(12; 3) = 3

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giovedì 22 gennaio 2009

[Segnalazioni] Immagini per la Matematica

Davvero interessante il sito Matematita - Immagini per la Matematica.
E' una realizzazione di

Matematita,
Centro interuniversitario di ricerca per la comunicazione e l'apprendimento informale della matematica.
"Il progetto Immagini per la matematica si propone di rendere fruibile al pubblico il patrimonio di immagini e animazioni a disposizione del Centro, creando uno strumento per la comunicazione matematica che sia di facile utilizzo per l'utente, ma che nel contempo garantisca standard elevati di correttezza scientifica e di qualità e pertinenza dal punto di vista iconografico.
Nella società odierna la centralità del ruolo svolto dalla comunicazione per immagini è un fatto universalmente riconosciuto.
.......
Il centro Matematita è particolarmente interessato a tale problema in quanto la comunicazione per immagini, per sua natura, costituisce una modalità interessante non solo di divulgazione ma anche di avvio ad un apprendimento informale.
.....
Il visitatore può trovare nel menu sulla sinistra una presentazione del progetto; alcuni suggerimenti per visite guidate alle diverse sezioni del catalogo (e suggeriamo di vedere queste pagine prima di procedere direttamente alla libera consultazione); alcune schede di approfondimenti teorici che offrano l'occasione per saperne di più e alcune animazioni interattive e non; alcuni esempi di percorsi che si possono compiere attraverso le immagini del catalogo, per costruire storie di matematica su grandi o piccoli temi dedicate a lettori più o meno competenti. Il visitatore può poi costruire liberamente i propri percorsi procedendo direttamente e in piena autonomia attraverso le pagine di consulta il catalogo."
Qualche esempio dal catalogo
Una mongolfiera poliedrica

Questa mongolfiera ha la forma di un poliedro, ottenuto costruendo una piramide su ognuna delle 20 facce di un icosaedro.
Segmenti

Una strada a zig-zag a Creta.

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mercoledì 21 gennaio 2009

Giochino: Un triangolo che si allarga

Da Matematicamente:
Un semplice giochino che vi farà scervellare. Con gli stessi pezzi è possibile comporre due triangoli, uno più grande dell'altro, come mai?
Disegna su un foglio i seguenti pezzi di triangolo

http://www.matematicamente.it/giochi_e_gare/matemagica/un_triangolo_che_si_allarga_200811064654/
Ricomponi il triangolo nel seguente modo

Ricomponi il triangolo in quest'altro modo

Come mai questo triangolo pur avendo base 13 come il precedente e altezza 5 come il precedente, ha una superficie maggiore in quanto ha il quadratino bianco in più?

Un triangolo che si allarga | Matematicamente.it via kwout

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lunedì 19 gennaio 2009

[Segnalazioni] Aritmetica modulare

Ragazzii!
Guardate cosa ha scritto, manco a farlo apposta bello e pronto per noi [certamente meglio di noi - e così questo post voi monelli non lo scrivete più :)] .mau. : aritmetica modulare o, come noi l'abbiamo anche chiamata, "dell'orologio".

Non è mica tutto qui, ci mostra anche una tabella dell'addizione Mod 12 eccc...
clic sul link e andiamo a leggere!
Inoltre, ci promette dell'altro.....
grazie .mau.!
Nota: qui sul blog ricordo: La funzione RESTO() in Excel. Trovate un file .xls con un foglio di lavoro dedicato alle Classi resto, su cui potete anche lavorare...

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sabato 17 gennaio 2009

Equazione di una retta e intersezione tra due rette in Excel

E' un po' che non lavoro con Excel, mi stimolano però le "chiavi di ricerca"....
"La retta in excel, calcolare con excel il punto di intersezione di due rette" e similari, sono ricerche frequenti.
I lettori trovano già Grafico di una retta con Excel con rimando a un tutoriale su Come creare un grafico in Excel.
Voglio ora mostrare come trovare

L'equazione di una retta che passa per due punti e
Il punto di intersezione di due rette
Osservate l'esempio del foglio di lavoro:

Vediamo la rappresentazione di due rette, chiamiamole a e b, a partire dalle coordinate di due loro punti: tabella xa ya e xb yb, e la loro intersezione.
Creo i grafici delle due rette:
con i valori della tabella xa ya creo un grafico a dispersione xy;
copio i valori della tabella xb yb,
Clic sul grafico e da menu Modifica scelgo: Incolla speciale
Seleziono Nuova serie e Categorie (valori x) nella prima colonna, come da immagine:

Ora nella tabella G1:H3, con le funzioni PENDENZA() e INTERCETTA(), calcolo rispettivamente il coefficiente angolare e il termine noto delle due rette.
PENDENZA() "Restituisce la pendenza della retta di regressione lineare (per chi vuole approfondire)".
INTERCETTA() calcola il punto in cui una retta interseca l'asse delle y, vale a dire il punto di ascissa 0, il punto in cui la retta interseca l'asse y: l'ordinata di quel punto indica il valore del termine noto.
[Per un ripasso dell'equazione della retta e suoi parametri si può vedere qui e qui. Una scheda interattiva qui]
Dunque,
in cella G2 la formula: =PENDENZA(B2:B3;A2:A3) (coefficiente angolare della retta a)
in cella G3: =PENDENZA(E2:E3;D2:D3) (coefficiente angolare della retta b)
In cella H2: =INTERCETTA(B2:B3;A2:A3) (termine noto della retta a)
In cella H3: =INTERCETTA(E2:E3;D2:D3) (termine noto della retta b).

Voglio visualizzare sul grafico l'equazione delle due rette.
Con il destro del mouse clicco sul grafico di una delle due;
scelgo: Aggiungi linea di tendenza;
Scheda Tipo: lineare
Opzioni:: Visualizza equazione sul grafico e Visualizza R² sul grafico,
come da immagine:

[il valore R² è un indicatore compreso tra 0 e 1 che indica il grado di corrispondenza tra i valori stimati per la linea di tendenza e i valori reali. Una linea di tendenza risulta più precisa quando il relativo valore R² è uguale o prossimo a 1. Denominato anche coefficiente di determinazione. - anche questa info è stata "cercata_con_google"!]
Ripeto l'operazione per la seconda retta.
Posso poi formattare a piacere le due "Etichette" (con il destro su esse: Formato etichette dati).

Troviamo ora le coordinate del punto di intersezione.
Per l'ascissa, x, in cella J3 la formula: =(H3-H2)/(G2-G3)
Per l'ordinata, y, in K3 : =G2*J3+H2
Seleziono J3:K3,
copio,
clic sul grafico
e da menu Modifica scelgo: Incolla speciale
Seleziono Nuova serie e Categorie (valori x) nella prima colonna (come visto sopra).

Se G2=G3, le rette hanno la stessa pendenza, esse sono parallele, quindi non hanno alcun punto di intersezione.
Se G2=G3 *e* H2=H3 le rette sono coincidenti, quindi hanno infiniti punti di intersezione.
In tali casi in J3:K3 avrò il valore di errore #DIV/0!

File da scaricare: Equazione_duerette.xls

Segnalo ancora un lavoro sull'intersezione di due rette del mio amico Fernando, a cui devo tante scoperte in Excel, incluse le funzioni e le procedure trattate in questo post.
http://www.prodomosua.eu/zips/intersezione.xls [per visualizzare diverse situazioni premere il tasto F9]
[per spiegazioni sulla formula vedi:
http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/lineline2d/ ]
grazie Fer :-)

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giovedì 15 gennaio 2009

Operazioni geometriche sui numeri razionali_4. Costruzione delle potenze di 1/2

Vediamo ancora un'operazione di tipo geometrico sui razionali.

Costruzione delle potenze di 1/2
Si tratta di un'interessante operazione che ci fa fare un passetto in più nella conoscenza.... dell'infinito!
Aiuta "noi ragazzi" a comprendere meglio Zenone e i suoi paradossi, e magari anche le "Somme infinite" di zar!
Sull'applet GeoGebra che andrete ad aprire potrete seguire passo a passo la costruzione:
- sull’orizzontale si costruisce il numero ½ (due mosse: segmento uno-due1 e segmento parallelo uno1-½ ),
- si unisce ½ con il due1 dell’obliqua e si traccia la parallela a quest’ultimo segmento sempre partendo dal punto uno1 [abbiamo costruito così il numero: ½/2 cioè ¼], cosi di seguito per le altre potenze.
Si ottengono via via le potenze:
$\frac{ 1 }{ 8}$, $\frac{ 1 }{ 16}$, $\frac{ 1 }{ 32}$ ... $\frac{ 1 }{ 2^n}$ (o $\left( \frac{ 1 }{ 2}\right)^n$).
Clic


Ora una domanda: continuando a costruire ininterrottamente le potenze di ½, se sommiamo tutti i segmenti ottenuti nell’orizzontale tra uno e 0 (zero) che segmento dovremmo ottenere?
Non pensate si dovrebbe ottenere la misura del segmento lungo 1?

Possiamo scrivere quindi:
$1= \frac{ 1 }{ 2} + \frac{ 1 }{ 4}+ \frac{ 1 }{ 8}+ \frac{ 1 }{16}+ ... + \frac{ 1 }{ 2^n}$
Questa formula dobbiamo interpretarla così:
quante più potenze di ½ costruiamo, quindi quanti più segmentini, tanto più la loro somma si avvicina alla misura del segmento di lunghezza 1.
Nel linguaggio dei veri matematici questo fatto si esprime così:
al tendere di n all’infinito, la somma delle potenze di ½ tende al valore 1.
(Difficile? Su, su, si tratta di fissare il verbo *tendere*! "Avvicinarsi a", "evolvere verso", es: "il tempo tende a migliorare, tende al bello")
Si può scrivere anche utilizzando dei bei simboli (il simbolo dell'infinito lo conoscete!):
per $n \rightarrow+∞$ si ha:
$\frac{ 1 }{ 2} + \frac{ 1 }{ 4}+ \frac{ 1 }{ 8}+ ... + \frac{ 1 }{ 2^n} \quad\rightarrow 1$
Quest'affermazione può essere dimostrata attraverso una serie di passaggi algebrici che per ora saltiamo, che portano alla formula:
$1=1- \frac{ 1 }{ 2^n}$
per n crescente, cioè $n \rightarrow+∞$, si ha: $\frac{ 1 }{ 2^n}\quad\rightarrow 0$.
Sottraiamo da 1 una frazione con numeratore 1 e con denominatore sempre più grande, cioè sottraiamo un numero sempre più piccolo. Un numero che addirittura tende a zero! Quindi rimane: 1 = 1!
Bello no?:-)

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mercoledì 14 gennaio 2009

[Esercitazioni] Quadrati perfetti in Excel

In seconda cominciamo a parlare dell'operazione inversa dell'elevamento a potenza 2...
Anna Laura ha evidenziato i quadrati perfetti nella tavola della moltiplicazione in Excel


Il lavoro di Annalaura, quadrati perfetti_excel.xls
Nota per ALaura (e per tutti -alunni-):
come ho detto più volte, la larghezza delle colonne va ridotta per ricavare l'immagine per il blog! L'ho fatto ancora io!!! :-)

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Carnevale della Matematica _9

E' uscito da .Mau. il Carnevale della matematica n° 9
"
Number nine, number nine, number nine..."

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martedì 13 gennaio 2009

Operazioni di tipo geometrico sui numeri razionali_3

Vediamo in questo post come possono essere ancora utilizzate le due semirette aventi origine comune, sulle quali si sia stabilita un'unità di misura, per costruire la

Somma tra due numeri razionali
Supponiamo di sommare 1 e 3/4:
- si riporta a partire da1 sull'orizzontale la misura corrispondente a 3/4 (o viceversa da 3/4 la misura corrispondente all'1 dell’orizzontale);
- si segna il punto corrispondente sull’orizzontale,
- si unisce questo punto con l'1 dell’obliqua.
- Si traccia la parallela al segmento trovato (il segmento congiungente 1 e 1+3/4
disegnato precedentemente), che passa per il 4 sull’obliqua.
Tale parallela interseca l'orizzontale nel punto corrispondente al 7.
Il segmento che unisce (orizzontale – obliqua) il 7 al 4 rappresenta, infatti, il numero 7/4 che è la somma tra 1 e 3/4.
Clic sull'immagine:

E qui, come sommare due frazioni, con la stessa procedura.

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lunedì 12 gennaio 2009

La più bella dimostrazione....

Mica solo le formule, nella matematica sono belle anche le dimostrazioni....
Qualche giorno fa zar, ha parlato del gioco dei soldati di Conway. Oggi pubblica questa dimostrazione che ... béh, se mi tira in ballo Fibonacci, non so resistere!:-)

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venerdì 9 gennaio 2009

Le 10 formule matematiche ...

... che hanno cambiato la faccia del mondo.

C'è poco da fare: le formule matematiche sono anche belle!
La bellezza dei simboli, delle formulazioni stesse...
La matematica è arte!

"Il dottor Googol ha condotto un sondaggio personale su quali formule gli scienziati considerassero "le 10 formule matematiche che hanno cambiato la faccia del mondo".
... la maggioranza degli intervistati erano matematici (professori, professionisti e studenti di dottorato).
Ecco la risposta a questa domanda data dalle circa 50 persone interessate che hanno fornito al dott Googol la loro opinione su quali fossero le equazioni più importanti ed influenti.
In ordine di preferenze ottenute

LE TOP 10
1.
$E=mc^{2}$
2.
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
3.

4.
$x= \frac{ (- b+/- \sqrt{ b^{2}-4ac) } }{ 2a} $
5.
$\vec F=m\vec a$
6.
$1+e^{iπ}=0$
7. $c=2πr; \quad a= πr^{2}$
8.
$\vec{ F } = \frac{ Gm_1m_2 }{ r^{2}} $
9.
$f(x)= \Sigma c_ne^{ \frac{ inπx }{L }$
10.
$e^{iθ}=cosθ+isinθ$ ,
$imparentata\quad con \quad a^n+b^n=c^n, n≥2$
Quante di queste formule conoscete? Se ne riconoscete più di cinque, probabilmente le vostre conoscenze sono maggiori di quelle del 99% del resto del mondo. Se avete riconosciuto tutte le equazioni nell'elenco ....., vi siete meritati un posto accanto alle divinità antidiluviane.
Ecco qualche spiegazione per alcune delle formule.
3. Una delle equazioni di Maxwell per l'elettromagnetismo (non mi è riuscita con LaTex!) *
4. Formula risolutiva per le equazioni di secondo grado nella forma ax²+bx+c=0
5.
La seconda legge di Newton, che collega forza, massa e accelerazione
7. Circonferenza e area di un cerchio
9. Rappresenta una serie di Fourier.
10. La prima formula è l'identità di Eulero che mette in relazione l'esponenziale e le funzioni trigonometriche; la seconda formula rappresenta l'Ultimo Teorema di Fermat."

Da Le Meraviglie dei Numeri - Clifford Pickover - Sfide Matematiche 15

* commenta Maurizio, a proposito di Maxwell:
aggiungerei la seguente relazione:
JCM = dp/dt (termodinamica)
Non a caso James Clerk Maxwell si firmava proprio dp/dt.
grazie Maurizio :-)
Anche Cristian++ mi invita ad allungare la lista:
"ne manca anche un'altra che ritengo bellissima:
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ [Eulero forever]
sommiamo infiniti numeri e viene fuori una cosa finita non mette un po' i brividi :) ?"
grazie Cristian :-)

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[Esercitazioni] Tabella razionali

Un lavoro di Giulia realizzato in Excel:
Una tabella dove le intestazioni di colonna e riga costituiscono rispettivamente numeratore e denominatore di una frazione. Si chiedevano osservazioni sui numeri razionali generati...


Giulia è stata brava con la grafica,
@Gimmi:
hai usato in modo appropriato i riferimenti misti di cella! La tabella realizzata velocemente, vero?
@Saverio: anche tu non troppo disinvolto con i riferimenti!
:-)
Il file di Giulia è piaciuto a maestra Renata e quindi ...si può scaricare tabellaraz_Giulia.xls
- con il metodo seguito da Gimmi per compilare la tabella :)

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La divisione: consapevolezze!

Letto ieri su Giornale di classe,
ho proposto stamane ai ragazzi di seconda il problema:


Un professore di matematica, per decidere quale allievo interrogare procede nel seguente modo: moltiplica per 2 i giorni del mese e divide il risultato per il giorno della data odierna. Il resto della divisione individua il numero nell’elenco dell’alunno da interrogare. Se il resto è zero non viene interrogato nessuno.
Oggi è uscito il numero 16. Sappiamo che il mese è novembre e che il quoziente della divisione è 2.
Che giorno è oggi?
Abbiamo osservato che non può essere mai interrogato uno studente il cui numero sul registro è uguale o superiore al giorno della data odierna.
Perché?


Gimmi per primo poi Maria e Sara e a seguire altri...
hanno risolto così:
60 -16 = 44
44 : 2 = 22
x = 22
spiegandomi:
tolgo 16 da 60 perché così ho un numero che diviso per quella data non mi da resto.
Il numero è 44, lo divido per 2 per fare l'inversa, e mi da 22. La data era il 22.

La seconda risposta ha richiesto qualche sollecitazione in più, comunque è stata data:
perché il resto della divisione non può mai essere uguale al divisore oppure maggiore, altrimenti sbaglio la divisione!
Bravi raga!:-)

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giovedì 8 gennaio 2009

La fontana. E le progressioni aritmetiche

Ragazzi, un semplice problema:
La fontana.
Nel giardino del paese di Bellagioia c’è una fontana come quella rappresentata nella figura.
La prima vasca, dove c’è lo zampillo, contiene 5 litri d’acqua.
La seconda contiene 8 litri in più della prima, la terza 8 litri in più
della seconda e così via sino alla settima.
Quanti litri contiene complessivamente la fontana quando le 7 vasche sono tutte colme?

L'ho premesso, il problema è semplice, direi elementare, e sono certa che non avrete difficoltà a risolvere.
Tuttavia esso ci dà l'occasione per approfondire, in qualche caso affrontare, il discorso sulle progressioni aritmetiche.
Consiglio di rivedere qui sul blog Inserimento dati in Excel e soprattutto
Numeri poligonali. Su quest'ultimo, andate in particolare al punto: I numeri poligonali si possono ottenere sommando gli elementi di progressioni aritmetiche...
Vi accorgete che in una progressione aritmetica la differenza fra qualsiasi termine ed il suo precedente è costante.
Es:
1+2+3+4+.... (ragione r=1, numeri triangolari): 2-1=1; 3-2=1; 4-3=1; ecc.
1+3+5+7+... (ragione r=2, numeri quadrati): 3-1=2; 5-3=2; 7-5=2; ecc.
1+4+7+10+13+... (ragione r=3, numeri pentagonali): 4-1=3; 7-4=3; 10-7=3; ecc.
E' la differenza costante tra due termini consecutivi che viene appunto chiamata ragione (r) della progressione.
Ora, notate che nel nostro problema della fontana abbiamo a che fare con una progressione aritmetica?






Qual è la ragione r, della progressione?
Il problema chiede i litri di acqua totali quando le 7 vasche siano piene.
Possiamo dunque vederlo come:
Somma di n termini consecutivi di una progressione aritmetica.
Sotto forma di gioco matematico, sul blog abbiamo già incontrato un problema simile: ... alla corte di Carlomagno. Problemi per rendere acuta la mente dei giovani­

Su quel post non lo scrissi, ma:
Si racconta che il maestro delle elementari di quello che sarà chiamato il re dei matematici, C.F. Gauss, propose questo problema sperando di impegnare i suoi studenti per almeno 1 ora: “Sommare i primi 100 numeri naturali”. Quello che chiedeva il maestro era determinare il risultato di: $\sum_{n=1 }^{100 } n = S_{100} = 1+ 2 + 3 + 4 + ... + 100$
[questo bel simbolo è quello di sommatoria, si usa per indicare, in forma compatta, una somma da... a..., è la lettera sigma maiuscola dell'alfabeto greco]
Gauss risolse il problema in molto meno di 1 ora, senza alcun errore! Ecco come fece.
Dispose i numeri da 1 a 100 in ordine crescente e poi li riscrisse allineati in colonna ordinandoli in modo decrescente.
Infine eseguì la somma in colonna scoprendo che otteneva 101 ogni volta, ossia 100
volte .
1, 2, 3,...., 98, 99, 100
100, 99, 98, ...., 3, 2, 1
_________________________________
101, 101, 101, ... , 101, 101, 101
(per 100 volte)
Il risultato della somma dei primi 100 numeri risultava essere quindi:
$S_{100}= \frac{ 1+100 }{ 2} *100=5050$
Il ragionamento di Gauss si può estendere ad una successione qualunque di cui si voglia determinare la somma di n termini consecutivi conoscendo il primo (a1) e l’ultimo (an).
Si ottiene la formula generale:
$S_{n}= \frac{ a_{1}+a_{n} }{ 2} *n$
Dunque ... possiamo sfruttare questa per risolvere rapidamente il nostro problema!
Il primo termine della progressione è ... ? L'ultimo termine è ... ? (quanti 8 bisogna aggiungere?)

Ma non finisce qui! :-)
Volutamente più sopra, ho scritto la progressione aritmetica del contenuto delle vasche in quel modo così ordinato (anzi, ho creato appositamente un'immagine).
Eh, volevo dare l'idea di un ... trapezio!
Ma forse è meglio se lo rappresento così:
La formula per il calcolo della somma dei termini di una progressione qualsiasi non ricorda quella dell'area di un trapezio?
Somma delle basi : (a1 + an)
per altezza: (n)
diviso 2.
Ancora una volta abbiamo quindi dato un significato geometrico ai numeri, in questo caso a una formula.

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