Problemi con frazioni: prodotto di numeri uno frazione dell'altro

Ragazzi,
abbiamo spesso incontrato nella risoluzione dei problemi geometrici la somma o differenza di numeri uno frazione dell'altro. ("numeri" che in geometria sono *misure di grandezze*. Fate clic e andate a rivedere se è il caso)
Meno frequentemente e con qualche evidente difficoltà, abbiamo incontrato la situazione:
conosco il prodotto di due numeri, uno frazione dell'altro. Quali sono i due numeri?
In geometria il problema si è presentato nella forma:
L'area di un rettangolo è di ... cm². Le due dimensioni sono l'una i ... (frazione) dell'altra. Quanto misurano le due dimensioni?
(Naturalmente questo è il problema nel suo "cuore". Lo abbiamo visto: potete avere il rettangolo equivalente ad altra figura, conoscere o dover calcolare l'area di quest'ultima, e la richiesta può essere il perimetro del rettangolo. Il *problema* consiste comunque nel trovare la misura delle due dimensioni).
Ho deciso dunque, affinché possiate ricontrollare ... che so, durante le vacanze, quando dedicherete qualche ora alle esercitazioni nella risoluzione di problemi, di riportare qui il facile ragionamento da seguire.
Consideriamo un esempio concreto:
Un rettangolo ha l'area di 810 cm². Una dimensione è pari ai 2/5 dell'altra. Qual è la loro misura?
L'area del rettangolo, sappiamo, è il prodotto delle due dimensioni, b e h. Ecco perché il problema rientra nel "tipo": prodotto di numeri, uno frazione dell'altro...
In questo caso, poiché conosco l'area (della superficie) del rettangolo, devo lavorare in primo luogo sull'interno della figura, servendomi dell'indicazione: dimensione una i 2/5 dell'altra.
Ipotizzo la base i 2/5 dell'altezza, b = 2/5 h (o, volendo: h=2/5 di b)
Lavoro sull'interno della figura con questa costruzione:

Mi accorgo che l'area del rettangolo risulta suddivisa in ... parti uguali, che sono dei quadrati.
Sì, in 10 parti uguali (giusto il prodotto 2*5!)
Ma se queste parti sono dei quadrati, che si può fare?
Ehi, lavoriamo sulle "aree", dunque?
Mah! Se conoscessi la misura dell'area di ciascun quadrat(ino)... potrei calcolare il suo lato.
E avrei la misura di ogni.... quinto!
Su dunque, con il nostro esempio!
Aquadr = Arettang /10 = 810/10 = 81 cm²
l quadr = √Aquadr = √81 = 9 cm
9 cm è dunque la misura di 1/5 dell'altezza
Per cui, la base è pari a 2/5:
b = 9 * 2 = 18 cm
l'altezza è pari a 5/5:
h = 9 * 5 = 45 cm
Problema risolto!
Volendo riunire in unica formula il calcolo della misura delle due dimensioni:

...buone esercitazioni eh!

L'overdrive della strega

Il titolo del post è quello dell'enigma n° 30 de: La matematica di OZ_II - Clifford Pickover, ultima uscita della collana Sfide Matematiche.
L'enigma è presentato con questa citazione:
"Un mio amico un giorno fu talmente colpito dalle infinite infinità [di un tracciato ricorsivo] che lo chiamò "un ritratto di Dio", cosa che non ritengo affatto blasfema"

Douglas Hofstadter, Godel, Escher, Bach

"Dorothy e il dottor Oz guardano in alto, verso il cielo, e vedono una strega malvagia che forma dei disegni con i vapori di scarico del suo manico di scopa. [...] - Devo ammettere che i disegni sono complicati, ma sono basati sulle traiettorie di Lissajous generate dal programma C .... Tutto ciò che devi fare è fornire dei valori per i parametri, le variabili utilizzate dal programma. Fortunatamente per la strega, le traiettorie di Lissajous si comportano bene. Per esempio sono continue in ogni punto e formano curve scorrevoli che rivelano le loro originarie funzioni sinusoidali. [...]
- Le immagini sono così belle ...
Le curve di Lissajous sono una famiglia di curve descritte dalle equazioni parametriche

x(t) = A cos(ωxt - δx)
y(t) = B cos(ωyt - δy)

A volte queste curve sono scritte più semplicemente come

x(t) = a sin(nt + c )
y(t) = b sin(t)

Le curve di Lissajous (che si pronuncia Lisajù), vengono talvolta chiamate curve di Bowditch, da Nathalien Bowditch che le studiò nel 1815. Ma il fisico francese Jules-Antoine Lissajous (1822-80) le investigò più dettagliatamente e da allora le curve trovano applicazione in fisica, in astronomia, in matematica, in computer art, e sono state perfino rappresentate in film di fantascienza. In particolare, Lissajous usa suoni di diverse frequenze per far vibrare uno specchio. Un raggio di luce viene riflesso dallo specchio, e traccia disegni affascinanti che dipendono dalle frequenze dei suoni. [...]
Le figure di Lissajous venivano spesso usate per determinare le frequenze dei segnali acustici: sull'asse orizzontale di un oscilloscopio veniva applicato un segnale di una frequenza conosciuta, mentre il segnale da misurare si applicava all'asse verticale. La figura che ne risultava dipendeva dal rapporto tra le due frequenze. [...]"
Tutto ciò, Clifford Pickover.
Ma, potevo non provare cosa ne veniva fuori con geogebra?
eh... sono rimasta davvero colpita dalle infinite infinità di un tracciato ricorsivo.
Qualche esempio di mie figure di Lissajous, che mi paiono sì un po' da strega, ma non malvagia!

e anche:

Per vedere le curve di Lissajous su geogebra:
clic sull'immagine seguente, per le curve semplici di equazioni parametriche:
x = a cos(m t)
y = b sin(n t)

Clic sulla seguente per le figure di equazioni parametriche:
x = a sin(ω t + δ)
y = b sin(t)
Con queste ho ottenuto le prime figure degli esempi, mediante l'opzione Traccia attiva, e variando opportunamente i parametri: a, b, che definiscono le dimensioni del rettangolo in cui sono contenute le curve, ω e δ che determinano la forma della figura di Lissajous.

Ancora un'altra versione con le parametriche:
x = a sin(p t)
y = b sin(n t + φ)
Che, con la presenza di un 5° parametro, permette di sbizzarrirsi in ulteriori figure (ultime 4 degli esempi).
Clic per aprire l'applet

... buone figure!
Se qualche mia amica lettrice ne ottiene di belle, vorrò vederle!!! :-) :-)

Forme ...

... continua

[ma non è che traspare una certa mia stanchezza ... da fine a.s.?]

Linee ...

... anzi, solo segmenti
Clic sulle immagini e pulsante Play per vedere qualche effetto

Relax con scomposizione di forme

bah... giochini con geogebra
spirali

stelle e cerchi

triangoli...

poligoni_con_asimmetrie...

... e i colori sono venuti male!:-)
PS: ho visto solo ora che questo è il 500° post! avrei, invero, potuto festeggiarlo più degnamente!;-)

Potenze di un binomio e Triangolo di Tartaglia

Come anticipato, vediamo come si esegue
una qualsiasi potenza del binomio: (a + b).
E nel titolo del post la nostra conoscenza cui accennavo.
Sì, per calcolare le potenze di un binomio possiamo utilizzare il Triangolo di Tartaglia. Quante proprietà e relazioni numeriche questo magico triangolo!
Ricordiamo il Triangolo con l'immagine di una sua piccola porzione

Riprendiamo però le potenze di un binomio che noi conosciamo.
Quadrato di un binomio:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Cubo di un binomio:
(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
Osserviamo bene i polinomi risultanti; essi sono ordinati (meglio abituarsi a scriverli ordinati) e completi. Ma possiamo notare due precise caratteristiche dei loro termini:
- in ogni monomio gli esponenti delle potenze di a (1° termine) decrescono e quelli delle potenze di b (2° termine) crescono; per esempio, nel quadrato:
a² , $a^1$, $a^0$ e
$b^0$, $b^1$, b²
- ogni monomio viene moltiplicato per un numero detto coefficiente. I coefficienti seguono una certa "legge di formazione" che ritroviamo ... nel Triangolo di Tartaglia!
Osserviamo i coefficienti del polinomio *quadrato di un binomio*; sono i numeri: 1, 2, 1;
osserviamo quelli del polinomio *cubo di un binomio*; sono i numeri: 1, 3, 3, 1. E, se ridate uno sguardo al Triangolo di Tartaglia ...
vediamolo così

La prima riga risolve (a + b) elevato 0 (zero);
la seconda riporta i coefficienti di $(a+b)^1$;
la terza riga è costituita dai coefficienti di (a + b)²
e così via...
Notate lo sviluppo della quarta potenza del binomio:
- mi suggerisce i coefficienti, il Triangolo di T.; e mi suggerisce anche che avrò 5 termini;
- il 1° termine del polinomio è la quarta potenza di a: a elevato 4 (e b elevato 0, perciò 1, elemento neutro, non compare)
- il 2° termine contiene a elevato 3 e b elevato 1
- il 3° termine contiene a elevato 2 e b elevato 2
- il 4° termine: a elevato 1 e b elevato 3
- il 5° termine: a elevato 0 e b elevato 4
Potreste ora scrivere facilmente lo sviluppo della quinta e dalla sesta potenza del binomio (a + b)
Bello no? Senza fare troppi calcoli sviluppo una qualsiasi potenza di binomio!

Un binomio ... al cubo!

E ancora un altro prodotto notevole.
Abbiamo visto il quadrato di un binomio. Ora vediamo come si sviluppa un binomio alla terza (potenza), cioè al cubo, cioè il
cubo di un binomio.
Al solito ci aiuta la geometria per comprendere meglio. Se il binomio è elevato al cubo, geometricamente può essere interpretato come il volume di un cubo che ha spigolo lungo:
(a + b)
Osservate:

Sotto la figura vedete la formula risolutiva. Che così si spiega...
Il cubo di spigolo (a + b), ha volume V=(a + b)³
Ma, vediamo in figura, il cubo risulta scomponibile in 8 solidi (uno di essi, a destra in basso, resta completamente "sul retro" della figura) e precisamente:
2 cubi: uno di spigolo a, quindi di volume a³ (sinistra in alto, retro)
_____ uno di spigolo b, quindi di volume b³ (destra in basso, davanti)
6 parallelepipedi: tre di dimensioni a, a, b quindi volume a²b (sinistra in basso sul retro, destra in alto sul retro e sinistra in alto, davanti)
_______________ tre di dimensioni a, b, b quindi volume ab² (sinistra in basso, davanti, destra in alto, davanti e destra in basso, retro)
La somma dei volumi dei 2 cubi e dei 6 parallelepipedi è il volume del cubo.
Che dunque possiamo scrivere: V= a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
e perciò la formula del cubo di un binomio:
(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
Clic per vedere il geogebra
Cliccate ora su quest'altra per ruotare il cubo

Al prossimo post vedremo come si esegue una qualsiasi potenza del binomio: (a + b)
Tranquilli, non con figure geometriche ancora più complesse!
Ritroveremo una nostra conoscenza ... sorpresina!:-)

Altro prodotto notevole: somma per differenza

Ancora un prodotto notevole:
prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
Stavolta scoprirete con geogebra come moltiplicare, con scorciatoia, un binomio somma di monomi per un binomio, differenza degli stessi monomi. I due binomi differiscono cioè solo per un segno!
Es generale: (a + b) * (a - b)
Secondo la normale moltiplicazione di binomio per binomio: ..... bé, ormai sapete.
Ma qui abbiamo a che fare con un prodotto notevole!
Andate a lavorare sul foglio di geogebra ...
questa figura:

si trasformerà in questa:

Sulla seconda immagine già vedete un rettangolo R, di dimensioni (a + b) e (a - b). La prima immagine invece... cliccateci su e andate a scoprire!
Potete muovere i punti B, B' per variare le dimensioni del quadrato giallo e del quadrato più grande oppure del rettangolo. Osservate i testi dinamici per la verifica.
Si può scaricare il file .ggb

La geometria ... dell'algebra_2

Dopo questo...
vedete come la geometria può aiutarci a capire meglio perché:
(a + b)² non è uguale a: a² + b²
clic sulla figura per andare a scoprire un prodotto fra binomi ... particolare, cioè non più qualsiasi.
Esistono dei prodotti fra polinomi più famosi di altri. Sono infatti chiamati prodotti notevoli.
Sono da conoscere, per riuscire bene nella prosecuzione dei vostri percorsi, praticamente a memoria! Non prima però di averli compresi.
Quello che andrete a scoprire si chiama: quadrato di un binomio.
Sul foglio geogebra rispondete alle domande mettendo il segno di spunta in corrispondenza delle risposte corrette.
Se l'applet non dovesse visualizzarsi correttamente, scaricate il file .ggb

Buona scoperta ... e dimostrazione!

E' opportuna una piccola integrazione.
Vi siete resi conto del perché sia utile conoscere i prodotti notevoli? Perché ho detto che in pratica sono da sapere a memoria?
Considerate:
(a + b)²
dovremmo scrivere:
(a + b) * (a + b)
eseguendo come un prodotto di due monomi qualsiasi:
(a + b) * (a + b) = a² + ab + ba (ab) + b² (distribuisco i due termini del primo fattore ai due termini del secondo)
riducendo i due termini simili:
(a + b) * (a + b) = a² + 2ab + b²
quindi:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Conviene o no conoscere il "quadrato di un binomio"?
Naturalmente a e b possono essere due monomi qualsiasi, positivi, negativi, coefficiente intero oppure frazione.
Quindi ... dirò di più! :-)
Quadrato di un binomio
calcolo (attenzione: segno, coefficiente numerico e parte letterale!):
1) il quadrato del primo termine
2) il doppio prodotto del primo termine per il secondo
3) il quadrato del secondo termine
Consiglio per il doppio prodotto:
- eseguo il prodotto dei segni (e scrivo!)
- eseguo il prodotto dei coefficienti numerici e lo raddoppio (se sono frazioni semplifico, moltiplico i due numeratori e raddoppio)
- eseguo il prodotto della parte letterale.

La geometria ... dell'algebra

Ragazzi,
geometria e algebra sono "imparentate"!
E' possibile infatti interpretare geometricamente i calcoli algebrici. Ci aiuta anche a comprenderli meglio.
E non è un'idea nuova! Nell'antica Grecia (Euclide, Erone), si studiava un'algebra geometrica nella quale ragionamenti e risultati dell'algebra venivano interpretati geometricamente.
Cominciamo con qualche esempio.
1) Prodotto di un monomio per un polinomio, che poi non è altro che
la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione (in algebra intendendo somma algebrica).
La proprietà viene espressa algebricamente:
(a + b + c) * d = ad + bd + cd
Osservate

Il rettangolo maggiore ha come base un segmento di lunghezza a + b + c e come altezza un segmento di lunghezza d
L'area di questo rettangolo:
A = (a + b + c) * d
Ma anche, suddividendo il rettangolo in tre parti:
A = ad + bd + cd
Perciò, è geometricamente giustificato:
(a + b + c) * d = ad + bd + cd

2) Il prodotto di due binomi (valido anche per prodotto di due polinomi)
Algebricamente:
(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd (distribuisco tutti i termini del primo fattore a tutti i termini del secondo)
Osservate ora:

Il rettangolo maggiore ha i lati lunghi a + b e c + d
L'area di questo rettangolo:
A = (a + b) * (c + d)
ma anche, suddividendo il rettangolo in quattro parti
A = ac + ad + bc + bd
Dunque, anche qui geometricamente giustificato il risultato algebrico della moltiplicazione

(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd
Se non lo avete già fatto, clic sulle immagini per vedere i geogebra

Pesciolini nell'acquario ... cartesiano!

Ragazzi,
vedete questi bei pesciolini colorati?
Fate clic. Vedrete quello rosso solo soletto, agite sul pulsante Play, l'acquario cartesiano si popolerà!

E' solo un giochino, tanto per introdurre la geometria delle trasformazioni: similitudine, traslazione, rotazione, simmetrie...
Abbiamo più di una volta solo accennato a queste trasformazioni. Ora c'è da fare ordine, distinzioni, approfondire insomma, e imparare a operare! E, vedete, può davvero essere divertente.
Vabbé... per quest'anno scolastico non si fa in tempo. Potete però cominciare ad indagare... quando avrete voglia, durante le vacanze!:-)

Cinque domande

Ragazzi,
casualmente, perché in questo periodo il tempo è poco, sfoglio l'ultima uscita della collana "Sfide Matematiche" e leggo in un problema, la seguente serie di quesiti che direi, per noi capitano a fagiuolo!:-)
Le cinque domande riguardano il linguaggio matematico. Che, insistiamo sempre, è rigoroso, sintetico, preciso.
Dunque, provate a rispondere:
a) Cercate le parole in più in queste proposizioni:
1 - La somma di due angoli acuti in un triangolo rettangolo è 90°
2 - Se un lato di un triangolo rettangolo è uguale alla metà dell'ipotenusa, l'angolo acuto opposto è di 30°

b) Cercate degli equivalenti con una o due parole:
1 - La parte di una retta secante che non è esterna a un cerchio
2 - Il poligono con il minor numero di lati
3 - La corda che passa attraverso il centro di un cerchio
4 - Un triangolo isoscele la cui base è uguale agli altri lati
5 - Più cerchi con lo stesso centro

c) Ecco sette termini correlati:
parallelogramma
figura geometrica
quadrato
poligono
figura piana
rombo
quadrilatero convesso.
Disponeteli in modo che il concetto espresso da ciascun termine comprenda il termine seguente.

d) Nel triangolo ABC, sia AB = BC e AD = DC; cercate almeno tre definizioni per il segmento BD

L'ultimo quesito non è propriamente, o non solo, sul linguaggio. Dovreste comunque essere in grado di rispondere. Provateci!
e) La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è uguale a 4 angoli retti;
qual è il maggior numero possibile di angoli interni acuti che può avere un poligono convesso?
Da Giochi matematici russi II - Boris A. Kordemsky Sfide Matematiche n° 35

Area del triangolo con geogebra

I ragazzi avevano promesso di
dimostrare con geogebra che il triangolo è equivalente alla metà di un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza del triangolo.

Marina, aiutata dal lavoro di Gimmi, che abbiamo discusso in classe e scoperto un pochino impreciso, ha deciso di realizzare la costruzione.

Ora (giusto in questa ora di lezione!), con Antonio e Stefano, hanno scritto il commento al lavoro e decidiamo di pubblicare.

Ecco la figura

"Dimostro con questa costruzione che il triangolo è la metà del rettangolo perché il triangolo è formato da due parti e il rettangolo da quattro.
Nella figura vedo che il triangolo DAC è uguale al triangolo AHC e il triangolo CHB è uguale a CEB. Quindi il triangolo ABC e il rettangolo ABED sono formati da parti uguali: sono equicomposti; il rettangolo è formato da due di ciascun pezzo uguale, il triangolo da uno solo di ogni pezzo uguale"

PS:Marina era strafelice: "bello, bello! Ma.. come lo vedono il mio file??" :-)
- Da qua il pennino.
Ecco come, Marina :-)

Bizzarrie di folium, rose, bifoglio ... colori: ma, curve matematiche!

Il titolo già dice tutto:
fantasia di foglie, rose, bifoglie, plurifoglie, simmetrie, simmetrie asimmetriche!
qualche immagine

Tutto questo da una:
$ρ \,= \,sin\, ab (φ) cos(φ)$
clic sull'ultima immagine e avviare l'animazione con Play
Da
Le Curve matematiche tra curiosità e divertimento di Luciano Cresci

Area del trapezio con geogebra

Ragazzi, non abbiamo ancora "scoperto" come si calcola l'area del trapezio. Vediamo di farlo ora, con l'aiuto di geogebra. Questa dunque è una lezione che, ovviamente, conduciamo insieme!
Nell'applet di geogebra che andrete ad aprire, avete la possibilità di attivare l'animazione cliccando sul pulsante Play in basso a sinistra. Consiglierei tuttavia di agire manualmente sul punto dello slider o (numero o), per seguire meglio l'avanzamento della costruzione.
Dunque:
il trapezio sappiamo è un quadrilatero con due lati paralleli e gli altri due non necessariamente uguali né necessariamente paralleli. La caratteristica del trapezio è quella di avere due lati paralleli.

i lati paralleli sono le basi del trapezio, qui indicate con b e b'
la distanza fra le due basi è l'altezza del trapezio, indicata con h

Ora cliccate sulla figura ma aprite in una nuova scheda, perché dovrete seguire quanto diciamo qui e rispondere alle domande ...
Dobbiamo trovare la formula dell'area del trapezio.
Non dovremmo smentirci: dovrebbe derivare anch'essa da quella del rettangolo ...
Possiamo però ricondurla a quella di un'altra figura che già conosciamo, per esempio a quella del triangolo oppure a quella del parallelogramma. Il calcolo dell'area di questi deriva da quello dell'area del rettangolo, no? (siete d'accordo sul fatto che non ci smentiamo??)
In questo lavoro decidiamo di ricondurre il trapezio, cioè trasformarlo in un triangolo, mediante la solita equiscomposizione/composizione.
Seguite passo a passo sul foglio di lavoro di geogebra l'avanzamento dello slider e rispondete:
- quando il numero o = 1, cosa succede sul lato AB del trapezio? Lo abbiamo ...... .
- per o = 2? Abbiamo costruito sul ...... di AB, un ...... .
Il segmento BF ha una lunghezza pari a quella di ... cioè della ... ... del trapezio.
- cosa succede per o = 3? quali due vertici risultano uniti?
- portate o sul valore 4 e osservate attentamente: si "stacca" un pezzo di trapezio!
- spostate o al valore 5: ops, riattacchiamo il "pezzo staccato" prima! Ma, sarà proprio "quello staccato prima"? Dobbiamo verificarlo!
Ora vediamo di parlare in termini più matematici.
Lo avete già visto sul foglio di lavoro, sono comparsi anche i valori delle aree, abbiamo trasformato il trapezio ABCD nel triangolo ADF.

I valori dell'area del trapezio e di quella del triangolo (calcolati da geogebra, si possono anche modificare le dimensioni e la posizione del trapezio muovendo i punti A e B, liberi e C e D, semiliberi) sono esattamente uguali.
Evidentemente il triangolo DCG, prima staccatosi dal trapezio, è congruente al triangolo GBF, riunitosi a formare il triangolo ADF.
Qui vi voglio: perché DCG è conguente a GBF?
Ma sii, già me le vedo le mani sollevate! Eppoi... c'è il nostro pezzo forte! :-)
Osservate:
b'' (lato BF) e b' (lato DC) sono segmenti tra loro ... ;
sono anche segmenti di due rette .... ?
Queste due rette sono tagliate da ... ..., no?? Attenti da due ... !
Consideratele una per volta. Osservate prima la coppia di angoli:
$F\widehat{B}G$ e $D\widehat{C}G$
essi sono angoli ... ... ; come sono tra loro?
E la coppia di angoli:
$G\widehat{F}B$ e $G\widehat{D}C$
sono anch'essi ... ... e sono tra loro ... .
Quindi i due triangoli DCG eGBF hanno un lato congruente e gli angoli ad esso adiacenti .... (oppure il lato congruente è compreso fra due angoli ...).
Essi sono perciò, per uno dei principi di congruenza fra triangoli, tra loro congruenti!
E in definitiva, siamo certi che il nostro trapezio ABCD è equivalente (stessa area) al triangolo ADF !
Tanto vale ... calcolare l'area del triangolo!
Insomma...
Vediamo di arrivare alla formula che cerchiamo: A_trapezio.
La formula dell'area di un triangolo è, sappiamo:
$A = \frac{ b * h }{ 2}$
Cerchiamo di scrivere la formula dell'area del nostro triangolo ADF
La sua base AF è costituita dai segmenti AB che è la ... ... del trapezio e BF che, come già detto, è la ... ... del trapezio.
L'altezza del triangolo è la stessa altezza del trapezio.
Dunque, utilizzando per l'area del triangolo ADF gli elementi del trapezio, dovremmo scriverla:
$A = \frac{ (... + ...) * h }{ 2}$
E no, completate voi! :-)
Ma... abbiamo finito! Quella che avete completato è la formula dell'area del trapezio!
E, generalizzando, diremo che:
un trapezio è equivalente ad un triangolo che ha per base la ... delle ... del trapezio e per altezza la stessa altezza del trapezio.
PS: ce la faremo a "raccontare" ai lettori com'è andata? :-)

Area del rombo con geogebra

Ragazzi, qualcuno di voi ha promesso di provare a dimostrare con geogebra la formula dell'area del triangolo. Aspettiamo... :-)
Nel frattempo, avete già trovato e dimostrato sul quaderno, la formula per l'area del rombo. Che ora vediamo con geogebra.
Il rombo equivalente alla metà di un rettangolo ....

... avente base e altezza congruenti alle diagonali del rombo (su questo avete lavorato).
Clic sulla figura per aprire l'applet geogebra.
Sul foglio avviate l'animazione con il pulsante in basso a sinistra. Completata la dimostrazione potete bloccare per osservare le formule e per modificare le dimensioni. Agite sui punti A, B oppure C.
Ma il rombo... è anche un parallelogramma è vero?
Dunque, visto come tale, la sua area può calcolarsi mediante ... base e altezza! (ehi, ogni lato può funzionare da base e ha un'altezza relativa)

Clic sulla figura.
Sul foglio di lavoro potete muovere i punti A, B o C e modificare... Potete anche confrontare l'area calcolata con i due metodi.
Ribadisco ancora un concetto:
nel rappresentare le figure con il disegno tendiamo a privilegiare delle posizioni che ci facilitano la comprensione (e, sul quaderno ci facilitano la costruzione): nel primo caso vediamo meglio le diagonali del rombo e il rettangolo disposti sull'orizzontale e sulla verticale.
Allo stesso modo nel caso del parallelogramma: base sull'orizzontale e altezza sulla verticale.
MA: sappiamo bene che un movimento di rotazione è un movimento rigido che NON deforma le figure. Gli angoli retti restano retti! ecc... Dunque, ruotiamo e verifichiamo che non cambiano le cose!
Infine:
voi ragazzi sapete che non amo molto dare le formule inverse. E sapete: formule inverse, operazioni inverse!
Dunque quando servono, si possono trovare.
Tuttavia... potrebbero fare comodo a qualche lettore (ehmm anche a qualcuno di voi... che vuol faticare un po' meno!).
Formula diretta A rombo:
A = (d x D)/2
Inverse:
d = 2* A/D
D = 2*A/d
Rombo come parallelogramma:
A = b x h
troppo facili :-) :
b = A/h
h = A/b
Ancora una nota:
per la costruzione del rombo su geogebra ho utilizzato il metodo di Irene, che potete seguire su questo tutoriale. Naturalmente non è l'unico metodo. Se qualcuno vuole cimentarsi ... :-)

Alla prox!

Relazioni sul teorema di Pick

Non proprio fedeli alle consegne ...
i ragazzi relazionano a modo loro, sulla scoperta della formula di Pick.
In verità hanno avuto poco tempo, per via di altri impegni scolastici. In questo periodo non insisto più di tanto.
Mi sono stati consegnati diversi fogli e fogliettini, più o meno ordinati. Riporto qualche immagine.

qualche esempio di tentativi poco prima della soluzione:

Qualcuno ha consegnato un file:
1°) Oggi in classe Antonio ha portato il geopiano, tanto atteso dalla prof, che è un pezzo di legno quadrato o rettangolare con dei chiodi equidistanti tra loro.
La prof ha messo degli elastici attorno ai chiodi in modo da formare dei rettangoli e visto che non avevamo un geopiano per tutti lo abbiamo disegnato sul quaderno.
Sul quaderno abbiamo fatto così: ogni due quadretti (sia in lunghezza che in larghezza) dovevamo segnarci un puntino in modo da ottenere una quadrettatura. E poi anche noi abbiamo disegnato dei rettangoli.
L’esercizio consisteva prima di tutto nel trovare l’area del rettangolo nel modo classico cioè, per esempio, base (6) * altezza (7): nel primo rettangolo era 42.
Dovevamo far finta di non conoscerla, ma bisognava contare i puntini che costituivano il bordo del rettangolo (sempre dello stesso rettangolo il primo) per esempio 26 e quelli che stavano all’interno per esempio 30, manipolarli tipo farci delle operazioni ma non era vietato per esempio dividerli o addizionarli per altri numeri.
Giammario è stato il primo a provare e ha sommato i Pi ( punti interni) e i Pc (punti del contorno) e li ha divisi per 2, il risultato era esatto solo per qualche rettangolo.
La prof ha detto che poteva essere un’idea ma bisognava cambiare qualcosa e che la formula era molto semplice.
Poi la prof ha detto che potevamo consultarci e noi ci siamo divisi in gruppi.
Abbiamo fatto un sacco di operazioni e di tentativi, la prof ci diceva ancora che non si poteva usare l’area trovata con i quadratini e si dovevano fare calcoli semplici.
Giammario per primo ha trovato il giusto modo di risoluzione ma la prof non ha svelato questo offrendo a tutti la possibilità di ragionare sulla formula e dunque ognuno di noi ha potuto pensare alla soluzione esatta.
Io e Laura contemporaneamente siamo giunte alla soluzione corretta che consiste nel dividere Pc (26) per 2 e sommare il quoziente a Pi e sottrarre 1.
Cosi abbiamo ottenuto la formula che è la seguente:
(Pc:2)+Pi-1= (es.) (26:2)+30-1 = 42.
Questa formula può essere applicata per ottenere le aree di tutte le figure del mondo. (!)

2°) ….
La prof ha posizionato gli elastici sul geopiano e abbiamo calcolato l’area contando i quadratini che formavano il rettangolo che lei aveva ottenuto.
Poi ci ha detto che dovevamo ricavare una formula per calcolare in un altro modo l’area.
Per ottenere la formula dovevamo fare dei piccoli calcoli sui punti interni e su quelli esterni del rettangolo.
All’inizio Gian Mario ha detto che aveva calcolato l’area di un rettangolo con una operazione coi punti di contorno e quelli interni e il risultato era uguale.
Pc(punti contorno) + Pi(punti interni) = 10+2= 12 :2= 6 = A
Per la prof Gian Mario era sulla buona strada anche se lui ha continuato con quella formula applicata ad altri rettangoli e si è accorto che i risultati erano errati.
Poi ci siamo volontariamente divisi in gruppi.
Il gruppo formato da Giulia D., Giulia G., Sara, Laura e Gimmi ha ricavato un’altra formula e cioè: Pc + Pi : 2 – qualsiasi altro numero intero.
La prof ha detto che questo gruppo era molto vicino alla soluzione ma dopo la classe aveva difficoltà a combinare delle operazioni seguendo quella formula.
Alla fine dell’ora Gian Mario ha trovato la formula giusta e cioè:
Pc/2 +Pi – 1 = A

A casa qualcuno si è divertito a calcolare con la formula di Pick l'area di diversi triangoli confrontandola con il valore calcolato con base e altezza.
Un migliore resoconto dell'organizzazione dell'attività in seno al gruppo e delle proposte dei singoli è stato riportato oralmente.
Qualche gruppo ha deciso che tutti i componenti costruissero rettangoli di uguali dimensioni perché così potevano concentrarsi di più per trovare la soluzione.
Qualcun altro ha riportato di aver trovato delle regolarità eseguendo delle sottrazioni fra i valori Pc e Pi ... ottenevamo sempre 8. (ehmm devono precisare meglio!)
Altri, visto che c'era in gioco una formula da scoprire, pensavano a calcoli più complicati e provavano ad eseguire le radici e le potenze dei due valori e poi sottraevano... ma ottenevano valori strani!
.......................

Il teorema di Pick ... conta i punti!

Ragazzi, vi ho solo detto che si trattava di un teorema ...
poi non c'è stato il tempo dei particolari! :-)
La formula scoperta con l'attività di stamane è nota come formula di Pick o
teorema di Pick.
Prende il nome dal matematico George Pick che nel 1899 scoprì che l’area di un poligono qualsiasi disegnato sul geopiano, e cioè su quel piano in cui è evidenziata una "griglia" di punti, si può calcolare con quella semplice formula ... a cui siamo arrivati!
Aspettando le vostre relazioni, presento il teorema e l'attività, con qualche integrazione.
Considerato dunque un reticolato come questo:

[in matematica è la rappresentazione del piano cartesiano in cui si considerano solo le coordinate intere, la rappresentazione grafica dell'insieme Z² - ragazzi, questo lo capiremo più avanti...]
e un poligono P avente tutti i vertici in punti del reticolato, si può calcolare l’area del poligono P contando semplicemente i punti contenuti in P, e quelli contenuti sul suo contorno.
Noi abbiamo indicato con Pi il numero di punti che stanno dentro il poligono, con Pc (punti contorno) quello dei punti che stanno sul perimetro del poligono.
Ecco due esempi di poligoni sul reticolo. Uno convesso:

Pi = 19 Pc = 10

Uno concavo:

Pi = 21 Pc = 9

La formula di Pick per il calcolo dell'area è la seguente:
A = Pi + Pc/2 - 1

Ho scritto che i ragazzi sono arrivati alla formula... non con questi poligoni!
L'attività è stata condotta per gruppi di lavoro. Ho lasciato che i gruppi si costituissero spontaneamente, ad attività avviata.
Per cominciare, abbiamo considerato poligoni semplici.
Ho chiesto ai ragazzi di rappresentare, ognuno sul proprio quaderno, il reticolo e di costruire in esso due o tre rettangoli.

Di tali rettangoli ho chiesto che calcolassero l'area con il metodo classico, con formula b*h, con unità di misura il quadratino costituito da 4 punti del reticolo.
Tale operazione con lo scopo di avvicinare tutti al problema e confrontare i valori con i risultati ottenuti con la formula da scoprire.
Li ho invitati quindi a: pensare ad una formula per il calcolo dell'area che tenesse conto solo dei punti del contorno e di quelli interni ai rettangoli.
La formula doveva essere valida per tutti i rettangoli disegnati.
Cominciavano a tentare qualche calcolo, e anche a scambiarsi, guardandomi, qualche riflessione.
Ho detto che, certo, potevano! :-)
E, giusto spontaneamente, devo dire molto correttamente (bravi, ragazzi!:-) vedo costituirsi i gruppi da 5. Aggiungo, importante: i gruppi erano eterogenei! Non è stato necessario il mio intervento. Le abilità diverse, favoriti il confronto, l'interazione, lo scambio fra pari.
E via, alla ricerca della formula!
Le mie indicazioni:
- con i valori Pi e Pc dovete operare. Quali operazioni potete fare con dei valori numerici? Ed anche, con un solo valore?
- non potete utilizzare l'area calcolata con la formula.
Ho visto tentativi di formule che utilizzavano calcoli con potenze, radici (concesso l'uso della calcolatrice) e ... l'area calcolata con formula!
Ho dovuto ribadire che:
- l'area "conosciuta" NON poteva essere utilizzata, si era alla ricerca di una formula senza sapere la geometria!
- la strada da percorrere era molto più semplice di quanto pensassero, sarebbero state sufficienti ben più semplici operazioni con i valori Pi e Pc.
Piano piano si è passati a formule più normali, dalla semi somma dei due valori, fino ad arrivare alla corretta conclusione.
Ho dato il mio supporto invitando ripetutamente i ragazzi a confrontare il valore dell'area "calcolata con formula" con i due valori dei punti relativi ai rettangoli. L'osservazione dei valori relativi a rettangoli di grandi dimensioni si è rivelata più efficace rispetto ai dati relativi a rettangoli piccoli, ai fini del raggiungimento dell'obiettivo.
Non tutti i gruppi sono ancora arrivati tuttavia a scoprire la formula corretta (non l'abbiamo svelata, chissà se il segreto regge!).
La consegna è dunque per alcuni, la prosecuzione del lavoro a casa, per altri la stesura della relazione sull'attività. Si dovranno riportare e presentare alla classe i tentativi, i procedimenti, le proposte di ciascun componente il gruppo.
... qui restiamo in attesa delle relazioni, confidando anche nella promessa di calcolo dell'area di altre figure! :-)

Spirale degli irrazionali o di Teodoro e ...

Ragazzi, ricordate la "chiocciola delle radici quadrate"?
Ho rinfrescato la versione con geogebra

Clic sull'immagine per vedere animata la Spirale delle radici quadrate o degli irrazionali, detta anche Spirale di Teodoro di Cirene.
Aggiungiamo un esercizio, un'attività:
come "costruire" un segmento lungo: radice quadrata di un numero qualsiasi?
Dobbiamo necessariamente partire dal triangolo rettangolo di cateti unitari (di misura 1) ? Non è necessario.
Osservate la radice quadrata di 11:
si ottiene dal triangolo rettangolo di cateti: radice quadrata di 10 e 1;
la radice di 10 a sua volta dal triangolo rettangolo di cateti: radice di 9, cioè 3, e 1.
Questo ci suggerisce quindi che: basta partire dal quadrato perfetto che immediatamente precede la radice quadrata che si vuol costruire.
Facciamo un esempio su come fare con geogebra.
Costruzione del segmento lungo: radice quadrata di 18:
1) Con lo strumento: Segmento di data lunghezza, costruite il segmento AB lungo: 4 (radice di 16)
2) Costruite la circonferenza di centro A e raggio: 1
3) tracciate la perpendicolare ad AB passante per A
4) individuate il punto di intersezione tra la perpendicolare e la circonferenza
5) unite con un segmento tale punto (D) con il punto B ( segmento DB): avete costruito il segmento lungo: radice di 17
6) costruite la circonferenza di centro D e raggio: 1
7) tracciate la perpendicolare a DB passante per D
8) individuate il punto di intersezione tra questa perpendicolare e la circonferenza
9) unite con un segmento tale punto (E) con il punto B (segmento EB): avete costruito il segmento lungo radice quadrata di 18.
Noterete, vedi punti 2, 3, 4, 5, e punti 6, 7, 8, 9, che si tratta di ripetere la stessa procedura (si dice reiterare) per tutti i numeri irrazionali, le radici quadrate, che si vogliano costruire [si utilizza ripetutamente il Teorema di Pitagora .... vedi nostro post su citato).

[Segnalazioni] La Scienza è più Facile Grazie alla Matematica

Su Gravità Zero ho appena letto un articolo di Walter Caputo sul problema della difficoltà della scienza.
W. Caputo è convinto che "la soluzione sia utilizzare uno strumento potentissimo: la matematica".
Sulla valenza della matematica scrive:

... e

Gravità Zero - Divulgazione Scientifica: LA SCIENZA È PIU’ FACILE GRAZIE ALLA MATEMATICA via kwout

Ragazzi, che vi dico? :-) Questa è una riflessione in più!
Grazie W. Caputo

Dai pavimenti ... alle isoperimetrie!

Anna Laura mi invia la sua relazione sulle attività...

Abbiamo fatto il lavoro sui “pavimenti matematici”: quasi tutti li abbiamo costruiti a casa [solo qualcuno con la costruzione come da "disegno tecnico"!] e poi anche a scuola con geogebra (la prof ci ha fatto scoprire una maniera facilissima con lo strumento “Simmetrico rispetto a una retta”).
Dopo aver provato ad affiancare triangoli con triangoli, quadrati con quadrati, esagoni ecc ecc siamo arrivati a dire, per primo Giammario, che solo i poligoni regolari che formano un angolo giro quando combaciano in un vertice possono formare una specie di pavimento senza lasciare buchi e spazi vuoti.
Con il triangolo dobbiamo affiancarne 6:

il triangolo equilatero quindi regolare, ha l'angolo interno di 60°

Se usiamo quadrati ne servono 4:

il quadrato ha l'angolo di 90°

Con l'esagono ne bastano 3:

l'esagono regolare ha l'angolo interno di 120°

Dopo questo lavoro abbiamo deciso di costruire con geogebra i poligoni regolari con uguale perimetro.
Abbiamo cercato una misura di perimetro adatta per il triangolo, il quadrato, il pentagono, l’esagono…. : abbiamo fatto in modo che la misura fosse divisibile per il numero di lati (3, 4, 5, …) ottenendo almeno dei numeri decimali limitati (21 poteva andare, siamo arrivati all’ettagono).
Queste figure che abbiamo “costruito” si chiamano isoperimetriche cioè hanno lo stesso perimetro.

Abbiamo misurato con geogebra sia i perimetri che le aree. [i poligoni sono stati costruiti usando lo strumento Segmento di data lunghezza e poi Poligono regolare]
Ci siamo subito accorti che l’area dei poligoni aumenta all’aumentare del numero di lati del poligono. Ci immaginiamo quindi che aumentando ancora il numero di lati…
A questo punto la prof ci ha raccontato questa storia:
“molto tempo fa [800 A.C. circa] la regina Didone, figlia del re di Tiro, scappò dal suo paese per motivi politici e famigliari, arrivò in una città chiedendo accoglienza e il re pensando di prenderla in giro le diede una pelle di bue e le disse che poteva abitare dentro i confini di quella pelle. Allora Didone, furba, taglia la pelle in tante strisce fini, ne fa una corda e la dispone … la prof chiede secondo noi come, e noi dopo un po’ diciamo: a forma di cerchio (la prof ci ricorda che aumentando il numero di lati… e poi Sara in un suo lavoro aveva usato tanti piccoli segmenti per avere una curva…). Da quel cerchio la regina Didone costruì la città di Cartagine.
Non so se questa storia è una leggenda ma ci insegna che il cerchio è la figura con area maggiore a parità di perimetro.
Poi la prof ci dice: vi siete mai chiesti come mai le api per costruire le celle del favo utilizzano la forma di esagono?

L'esagono è la forma che permette di contenere più miele perché ha un’area più grande del quadrato o del triangolo di uguale perimetro. [E queste tre forme come abbiamo visto dai "pavimenti" si possono affiancare senza lasciare spazi vuoti e senza sovrapporsi]
Ma le api non usano la forma a cerchio perché resterebbero spazi vuoti mentre l’esagono non lascia buchi.

Anna Laura

Problemi di massimo e di minimo ... con geogebra

... ovvero, per noi, di isoperimetria ed equiestensione.
Ragazzi,
nell'attesa del vostro racconto sui poligoni di uguale perimetro, della storia della costruzione di Cartagine ad opera della regina Didone, e di come le api siano formidabili esperte in geometria piana,
pubblico, come promesso, i lavori realizzati con geogebra sui triangoli isoperimetrici e sui triangoli equiestesi (qualcuno di voi si è ripromesso di provarci: attendo!).
Cominciamo dai primi, i triangoli isoperimetrici
Abbiamo immaginato (e dovreste farlo a casa...) la costruzione di un triangolo mobile con l'utilizzo di uno spago, il perimetro così non varia, di una data lunghezza. Abbiamo detto che occorre fissare lo spago in due punti, che costituiscono gli estremi della base del triangolo; il terzo vertice dobbiamo renderlo mobile, in maniera tale da costruire più triangoli con lo stesso perimetro ma di diverso tipo.
La discussione su come far muovere questo terzo vertice, dopo varie proposte di spezzate e di circonferenze... (e Sara che ha pensato alla versiera di Agnesi! brava Saretta ;-)), ci ha portato a farlo scorrere lungo un'orbita ellittica, come quella della terra intorno al sole e come quella degli elettroni attorno al nucleo dell'atomo [in alcuni modelli atomici...].
Con i disegni abbiamo visualizzato diversi tipi di triangoli. Si tratta di stabilire:
quale triangolo fra tutti quelli di uguale perimetro, ha l'area più grande?
Noi abbiamo trovato la risposta.
Per ...altri alunni: potete scoprirlo con geogebra!
E a tal proposito, per poter costruire con geogebra, abbiamo scoperto che esiste una curva geometrica, l'ellisse, che ha giusto la proprietà che a noi serve: la somma delle distanze di un suo punto qualsiasi da altri due punti fissi (detti fuochi dell'ellisse) è costante.
Ecco l'immagine

Si può già vedere in figura che nei triangoli, che mantengono la stessa base (i nostri due punti fissi o i fuochi dell'ellisse), a variare è l'altezza, dunque varia la loro area.
Clic sull'immagine per visualizzare il foglio dinamico. Si può fermare l'animazione agendo sul pulsante "Pause", in basso a sinistra del foglio di lavoro. E muovere manualmente il punto sullo slider per bloccare la figura al punto di area massima!

E ora i triangoli equiestesi o equivalenti.
Per studiare questi si potrebbe utilizzare un elastico, così varia il ... ?, sempre fissato su due punti, quindi con base costante, e con il terzo vertice lasciato scorrere lungo un filo rigido teso (quindi altezza costante).
Siete stati subito bravi: solo con il disegno avete detto in quale posizione l'elastico, una volta mollato, si sarebbe fermato! "Perché così è meno teso"
Insomma, avete trovato la risposta alla domanda:
quale fra i triangoli che hanno la stessa area ha il perimetro minore?
Per la risposta... qui l'immagine-geogebra,

solito clic sulla figura. L'animazione è sufficientemente lenta per verificare qual è il triangolo dal perimetro minimo!
Ecco il perché: "problemi di massimo e di minimo".
"Le due proprietà sono reciproche: possiamo, indifferentemente, considerare il minimo perimetro fra i triangoli di uguale area, o la massima area fra i triangoli di uguale perimetro"

Emma Castelnuovo, l'Officina mat3mat1ca
(alla grande studiosa di didattica della matematica Emma Castelnuovo dobbiamo le nostre attività. Sono riportate anche sul testo citato)