Poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza

Come da titolo, Alessandra e Irene ci parlano di

Poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza.

Questo è un poligono inscritto in una circonferenza:

Osserviamo che tutti i vertici del poligono si trovano sulla circonferenza, sono punti della circonferenza.
La circonferenza si dice circoscritta al poligono.
Non sempre un poligono si può inscrivere in una circonferenza.
Sulla figura abbiamo tracciato il raggio della circonferenza, il punto F è un vertice del poligono.
E' necessario quindi un punto del poligono che sia equidistante dai vertici del poligono stesso.
Un punto con questa proprietà è il punto di incontro degli assi (tutti i punti dell'asse di un segmento AB sono equidistanti dagli estremi A e B del segmento).

Quindi diciamo che :
un poligono è inscrittibile in una circonferenza se gli assi dei suoi lati si incontrano in un unico punto detto circocentro del poligono. Il centro della circonferenza circoscritta coincide con il circocentro del poligono.

Questo è un poligono circoscritto in una circonferenza:

Osserviamo che tutti i lati del poligono sono tangenti alla circonferenza.
La circonferenza si dice inscritta al poligono.
Non sempre un poligono si può circoscrivere in una circonferenza.
Abbiamo tracciato il raggio.
Occorre che ci sia un punto equidistante dai lati del poligono. Questa proprietà la troviamo nel punto di incontro delle bisettrici degli angoli del poligono (tutti i punti della bisettrice di un angolo sono equidistanti dai lati dell'angolo)

Quindi diciamo che :
un poligono è circoscrittibile in una circonferenza se le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un unico punto detto incentro del poligono. Il centro della circonferenza inscritta coincide con l'incentro del poligono.

Da quanto abbiamo detto si capisce che i poligoni regolari si possono sempre inscrivere e circoscrivere in una circonferenza, perché il circocentro e l'incentro coincidono.

Il raggio della circonferenza inscritta si chiama apotema del poligono. Il circocentro e l'incentro sono il centro del poligono.

Anche i triangoli sono sempre inscrittibili e circoscrittibili.
Un triangolo si può sempre inscrivere in una circonferenza perché esiste sempre il circocentro che è unico.

Ora si capisce anche meglio il motivo per cui il punto di incontro degli assi di un triangolo si chiama circocentro: perché è il centro della circonferenza circoscritta.

Il triangolo si può sempre circoscrivere perché esiste sempre l'incentro che è unico.

Si capisce perché il punto di incontro delle bisettrici si chiama incentro: è il centro della circonferenza inscritta.
Abbiamo utilizzato Geogebra per tutte le costruzioni.
I file:
Poligono inscritto e poligono circoscritto.ggb
Poligoni regolari e triangoli.ggb

Attività sui numeri triangolari e somma consecutivi

I ragazzi di II raccontano le attività sui numeri triangolari, rettangolari e sulla somma di numeri consecutivi.
Riporto le loro relazioni ... da quaderni! (clic sulle immagini per leggere)
Sara:

Gimmi:

Saverio:

Maria:

Laura:

Anna Laura mi ha dato il lavoro su "pennino" per cui posso copincollare.
Parla anche lei dei numeri triangolari...
"… dopo la prof ci chiede: “secondo voi esistono i numeri rettangolari?”
E noi:”si” e la prof ci chiede di dimostrarglielo partendo dalle figure triangolari. Proviamo in tutti i modi poi scopriamo che a quelle figure triangolari ne dovevamo aggiungere un’altra uguale solo al contrario.
Es:

Parlando ancora dei numeri triangolari, la prof ci fa notare che essi non sono altro che la somma dei numeri naturali consecutivi.
Scrive alla lavagna la serie di numeri naturali in ordine da 1 a 10:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
e ci fa questa domanda:”come fate a fare la somma dei numeri naturali da 1 a 10 senza fare 1 + 2 + 3 e così via?”
Io spontaneamente senza quasi pensarci dico:”fai 1+9; 2+8 ecc” la prof dice che è quasi giusta ma potevo cambiare una piccola cosa ... e Giovanni Andrea dice:”fai 1 + 10; 9 + 2 …“
Notiamo che la somma: 1 + 10, 9 + 2, 8 + 3 cioè andando da un estremo all’altro è sempre uguale.
E la prof entusiasta (!) ci dice: ”questo giochino di contare da un estremo all’altro l’aveva fatto un bambino a 5 anni tanti anni fa…” e ci racconta la storia di Gauss, un grande matematico, la storia che tra l’altro è anche sul blog….
E poi ci chiede:”riuscite a trovare una formula per calcolare la somma dei numeri naturali in sequenza?”
Ebbene ci siamo riusciti aiutati o per meglio dire guidati dalla prof.
Allora, abbiamo notato che la somma era sempre 11 (degli estremi da 1 a10) quindi iniziamo così: (1 + n) * …
n rappresenta la quantità di numeri che voglio sommare.
Dallo schema alla lavagna:

abbiamo contato quanti 11 c’erano, ce n’erano 5 cioè proprio la metà dei numeri che volevamo contare quindi ora la formula diventa: (1+n) * ½ di n.
Questa formula serve per calcolare la somma dei numeri naturali partendo da 1.
Poi la prof ci chiede se, volendo sommare partendo da un numero diverso da 1, la formula rimarrebbe invariata.
Fa questo schema:

e Sara dice di sì perché si stanno sempre sommando gli estremi e quindi la formula se partiamo da un numero diverso da 1 sarà così: (a1 + an ) * …
a1 è il primo numero an è l'ultimo.
La somma degli estremi è 11; si ottiene per 3 volte, metà dei numeri che stiamo sommando. Quindi: 11* 3
Ma dovevamo trovare la formula generale per sapere quanti numeri si stanno sommando.
Abbiamo fatto tanti esempi e alla fine abbiamo capito che si fa:
(an - a1+1)
Quindi la formula diventa:
(a1 + an) * ½ * (an – a1 + 1)
Questa formula serve per calcolare la somma dei numeri naturali anche senza partire da 1.

Pintadera - La supposizione di Goldbach.

Appena letto su Pintadera, e mi è piaciuto molto!:-)

Pintadera - La supposizione di Goldbach. via kwout

grazie Maestra M Giò! :-)

[Tutoriali] Costruzione del rombo con Geogebra

Per i nostri lettori, principianti utilizzatori di GeoGebra,il nostro amico Maestro Roberto che ci ha in qualche modo sollecitati ... (grazie maestro Roberto!)
Irene, di III, ha preparato un tutoriale per la costruzione del rombo.Io ho creato il pdf da scaricare.
Qui qualche immagine:

Da scaricare il PDF, file .zip: Tutoriale_costruz_rombo_GeoGebra
Brava Ire! :-)

Triangolo Tartaglia .xls

Ragazzi, ecco il file Excel dove ho raccolto le osservazioni finora fatte sul Triangolo di Tartaglia.
Diverse immagini le ho già riportate: i vostri lavori, Il Triangolo, Tartaglia e Fibonacci,
i numeri triangolari e le strutture frattali .
Vi state chiedendo quali siano le strutture frattali; il termine forse non vi torna in mente, vi abbiamo accennato in qualche nostra chiacchierata...
Sono quelle particolari immagini che si visualizzano colorando i termini dispari oppure quelli pari del triangolo di Tartaglia. Come ho detto nel post, dobbiamo riprendere queste strutture, ancora tutte da scoprire!
Sul file trovate una proprietà ancora non esaminata. Osservate:

Che ne dite? Magiche somme vero?
Il file contiene i seguenti fogli di lavoro:
1) Triangolo di Tartaglia_1 (costruzione con formula)
2) Triangolo di Tartaglia_2 (costruzione_2)
3) Tartaglia Dispari (Triangolo di Sierpinski, cominciamo a vedere qui)
4) Tartaglia Pari
5) Tartaglia Dispari_2 (tutti evidenziati con Formattazione condizionale e con formato celle Personalizzato)
6) Potenze di 2
7) Potenze di 11
8) Fibonacci
9) Numeri triangolari
10) Strane somme
Manca solo un clic per scaricare Tartaglia.xls (il file è zippato)
Beninteso: le meraviglie di questo Triangolo non si esauriscono qui. Più avanti, in III, scopriremo qualche particolare che ci sarà utile in Algebra.
E ancora qualche rivelazione connessa con ... una passeggiata aleatoria (o problema dell'ubriaco)! E rincontreremo anche Gauss, sì, quel bambino sveglio con le somme dei numeri da 1 a 100!

Immagini....

Ragazzi, velocemente, un paio delle immagini promesse ...
Tartaglia con excel.
Fiocchetto dei triangolari (clic per ingrandire):

I numeri dispari:

Dispari_2:

Nelle figure sono arrivata alla 32esima riga.
Dobbiamo riparlare di queste strutture....

Tutti pazzi per Tartaglia!

In II intendevo solo "aprire le indagini" sul Triangolo di Tartaglia,
ma i monelli si sono scatenati!
In un'ora hanno rilevato più di quanto mi aspettassi.
Riporto brevemente la cronaca dell'attività.
Alla lavagna riportiamo il triangolo costruito da Marina, una dei due soli alunni presenti (causa neve) alla lezione di presentazione.
I ragazzi, sempre con mille problemi di connessione, non hanno visto i post sul blog.
Si comincia con le osservazioni collettive:
a) Si costruisce così: 1+1 = 2; 2+1 = 3; 3+1 = 4; ecc...
b) il triangolo è simmetrico, funzionano da "specchio" a righe alterne, un lato della casella che separa i numeri e un numero, che è sempre pari;
c) la seconda diagonale mostra i numeri naturali, in ordine crescente.
Invito quindi alle osservazioni individuali...
Mattia mi chiama e mi indica:
11*11 = 121
121*11 = 1331
lo invito a proseguire:
1331*11= 14641
ma 14641*11= 161051, che è diverso da: 1 5 10 10 51
Farò notare ...: 1 6 1 051 = 1 - 5+1 - 0+1 - 051
e così via per le altre potenze di 11.
Anna Laura esclama: le potenze di 2! Ha sommato i termini delle singole righe.
Passo vicino a Stefano. Guardi prof:
1+2 = 3
3+3 = 6
6+4 = 10
10+5 = 15
15+6 = 21
eccc...
Bèh... direi bravi, no? :-)
Insisto con Stefano, poi si riferirà a tutti... : sai che questi si chiamano numeri triangolari? Sai scoprire il perché?
Lascio Stefano a ... scoprire il perché!
Invito quindi tutti a colorare a piacere dei termini che abbiano caratteristiche comuni....
Ed ecco alcuni dei lavori dei ragazzi, passati allo scanner (clic per ingrandire).
Le potenze di 2 e colorati i numeri pari:

Immagine con qualche stralcio di commento:

Colorati i numeri dispari:

Colorati i numeri pari:

Ancora commenti:

E ancora...

Sono solo alcuni ma hanno lavorato davvero tutti con grande entusiasmo.
Cari lettori, permettetemi: Bravi i miei ragazzi!:-)
La lezione successiva (oggi) è proseguita con l'indagine più approfondita sulla somma di numeri consecutivi, sui numeri triangolari, con l'estensione a quelli rettangolari... e di pomeriggio, con un gruppo, su: "Tartaglia e Fibonacci"!
Inviterò i ragazzi a "raccontare"...

Numeri triangolari in Excel

Abbiamo già parlato, in diverse tappe, sassolini - numeri poligonali della Scuola di Pitagora, numeri poligonali, e somma di n valori consecutivi, di

numeri triangolari.

Sono quei numeri poligonali che, rappresentati con altrettanti punti, si possono disporre a formare dei triangoli.
Rappresentano anche la somma di n numeri naturali consecutivi:
1+2+3+4+.... (ragione r=1) numeri triangolari: 1; 1+2= 3; 1+2+3= 6; 1+2+3+4= 10; 1+2+3+4+5= 15 e così via ...

Nel lavoro con Excel che ora propongo, mi sono divertita a creare delle animazioni che "costruiscono" numeri triangolari.
Un'avvertenza: prima di aprire il file è necessario chiudere il vostro Excel se per caso lo avete già aperto.
Nel primo foglio di lavoro (clic sulle immagini per ingrandire):

I numeri triangolari si dispongono via via a formare triangoli equilateri.
Nel secondo foglio di lavoro:

sono mostrati i numeri triangolari come la metà dei numeri rettangolari: il triangolo è equivalente alla metà di un rettangolo.
In entrambi i fogli sono mostrate via via (si clicca sulla casella di selezione come indicato) le formule che generano i numeri triangolari.
Nel terzo foglio di lavoro:

i triangoli sono ottenuti mediante grafico cartesiano [Dispersione (XY)] dinamico.
Per seguire l'animazione si deve premere, in sequenza, il tasto F9.
Si può scaricare Numeri triangolari.xls
Ragazzi, raccomando: fissate la sequenza dei numeri triangolari!

Strimko, un gioco di logica

Oggi dalle notiziole di .mau.

Strimko - Notiziole di .mau. via kwout

Si può giocare on line e/o si possono scaricare i pdf degli schemi del gioco, a diversi livelli di difficoltà, e ... divertirsi!

grazie, .mau. :-)

Tangram cuore!

Direttamente da Pintadera ...

Pintadera - San Valentino 2009. Batte (anche) il cuore matematico!!! via kwout

Andate a vedere i tangram a cuore e fiore dei bambini e le bambine insieme alle maestre Marcella e Maria Giovanna!
ciao Pintadera!:-)

Carnevale della Matematica #10 base10

E' uscito da zar il

Carnevale della Matematica #10₁₀

"Ricordando che al mondo ci sono solo 10 categorie di persone, quelli che capiscono il sistema binario e quelli che non lo capiscono..."
Andate a leggere!

Sorprese sul Triangolo di Tartaglia

Ragazzi,
nel corso dell'attività in pluriclasse dell'altro ieri abbiamo appena anticipato qualcuna delle magie nascoste nel Triangolo di Tartaglia.
Lascerò a voi le indagini ...
Io vi anticipo una sorpresa che so essere per voi un po' troppo "nascosta".
Osservate

Ho utilizzato per comodità il triangolo in Excel in forma rettangolare.
Cosa rappresentano i numeretti agli estremi delle frecce in diagonale?
Riconoscete la successione?
Se n'è parlato!
Riflettete attentamente sulla regolarità della successione stessa: 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Sara di II ha scritto qualche tempo fa delle osservazioni su un certo articolo presente sul blog ...
Ampliando il Triangolo, continuando a tracciare le diagonali alla stessa maniera, naturalmente la serie prosegue.

Ora, datevi da fare!
Utilizzate colori, evidenziate numeri che hanno caratteristiche comuni, vedrete comparire sul Triangolo delle curiose immagini!

Io vi guiderò a scoprire qualche altra particolarità ...

Il Triangolo di Tartaglia

Ragazzi,
in una pagina di Matematica nella storia, ho parlato di un grande matematico del XVI secolo, Niccolò Tartaglia.
Nel suo General Trattato dei numeri e misure (1556) (praticamente un'enciclopedia della matematica di quei tempi) egli riporta una particolare figura, che ammette di non essere di sua invenzione (era già nota agli indiani e ai cinesi), che però viene da allora tramandata come il Triangolo di Tartaglia.
Osservate quest'animazione:

capite com'è costruito?

Si parte da 1, il numero generatore, sulla seconda riga ancora due 1, e così anche ai lati del triangolo, all'inizio e alla fine di ogni riga.
Tutti gli altri numeri si ottengono sommando i due numeri sovrastanti, come mostra l'animazione.
Il triangolo di Tartaglia (anche detto triangolo di Khayyam/Pascal, leggete qui e per chi vuole approfondire, qui) , come ci segnalò il prof Daniele, venne disegnato anche dal matematico cinese Zhu Shijie nel 1303.

E veniamo a noi, ragazzi!
Cominciate a costruirvi il Triangolo di Tartaglia (dovrete costruirne uno a testa, vale sia per la II che per la II). Utilizzate un foglio doppio di quadernone (meglio se con quadretti grandi).
Potete anche colorarlo ma dovrete averne più di una copia, fotocopiate prima di colorare: vi proporrò in seguito delle attività che ci condurranno alla scoperta di alcune magnifiche proprietà di questo triangolo, che ... potrebbe rivelarsi come uno dei personaggi più simpatici di tutta la matematica!
Io intanto l'ho costruito ... con excel, naturalmente!

Basta una sola formula a partire dalla cella B3.
La formattazione delle celle (colore di sfondo o carattere, a piacere) va fatta dopo la costruzione.
In riga 1 e 2 digitate 1, così anche in tutta la colonna A.
Aggiungerete gli 1 alla fine di ogni riga, lo farete solo dopo aver immesso le formule come di seguito vi guido:
In cella B3: =A2+B2
Selezionate di nuovo la cella B3;
comando Copia;
clic sulla cella C4;
premete il tasto Ctrl e, senza staccare il ditino,
selezionate le celle: D5, E6, F7, G8, H9, I10 e J11;
comando Incolla;
Ora da B3,
trascinate (copiare) la formula lungo tutta la colonna B;
così anche da C4, per tutta la colonna C,
da D5 lungo la colonna D
e così da E6, F7, G8, H9, I10;
le colonne lungo le quali trascinerete man mano si ridurranno in lunghezza...
Sul triangolo ancora non avrete i dati corretti. Dovete aggiungere gli 1 alla fine di ogni riga! (anche per copiare gli 1 potete servirvi di Ctrl)
Ma.. ora voi direte: "ma così ho un triangolo rettangolo! Quello "di Tartaglia" è più bello!"
Eheh...
Vi accontento. Osservare:

Ho aggiunto anche le freccette che indicano come compilare...
Ottenuta sempre nello stesso foglio di lavoro, ma senza più formule, non sarebbe possibile in questa forma.
Volete sapere come ho fatto?
Dovrete scoprirlo da soli!
... se volete realizzare il vostro Triangolo di Tartaglia in Excel! :-)
Suuu, frugare fra gli strumenti!
Personalizza Barra degli Strumenti,
Categoria: Strumenti.
Trovate il comando giusto!
Ricordate che vi serve poter sistemare le singole righe a formare un triangolo isoscele acutangolo.
Quindi la possibilità di muovere singolarmente le righe... ah, se avessi le loro immagini!
béh, sono troooppo buona! :-)

[Segnalazioni] Geometria e Numeri: la potenza di un polinomio

Da Gravità Zero, ho segnalato l'interessante articolo del Prof. Auci nel box sulla sidebar. Mi piace riportarlo in un post dedicato.
Il Prof. Auci dimostra, nel suo stile estremamente coinvolgente, lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio (sviluppo di Newton) e della potenza n-esima di un polinomio (sviluppo di Leibniz) , dal punto di vista geometrico e combinatorio allo stesso tempo.

Gravità Zero - Divulgazione Scientifica: GEOMETRIA E NUMERI: LA POTENZA DI UN POLINOMIO via kwout

Grazie Prof. Auci!

[Promemoria] Per la III

Ragazzi, visto che lavorate così bene...
per chi può, do l'indicazione precisa per trovare
"Area dei poligoni sul piano cartesiano"
fate clic, andate sul post e scaricate!
Poi mettevi alla prova...
Ricordate di decomprimere. Se avete difficoltà nell'apertura del file mi direte, ma provate a seguire la procedura vista a scuola! (Consenti ActiveX o simili .... se state utilizzando Explorer, con Firefox non dovreste avere problemi.
Inoltre con Explorer provate a lanciare il file lo.htm al posto di start.htm)

[AllenaMenti] Per la prova d'esame_2

Ragazzi,
ecco un altro paio di esercizi...

1) Un misurino contiene 1/5 di kg di farina.
Quanti misurini di farina sono necessari per riempire un sacchetto di 6 kg?
Risposta: _____________________
facile eh?
2) Nella figura i triangoli ABC e DEF sono congruenti con BC = EF.

Quale, fra le seguenti, è la misura dell’angolo EGC?
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
Risposta: _____________________
3) La seguente tabella esprime una relazione tra due grandezze x e y:

Quale tra le seguenti funzioni esprime la relazione tra x e y?
A. y = x
B. y = 5x– 5
C. y = x² – 8
D. y = x² – x
Risposta: _____________________

La II alle prese con i quadrati perfetti.

Scrivono, in tanti, ... i monelli di II!:-)
E' loro anche il titolo.

Le indagini sulle radici quadrate continuano. In particolare: un numero è o no un quadrato perfetto?
Per riconoscere un quadrato perfetto oltre a osservare l’ultima cifra che potrebbe essere 0, 1, 4, 5, 6, 9, la prof ci ha fatto notare che c’è anche un altro modo, quale?
Ha scritto alla lavagna: $\sqrt{ 2^2 }$ .
Ci ha chiesto: qual è la radice?
Abbiamo risposto subito: 2!
Era facile, abbiamo dato la spiegazione che l’estrazione di radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.
Qualcuno ha detto che era facile perché 2²=4 e radice di 4 è 2.
Sì - ha detto la prof - ma come ho scritto il 4?
Esitazione, poi Gimmi ha detto: "sotto forma di potenza".
- E ricordate quando ci è capitato di scrivere i numeri sotto forma di potenza?
Non rispondevamo, nonostante la prof ci desse tanti indizi ... suu, dalla "cassetta degli attrezzi"....
Finalmente qualcuno: ... la scomposizione in fattori primi?
- Perfetto! - C'eravamo arrivati!
E adesso?
Altre domande: - Cosa può essere successo al 2² estraendo la radice? Diventa 2 ...
La prof ha scritto:
(sappiamo già che l'indice di radice, 2, è sottinteso)
Ma poteva servirci vederlo...
Infatti dopo un po'... discussione... : si può semplificare!
Così: = 2
Quindi, un altro modo per estrarre la radice di un numero, oltre a quello con l'algoritmo!
Era proprio così...
abbiamo proposto altri numeri, scomposti in fattori primi e scritti sotto forma di fattori sotto radice:
es: $\sqrt{ 1600 }\, =\, \sqrt{ 2^6*5^2 }\, =\, 2^3*5\,=\,40$
Ma, con le varie proposte, abbiamo scoperto che ... non tutti gli esponenti dei fattori si potevano semplificare!
per es: $\sqrt{ 180 }\,=\,\sqrt{ 2^2*3^2*5 }$
Noi volevamo semplificare solo gli esponenti del 2 e del 3, ma la prof ci ha detto: o tutti o nessuno! Per ora... (Eppoi ci ha ricordato quello che abbiamo visto nelle reazioni chimiche....H2SO4, non si può semplificare!)
Quindi ancora a riflettere...
4 = 2² è un quadrato perfetto, infatti radice di 4 = 2
1600 = $2^6*5^2 $ è un quadrato perfetto, infatti radice di 1600 = 40.
e così con altri esempi...
Il problema dell'inizio era proprio riconoscere un quadrato perfetto.
Quindi??
Ci siamo dovuti arrivare ...!
Un numero è un quadrato perfetto SE, scomposto in fattori primi, ha tutti i fattori con esponente pari. E allora possiamo semplificare con l'indice di radice.

Pensavamo di aver finito il lavoro ma la prof ha ripreso un esempio di numero in fattori sotto radice:

ci ha detto che c'era una possibilità per poter semplificare, quello che si può semplificare!
Proponevamo qualcosa?
Noi non avevamo idee...
- Eppure esiste una proprietà....
Quale poteva essere?
Un po' abbiamo tirato a indovinare, abbiamo detto commutativa... ... alla fine era la distributiva.
- Ma, cosa distribuisco???
Si distribuisce la radice ai singoli fattori, così:

e canticchiando come un motivetto che fa: la radice di un prodotto è uguale al prodotto delle radici dei singoli fattori. Man mano che cantavamo segnavamo degli archetti: sotto il prodotto, sotto il segno uguale, sotto il segno * e sotto le radici dei singoli fattori.
Quindi:
$\sqrt{ 2^4} * \sqrt{ 3}* \sqrt{ 7^2}\,=\,2^2\,*\,\sqrt{ 3}\,*\,7$
si eseguono i prodotti possibili e si può lasciare $\sqrt{ 3}$ così, indicata.
Il risultato è 28 * $\sqrt{ 3}$.

La prof poi ci ha detto la stessa cosa per la radice di un quoziente: la radice di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate del dividendo e del divisore.
$\sqrt{36:9}\, =\,\sqrt{36}\,:\,\sqrt{9}\,=\,6:3\,=\,2$
Ma come al solito la prof non si è accontentata e ci ha invitato a riflettere che questa operazione si poteva rappresentare in un altro modo.
Sottolineava il 36:9 ...
Non riuscivamo a ricordare ma alla fine Giulia D. ha risposto esattamente: si poteva scrivere sotto forma di frazione!
$\sqrt{ \frac{36 }{9 } }\, =\, \frac{ \sqrt{36} }{\sqrt{9} } \,=\, \frac{ 6 }{3 } \,=\,2$
Per un po' tutti gli altri siamo rimasti male dopo questa risposta: perché ci rendevamo conto che doveva venirci in mente!
È così con tutti questi lavori, ancora una volta abbiamo capito che niente del lavoro fatto va dimenticato ma tutto va mandato nella cassetta degli attrezzi!
E bravi Giulia G, Laura, Gimmi, AnnaLaura, Saverio, Sara, G.Andrea, Maria, Adriano! :-)