La cicloide

Fra le "curve matematiche celebri", abbiamo incontrato le epicicloidi che,
assieme alle ipocicloidi sono casi particolari di roulette, come oggi si definisce in generale una curva descritta da un punto solidale con una curva, che rotoli senza strisciare su un'altra curva fissa.
Ancora un caso particolare di roulette è la cicloide: in questo caso la curva fissa è una retta e la curva che rotola è una circonferenza.
Storia
La cicloide fu oggetto delle meditazioni notturne di Blaise Pascal (1623 – 1662), che la descrisse nella sua Histoire de la roulette: "La roulette è una curva talmente comune, che dopo la retta e la circonferenza essa è quella più frequente; ed è spesso sotto gli occhi di tutti, tanto che c'è da stupirsi che non sia stata studiata dagli antichi...."
Galileo era stato il primo ad occuparsene, riferendosi alla cicloide parlò di una "curvità graziosissima". Nel 1640 scriveva:
"Quella linea arcuata sono più di cinquant'anni che mi venne in mente di descriverla, e la ammirai per la curvità graziosissima per adattarla agli archi di un ponte. Feci sopra di essa, e sopra lo spazio da lei e dalla sua corda compreso, diversi tentativi per dimostrare qualche passione, e parvemi in principio che tale spazio potesse essere triplo del cerchio che lo descrive; ma non fu così, benché la differenza non sia molta."
La studiarono poi padre Mersenne, Roberval, Torricelli, Fermat, Descartes.
Fu Pascal a risvegliare grande interesse per la curva proponendo diverse sfide matematiche riguardanti la cicloide (fu definita, a tal proposito, "la bella Elena" della geometria), a cui parteciparono i più grandi matematici dell'epoca: Wallis, Sluze, Fermat, Huygens, Ricci.
La cicloide dunque, "tanto bella quanto semplice da descrivere":
è definita come il luogo dei punti su una circonferenza data che rotola senza strisciare su una retta.
Clic sull'immagine e agire su Play

Questo tipo di cicloide viene detta ordinaria.
Se il punto non si trova sulla circonferenza, si ha la cicloide accorciata se il punto è interno e la cicloide allungata se il punto è al di fuori della circonferenza.
Clic per vedere il confronto tra le tre curve

Le equazioni parametriche:
x = r θ - h sin(θ)
y = r - h cos(θ)
dove r è il raggio della circonferenza e h è la distanza del punto P dal centro della circonferenza (dunque r). Perciò:
h = r - cicloide ordinaria (cerchio al centro),
h minore di r - cicloide accorciata (cerchio interno),
h maggiore di r - cicloide allungata (cerchio esterno).
I paradossi
__Relativo alla cicloide accorciata, si attribuisce ad Aristotele un paradosso:
"se il cerchio (al centro nella nostra immagine) rappresenta una ruota, ad es al livello di una strada, mentre la ruota fa un giro completo, il punto P si sposterà nel punto P', dove PP' è di lunghezza uguale alla circonferenza della ruota. Se il cerchio interno rappresenta il mozzo della ruota, e si trova all'altezza del marciapiede, nello stesso intervallo di tempo il punto (Q) si sposterà nel punto Q' lungo il marciapiede. Si può allora sostenere che QQ' rappresenta la lunghezza della circonferenza del cerchio piccolo. Le due circonferenze, quella grande e quella piccola avrebbero dunque la stessa lunghezza!"
In realtà il paradosso trova la sua spiegazione nel fatto che la ruota compie una rotazione senza strisciare, mentre il mozzo effettua un movimento composto roto-translatorio, descrivendo appunto una cicloide accorciata. E il centro del cerchio compie un moto unicamente traslatorio.
__Riguardo alla cicloide allungata, un altro paradosso:
immaginiamo una ruota di un treno che rotola sul binario senza strisciare, tranne quando il treno frena. Un punto solidale con la ruota descrive una cicloide. La ruota del treno ha anche una flangia di diametro maggiore, che garantisce l'aderenza della ruota poggiando sulla faccia interna della rotaia. I punti sulla flangia descrivono la cicloide allungata.
La curva forma dei cappi in corrispondenza alle cuspidi della cicloide ordinaria: nel descrivere la parte inferiore del cappio, i punti corrispondenti si muovono all'indietro. Di qui il paradosso che una parte del treno in ogni istante va a ritroso e ciò naturalmente mentre il treno corre veloce, e spensierato, a cento all'ora!
L'evoluta
Le rette normali per ogni punto C della cicloide passano per i suoi centri di curvatura. Costruendo l'inviluppo delle rette normali alla cicloide si ottiene la sua evoluta.
Che è ancora una cicloide..., clic:

Proprietà
Ora le proprietà fisico-matematiche della cicloide che hanno scatenato tra gli scienziati dell'epoca le più accese sfide, lanciate da Pascal.
__Un pendolo che percorre una traiettoria cicloide è isocrono (dal gr. isos = uguale e chronos = tempo), ovvero il suo periodo rimane costante indipendentemente dall'ampiezza delle sue oscillazioni.
__Una scodella di forma cicloidale è tautocrona (dal gr tautos = identico e chronos = tempo), poiché uguali oggetti (tipo sferette) poste a varie altezze del recipiente raggiungeranno il fondo nello stesso tempo.
Huygens, che su tali fenomeni si arrovellava, si accorse della loro similarità. Egli si dilettava di orologeria e capì che il pendolo circolare era isocrono soltanto per le piccole oscillazioni, mentre per la costruzione degli ingranaggi degli orologi era richiesto l'utilizzo di un pendolo che compisse qualsiasi tipo di oscillazione, indipendentemente dall'ampiezza, esattamente nello stesso tempo.
Huygens dimostrò che tale garanzia veniva data solo dalla possibilità di trasformare il pendolo circolare in un pendolo che descrivesse una cicloide.
Per costruirlo Huygens si avvalse proprio della proprietà dell'evoluta della cicloide che è ancora una cicloide, e quindi costruì due ganasce a forma di archi cicloidali rovesciati che si incontrano in una cuspide.
La scodella tautocrona
Clic

Il pendolo isocrono di Huygens.
Clic

Altra versione:

Inoltre:
la cicloide ha la proprietà brachistocrona (dal gr brachistos = più corto e chronos=tempo): infatti essa è la curva su cui un oggetto che scivola impiega meno tempo per percorrere il tragitto fra due punti dati.
I fratelli Jacques e Johann Bernoulli sembra litigarono nella ricerca della curva brachistocrona! Johann (o Jacques?) Bernoulli (1667-1748) chiamò l'arco di curva cicloide curva celerrimi descensus.
Ecco la costruzione con GeoGebra. Cliccare per seguire l'animazione:

il punto S che scorre sulla cicloide, raggiunge per primo il punto (0,0) rispetto al punto U che scorre lungo l'asse x, e per primo l'intersezione della cicloide e la semiretta su cui scorre T.

Rotazione: individua il centro e...

Sempre dopo QUESTO e QUESTO, stavolta in particolare per quanto concerne la rotazione,
ancora un'esercitazione guidata.
Si tratta di:
individuare il centro, l'ampiezza e il verso della rotazione che fa corrispondere una figura F' a una figura F.
Naturalmente con GeoGebra, seguite prima come si fa, nel filmatino.
clic sulla figura

Ora, a voi sull'applet. Clic

Dopo aver eseguito gli esercizi ....
VERO o FALSO?
1. Il centro di rotazione è sempre esterno a una figura F
2. Il centro di rotazione può coincidere con un vertice di un poligono F
3. In una rotazione R₀ il centro di rotazione è equidistante da due punti corrispondenti di F e F'
E ancora, per accertare meglio conoscenze e linguaggi ...
4. Una rotazione è una isometria diretta
5. Se F' e F si corrispondono in una rotazione, allora F' e F sono direttamente congruenti.

Disegna il vettore

Ragazzi, non prima di aver "studiato" QUI e QUI, in particolare la parte relativa alla traslazione,
ecco una piccola (facile) esercitazione. Guidata!
Con l'aiuto della nostra amica maestra Renata, che ringrazio tanto, posso pubblicare un piccolo video - tutoriale che vi mostra come operare per eseguire l'esercizio che vado a proporvi.
Disegnare, con GeoGebra, il vettore che in una traslazione di alcune figure piane fa corrispondere la figura F' alla figura F
Seguite come si fa, nel filmato. Clic sull'immagine.

Tutto chiaro?
Ora, fate voi sull'applet GeoGebra. Clic

Buon divertimento! :-)
[Aggiornamento]: ancor di più potete divertirvi con le Traslazioni con i vettori di Maestra Renata. E non trascurate di guardare il video:
Inserimento di un vettore tra due punti e traslazione con i vettori, che già avevo segnalato in un precedente post.
Renata, felice dell'interazione, scambio, continuità in verticale! :-)

La nefroide

Eh, mica trascuriamo le "nostre" curve matematiche celebri!
Dopo la cardioide, come si legge ne Le curve celebri - L.Cresci, ancora una curva del genere anatomico, in quanto prende il nome da un organo.
La nefroide
Nefroide viene infatti dal greco νεϕρος (nephros): rene, quindi a forma di rene.
L'immagine lo conferma, il vero rene però ha un solo asse di simmetria!

Come la cardioide anche la nefroide è una particolare epicicloide (a due cuspidi), cioè una curva ottenuta facendo rotolare una circonferenza su un'altra circonferenza: "... una curva descritta da un punto solidale con una curva, detta generatrice, la quale rotoli senza strisciare su un'altra curva, detta direttrice. Se la direttrice è una circonferenza e la curva generatrice un'altra circonferenza di raggio minore (r minore R), che rotola all'esterno della circonferenza fissa, si ha l'EPICICLOIDE, mentre se la circonferenza generatrice rotola all'interno si ha l'IPOCICLOIDE " (prof.ssa M.G. Grandi)
Studiata da Huygens, Jacques Bernoulli nel 1692, da Daniel Bernoulli nel 1725 e da Proctor che le diede il nome nel 1878.
L'equazione parametrica in coordinate cartesiane è:
x = a (3 cos(t) - cos(3 t))
y = a (3 sin(t) - sin(3 t))

Ecco la nefroide, epicicloide. Il luogo dei punti generato da un cerchio di raggio r₁ = a/2 che ruota esternamente a un cerchio di raggio r = a (clic per seguire la costruzione, agire sul pulsante Play)

(in questa immagine la curva ha nelle sue parametriche il segno positivo)

Ora la nefroide, inviluppo di circonferenze
Inviluppo: un modo di descrivere una curva tramite una famiglia di curve. Una famiglia di curve inviluppa una curva, se ogni elemento della famiglia è tangente alla curva.
La famiglia delle circonferenze il cui centro è un punto di una circonferenza di raggio a e tangenti ad uno dei diametri (in questo caso Ox), inviluppano la nefroide.
Clic...

La nefroide inviluppo di una corda.
La famiglia delle corde del cerchio di centro O e di raggio 2a (cerchio circoscritto alla nefroide), i cui estremi percorrano il cerchio nello stesso verso, l'uno con velocità tripla dell'altro (costruzione di Cremona), inviluppa la nefroide (clic...).

Infine, l'evoluta della nefroide, che è ancora una nefroide di dimensioni lineari dimezzate.

L'evoluta di una curva piana, in generale, si ottiene come luogo geometrico dei suoi centri di curvatura. E' anche l'inviluppo delle normali alla curva nel punto di tangenza di una retta tangente alla curva stessa. Si può notare che l'intersezione tra la tangente e la normale coincide con il punto generatore dell'epicicloide (estremo del raggio della circonferenza generatrice).
Le parametriche dell'evoluta:
x = a (3 cos(t) - cos(3 t)) / 2
y = a (3 sin(t) - sin(3 t)) / 2

Insomma... stavolta con GeoGebra direi di essermi proprio divertita! :-)

Patway: trova la strada tra i numeri e: tessere

Due giochini da Matematicamente.it
Il primo, Patway: trova la strada tra i numeri

Patway: trova la strada tra i numeri | Alto, Puoi, Numero, Sinistra | Matematicamente.it via kwout

Al clic su NEW GAME potete scegliere il grado di difficoltà selezionando il personaggio, dal pupo al più anziano!:-) Poi c'è l'aiuto e, se proprio non si riesce, la soluzione.

Il secondo è uno dei giochi presenti in un CD in parte pubblicati nel sito Matematicamente.it nella sezione giochi flash. Alcuni giochi sono scaricabili, fra cui Le tessere al posto giusto:

spiegazioni:

Buon gioco, ragazzi!

Carnevale della matematica_15

IL Carnevale della Matematica è arrivato alla 15^a edizione: dai Rudi Matematici.

Blog | Rudi Matematici via kwout

Proprietà della traslazione e della rotazione

Continuiamo la nostra attività sui movimenti nel piano.
Abbiamo visto delle proprietà comuni alla traslazione e alla rotazione: avvengono nello stesso piano nel quale giace l'oggetto e sono movimenti rigidi che conservano invariate forma e dimensioni dell'oggetto (le figure ottenute con i due movimenti sono congruenti), traslazione e rotazione sono trasformazioni geometriche definite isometrie.
Ora studiamo le proprietà che distintamente caratterizzano le due trasformazioni.
Come al solito utilizziamo GeoGebra, cominciamo con la traslazione.
Clic sulla figura per aprire l'applet e ... scoprire!:

E la rotazione:

Ragazzi, vi segnalo Inserimento di un vettore tra due punti e traslazione con i vettori, un video della maestra Renata che vi sarà di grande aiuto per comprendere meglio la traslazione. Anzi direi che sarebbe da vedere prima!
Attenzione, sulla pagina troverete più di un video, tutti interessanti, dovreste vederli... : quello che ci interessa nel caso specifico è il terzo, insomma basta leggere :-)

Ripasso on line

Ragazzi, da UbiMath, vi segnalo degli esercizi da svolgere on line.
Clic per un'esercitazione sull'equivalenza di figure piane. Avrete anche il riscontro sulle vostre risposte con il punteggio ottenuto..
Es:

Brava vero? :-))
Ehi, troverete dei quesiti più interessanti!

Il cristallo Omega

Ancora C. Pickover ... !
Il cristallo Omega
" Il dottor Oz indica un affascinante insieme di scatole di grandezze a decrescere. "Dorothy, questo è il cristallo Omega" (la figura è mia. Con GeoGebra!)

Il cristallo Omega

Dorothy si avvicina di qualche passo al cristallo Omega. "Notevole!", afferma mentre esamina la struttura. Le scatole piccole sono così minute che ci vorrebbe un microscopio per vederle. "Se solo avessi una lente d'ingrandimento."
"Non importa. Voglio chiederti altro sulle scatole. I lati decrescono in un'interessante successione." Il dottor Oz tira fuori pezzo di carta con la seguente successione:

$1+ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 4 } }+ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 5} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 6} } + ... + \frac{ 1 }{ \sqrt{ n } }+ ... $

E consegna a Dorothy la carta. "Il bordo della prima scatola in alto è lungo un piede. La scatola successiva ha un bordo lungo un piede diviso per la radice quadrata di due, e quella successiva ancora ha un bordo lungo un piede diviso per la radice quadrata di tre, e così via. Questa serie diverge, o diventa sempre più grande, il che significa che il cristallo Omega è una struttura di lunghezza infinita! Se vuoi dipingere le faccette di un cristallo Omega, hai bisogno di una quantità di pittura infinita."
Alcuni dignitari - originari della costellazione di Vergine - in visita sulla Terra si avvicinano al dottor Oz e a Dorothy. L'addome e il torace dei dignitari trasuda un fluido che profuma come rose in una tiepida mattinata primaverile.
Il dottor Oz accenna un inchino e poi continua. "Fatto stupefacente, anche se la lunghezza è infinita, il volume del cristallo Omega è finito! Qual è il volume? Se capace di rispondermi entro due settimane, ti darò come premio il cristallo Omega, oggetto di grande valore. In caso contrario, lo farò a pezzi, il che susciterà una guerra transgalattica di proporzioni inimmaginabili."
Uno dei dignitari geme e quindi evapora.
Dorothy si volta verso il dottor Oz e chiede, "Dici sul serio?"
"Non proprio." Sussurra il dottor Oz. Ma mi piace usare un linguaggio altisonante per impressionare i nostri ospiti. Ma adesso, al lavoro!"

I volumi dei cubi che formano il cristallo Omega sono parte di questa serie:

$1+ \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2 } } + \frac{ 1 }{ 3 \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{4 \sqrt{4} }+ \frac{ 1 }{ 5 \sqrt{ 5 } } + \frac{ 1 }{ 6 \sqrt{ 6 } } +...+ \frac{ 1 }{ n \sqrt{ n } } +... $

Ad esempio, se usiamo come unità di misura i piedi, la prima scatola avrebbe un volume di un piede cubico e la scatola successiva avrebbe un volume di 0,35 piedi cubici circa. Questa serie converge. Il volume totale del cristallo Omega è dunque finito ma la superficie è infinita! Ovviamente, in realtà un oggetto infinito come questo non può essere costruito perché le scatole alla fine diventerebbero più piccole di un atomo; questo rimane comunque uno splendido esempio di un'ampia classe di oggetti matematici che hanno volumi finiti ma superfici infinite. [...]
... Quelli tra voi veramente bravi in matematica possono notare che la serie converge alla funzione zeta di Riemann, ζ(3/2). "

Il magico * 9 *

E ancora da L'Elmo Della Mente di Ennio Peres - Sfide matematiche.
Si gioca con i numeri: mica abbiamo scoperto tutto della numerazione in base 10!

Il magico 9

Modalità di esecuzione
1. Scrivi il numero 9 su un foglio, senza mostrarlo al pubblico; ripiegalo e inseriscilo in una busta.
2. Fornisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri):
__a) pensate a un numero intero composto da due sole cifre (ad esempio: 85);
__b) eseguite la somma di queste due cifre (85 ---> 8+5=13);
__c) sottraete il risultato così ottenuto dal numero scelto prima (85-13=72);
__d) se come risultato avrete ottenuto un numero composto da una sola cifra, fermatevi qui; altrimenti, eseguite la somma delle sue cifre (72 ---> 7+2=9).
3. A questo punto, chiedi che, al tuo via, ogni spettatore dichiari ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto.
4. Dai il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno in coro: * 9 *.
5. Apri la busta contenente la tua previsione e metti in evidenza che avevi previsto esattamente il risultato che sarebbe stato ottenuto, nonostante avessi lasciato libero ogni spettatore di scegliere il numero che preferiva.

Eh, ragazzi? Magico 9!
Bisogna sapere che:
la differenza fra qualsiasi numero intero n e la somma delle sue cifre è sempre uguale a un multiplo di nove, indipendentemente dal numero di cifre da cui è composto n.
Provate!
Eppoi, come sappiamo, la somma delle cifre di un multiplo di 9 è sempre uguale a 9. (Un numero è divisibile per 9 quando ....)
Non è difficile dimostrare la proprietà.
Occorre scrivere in forma polinomiale (ehi, la ricordate? Se no, ripasso!) il numero a base 10. [attenzione, al link trovate la forma polinomiale di numeri a base diversa da 10].
Dalla scrittura polinomiale, qualche passaggio matematico (per es. considerando un numero di due cifre) ci porta a dire che:
n - (a+b) = 9*a (a e b sono le cifre che compongono il numero, a la cifre delle decine)
Ok, vedremo i passaggi ... in terza! :-)
Ah, una cosa: la somma delle cifre di un numero è detta radice numerica. Più precisamente: si sommano le cifre di un dato numero e si ripete la stessa operazione sui risultati via via ottenuti, finché non rimane una sola cifra. Questo risultato viene detto radice numerica.

Movimenti nel piano

Ragazzi, ricordate i pesciolini nell'acquario ...cartesiano?
Ah, se non li ricordate ... perché non li avete visti :-(
dovete fare il clic e andare a vedere.
E comunque,
guardiamoci questi due

Lo sapete che il pesciolino azzurro non è altro che quello rosso che nuotando ... ha cambiato colore?[perché i nostri pesciolini sono cangianti! :-) ]
Nel post, quello su cui siete andati a vedere, avevo accennato alla geometria delle trasformazioni. Dovremo occuparcene, come vi ho detto, in maniera da fare ordine...
Già conosciamo (un po'), trasformazioni che non deformano in alcun modo le figure, cioè che fanno ottenere delle figure congruenti a quella iniziale, figure che si sovrappongono punto per punto, combaciano... Lo abbiamo visto tante volte ruotando degli oggetti, es la squadretta, per cambiare la posizione di angoli ..., oppure osservando delle figure o delle tabelle o parti di tabelle che si guardano allo specchio ..., e abbiamo detto che si tratta di movimenti rigidi.
Il nostro pesciolino nuota in un mare che, in matematica, chiamiamo piano cartesiano.
Cominciamo dunque a conosce meglio i movimenti nel piano (in quello cartesiano in particolare, in un secondo momento, )
E, a proposito di movimento, non potendo stare ferma, ho preparato delle animazioni!:-)
Cliccate: osservate che il triangolo T si muove, scorrendo sul righello. Il movimento è chiamato traslazione.

La traslazione avviene nel piano stesso nel quale giace il triangolo T. E' una proprietà specifica della traslazione.
Ora un altro movimento. Il triangolo è fissato alla lancetta delle ore di un orologio. La lancetta ruota ...

La rotazione, come la traslazione, avviene nel piano stesso nel quale giace il triangolo T.
Infine, un altro movimento rigido: nell'animazione vedrete la figura F che si trasforma in quella F', mediante un ribaltamento.

Il movimento di ribaltamento avviene fuori dal piano in cui giace la figura F (apri il palmo di una mano: per sovrapporlo al palmo dell'altra devi eseguire un ribaltamento, movimento fuori dal piano che contiene la prima mano)

Ora, mettiamo giusto un po' d'ordine, curando un po' la terminologia specifica:

1) Movimento rigido: traslazione, rotazione e ribaltamento;
le figure ottenute mediante questi movimenti si sovrappongono perfettamente, punto per punto, alla figura di partenza; esse sono congruenti. Le due figure congruenti mantengono quindi invariate ogni lunghezza, l'ampiezza degli angoli, l'estensione nel piano (area). Si dicono perciò isometriche (dal greco, di uguale misura - iso, ricordate, isoscele...- ).
La traslazione, la rotazione e il ribaltamento sono delle trasformazioni geometriche definite isometrie.
2) La traslazione e la rotazione avvengono nel piano nel quale giace la figura iniziale: sono detti movimenti diretti; le figure ottenute con questi due movimenti si dicono direttamente congruenti (o direttamente isometriche)
3) Il ribaltamento è un movimento inverso: richiede di uscire dal piano in cui giace la figura iniziale.; le figure ottenute per ribaltamento sono dette inversamente congruenti (o inversamente isometriche).
E... vi sarete accorti che il ribaltamento lo abbiamo già conosciuto con il nome di simmetria (figure che combaciano, si guardano allo specchio...) Ma è una particolare simmetria... su queste dobbiamo indagare più a fondo!
Per il momento fate qualche esercizietto:
a) Osserva le tre figure

__ __

In quale figura osservi:
- Una traslazione? .........................................
- Una rotazione? ..........................................
- Un ribaltamento? ......................................
Quale dei tre movimenti non è avvenuto nel piano nel quale giace la bandierina alla sinistra? ...............
Infine va', due schede da ingrandire e stampare, per sapere ...

e per saper fare

Testo di riferimento per l'argomento e le attività: Matematicamente - Ed scolastiche B. Mondadori da cui sono tratte schede e immagini.

Schede ripasso: calcolo con frazioni

Il calcolo con le frazioni, meglio dire con i numeri razionali, è anch'esso una "chiave di ricerca" frequente. Ma, ragazzi di II, direi proprio: vale anche per voi!:-)
Si possono rivedere le spiegazioni nel link indicato, QUI, QUI e QUI.
Propongo delle schede di esercizi direttamente da un "libro delle vacanze" - Il capitello edizioni (che suggerisco, ripassare divertendosi!)
Ingrandire le immagini e stampare

Addizione e sottrazione

E un divertente Colora spazi

In una prossima scheda, l'elevamento a potenza.

Per esercitarsi con il calcolo con le frazioni, aggiungo un'altra segnalazione. Clic sulla figura, si può scaricare il file Excel dal sito di Daniel Mentrard

E' possibile controllare le soluzioni degli esercizi.
Sarebbe possibile! Come si legge, il file è in lingua francese (le cifre e i simboli delle operazioni... come i nostri, eh! :-)) e sono utilizzate le formule di Excel per il calcolo del Massimo Comune Divisore e del minimo comune multiplo, appunto in lingua francese.
- Per il MCD, la formula in francese è: =PGCD(num1; num2)
PGCD sta per: plus grand commun diviseur (il più grande divisore comune)
- Per il mcm: =PPCM(num1;num2)
PPCM sta per: plus petit commun multiple (il più piccolo multiplo comune)
Come vedete le denominazioni in francese ci aiutano perfino ... a non equivocare!
Che vi dico di solito? O meglio, cosa succede a volte con quel "mcm", quel termine "minimo" all'inizio? quante volte ci fa "sparare" il più piccolo dei numeri dati? Mentre stiamo cercando un multiplo! :-) Dunque, in francese: le plus petit commun multiple!
Ah, per verificare le soluzioni nel file segnalato:
nella colonna Solutions se cliccate su Afficher appaiono nelle celle dei simboli cancelletto, poiché il nostro Excel in italiano non riconosce le funzioni.
Clic sulla cella e nella barra della formula sostituire la scritta PGCD con MCD e
e la scritta PPCM con mcm.
Poi premere il tasto F9 per aggiornare i dati.

A proposito di angoli esterni ...

Noi abbiamo lavorato così.
Ho trovato in rete questa bella dimostrazione senza parole, tratta da Claudio Bernardi, Come e che cosa dimostrare nell'insegnamento della matematica, L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate.
"La somma degli angoli esterni di un poligono P è uguale a quattro angoli retti (e quindi non dipende dal numero dei lati di P). Questo enunciato di geometria elementare si può "dimostrare" seguendo il contorno di P con un fiammifero, come suggerito in figura (io l'ho realizzata con geogebra): in corrispondenza ad ogni vertice di P, il fiammifero ruota di un angolo

(orientato) uguale all'angolo esterno in quel vertice; alla fine, il fiammifero ha fatto un giro completo, cioè quattro angoli retti."
Nella figura è mostrato il caso di un poligono concavo.
Solitamente nel nostro lavoro prendiamo in esame il caso più semplice del poligono convesso, orientando il poligono in uno dei due versi possibili e costruendo, per ciascun angolo interno, l'angolo esterno che ha come lati il prolungamento di un lato dell'angolo interno e il secondo lato (dello stesso angolo interno).

Nel caso dei poligoni convessi occorre dare una definizione più precisa di angolo esterno che vada bene per entrambi i casi.
Qui, sempre opportunamente semplificando... diciamo che:
l'angolo esterno è l'angolo di cui deve ruotare il primo lato per sovrapporsi al secondo, rispettando il verso di orientamento scelto. Osserviamo la figura:

Il lato AK dell'angolo ε deve ruotare di 314° per sovrapporsi al lato AF, secondo il verso: abbiamo fissato il verso antiorario.
Da notare che GeoGebra, nel calcolo della somma, superati i 360°, ricomincia da 0°.
Si può scaricare il file.ggb.

Schede esercizi_ripasso I e II media_02

Bèh, vado per "fisse"... : esercizi ripasso!
Dapprima un VERO-FALSO (clic per eseguire on line):

Ora un file excel (come il precedente, realizzato con il supporto di GeoGebra)
Immagine:

Scaricate il file Schede Triangoli_2.xls
In tutte le schede, al termine del lavoro si avrà un riscontro.

Ripasso con geogebra

Oggi propongo ancora sui triangoli, un ripasso con l'utilizzo di GeoGebra.
Si tratta di costruire triangoli e tracciare altezze, mediane, bisettrici e assi. E ortocentro, baricentro....
Ok, in questo primo lavoro solo le altezze e l'ortocentro!
Sul foglio di lavoro che andrete ad aprire troverete la guida alla costruzione e, per facilitarvi, avrete disponibili solo gli strumenti necessari.
Gli esercizi si possono fare on line, ma chi ha Geogebra può fare come più gli aggrada.
Esercizio n° 1
Costruisci un triangolo isoscele e traccia le altezze. Segna in rosso l'ortocentro.
Ora clic sull'immagine del foglio di lavoro e... divertitevi, su!

Esercizio n° 2
Costruisci un triangolo rettangolo e traccia le altezze. Segna in verde l'ortocentro.
Sul foglio di lavoro troverete la guida alla costruzione di un triangolo con i lati di data misura (può esserci utile anche per l'esercizio_1 della scheda esercizi precedente)
clic sull'immagine e ...

... buon lavoro!

[Post aggiornato, grazie ai suggerimenti della mia amica Renata!]

Schede esercizi_ripasso I e II media

Eh, con piacere noto che già si "cercano" schede per il ripasso estivo. ;-)
Ho predisposto in Excel una prima serie di schede_esercizi_ripasso per le vacanze.
Possono essere utilizzate dai ragazzi che hanno concluso la prima media e oppure la seconda (vero, ex II A?).
Cominciamo dalla geometria con degli esercizi (facili!) sui triangoli.
Possono essere risolti sul foglio di lavoro o, volendo, si possono stampare le schede.
Se si lavora su excel, al termine si avrà un riscontro e un suggerimento!
qualche immagine esempio (clic per ingrandire, eventualmente):

Scaricate il file schede Triangoli.xls