Assiomi e proprietà geometriche

Irene scrive...
E' suo anche il titolo del post. Il lavoro di Irene mi è pervenuto per primo! Ma tutti hanno lavorato...

Alessandra ha cominciato a casa a lavorare con GeoGebra e quindi come sempre commentiamo in classe, prima alla lavagna poi lavorando anche noi con il programma. Abbiamo visto che:

Per un punto passano infinite rette

Come procedere: prendiamo un punto e lo nominiamo P. Tracciamo una retta che chiamiamo r. Ne tracciamo un'altra, sempre passante per P, e la battezziamo v. Vediamo che ognuno di noi può tracciare una retta che passa per il punto P. Ne possiamo tracciare infinite perché esse non hanno uno spessore. Per un punto passano infinite rette: questa frase viene detta assioma cioè delle frasi che non hanno bisogno di essere discusse, né dimostrate.
Ecco le figure fatte con geogebra:

Con quest'altra ci siamo convinti anche di più che per un punto passano infinite rette:

La seconda cosa che abbiamo visto è anch’essa un assioma:

Per due punti distinti del piano passa una e una sola retta

Abbiamo fissato due punti nel piano A e B. Uno di noi ha tracciato una retta passante per quei due punti. Un altro ha provato a tracciare un'altra retta ma abbiamo visto che poteva solo sovrapporla alla prima! In geogebra:

Ancora abbiamo visto:

Per tre punti passa una retta solo se essi sono allineati.

Invece se i tre punti non sono allineati passa per essi un unico piano.

continua....

Irene II A

Un post particolare: You Make My Day Award

Ragazzi, voi conoscete l'inglese! Avete capito? Abbiamo ricevuto un premio! :-)

E' un regalo di Angelo Dei Boschi, un nostro carissimo lettore.
Dice di noi:
"perché mi piace la matematica, perché la insegna bene e perché insieme ai suoi alunni ha realizzato un blog matematico, le cui nozioni in futuro mi torneranno comodo per la mia prole."
Sono importanti le sue parole: l'amore per la matematica, l'apprezzamento del nostro lavoro e il pensiero per i suoi figli. Io lo so bene, ma questo rivela ancora una volta che lui è un gran bravo papà! :-) Angelo è una bella persona, il suo Così è, se vi pare... merita di essere letto!
Grazie Angelo, ci incoraggi a fare sempre meglio!

Dovrei, come si usa fare nei "meme" della blogosfera, a questo punto nominare a mia volta alcuni blog che mi danno emozioni.
No, non posso fare delle scelte! Le mie preferenze sono tutte nelle nostre sezioni link, nei blogrol, nel nostro "mi sono piaciuti", nel "dernière minute"....

Le tabelle delle operazioni in Excel: moltiplicazione.

Dopo le tabelle della sottrazione e della divisione ecco anche quella della moltiplicazione.
A cura di Annalaura.

Qui il file di Annalaura.

Tavola pitagorica: in quanti modi con Excel...!

Di tabelline e di moltiplicazione abbiamo parlato diverse volte. Qui e qui i riferimenti.
In questo post, come indica il titolo, voglio invece segnalare due interessanti lavori sulla Tavola Pitagorica realizzati in Excel dal mio amico Ignazio del gruppo RIO.
Ragazzi, abbiamo già visto qualcosa di nuovo ma, questi sono preziosi lavori per diventare più bravi a lavorare con Excel!

Il primo: Tavola Pitagorica: Formule
Trascrivo la presentazione di Ignazio:

In questo file, con il pretesto di costruire una Tavola Pitagorica, si vuole mostrare l'uso di alcuni strumenti per l'inserimento di formule nei fogli di lavoro Excel.

In particolare vengono affrontati i seguenti argomenti:

• uso dei riferimenti misti nelle formule;
• uso delle formule matrice;
• uso della tabella dati a due variabili.

Il file, oltre alle Tavole Pitagoriche completamente realizzate, contiene le istruzioni per ricrearle, consentendo a chi lo usa di prendere confidenza con alcune funzionalità tipiche di Excel. Ciò ne fa un esempio rivolto a tutti gli utenti Excel (dal principiante al più esperto).

Da scaricare l'allegato: TavolaPitagoricaFormule.xls

Il file contiene 4 fogli di lavoro:
INFO
Formule (rif.celle misti)
Formula matriciale
Tabella dati
Un'immagine di uno dei fogli di lavoro:

Il secondo: Tavola Pitagorica: Formattazione condizionale

Il file allegato è un esempio su come usare la formattazione condizionale per mettere in evidenza dei dati all'interno di un foglio di lavoro. Nel file trovi anche esempi sull'uso di alcuni strumenti di controllo (Casella di selezione, Barra di scorrimento) e delle funzioni CONTA.SE. e CONCATENA.

Da scaricare l'allegato: TavolaPitagoricaFormattazione.xls

Il file contiene 4 fogli di lavoro:
Modalità d'uso 1
Modalità d'uso 2
Trova numero
Analisi
Un'immagine:

Grazie Ignazio!:-)

Le tabelle delle operazioni in Excel: divisione.

E' la volta della tabella della divisione creata in Excel da Giammario.
Come la sottrazione anche divisione non è un'operazione sempre possibile nell'insieme N. Non è un'operazione interna a N.
Questa la tabella di Giammario:

Anche questa tabella è stata creata con la formula matriciale, impostata però solo nell'intervallo E3:N13 (si veda il file): =(C3:C13)/(E2:N2) [confermata con Ctrl+Maiusc+Invio]
Sulla prima colonna dei risultati abbiamo digitato il testo voluto.
[Giammario, come vedrai anche tu sul file, ho sistemato la formattazione condizionale che, come abbiamo appena accennato in laboratorio, nel caso della divisione è un po' più complicata. Studieremo bene tutti insieme in classe quanto qui vi anticipo.]

Stavolta la formattazione condizionale, richiede una formula.
Dobbiamo dare istruzioni a Excel perché riconosca quali risultati nella tabella non sono numeri interi, affinché essi possano non essere visualizzati.

Come è possibile riconoscere se un numero è intero?
Se dividiamo un numero intero per l'unità, otteniamo come quoziente lo stesso numero e come resto 0 (zero). Es: 6:1 = 6, con 0 di resto.
Se dividiamo un numero decimale per 1, fermandoci prima della virgola, prima di abbassare le cifre decimali, otteniamo come quoziente la parte intera e come resto la parte decimale. Es: 2,34:1 = 2, con resto 0,34.
Questo fatto ci permette di impostare in Excel una formula che restituisca VERO se il resto della divisione di un numero qualsiasi per 1 è diverso da 0 (zero).
E così cominceremo a conoscere la funzione RESTO() in Excel...
La formula:
=RESTO(A1;1)<>0
restituisce VERO nel caso in cui in cella A1 sia contenuto un numero decimale, FALSO se invece in A1 è contenuto un numero intero.
E' la formula che ci serve in Formattazione condizionale!
Quindi, ripetendo la procedura:
1) Seleziono l'intervallo della tabella E3:N13, contenente i risultati (determinati);
2) da menu Formato scelgo Formattazione condizionale;
3) nella finestra di Formattazione condizionale scelgo in Condizione 1, l'opzione la formula è;
4) nel campo adiacente immetto la formula: =RESTO(E3;1)<>0

5) clic su Formato...
6) nella scheda carattere imposto il colore bianco (come lo sfondo della tabella)

7) clic su Ok e ancora OK
Tutte le celle dei risultati per le quali si verifica (è VERA) la condizione: =RESTO(rif.cella;1)<>0, assumono il colore del carattere bianco e sono quindi non visibili!
[è utilizzato nella formula il riferimento relativo, per cui nelle celle diverse dalla E3, la formula diventerà: =RESTO(F3;1)<>0, =RESTO(E4;1)<>0, e così via... ]

a presto in classe! Bravo chi legge qui! :-)

Le tabelle delle operazioni in Excel: sottrazione. Formule matriciali e formattazione condizionale

I ragazzi di I A hanno realizzato con excel le tabelle delle 4 operazioni e su di esse hanno evidenziato le principali proprietà nell'insieme N.

Giulia si è dedicata a quella della sottrazione.

Con questo lavoro abbiamo avuto modo di conoscere delle altre funzionalità di Excel.
Saverio e Giammario hanno dato una mano a Giulia per creare la tabella, nientemeno che con le ... formule matriciali! Inoltre hanno utilizzato la formattazione condizionale.
[I ragazzi hanno scritto le parti del post in blu chiaro]

Le formule matriciali
Le formule matriciali sono formule che utilizzano come argomenti, dei vettori (intervalli di celle su una riga o colonna) o delle matrici (intervalli su più righe e colonne, cioè tabelle) di valori e non dei singoli valori numerici e restituiscono come risultato dei vettori o delle matrici.
Esse permettono operazioni ordinate su vettori o matrici.
Per inserirle bisogna premere, al posto del solo tasto INVIO, contemporaneamente i tasti CTRL e MAIUSC, quindi INVIO.
Supponiamo di avere, nell'intervallo A1:B3:
A_B
3_4
5_3
6_7
Se in C1 digitiamo: =A1*B1, e poi copiamo in C2 e C3, avremo:
A_B_C
3_4_12
5_3_15
6_7_42
La formula matriciale ci consente di scrivere, selezionato prima l'intervallo C1:C3, direttamente:
=(A1:A3)*(B1:B3)
Confermando con Ctrl+Maiusc, e Invio, si ottiene lo stesso risultato.
Nella barra della formula, si visualizzerà:
{=(A1:A3)*(B1:B3)}
cioè la formula racchiusa tra parentesi graffe.

"Per la creazione della tabella della sottrazione abbiamo proceduto così:
1) abbiamo selezionato l'intervallo dove devono comparire i risultati;
2) ci siamo posizionati sulla barra della formula e abbiamo digitato: =(D4:D14)-(E3:O3) [l'intervallo D4:D14 contiene i minuendi, E3:O3 i sottraendi];
3) abbiamo premuto contemporaneamente i tasti Ctrl e Maiusc (Shift) e, senza staccare le dita, premuto il tasto Invio.
Sulla barra della formula notiamo le parentesi graffe che racchiudono la formula. La tabella è immediatamente compilata!"
La formula ha eseguito ordinatamente le sottrazioni:
D4 - E3; D4 - F3; D4 - G3; e così via fino a D4 - O3;
ha eseguito quindi: D5 - E3; D5 - F3; e così via fino a D5 - O3;
così fino alla riga 14 (D14 - E3; ecc...)
Possiamo controllare questi risultati nel modo seguente:
- selezioniamo la formula sulla barra della formula,
- premiamo il tasto F9
Vedremo visualizzato:
={0;-1;-2;-3;-4;-5;-6;-7;-8;-9;-10\1;0;-1;-2;-3;-4;-5;-6;-7;-8;-9\
2;1;0;-1;-2;-3;-4;-5;-6;-7;-8\3;2;1;0;-1;-2;-3;-4;-5;-6;-7\
4;3;2;1;0;-1;-2;-3;-4;-5;-6\5;4;3;2;1;0;-1;-2;-3;-4;-5\6;5;4;3;2;1;0;-1;-2;-3;-4\
7;6;5;4;3;2;1;0;-1;-2;-3\8;7;6;5;4;3;2;1;0;-1;-2\9;8;7;6;5;4;3;2;1;0;-1\10;9;8;7;6;5;4;3;2;1;0}
Separate dal punto e virgola abbiamo le differenze: 1° minuendo in colonna D meno tutti i sottraendi di riga 3; e così via...
separate dalla barra back-Slash (barra indietro), abbiamo le differenze delle diverse righe dei minuendi in colonna D meno tutti i sottraendi di riga 3.

Per le nostre attività al momento è sufficente questo utilizzo delle formule matriciali.
Aggiungo solo che esse trovano applicazione in numerosissime situazioni per la risoluzione di svariati problemi in Excel.
Per chi volesse saperne di più suggerisco una ricerca sul news group dedicato a Excel
Basta eseguire la ricerca digitando: formule matriciali oppure matrici. Non si avrà che l'imbarazzo della scelta!

Compilando la tabella con questa procedura, abbiamo tutte le differenze "minuendi da o a 10 meno sottaendi da o a 10".
A noi interessa però la sottrazione "che resta" nell'insieme N, cioè vogliamo visualizzare solo i risultati non negativi.
Per ottenere questo ci siamo serviti della

Formattazione condizionale
La formattazione condizionale permette giusto di assegnare il formato voluto a una cella, quando si verifichino determinate condizioni.

"Noi abbiamo proceduto in questo modo:
1) abbiamo selezionato nella tabella l'intero intervallo dei risultati;
2) dal menu Formato abbiamo scelto Formattazione condizionale;
3) nella finestra di formattazione condizionale abbiamo scelto in Condizione 1, l'opzione il valore della cella è, nel campo successivo l'opzione minore di e nel seguente abbiamo digitato 0 (zero):

4) A questo punto abbiamo premuto sul pulsante Formato... Nella scheda Carattere, opzione colore, abbiamo scelto rosa: lo stesso colore dello sfondo assegnato alla parte di tabella contenente i numeri non appartenenti a N.
5) Poi abbiamo cliccato OK e ancora OK"

Tutte le celle dei risultati per le quali si verifica (è VERA) la condizione: minore di o (zero), assumono il carattere color rosa e sono quindi non visibili!

Il lavoro di Giulia, Saverio e Giammario si può scaricare qui.
Bravi, ragazzi :-)

Punto, retta, piano. Gli enti geometrici fondamentali

Parliamo di geometria!
Alessandra, Emanuele, Delia e Laura cominciano a dirci delle cose ...

Abbiamo iniziato ad affrontare il tema della geometria, riprendendo alcuni concetti già incontrati in diverse situazioni. Ci è capitato di risolvere dei problemi con figure geometriche, abbiamo usato la semiretta per la rappresentazione degli insiemi numerici facendo corrispondere numeri a punti...
Ma è arrivato il momento di conoscere meglio appunto questi enti geometrici!

Il punto, la retta, il piano sono gli enti geometrici fondamentali, sono un po' le basi della geometria.
Il punto.
Se vi chiediamo: cos'è il punto? Sapreste rispondere?
Crediamo di no. Eppure tutti abbiamo fin da bambini il concetto di punto, senza che nessuno ce lo abbia mai spiegato! Ricordiamo quando per la prima volta, abbiamo sentito parlare di punti: la maestra che nel dettato diceva: "punto e a capo", o generiche frasi: "mettiti in quel punto", "il punto dove si trova la palla...." o "all’asilo ci facevano unire dei punti per creare delle figure".
Il punto quindi è uno di quei concetti che si dicono "primitivi", che si sono formati nella nostra testa: concetti astratti.
Il punto perciò non si può definire.
E' l'ente geometrico più elementare, è privo di dimensione, né lunghezza, né larghezza, né spessore. Possiamo stabilire solo la sua posizione.
Possiamo dire che il punto non esiste, proprio perché è privo di dimensione, il segno che facciamo noi con una penna, o anche con uno spillo su un foglio, o sullo schermo del computer ... è soltanto una sua rappresentazione.
I punti si indicano nelle rappresentazioni che facciamo per lo studio della geometria, con le lettere maiuscole. Punto A, punto P eccc...

La retta.
Anche la retta o meglio, dapprima, la linea è un concetto astratto. Anche della linea non si può dare una vera definizione.
Pensiamo a un filo per cucire, a una linea che tracciamo sul foglio, una linea che tracciamo per separare, le linee tracciate nel campo sportivo.... Delle linee noi misuriamo la lunghezza.
Nella nostra mente questo concetto ci da l'idea di una sola dimensione. Perciò è astratto, possiamo toccare solo gli oggetti che hanno 3 dimensioni!
Una linea è però formata da ... punti!
Ci ha detto la prof che un matematico disse: "in qualunque modo si tagli una retta, dove si taglia c'è sempre un punto".
Oppure possiamo dire che la linea è la traiettoria di un punto in movimento.
Possiamo rappresentare invece una linea retta o semplicemente retta, con un filo teso, oppure disegnando una linea con il righello.
Possiamo dire nel linguaggio degli insiemi che la retta è un insieme (geometrico). Gli elementi dell'insieme sono dei punti.
La retta si indica con una lettera minuscola. Retta r, retta a eccc...

Il piano.
Anche per il piano diciamo: il piano del foglio, il piano della lavagna, il piano della cattedra.... tutte le superfici piane che tocchiamo.
Ma sono tutte delle rappresentazioni (dei modelli) di piano geometrico.
Se invece pensiamo a un foglio, immaginandolo senza spessore, perché anche se lo pensiamo sottilissimo, uno spessore lo ha perché possiamo prenderlo in mano! Immaginiamolo anche esteso in modo che non finisca mai né in lunghezza, né in larghezza, illimitato. Abbiamo l'idea di piano geometrico. Un'altra rappresentazione del piano è l'ombra di un oggetto. Non possimo toccarla, è priva di spessore, però è limitata! Ha il contorno!
Il piano geometrico ha due sole dimensioni, lunghezza e larghezza, è privo di spessore ed è esteso illimitatamente in tutte le direzioni.
Anche il piano è un insieme geometrico. Gli elementi sono delle ... rette!
Un piano è formato da rette! E' formato quindi da punti.
Possiamo dire che esso è la traiettoria di una retta che si muove.
Il piano si indica nelle rappresentazioni geometriche, con una lettera minuscola dell'alfabeto greco: piano alfa, piano beta, piano delta...

Per comprendere meglio tutte queste cose vi facciamo questo esempio:
immaginate una sottile sbarra di ferro appuntita. Se arroventiamo la punta sul fuoco, possiamo vedere la punta rossa. Ci da l'idea di punto.
Ora immaginate di muovere in una certa direzione la punta arroventata: si vedrebbe una scia rossa: è la retta!
Se ora immaginate di arroventare l'intera sbarra (tenendola con un materiale isolante!), vedrete una linea rossa. Ora muovendo in una certa direzione la barra rossa potreste vedere una superficie rossa: è il piano!

Alessandra, Emanuele,
Delia, Laura
II A

Bene ragazzi.
chi può scarichi ora il file Punto che si muove
Divertitevi! :-)

Grafico di una retta con Excel

Il titolo del post è una "chiave di ricerca" usata frequentemente in questo periodo dai lettori-cercatori :-)
Precisamente la richiesta è: "come si costruisce il grafico di una retta con Excel"
Ho deciso di accontentarli!
Nel frattempo mi porto avanti con il lavoro. E' materiale, quando la classe lo permette, utile per la III media.

Per la costruzione del grafico con Excel, rimando al tutoriale Come creare un grafico in Excel. Naturalmente nel Passaggio 3, Scheda Assi, si deve evitare di togliere il segno di spunta dall'opzione Asse dei valori (Y) ....

Il file Rette.xls è costituito da due Fogli di lavoro.
Il primo, retta, contiene la rappresentazione grafica di una retta generica, di equazione
y = m*x + q.
I valori x y delle coordinate dei punti sono visibili nelle colonne A e B, per rendere più chiara la procedura di creazione del grafico. Naturalmente basterebbero due soli punti ma, anche il considerare un intero intervallo rende più intuitiva la comprensione e non occorre modificare la formula per ottenere i valori della x (come segue...)
Un'immagine:

L'intervallo di valori della x, in colonna A, va da -9,5 a 9,5.
E' ottenuto con la formula: =(RIF.RIGA(A1)*2-2-19)/2
immessa in cella A3 e copiata poi nelle celle sottostanti.
Se necessario, si veda la spiegazione della funzione RIF.RIGA()
I valori della y sono ottenuti con la formula: =$C$3*A3+$D$3 immessa in cella B3 e copiata lungo la colonna.
Ancora se occorre, si veda la spiegazione dei riferimenti di cella, relativi e assoluti.
Spiegherò in un prossimo tutoriale come si crea la Casella di selezione, che permette di variare il valore del coefficiente angolare.
Per visualizzare sul grafico l'equazione della retta:
- clic con il destro del mouse sulla retta rappresentata;
- scegliere: aggiungi linea di tendenza;
- scheda Tipo: lineare
- scheda Opzioni: segno di spunta su Visualizza l'equazione sul grafico.

Il secondo foglio di lavoro del file, fascio_rette contiene la rappresentazione di un fascio di rette passanti per l'origine degli assi cartesiani.

Per i dati origine di tale grafico ho definito dei nomi. Sulla definizione di un nome in Excel e sul suo utilizzo nella costruzione di un grafico, potrò dire in un futuro post. Se qualche lettore palesa desiderio di informazioni mi preoccuperò di accontentarlo al più presto! :-)
Il foglio è didatticamente interessante poiché avvia lo studente della scuola media al pensiero razionale, facendogli incontrare o re-incontrare il concetto di infinito, gettando le basi per l'approfondimento della geometria analitica...
Buona consultazione! E ... a disposizione per qualsiasi chiarimento (o suggerimento, ancora meglio!)
[Aggiornamento] Post correlato: Equazione di una retta e intersezione tra due rette in Excel

Operiamo con i B.A.M._3

Dopo i contributi di Gabriele,
Operiamo con i B.A.M. e Operiamo con i BAM_2,
un'altra brava alunna della scuola primaria, stavolta della classe V B, Gavinuccia, ci regala un suo lavoro.
Ci mostra come si esegue una piccola espressione con i numeri multibase.
Si tratta di addizionare dei numeri scritti in basi diverse, per ottenere il risultato scritto in un'altra base, diversa da 10.

TRASFORMA IN BASE SEI E ADDIZIONA

Trasformo i 3 numeri in base 10.
Così:

Trasformo adesso in base sei i tre numeri ottenuti in base 10
Così:

Il numero 1838 deve essere diviso per il cubo di 6 che è 216, fa 8: sono i cubi. Con 110 di resto.
Poi 110 deve essere diviso per il quadrato di 6 che è 36, il risultato è 3: sono i quadrati. Con il resto di 2.
Poi il 2 deve essere diviso per 6 e fa 0: sono i lunghi. Con 2 di resto: sono le unità.
Dopo si riporta tutto in una tabella indicando le cifre delle posizioni: unità, lunghi, quadrati, cubi

Allo stesso modo trasformo gli altri due numeri:

Devo sommare tutti e tre i risultati che ho ottenuto.

Bisogna sommare prima tutte le unità e bisogna dividerle per 6, fa 1 (lungo) con 4 di resto (sono le unità),
bisogna sommare tutti i lunghi e dividerli per 6, fa 0 (quadrato) con 3 di resto (lunghi),
bisogna sommare tutti i quadrati e dividerli per 6, fa 1 (cubo) con 1 di resto (quadrato),
infine bisogna sommare tutti i cubi.

Come si verifica se il tutto è giusto.
Bisogna addizionare i numeri a base 10 che prima abbiamo trasformato in base 6.

Bisogna trasformare il risultato dell’addizione, 26134 a base 6, nel numero a base 10. Così:

Ho verificato che i risultati sono uguali.
Tutto quello che abbiamo fatto è giusto.

Lavoro svolto da Gavinuccia

Insegnato da maestro Gian Mario Manca.

Gavinuccia, sei molto brava!
Grazie e ... alla prossima ! :-)
PS: ti aspettiamo in classe per illustrarci il tuo lavoro.

Calcolo di radici quadrate con radicando decimale. Radice quadrata di una frazione

Ecco la seconda parte dell'articolo di Alessandra per Irene... Ma anche per i lettori che arrivano al nostro blog cercando: "la radice di una frazione" e "la radice di un numero decimale" ;-)

Quando si deve calcolare una radice che ha come radicando un numero decimale limitato si deve procedere così:

• Si trasforma il numero razionale decimale limitato, in frazione;
• Si cerca la radice del numeratore e del denominatore (abbiamo visto che l'estrazione di radice gode della proprietà distributiva, quindi distribuiamo la radice al numeratore e al denominatore).

Per esempio:

In alternativa, una radice di un numero decimale limitato può essere calcolata direttamente senza procedere alla sua trasformazione, purché il gruppo di cifre decimali del radicando sia in numero pari. Se questo non lo fosse si pareggerebbero le cifre aggiungendo degli zeri.
Per esempio, se dobbiamo estrarre la radice quadrata del numero 12,8:

Aggiungo uno zero per avere un numero pari di cifre decimali.
Questo perché:
un numero decimale elevato alla seconda non ha mai un numero dispari di cifre decimali. Es: 1,2^2 = 1,44;
1,23^2 = 1,5129; ecc...

Quando invece si deve calcolare la radice di un decimale periodico semplice o periodico misto si deve procedere così:

• Si trasforma il radicando da numero decimale periodico semplice o misto a numero razionale scritto sotto forma di frazione;
• Si cerca la radice del numeratore e del denominatore.

Operiamo ancora con le radici quadrate. Il radicando elevato alla seconda...

Alessandra ha scritto per Irene, assente per influenza, le ultime cosette sulle radici quadrate.

Radici quadrate elevate alla potenza due

La prof ha scritto alla lavagna:

Ci ha chiesto di calcolarne il valore: a quanto è uguale la radice quadrata di 3 elevata alla seconda?
Qualcuno ha detto subito: è uguale a 3!
Al solito la prof, dicendo che eravamo stati bravi, ci ha chiesto il perché.
Abbiamo saputo dire che erano due operazioni, una l'inversa dell'altra: elevamento a potenza e estrazione di radice.
Bene, quindi abbiamo commentato che è come se avessimo semplificato il 2, indice di radice sottinteso, con l'esponente 2 della potenza:

L'abbiamo scritta anche così:

Quindi, il radicando è 9 ... sappiamo che radice di 9 è uguale a 3.

Dopo aver fatto altri esempi di questo tipo, la prof ci ha chiesto:

- a questo punto, non vi pare che questo sia ancora un metodo per estrarre la radice quadrata di un numero?

Noi abbiamo detto: Sì, semplificando l'esponente con l'indice di radice!

Sembrava tutto chiaro ma ..... :

Come fare se non ho il radicando sotto forma di potenza?

Abbiamo pensato un po'... domande della prof...avere un numero sotto forma di potenza.... c'è uno strumento, dalla "cassetta degli attrezzi"...., finalmente abbiamo detto:

- scomponiamo il numero in fattori primi!

Poi però, un problema: dovevamo semplificare gli esponenti e se gli esponenti erano dispari, non si poteva semplificare! Quindi:

gli esponenti del numero, scomposto in fattori primi devono essere pari.

Allora si può facilmente estrarre la radice. Per es,
consideriamo 3600, scomposto in fattori primi: 2^4*3^2*5^2

Si semplificano tutti gli esponenti (pari, quindi divisibili per 2) con l'indice di radice, 2. E quindi scompare il simbolo di radice!
Con questo lavoro, oltre che estrarre la radice in un altro modo, abbiamo verificato due cose:

• la scomposizione in fattori primi (strumento dalla "cassetta degli attrezzi"), serve per riconoscere se un numero è un quadrato perfetto: se gli esponenti sono tutti pari, il numero è quadrato perfetto (quindi possiamo estrarre la radice con questo metodo)

Abbiamo estratto la radice semplificando gli esponenti di tutti i fattori con lo stesso indice di radice.

Cosa abbiamo fatto quindi??? (domande ...domande.... prof)

Ci siamo arrivati!

• L'operazione di estrazione di radice gode della proprietà distributiva: abbiamo distribuito la radice ai singoli fattori del radicando. Poi, dopo semplificato, abbiamo moltiplicato le radici quadrate dei singoli fattori.

Questa proprietà la ritroviamo con la radice di una frazione.

Alessandra, sei stata brava ma come vedi, data la tua "avarizia" di parole, ho dovuto integrare un po' il tuo articolo:-)

Separo in altro post la seconda parte.....

La radice quadrata di 2 non può essere un numero razionale!

Pubblico questo post con un sorriso ...
Un nostro nuovo lettore, Cristian, mi ha chiesto in commento: "Perchè non gli DIMOSTRI che la radice di 2 è irrazionale?"
Io, si può vedere la mia risposta, ho espresso le mie perplessità sull'idea di proporre ai ragazzi delle scuole medie una dimostrazione matematica.
Tuttavia... Cristian, e come no, la matematica piace assai anche a me! E ho deciso di accettare il tuo suggerimento, proponendo ai ragazzi ... solo un bel brano da leggere!

« Dimostrazione per assurdo dell'irrazionalità della radice di 2», annunciò Lea con voce argentina, tirando a sé la lavagnetta che Max usava alle elementari.
……
«Supponiamo che esista una frazione a/b il cui quadrato sia uguale a 2 », sussurrò Jonathan, chinandosi verso gli spettatori con aria complice.
«Dunque si avrà a^2/b^2 = 2 », continuò Lea, scrivendo sulla lavagnetta.
« Prendiamo la frazione più piccola, detta irriducibile, che ha questa forma. I suoi termini, a e b, sono primi tra loro, vale a dire che non hanno un divisore comune. »
« Dunque a e b non possono essere tutt'e due pari! » dichiaro Lea.
« E se a^2/b^2 = 2, è ovvio che a^2 = 2*b^2. »
« Dunque a^2 è un numero pari, poiché è uguale a un doppio », annunciò Lea.
Ma che cos'hanno? rifletté Perrette che li fissava, sbigottita.
« Ora, solo il quadrato di un numero pari è pari », li informo Jonathan, lanciando un'occhiata furtiva alla madre.
« Quindi a è pari, insisto », esclamò Lea.
«Quindi a è un doppio, per esempio del numero c», intervenne Jonathan, scrivendo sulla lavagnetta. « Vale a dire a= 2*c. »
« Non così in fretta », protestò il signor Ruche, al quale tuttavia piaceva seguire quel procedimento.
« Torniamo all'uguaglianza iniziale: a^2 = 2*b^2, e proviamo a sostituire a con 2*c. Otteniamo (2*c) ^2 = 2*b^2. Dunque 4*c^2 = 2*b^2 e quindi 2*c^2 = b^2. »
« In cui b^2 è uguale a un doppio... »
« Avete una scrittura da analfabeti, e dire che ho la vista buona », brontolò Ruche.
« Ricomincio daccapo », annunciò Jonathan. « Dunque, se b^2 equivale a un doppio, significa che b è pari. »
« Esattamente come prima. Dunque b è pari, insisto! » intervenne Lea.
« Riprendiamo i tre 'insisto' che scandiscono il ragionamento per assurdo.
Da un lato, a e b non possono essere entrambi numeri pari;
dall'altro, a e b sono tutt'e due pari. Impossibile! Qual è la causa di questa assurdità? » domandò Jonathan, fissando gli ascoltatori con aria inquisitoria.
Vederli appassionarsi a una dimostrazione matematica era un miracolo. Perrette e il signor Ruche si guardarono, come se si volessero chiedere a vicenda: Vede quello che vedo io? Sente quello che sento io?
Lo stupore di quei due adulti entusiasmò Max: era fiero dei gemelli.
«Qual è la causa di questa assurdità?» domandò di nuovo Jonathan.
« La mia ipotesi », confessò Lea, abbassando la testa.
« Ripetila, questa ipotesi fasulla! » ordinò jonathan.
« Esiste una frazione il cui quadrato è pari a 2 », balbettò Lea. « Vediamola! » ruggì Jonathan.
Insieme, presero la forchetta e si misero a battere sul bicchiere, come Max, la sera prima, aveva colpito i vasi pitagorici.
Seguendo un ritmo reggae, intonarono:

Si risolve la questione:
neppur là sul K2
troverai una frazione
che al quadrato faccia due!

Uno scroscio di applausi accolse quel numero inedito: la conclusione a ritmo reggae di una dimostrazione per assurdo!
Allora Lea e Jonathan corsero da Ruche, gridando: « Anche noi, anche noi! » E gli rivolsero la domanda cruciale: «Allora, signor Ruche, acusmatici o matematici? » [ragazzi, ricordate vero...???]
Atteggiandosi a esaminatore pitagorico, lui borbottò: « Memoria, OK. Comprensione delle dimostrazioni, OK. C'è tutto ». Batté Il pugno sul tavolo. « Matematici, non c'è dubbio! »
Consacrati grazie a quella brillante dimostrazione, i due si erano guadagnati un posto oltre il sipario, dove avrebbero potuto, volendo, misurarsi con formule e teoremi, proposizioni e dimostrazioni.

Da Il Teorema del pappagallo - Denis Guedj

grazie Cristian!:-)

I numeri Reali assoluti sulla semiretta numerica

Ragazzi, siamo ora pronti a completare il lavoro di "popolamento" della semiretta dei numeri "trovando il posto" ai numeri irrazionali.

Con la chiocciola delle radici abbiamo imparato a costruire segmenti lunghi RADQ(2), RADQ(3), ...
Avete poi scoperto come riportare tali segmenti sulla nostra semiretta numerica.
Sulla quale finora abbiamo facilmente rappresentato i numeri naturali, quindi tutti i numeri razionali assoluti aiutati dalla loro scrittura sotto forma di frazione (per la costruzione dei grafici si veda anche: Naturali e Razionali)
Una semplice costruzione geometrica permette di rappresentare in modo preciso anche i numeri irrazionali, decimali illimitati non periodici e quindi non scrivibili sotto forma di frazione.
Sul quaderno e alla lavagna abbiamo esemplificato così:

il valore 1,41... è quello della RADQ(2)

La semiretta è ora completa: abbiamo riempito gli spazi.... Abbiamo rappresentato i numeri Reali assoluti.
Possiamo ora dire che: ad ogni punto della semiretta corrisponde un numero reale e ad ogni numero reale corrisponde un punto della semiretta. Si dice che esiste una corrispondenza biunivoca tra punti della semiretta e numeri reali assoluti (ricordiamo che la semiretta diventerà retta, con l'insieme dei Reali relativi, quelli con il segno, + e -).

Il lavoro che ora presento, realizzato con Excel, permette di seguire la rappresentazione di più numeri irrazionali sulla semiretta.
Il file Rappres.graficaNumReali è costituito da tre Fogli di lavoro:
- "guida", in cui si descrive l'obiettivo didattico e l'approccio tradizionale (ragazzi, è spiegato ancora con esempi come ottenere i segmenti della "chiocciola") per ottenere semplici numeri irrazionali;
- "dati_origine" nel quale sono riportate le indicazioni per passare ad Excel;
- "grafico", fornito di indicazioni per l'utilizzo, che permette di interagire per la visualizzazione dei risultati (grafico dinamico).

Buon utilizzo! :-)