domenica 31 agosto 2008

[Contributi] Elementi di Calcolo delle probabilità_2

Dopo il primo, ecco il secondo post di Paolo sul calcolo delle probabilità.

Probabilità di eventi che si presentano in casi egualmente possibili
Se l'evento E si presenta in un certo numero di casi (n), tutti egualmente possibili e, di questi, solo una parte (m) sono favorevoli a E, la probabilità che si presenti l'evento favorevole è data dalla formula:
P(E)=m/n
Più precisamente, la probabilità di un evento è misurata dal rapporto fra il numero dei casi favorevoli all'evento ed il numero dei casi egualmente possibili.

In pratica, se considero l'esempio di un'urna contenente 100 palline di cui metà bianche e metà nere, la probabilità di estrarre una pallina bianca è data dalla formula
P(E)=50/100, ovvero 0,50 che equivale al 50%. Cioè la probabilità di estrarre una pallina bianca è pari al 50%.
Analogamente circa la probabilità di estrarre una pallina nera.

Per contro, se l'urna contenesse 25 palline bianche e 75 nere, la probabilità di estrarre una pallina bianca sarebbe
P(E)=25/100, ovvero 0,25 che equivale al 25%.
In questo caso, la probabilità di estrarre una pallina nera diventerebbe
P(E)=75/100, cioè 75%.

Da questo esempio si possono estrapolare due importanti postulati:
• il primo, già citato, che la probabilità di un evento è sempre compresa fra 0 e 1 con esclusione degli estremi;
• il secondo che la probabilità del NON evento E, ovvero che non si verifichi l'evento, è data dalla differenza 1- P(E);
nel caso esemplificato la probabilità di estrarre una pallina nera è data da 1-25%, appunto 75%.

Il lancio di una moneta rappresenta un altro esempio significativo:
la probabilità che si presenti il lato testa o, viceversa, il lato croce è pari al 50% in quanto vi è un solo evento favorevole su 2 casi egualmente possibili.




Quando si parla di casi egualmente possibili significa che le condizioni in cui i questi si presentano devono essere identiche.
Nell'esempio citato, le palline sono identiche sotto tutti gli aspetti, tranne il colore. Sono quindi perfettamente sferiche, della stessa materia, dello stesso peso e dimensione e così via.
Così pure la moneta deve essere perfettamente equilibrata, avere le facce con rilievo non distinguibile e quant'altro.
Se così non fosse si invaliderebbe il principio di casualità, che sta alla base del calcolo delle probabilità.

E ora un piccolo esercizio (da internet):
Disponi di due urne da cui devi estrarre casualmente una pallina. Quale sceglieresti se il premio si ottiene estraendo il nero?


Grazie Paolo!

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sabato 30 agosto 2008

Curiosità e fascino della successione di Fibonacci_2

Nel precedente post ho minacciato curiosità sequenza continua....
Eccomi!
Ancora da La sezione aurea - Mario Livio
Fibonacci pitagorici
Abbastanza stranamente, i numeri di Fibonacci sono in relazione con i triangoli rettangoli pitagorici, sono collegati alle terne pitagoriche. Queste, come si sa, sono terne di interi tali che, se interpretati come lunghezze, corrispondono ai lati di un triangolo rettangolo (per es. 3, 4 e 5).
Ebbene, scegliamo quattro numeri di Fibonacci qualsiasi, purché consecutivi. Per ipotesi:
1, 2, 3 e 5.
Il prodotto degli estremi (1*5, cioè 5),
il doppio del prodotto dei medi (2 volte 2*3, cioè 2*2*3, cioè 12),
e la somma dei quadrati dei medi (2^2+3^2, ossia 4+9, cioè 13)
formano una terna pitagorica;
infatti, 5^2+12^2=13^2.
Ma non è tutto: il terzo numero della terna, 13, è esso stesso un numero di Fibonacci.
Questa proprietà è stata scoperta dal matematico Charles Raine.
Per qualche altro esempio, come al solito facciamo lavorare Excel


In riga 1 e in riga 6 la sequenza di Fibonacci;
in riga 3 la verifica della proprietà per i quattro consecutivi: 3,5,8,13, con le formule utilizzate, nelle celle sottostanti.
39, 80 e 89 formano una terna pitagorica
(vedi celle H3 e I3).
In riga 8 la verifica per i quattro consecutivi: 8,13,21,34 con le formule nelle celle sottostanti.

272, 546 e 610 formano una terna pitagorica (vedi celle J8 e K8).

Perché proprio 1/89?
Le proprietà dell'universo, dalla grandezza degli atomi a quella delle galassie, sono determinate dai valori di pochi numeri noti come "costanti universali". Tali costanti includono le misure della grandezza delle principali forze della natura: gravitazionale, magnetica, e di due forze attive nei nuclei atomici.
Per es. la forza elettromagnetica attiva tra due elettroni è espressa in fisica come una costante detta "di struttura fine". Il valore di quest'ultima, quasi esattamente pari a 1/137, ha fatto sorgere interrogativi in intere generazioni di fisici.
Una battuta sull'illustre fisico inglese Paul Dirac (1902-1984), uno dei fondatori della meccanica quantistica, racconta che, giunto in paradiso, l'uomo abbia avuto il permesso di rivolgere una sola domanda a Dio in persona e che gli abbia chiesto: "Perché proprio uno su 137?"
Anche la successione di Fibonacci ha i suoi numeri enigmatici.
Per es. il suo undicesimo termine: 89.
In forma decimale, 1/89 è uguale a 0,01123595...
Immaginate di disporre i numeri di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. 21 ... come decimali, nel modo seguente:

In altre parole, scrivendo la cifra delle unità del primo numero di F. al secondo posto, quella del secondo numero al terzo posto, e in generale la cifra delle unità dell'nesimo numero al (n+1)esimo posto. Ebbene, limitandosi agli otto addendi citati, il risultato è 0,01123595..., cioè 1/89. Vedi

Viste queste misteriose e affascinanti caratteristiche dei termini della successione di Fibonacci non stupisce che i matematici fossero ansiosi di trovare una formula maneggevole per calcolare, per qualsiasi valore di n, l'nesimo numero di Fibonacci Fn.
Ne parleremo in un prossimo post!

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[Celebrazioni] Giuseppe Peano

Con qualche giorno di ritardo (da parte mia), segnalato da GRAVITA' ZERO
http://www.gravita-zero.org/2008/08/buon-compleanno-peano.html

Gravità Zero - Corporate blog di divulgazione scientifica: BUON COMPLEANNO, PEANO! via kwout

rimpallo su RUDI MATEMATICI, che pubblica questo interessante articolo

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[Segnalazioni] Novità su RIOLAB

Per i lettori "googlisti" che, ormai frequentemente arrivano su questo blog alla ricerca di informazioni su Excel, segnalo da oggi le pubblicazioni sul sito RIOlab, del gruppo RIO [di cui, forse indegnamente, ma felicemente faccio parte! :-) ]

Per visualizzare l'argomento di interesse è possibile cliccare direttamente sull'immagine il link relativo.

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giovedì 28 agosto 2008

[Contributi] Elementi di Calcolo delle probabilità_1

Ragazzi, nell'ultimo post sulla statistica ho accennato alla probabilità, dicendo che statistica e probabilità costituiscono la matematica dell'incertezza.
Il mio amico Paolo ci regala gentilmente qualche post per introdurci giustappunto alla conoscenza del calcolo delle probabilità.

Eventi casuali e loro probabilità
Un evento casuale, detto anche aleatorio (dal latino alea che vuol dire "gioco di dadi") o stocastico (dal greco stochastikos, stochazesthai, che vuol dire "fare congetture, ipotesi...") è un evento il cui verificarsi dipende dal caso.
Il caso è l'effetto risultante da molteplici cause ignote o poco note.
Per esempio:
• l'estrazione di una pallina bianca da un'urna che contiene anche palline nere rappresenta un evento casuale;
• nel gioco della tombola l'estrazione del numero 10 dal sacchetto che contiene 90 numeri rappresenta un evento casuale;
• come pure evento casuale è l'uscita del lato testa nel lancio di una moneta.


La probabilità che un evento E ha di presentarsi si può indicare con P(E).
Quando l'evento E è certo, è per esempio il caso dell'estrazione di una pallina bianca da un'urna che contiene solo palline bianche, allora P(E)=1,
quando invece è impossibile, non posso estrarre una pallina bianca da un'urna piena di sole palline nere, la probabilità è nulla quindi P(E)=0.
L'evento è quindi possibile quando la probabilità di verificarsi è compresa fra 0 e 1, ovvero quando

Nei prossimi articoli vedremo come si effettuano i calcoli della probabilità del verificarsi di eventi.
Grazie Paolo!:-)

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Curiosità e fascino della successione di Fibonacci

Su questo blog ho citato la successione di Fibonacci in Magica matematica, invitando il lettore a scoprirla con Excel.
Come indicato sul file da scaricare, agendo sulla casella di selezione si visualizza la sequenza. Ecco un'immagine


Ma il fatto che il rapporto tra due termini consecutivi tenda al numero "magico", al rapporto o proporzione aurea, al numero d'oro phi.... [proprietà scoperta nel 1611 (forse ancor prima da un italiano rimasto anonimo) dall'astronomo tedesco Keplero, ma passarono altri cento anni prima che la relazione tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo fosse dimostrata (a anche allora non completamente) dal matematico scozzese Robert Simson (1687-1768) - La sezione aurea, Mario Livio] , non è l'unica particolarità dei numeri di Fibonacci. E' praticamente senza limiti l'elenco delle relazioni matematiche collegate ad essi.
Eccone alcune (ancora da La Sezione aurea).

Il trucco dell'addizione fulminea
Molte persone sono in grado di addizionare mentalmente con particolare rapidità. la sequenza di Fibonacci permette di effettuare un'analoga addizione senza fatica.
La somma dei numeri di Fibonacci dal primo al'nesimo è uguale all'(n + 2)esimo numero meno 1.
Per esempio, i primi dieci (1+1+2+3+5+8+13+21+34+55) sommati danno 143; il dodicesimo numero di Fibonacci è 144.
Allo stesso modo la somma dei primi 78 numeri di Fibonacci sarà uguale all'80° numero meno 1, e così via.
Potete quindi suggerire a qualcuno di scrivere una lunga colonna di numeri
in modo che ogni elemento sia uguale alla somma dei due precedenti (questa la caratteristica della successione di Fibonacci), e poi tirare una linea tra due elementi arbitrari; sarete in grado di calcolare quasi istantaneamente la somma degli elementi sopra la linea (che corrisponderà al secondo elemento sotto la linea , meno 1)
Es. in figura

la somma dei primi 15 numeri è uguale al 17° numero meno 1


Il diabolico undici
Nella tragedia di Shiller I Piccolomini, l'astrologo Seni dichiara: "Undici è il peccato. Undici oltrepassa i Dieci Comandamenti", riecheggiando un'idea che risaliva al Medioevo. Ma la successione di Fibonacci ha una proprietà connessa con il numero 11, che, lungi dall'essere peccaminosa, è invece assai bella.
immaginiamo di sommare i primi dieci numeri di F. : 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 =143. Questa somma è esattamente divisibile per 11: 143/11=13
Lo stesso vale per qualunque decina di numeri di F. consecutivi.
Per es.
55+89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181= 10857. E 10857/11= 987
Esaminando questi due esempi, si può scoprire ancora qualcosa: la somma di dieci numeri di Fibonacci consecutivi è sempre pari a 11 volte il 7° numero del gruppo.

La "quadratura" dei rettangoli
Sommando un numero dispari di prodotti di successivi numeri di Fibonacci, come i tre prodotti:
1*1
1*2
2*3
si ottiene il quadrato dell'ultimo numero di F. dei prodotti in questione.
Nell'esempio: 1 + 2 + 6 = 9 (somma dei tre prodotti). 9 è appunto il quadrato di 3, ultimo numero di F. che compare nei tre prodotti.
Un altro esempio? Proviamo la serie dei sette prodotti
1*1 (1)
1*2 (2)

2*3 (6)

3*5 (15)

5*8 (40)

8*13 (104)

13*21 (273)

Effettivamente la loro somma, 441, è uguale al quadrato di 21, ultimo numero di F. della serie dei prodotti.
Lo stesso accade con 11 prodotti....
L'ho fatto fare a excel:


Questa proprietà può essere rappresentata con grande eleganza in modo geometrico, come in figura:


Il quadrato ABCD ha il lato pari alla dimensione maggiore del rettangolo più grande
Un numero dispari di rettangoli con i lati uguali a una serie di termini della successione di Fibonacci trovano esattamente posto in un quadrato, il cui lato coincide con un lato del rettangolo più grande.

Per il momento ci fermiamo qui. Ma... ci sono anche i Fibonacci pitagorici. Dunque, curiosità sequenza continua....

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martedì 26 agosto 2008

That's Mathematics!

Direttamente dal blog, recentemente scoperto, della brava Stefania


fate clic sull'immagine per continuare a leggere.
grazie Stefania!

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[Non_intrusioni] Le nostre poesie_7

Il nostro amico Pier Luigi Zanata non le ritiene "intrusioni" perciò ecco modificato il tag! :-)
La poesia di Davide


e quella di Stefano

la poesia di Mattia

e quella di Marina

la poesia di AnnaLaura

e quella di Gian Mario (gimmi)

La poesia di Sara

e quella di Maria

Clic sulle immagini per ingrandire. Mi pare ci siano tutti! :-)

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venerdì 22 agosto 2008

Numeri felici

E' da un po' che non propongo delle curiosità matematiche...
L'anno scorso abbiamo scoperto che esistono i numeri amici o amicabili. Ci sono poi i numeri ciclici (vedi box Segnalazioni qui a destra, post di oggi di Maurizio). Ecc...
Ma i numeri possono essere anche ... felici!
Eh sì, basta che raggiungano l'uno, l'unità!
L'unità,
il principio unificatore per Pitagora, generatore di tutti i numeri, il nu­mero della ragione, il numero per eccellenza, "divino".
Ma in che modo un numero per essere felice, raggiunge l'uno?
Definiamo un numero felice:
Un numero si dice felice se sommando i quadrati delle sue cifre e ripetendo la somma dei quadrati per tutti i numeri che si ottengono, alla fine risulta 1.
Cioè:
si prende un numero,
si elevano al quadrato le sue cifre
,
si somma il risultato,
quindi si ripete l'operazione.
Se dopo un certo numero di passaggi si raggiunge 1, il numero di partenza è detto numero felice.
Vediamo qualche esempio:
7 è un numero felice,
perché:
7 -> 7^2 = 49
-> 4^2+9^2= 16+81 = 97
->
->9^2+7^2=81+49 = 130 ->
-> 1^2+3^2+0^2= 1+9+0 =10
-> 1^2+0^2=1+0 = 1
19 è un numero felice.
Infatti:
19 -> 1^2+9^2 = 1+81 = 82->
->8^2+2^2 = 64+4 = 68->
->6^2+8^2 = 36+64 = 100->
->1^2+0^2+0^2 = 1+0+0 = 1

Invece 12 non è un numero felice, perché:

12 -> 1^2+2^2 = 5 ->
->5^2 = 25
->2^2+5^2 = 29 ->
-> 2^2+9^2 = 85 ->
->8^2+5^2 = 89 ->
->8^2+9^2 = 145 ->
-> 1^2+4^2+5^2 = 42 ->
->4^2+2^2 = 20 ->
->2^2+0^2 = 4 ->
-> 4^2 =16 ->
->1^2+6^2 = 37 ->
->3^2+7^2 =58 ->
->5^2+8^2 = 89 e da questo punto in poi il ciclo si ripete.

Infatti:

Se un numero non è felice, la sequenza delle somme dei quadrati delle cifre non ha mai termine, perché si ripete ciclicamente da un certo punto in poi.

I primi numeri felici, inferiori a 100, sono 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100 e tra questi i numeri felici primi sono: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97.

Un po' più felici dei numeri felici isolati, saranno due numeri felici vicini, o meglio consecutivi. Ad esempio 31 e 32.
I primi tre numeri felici consecutivi sono:
1880, 1881 e 1882
.

E i primi cinque numeri felici consecutivi sono:
44488, 44489, 44490, 44491 e 44492.

Io vi ho citato Pitagora, ma ancor di più ci dicono questi versi:
Il cielo raggiunta l’unità diventa chiaro
la terra raggiunta l’unità diventa tranquilla
lo spirito raggiunta l’unità diventa potente
la valle raggiunta l’unità diventa piena
gli esseri raggiunta l’unità diventano viventi

Laotse

E' la soluzione del taoismo al problema della felicità. "È una soluzione che dipende soprattutto dal raggiungimento dell'unità ..."
I versi di Laotse o Lao tzu (o Lao tze) li ho trovati su questa pagina dove si parla dei numeri felici.
Qui,
per ulteriori approfondimenti.

E infine, poteva mancare?
I numeri felici in Excel. La pagina è in inglese ma, se ho capito io... :-)
Ci sono dei file da scaricare.
Qui sotto un'immagine del file Happy Numbers

con la sequenza delle somme dei quadrati delle cifre, per i numeri da 1 a 200.
E qui, l'immagine del file Happy_Numbers_coloured.xls

dove, mediante formattazione condizionale, è stata evidenziata la sequenza delle somme dei quadrati delle cifre, fino ad arrivare al valore 1 nel caso dei numeri felici o fino al suo primo ciclo, nel caso dei numeri non felici.

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giovedì 21 agosto 2008

martedì 19 agosto 2008

[Intrusioni] Le nostre poesie_5

Anche agosto sta per andare...
e io ho ricordato di avere ancora delle belle intrusioni da pubblicare. Prima del rientro devono esserci tutti i miei, ormai sempre meno, piccini!

La poesia di Adriano


e quella di Salvatore

Come sempre, clic per ingrandire.

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martedì 12 agosto 2008

La statistica con Excel_6. Confronto tra media e mediana [aggiornamento]

Molto spesso la media e la mediana presentano valori simili.
Ciò accade in particolare quando il numero di valori al di sotto del valore centrale e quelli al di sopra più o meno si equivalgono.
Vediamo come i valori della media e quello della mediana ci aiutano ad interpretare i risultati di una indagine statistica, quando essi sono diversi tra loro.
Riprendiamo ancora il campione delle altezze dei ragazzi di una classe di scuola media (leggermente modificato rispetto all'esempio già considerato), di cui abbiamo calcolato il valore della media e quello della mediana:


Vediamo anche la rappresentazione di entrambi i valori medi in un diagramma a barre:

La linea rossa indica il valore medio, di 154,12 cm.
La barra blu indica la mediana, ossia il valore centrale delle altezze, il .
La mediana, 155 cm, risulta, seppure di poco, superiore alla media, 154,12 cm.
Come interpretare il confronto tra media e mediana?
Il fatto che la mediana sia un valore superiore alla media aritmetica significa che gli alunni, dal 9° posto compreso in poi, in ordine di altezza, sono più alti della media e quindi il numero di alunni con altezza superiore alla media è maggiore del numero di alunni con altezza inferiore alla media.
La mediana fornisce informazioni sulla distribuzione delle altezze.

Verificate ora sul vostro foglio di lavoro come varia il numero di alunni con altezza superiore o inferiore alla media modificando le altezze degli alunni:
a) come modifichereste le altezze affinché la media aritmetica si abbassi e la mediana resti fissa?
In tal caso, come varia il numero di alunni con altezza superiore alla media? Aumenta, diminuisce, resta pressoché costante? Le altezze degli alunni più alti si discostano maggiormente da quelle degli alunni con altezza inferiore? Fate delle prove e scrivete tutte le vostre osservazioni.
b) come modifichereste invece le altezze in maniera tale da aumentare la media?
Anche in questo caso scrivete di volta in volta le vostre osservazioni sul numero di alunni più o meno alti della media e sulle differenze fra le altezze.

Esamineremo ancora altri esempi di indagini statistiche e confronteremo tra loro i valori della media, della mediana (e anche quelli della moda), e ci renderemo conto di come in generale, le due misure di tendenza centrale non si escludono a vicenda, ma entrambe possono essere utilizzate per descrivere un fenomeno perché forniscono informazioni diverse.
Ciò di cui soprattutto dovremo prendere coscienza è il fatto che la statistica (assieme alla probabilità) costituiscono la matematica dell'incertezza. Ci permettono di misurare il grado di approssimazione o il grado di incertezza con cui esprimiamo un'affermazione.
La statistica si occupa dello studio di fenomeni che riguardano molte persone o cose, cioè si occupa dei fenomeni collettivi.
E' anche possibile, e viene spontaneo, confrontare la propria situazione con quella che emerge da un'indagine statistica e constatare immediatamente che la nostra situazione è del tutto diversa!
Vi ricordo una poesia di Trilussa sulla statistica:
... seconno le statistiche d'adesso
risurta che te tocca un pollo all'anno:

e, se nun entra nelle spese tue
t'entra ne la statistica lo stesso
perché c'è un antro che ne magna due.

Potete ora scaricare il file Statistica_descrittiva.xls

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sabato 9 agosto 2008

La statistica con Excel_5. Indici di posizione. Moda

Sulla media aritmetica e sulla mediana torneremo per metterle a confronto e meglio comprendere le informazioni da esse fornite nell'analisi dei dati statistici.

Conosciamo in questo post il terzo indice di posizione: la moda.
Il termine "moda" voi lo conoscete. Eccome! :-)
"I jeans a vita bassa vanno di moda, prof!"
"ma le bretelle della salopette abbassate [ancora più orribili dei jeans ...!] sono alla moda, prof!"
e così via. Quante volte mi avete detto frasi del genere!:-)
E allora, che cosa c'entra la moda con la statistica?
Béh, il termine moda viene usato in statistica con un significato molto preciso, abbastanza vicino a quello inteso da voi.
Per rispondere alla domanda riprendiamo in esame la tabella delle frequenze assolute dei giudizi della verifica di inglese:


Ci potremmo porre la domanda: qual è il giudizio che più è "andato di moda" in quella verifica?
Sono certa che rispondereste esattamente dicendo che si tratta del Suff.
Ed è proprio così: il giudizio che si presenta con la frequenza maggiore rappresenta il dato statistico moda, nell'analisi dei risultati della verifica.
In generale: la moda è il valore, se esiste, che si ripete con maggiore frequenza.
La precisazione se esiste significa proprio che non sempre esiste un valore che si presenta un numero di volte maggiore rispetto a tutti gli altri. Si dice in tal caso che la distribuzione è senza moda.
Diversamente dalla mediana, che richiede caratteri almeno ordinabili,
e dalla media, che può essere calcolata soltanto su variabili quantitative,
la moda può essere calcolata per qualunque tipo di carattere
, anche per caratteri qualitativi non ordinabili (la terminologia esatta per questi ultimi è: caratteri o variabili qualitative sconnesse).
Come si calcola la moda in Excel?
Esiste la funzione MODA().
Ma stavolta con qualche limite: si può utilizzare la funzione solo per valori numerici e non per valori di testo.
Moda() restituisce il valore più ricorrente di una matrice o di un intervallo di dati.

Sintassi

MODA(num1;num2;...)

Num1; num2;... sono da 1 a 30 argomenti di cui si desidera calcolare la moda. È anche possibile utilizzare un'unica matrice o un riferimento a una matrice anziché argomenti separati dal punto e virgola (come per altre funzioni ....)
Ancora dalla Guida in linea di Excel:

Osservazioni

  • Gli argomenti devono essere numeri, nomi, matrici o riferimenti che contengono numeri.
  • Se una matrice o un riferimento contiene testo, valori logici o celle vuote, tali valori verranno ignorati. Le celle contenenti il valore zero verranno invece incluse nel calcolo.
  • Se l'insieme dei dati non contiene valori ripetuti, MODA restituirà il valore di errore #N/D.
Per questi motivi nel nostro esempio, giudizi della verifica, non possiamo sfruttare la funzione Moda riferendoci all'intervallo B2:B21.
Ma possiamo calcolare la moda ricorrendo ad altre funzioni e formule:
Una delle funzioni è la funzione MAX()
la quale, restituisce il valore massimo, il maggiore dunque, di un insieme di valori.

Sintassi

MAX(num1;num2;...)

Num1; num2;... sono da 1 a 30 numeri tra cui si desidera individuare il valore massimo.

Osservate la figura (clic per ingrandire):
Poiché la moda è il valore che si ripete con maggiore frequenza,
in cella E2, è stata immessa la formula:
=MAX(D2:D6)
che restituisce il valore 7, la frequenza maggiore.
Per sapere a quale giudizio è riferito tale valore, quindi nella nostra analisi conoscere la moda, in cella F2 è immessa la formula:
=INDICE(C2:C6;CONFRONTA(E2;D2:D6;0))
che restituisce il valore S (suff)
Quest'ultima formula per ora è un po' più complessa per voi ragazzi, la esamineremo insieme un po' più avanti.
Per i lettori interessati, a disposizione per eventuali chiarimenti.

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giovedì 7 agosto 2008

La statistica con Excel_4. Indici di posizione. Mediana

E ora ... tutti in fila!
Oggi dobbiamo vedere il secondo degli indici o valori statistici di posizione presentati nel post precedente: la mediana
Riconsideriamo i dati relativi all'altezza degli alunni di una classe, di cui abbiamo calcolato la statura media.
Immaginiamo che l'insegnante di Ed Fisica, durante la lezione per gruppi, voglia mettere in fila un gruppo di 9 di quei ragazzi, in ordine di statura.
Non ci sono difficoltà: le stature si possono confrontare anche a occhio, si può stabilire chi è più basso, chi più alto, chi sta nel mezzo. Potrebbero anche esserci due ragazzi con la stessa statura e in tal caso si disporranno uno vicino all'altro, in ordine qualsiasi.


Ma avendo a disposizione, come noi abbiamo, la tabella delle altezze, l'ordinamento è quanto mai semplice in quanto, come già detto, i valori delle altezze sono dati quantitativi.
Consideriamo dunque il gruppo costituito dai primi 9 alunni in elenco

Facciamo fare a Excel l'ordinamento in ordine di statura crescente (il programma fa anche questo: chi ricorda cosa vi ho detto che Excel, unicamente, non sa fare? :-))
Affinché excel esegua l'ordinamento noi dobbiamo istruirlo. Così:
1) Selezioniamo le tre colonne della tabella, comprese le intestazioni
2) Andiamo sul menu Dati
3) Scegliamo il comando: Ordina
4) nella finestra Ordina:
nel campo Ordina per, scegliamo: Altezza
selezioniamo l'opzione: Crescente
premiamo il pulsante OK
vedi figura:

Ed ecco il nostro elenco ordinato:

Ora osserviamo la tabella:
i valori sono in numero di 9, in ordine crescente;
il valore al centro è il 5°: l'altezza di Lucia, che è di 154 cm;
4 valori precedono il valore della statura di Lucia e 4 valori lo seguono.
Tale valore centrale, 154, è la mediana (o valore mediano) della distribuzione.

Per determinare la posizione della mediana si può eseguire un breve calcolo:
9 sono gli elementi del gruppo,
la piccola espressione:
(9+1) : 2 = 5
ci indica che la mediana sta in quinta posizione.
In generale, se n è il numero di unità dell'insieme (9 nel nostro esempio), individuiamo il posto occupato nella distribuzione dal valore mediano con:
(n +1) : 2
Questo calcolo funziona bene ogni volta che l'insieme è formato da un numero dispari di elementi.
Se invece gli elementi dell'insieme sono in numero pari, allora non esiste un elemento centrale.
Vediamo:
consideriamo un insieme di 10 alunni;
applicando la formula avremmo:
(10+1) : 2 = 5,5
la mediana sta tra la quinta e la sesta posizione
Diremo quindi che i valori centrali sono 2. La mediana viene stabilita sommando i 2 elementi centrali e dividendo per 2. Vedi:

Riepilogando dunque, nella terminologia statistica:
La mediana di un insieme di valori ordinati è il valore centrale, cioè il valore che ha lo stesso numero di elementi che lo precedono e che lo seguono.
Se l'insieme è formato da un numero pari di elementi, i valori centrali sono 2 e la mediana è la loro semisomma.
Ricordiamo ancora che la mediana esiste, solo se il carattere esaminato è di tipo quantitativo, oppure se esso è di tipo qualitativo ordinabile.
[Aggiornamento] Imperdonabile dimenticanza: non vi ho detto la cosa più importante! :-)
Excel, e come no, ha la funzione specifica per il calcolo della mediana!
Manco a dirlo, la funzione si chiama MEDIANA()
e, restituisce la mediana dei numeri specificati in un dato intervallo
Sintassi

MEDIANA(num1;num2;...)

Num1; num2;... sono da 1 a 30 numeri di cui si desidera calcolare la mediana.
- Nel nostro esempio, nel caso del gruppo di 9 alunni, l'elenco ORDINATO, in una cella immettiamo la formula:
=MEDIANA(C2:C10)
ci sarà restituito il valore: 154
Nel caso del gruppo da 10 alunni, la formula:
=MEDIANA(C2:C11)
ci restituirà il valore: 152,5
Lavoriamo o no con Excel? :-)

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martedì 5 agosto 2008

La statistica con Excel_3. Indici di posizione. Media aritmetica

L'elaborazione dei dati di una indagine statistica, oltre al calcolo delle frequenze, prevede il calcolo di altri valori, altri dati, che forniscono interessanti informazioni sull'indagine che si sta conducendo e permettono di confrontarla con indagini analoghe osservate in tempi o in luoghi diversi.
Sono i valori così detti di posizione (o indici di posizione) o anche valori medi o valori centrali (ci spieghiamo subito il perché...).
Gli indici di posizione più usati sono:
* la media aritmetica
* la mediana

* la moda

Nella nostra indagine sui giudizi ottenuti dagli alunni nella verifica di Inglese, lo abbiamo detto, abbiamo a che fare con un'osservazione statistica di carattere qualitativo; i giudizi indicano cioè una qualità e non una quantità. I voti, espressi con i numeri, sarebbero caratteri quantitativi.
Fra i valori medi elencati, la media aritmetica può essere calcolata solo su caratteri quantitativi.
La mediana, si può calcolare anche su caratteri qualitativi,
ma solo se questi sono ordinabili, cioè si possano ordinare in senso crescente o decrescente.
Nel nostro esempio potremmo ordinare i giudizi in senso crescente, dal Non suff all'Ottimo.
La moda invece, può essere calcolata su qualsiasi tipo di carattere, sia qualitativo che quantitativo.
Per questi motivi, per lo studio dei valori medi è preferibile dunque prendere in esame un'indagine statistica di carattere quantitativo.

Immaginiamo di avere a disposizione i dati relativi all'altezza, di un campione costituito dagli alunni di una classe di scuola media (noi potremmo raccogliere i dati relativi alle nostre classi). Compiliamo una tabella come la seguente:


Desideriamo conoscere la statura media dei ragazzi della classe.
Ci aiuta giusto il calcolo della media aritmetica.
Ragazzi, lo sapete già fare, è vero?
Ricordiamo.
Per calcolare la media aritmetica di un insieme di valori
:
1) si calcola la somma dei valori;
2) si conta il numero di elementi dell'insieme;
3) si divide la somma per il numero di elementi dell'insieme.
Come possiamo fare in Excel?
In una cella, scegliamo la F2, immettiamo la formula: =SOMMA(C2:C17)
In F3 la formula: =CONTA.NUMERI(C2:C17) (abbiamo visto la funzione CONTA.NUMERI() nel precedente post)
In F4, la formula: =F2/F3
Però ... Excel ha già la funzione bell'e pronta! qual è il suo nome? ma MEDIA() !
Che restituisce la media aritmetica degli argomenti
La sintassi è semplice:

MEDIA(num1;num2;...)

Num1; num2;... sono da 1 a 30 argomenti numerici di cui si desidera calcolare la media.

Possiamo dunque confrontare il nostro risultato calcolato con formule con quello calcolato utilizzando MEDIA().
Suggerisco come al solito di riprodurre l'esercizio su un foglio di lavoro. Osserviamo la figura (clic per ingrandirla):

La statura media dei ragazzi è dunque di 153, 5 cm, 1 metro e 535 millimetri (diremmo più praticamente 1 e 53! arrotondando per difetto).
Per stavolta ci fermiamo qui. Continua....
[Aggiornamento]
Qui, la media ponderata.

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domenica 3 agosto 2008

La statistica con Excel_2. Tutoriale creazione istogramma frequenze

Come anticipato nel precedente post, vediamo ora come

rappresentare graficamente la tabella di frequenza.

Allo scopo ho voluto creare un tutoriale che guida passo a passo alla creazione dell'istogramma delle frequenze assolute, riferendoci al foglio di lavoro realizzato nella precedente attività.
Per scaricare il tutoriale, è un file.exe, clic qui.
E' il mio primo tutoriale realizzato con il software Wink, grazie alla segnalazione di Daniele, che mi ha ricordato ... di conoscere il software stesso! :-)
Ecco come la comunicazione e condivisione in rete ci arricchiscono!
grazie Daniele.

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venerdì 1 agosto 2008

La statistica con Excel

Ragazzi (e lettori interessati, viste le chiavi di ricerca...),
propongo qui la prima di una serie di esercitazioni sull'uso di Excel per la statistica.

Prendiamo come esempio un campione costituito dai voti (giudizi) ottenuti dagli alunni di una classe in una verifica di Inglese.
Compilazione della tabella dei dati.
L'insegnante ha svolto una verifica, ottenendo i risultati che vedi in figura (immettili anche tu in un foglio di lavoro, poi segui passo a passo tutte le fasi del lavoro, completando via via)


Digita, come in figura, le intestazioni di colonna; in cella A1: Alunno (n° progressivo o se vuoi, i nomi) e in B1: Voto verifica, quindi i dati. Salva il foglio con il nome Statistica.
Frequenza assoluta e Frequenza relativa
Siamo curiosi di verificare quanti alunni hanno avuto
Buono, quanti Suff, Distinto ecc ?
Questa informazione si chiama frequenza.
La frequenza è il numero di unità statistiche (elementi dell'insieme oggetto di indagine statistica, insieme chiamato popolazione statistica), che presentano il carattere secondo una data modalità. Vale a dire il numero di casi osservati per una data modalità, della grandezza considerata, nel nostro caso, il voto della verifica.
La frequenza così intesa , si chiama frequenza assoluta.
Per calcolare la frequenza dobbiamo dapprima immettere in una colonna le classi dei dati, cioè l'elenco dei valori possibili, NS (non suff), S (suff), B (buono), D (distinto), O (ottimo).
Aggiungi le classi dei dati come in figura, in colonna C

Per determinare la frequenza assoluta ci serviamo della funzione CONTA.SE() (una delle funzioni che in Excel troviamo nella categoria Statistiche), che in questo blog abbiamo già incontrato .
In cella D1 immetti l'intestazione: Frequenza assoluta
In cella D2 immetti la formula:

Stiamo istruendo il programma: calcola nell'intervallo B2:B21, il numero di celle che contengono il dato contenuto in cella C2.
Utilizziamo per l'intervallo dei dati i riferimenti assoluti, per riferirci al medesimo intervallo (B2:B21), variando il criterio, in cella C2, riferimento relativo.
Dopo aver immesso la formula, selezionata la cella D2, posiziona il puntatore del mouse sul quadratino di riempimento e trascinalo fino alla cella D6 (stai copiando la formula lungo la colonna). L'indirizzo C2, verrà man mano modificato in C3, C4 ecc. Ottieni i valori come in figura:

Ora sai dunque che 2 alunni hanno preso il voto NS, 7 alunni la sufficienza, S, ecc.

Nelle indagini statistiche è utile tuttavia determinare la frequenza relativa.
La frequenza relativa è il rapporto tra la frequenza assoluta degli elementi che presentano una determinata modalità del carattere di interesse e il totale degli elementi da analizzare.
Nel nostro esempio, volendo confrontare i voti relativi a 2 classi con diverso numero di alunni, non potremmo dire "quale classe è più o meno brava" basandoci solo sulle frequenze assolute.
Dobbiamo considerare cioè il numero dei Buono o dei Distinto, sul totale del numero di voti, che corrisponde al numero di alunni.
Il semplice rapporto tra una frequenza e il totale delle unità statistiche considerate ci dà le frequenze relative unitarie.
Possiamo anche esprimerle in percentuale (frequenze relative percentuali).
Per il calcolo della frequenza relativa si può determinare (quando necessario, nel nostro esempio abbiamo un numero limitato di elementi da analizzare e in più è conosciuto!), la dimensione del campione mediante le funzioni CONTA.NUMERI() o CONTA.VALORI().
CONTA.NUMERI() calcola il numero di celle totali che non siano vuote e che contengano valori numerici.
La sintassi
è semplice:

CONTA.NUMERI(val1;val2;...)
Val1; val2; ... sono da 1 a 30 argomenti che possono contenere dati di diverso tipo, di cui vengono contati soltanto i numeri.

Nel nostro esempio non abbiamo valori numerici, i voti sono espressi mediante giudizi sintetici, che esprimono un carattere qualitativo perciò utilizziamo la funzione CONTA.VALORI().
Questa funzione calcola il numero di celle totali che non siano vuote e di valori presenti nell'elenco degli argomenti.
E' idonea al calcolo della dimensione dei campioni che contengano variabili qualitative.
Sintassi

CONTA.VALORI(val1;val2;...)

Val1; val2; ... sono da 1 a 30 argomenti che rappresentano i valori che si desidera contare.

Aggiungiamo dunque ancora una colonna alla nostra tabella, con intestazione: Frequenza relativa.
In cella E2 immetti la formula:

Istruiamo
il programma: calcola il quoziente (il rapporto) tra la frequenza assoluta e il numero totale di unità statistiche, i valori presenti nell'intervallo B2: B21.
Anche qui usiamo i riferimenti assoluti (intervallo dati) e relativi.
Copia la formula lungo la colonna E fino a E6.
Applica alla cella il formato: percentuale [Menu Formato, Celle... Scheda Numero, scegli Categoria: percentuale]
Ottieni i dati come in figura:

Nella cella D7 immetti la formula:
=SOMMA(D2:D6)
da trascinare orizzontalmente in E7.
Al prossimo post vedremo come rappresentare graficamente la tabella di frequenza.

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