La soluzione all’enigma è stata data da Dario nei commenti.
Due poligoni simili non possono sovrapporsi in maniera tale che l’ingrandimento copra perfettamente il poligono più piccolo solo se si tratta di poligoni concavi (QUI e QUI).
E’ necessario, come ben afferma Dario, che su due vertici consecutivi l'angolo interno del poligono sia maggiore di 180 gradi, vale a dire tre rette passanti alternativamente su altrettanti lati suddividono il poligono in due parti ciascuna delle quali si trova su due distinti semipiani.
La condizione non è tuttavia sufficiente. Influisce anche l’ampiezza degli angoli consecutivi a quelli della concavità, come dimostrano le figure seguenti.
In questa il poligono A’ copre perfettamente il poligono simile A. - Cliccando sull’immagine si può aprire l’applet GeoGebra, verificare e provare a modificare le costruzioni.
In quest’altro caso invece non è possibile coprire il poligono B con quello simile B’.
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:-) Grazie per la citazione. Il premio in gettoni d'oro mi arriva a casa?
RispondiEliminaUhm... sull'immagine hai evidenziato l'angolo, ma non credo che sia proprio l'angolo a determinare la differenza tra il primo e il secondo caso. Nel primo caso il poligono piccolo non sarebbe comunque possibile nasconderlo con quello grosso se fosse un pochino piu' grande.
Parimenti, nel secondo caso se il poligono piccolo fosse piu' piccolo (in modo da essere contenuto ad esempio nel "triangolone" di sinistra, sarebbe "nascondibile"...
Ciao Gio, e chi avrebbe mai pensato a dei poligoni concavi!!
RispondiEliminaVa beh, sarà per la prossima volta. Speriamo che l'enigma sia più semplice, del tipo: Quanti erano i sette Re di Roma?
Io a questo saprei rispondere. Detto in confidenza... la risposta me l'hanno suggerita ;-)
Ciao Paolo
Dario,
RispondiEliminaper il premio... c'è un amico che mette in palio barattoli di nutella, sempre virtuali naturalmente! Potrei al max fare così anche io :-))
E, uhm.... lo so!
Apposta ho messo l'applet! Per incentivare la ricerca della proprietà...se ce n'è una! Io ho detto solo che l'angolo era "influente" :-) (anche se con ingrandimento di rapporto maggiore, l'angolo resta "quello" :-)
Insomma, tu sei bravo con le dimostrazioni! ;-)
Paoloo!
RispondiEliminaSu su... ti aspetto alla prox! :-)
salutoneee
Vada per la nutella virtuale, che fa ingrassare solo virtualmente!
RispondiElimina:-)
RispondiEliminaBarattolone Nutella a Dario!!!
ps: nel frattempo ho fatto qualche prova con ingrandimento del poli con 45°, in rapporti appena appena più grandi di 1 e... al momento il grande ricopre sempre!
... ma, acci... fra qualche giorno ho scrutini e... una barca di cose da completare! :-(
e sono negligente :-)
Che dire di questa soluzione!?:
RispondiEliminaPerche' il poligono grosso copra completamente quello piccolo bisogna che il cerchio circoscritto piu' piccolo del poligono piccolo sia piu' piccolo del cerchio inscritto piu' grosso del poligono grosso...
?
Cioe', sto cercando un meccanismo per specificare che l'area in cui viene "deposto" il poligono piccolo sia completamente contenuta nella parte interna del poligono grosso...
O, c'è proprio da studiarci su.
RispondiEliminaCerchio circoscritto forse ma, inscritto?? (nel senso rigoroso del termine, ma forse intendi non proprio così ..)
Ora adempio a qualche dovere, così mi sento a posto con la coscienza, poi indago!!!
grazie, Da' :-)
Uhm... il cerchio inscritto in un triangolo e' quello che ha centro nell'incrocio delle bisettrici (uhmm.... incentro?) ed e' tangente ai lati. In un poligono irregolare credo che non ci sia una definizione.
RispondiEliminaDel resto anche il concetto di cerchio ciroscritto soffre dello stesso problema.
Dunque, io intendevo con cerchio circoscritto il cerchio di raggio minore possibile che contenga interamente il poligono (o, in altre parole, i punti interni del poligono sono interni anche al cerchio). Con cerchio inscritto invece intendevo il cerchio di raggio maggiore possibile che sia interamente contenuto nel poligono (o, in altre parole, i punti interni del cerchio sono interni anche al poligono).
Cosi' va meglio?
Ue'! Pistina con ste definizioni, eh?
In ogni caso credo che la mia proposta non sia valida.
RispondiEliminaO meglio, se i due poligono hanno quelle caratteristiche allora il grande copre il piccolo.
Pero' non e' vero il contrario, cioe' se il grande copre il piccolo non e' mica detto che il cerchio inscritto nel grande sia piu' grosso del cerchio circoscritto del piu' piccolo. Nel caso dei poligoni rosa che hai disegnato tu, ad esempio, la proprieta' non e' verificata, eppure il grosso copre il piccolo.
Eh, credo proprio che la strada non sia percorribile.
RispondiEliminaBene ciò che dici sui triangoli, incentro=centro cerchio inscritto e circocentro=centro cerchio circoscritto. Circocentro = punto incontro assi dei lati.
Un poligono qualsiasi anche irregolare si può inscrivere in una circonf solo se gli assi dei suoi lati si incontrano in unico punto, circocentro.
e si può circoscrivere a una circonf. se le bisettrici degli angoli si incontrano in unico punto, incentro appunto.
Un poligono concavo non possiede tali proprietà.
...io non so se ci sia una legge che regola "l'enigma dei polig simili concavi" :-)
Mah... sai... sono piuttosto anarchico e quindi rifuggo le definizioni rigide ;-)
RispondiEliminaComunque mi sono spiegato, no? In un poligono ci si possono mettere tanti cerchi, be', pigliamo il piu' grande di questi: quello e' quello che ho chiamato impropriamente cerchio inscritto. Analogamente per quello impropriamente chiamato circoscritto.
Cosa intendi per "non so se ci sia una legge..."? Che non sai se esiste o non sai se mai alcuno l'abbia formulata? Che' nel secondo caso potremmo provarci, diventando cosi' i pionieri dei poligoni simili sovrapponibili....
ah, impropriamente...
RispondiEliminapoiché parlavi di incentro eccc. pensavo intendessi propriamente :-)
Comunque:
non so se mai alcuno abbia formulato legge... !
E, io non credo di essere capace di pionierismo.
Ma tu, dài, sì! :-)
E' che nel posto dove lavoro siamo abbastanza in crisi, quindi e' difficile guardare al futuro.
RispondiEliminaPero' c'e' un progetto (chissa' se mai comincera'!) che mi vede protagonista in cui questi argomenti sono molto coinvolti.
Mi e' stato richiesto di valutare (ed eventualmente di implementare) un algoritmo di nesting.
Da quel che ho trovato finora (poco, in realta' non mi ci sono - ancora - applicato a fondo) sembrerebbe un problema irrisolvibile se non elencando tutte le possibilita'. Pero' credo che, come spesso accade in questi casi ci potrebbero essere delle considerazioni per l'implementazione di un software che, se non la migliore, trova in tempi ragionevoli una soluzione "abbastanza buona", oppure che aiuti l'utente nella ricerca di quella migliore.
Il problema e' questo (schematizzando):
Abbiamo dei fogli di carta rettangolari (le lunghezze dei lati sono prefissate). Ritagliandoli, dobbiamo ottenere un certo numero di forme poligonali (i poligoni e le loro dimensioni sono dati). Dobbiamo "disporre" le forme sui fogli in modo che, ritagliandole, utilizziamo il numero minore di fogli.
C'e' anche un problema un poco piu' complicato, che invece prevede le lunghezze dei lati dei fogli variabili. Si tratterebbe di trovare le dimensioni piu' convenienti, entro certi limiti, tali che la quantita' di "residuo" (cioe' di carta non utilizzata per ottenere i poligoni, sia il minimo possibile, con il minimo numero di fogli di dimensioni variabili.
Bel casino eh?
Be', 'sti accrocchi a me piacciono molto. Resterei anni a studiare la soluzione su internet e sui libri. Peccato che, come spesso accade per le cose interessanti, non se ne fara' nulla.
uuh... interessante decisamente!
RispondiEliminaproblemi di angoli e tenendo presente l'obiettivo, tassellazioni ?
....buttata lì sui due piedi però eh...? :-)
insomma, mi aggiornerai! Speriamo!
be'... non e' proprio una tassellatura ma quasi.
RispondiEliminaLa differenza e' che in genere per una tassellatura si intende lo spazio (infinito, qui parliamo di rettangoli, ma pazienza) che viene suddiviso con la ripetizione di uno o piu' poligoni. Non c'e' residuo.
Nel mio caso invece ho un insieme di poligoni tutti potenzialmente diversi tra loro e devo stabilire come disporli (cioe come applicare loro una rototraslazione) in modo da occupare meno spazio possibile (il che e' gia' una semplificazione, perche' lo spazio occupato deve essere uno o piu' rettangoli).
L'applicazione pratica nostra (e immagino che ce ne siano anche molte altre) e' che dobbiamo ritagliare dei fogli di lamiera per ottenere dei pezzi della forma e dimensione richieste dal cliente. Ogni pezzo e' unico (possono essercene anche piu' uguali, ma questa non e' la regola). Abbiamo a disposizione fogli di lamiera di diverse pezzature, e abbiamo anche la possibilita' di reperire fogli di lamiera di pezzatura personalizzata (sempre rettangolari). Per ottimizzare i costi bisogna ritagliare tutti i pezzi di lamiera utilizzando il minor numero di fogli, e utilizzando i fogli di dimensione inferiore possibile (cioe' riducendo la quantita' di sfridi residui.
E' piu' o meno lo stesso problema che ha la sarta quando deve ritagliare il tessuto a partire dalle forme del cartamodello. Ovviamente vorra' avere il minimo sfrido possibile, perche' lo paga anche quello, anche se finira' nel bidone della spazzatura.
Infatti, tassellature per modo di dire. Ma proprio per il fatto che con queste non c'è residuo. Certo con poligoni vari, il caso è più complicato.
RispondiEliminaMi viene in mente che un problema del genere era stato segnalato tempo fa sul news group di Excel. Proverò a fare una ricerca, se ritrovo il thread...