giovedì 30 aprile 2009

Buon compleanno, Gauss!

Stavolta il mio amico Paolo ci fa un regalo direi ... ad hoc!
Possiamo festeggiare con il suo articolo il 232esimo anniversario della nascita di uno tra i più importanti matematici della storia:
____________Carl Friedrich Gauss
(Brunswick, 30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855)

Eclettico matematico, fisico, astronomo e geodeta tedesco, è considerato uno dei più grandi geni scientifici di tutti i tempi.
Nato da genitori di modeste condizioni, fin da giovanissimo dimostrò un'eccezionale capacità aritmetica. Già a soli tre anni era in grado di leggere e scrivere qualcosa. Fra i vari aneddoti che lo riguardano, si racconta che all'età di 10 anni avrebbe risolto in pochi minuti il problema di trovare la somma dei numeri interi da 1 a 100, scoprendo di fatto la formula per calcolare la somma di un numero finito di termini di una progressione aritmetica: $S_{n}= \frac{ a_{1}+a_{n} }{ 2} *n$
( sul blog: QUI e QUI)
Di fronte a tanta perspicacia, il suo professore lo raccomandò al duca di Brunswick il quale gli concesse protezione ed aiuto economico, consentendogli di portare a termine gli studi secondari e quelli universitari.
L'investimento del duca produsse frutti fecondi, tanto che già nel 1799, a soli 22 anni, Gauss pubblicò la sua prima opera sul Teorema fondamentale dell'algebra o teorema di d'Alembert, consistente in una rigorosa dimostrazione che ogni equazione algebrica ha almeno una radice.
Due anni dopo (1801), ritornato a Brunswick, pubblicò l'opera monumentale della sua giovinezza: le Disquisitiones aritmeticae, il primo trattato moderno ed uno dei contributi più importanti sulla teoria dei numeri, che gli procurò di colpo un posto eminente nel mondo scientifico.
In quest'opera Gauss trattò alcuni concetti fondamentali della matematica, fra i quali la "teoria dei numeri complessi" (o immaginari), la "teoria delle congruenze" (vedi i numeri dell'orologio) ed una dimostrazione della "legge di reciprocità dei residui quadratici".
La teoria delle congruenze poteva, e può tuttora, essere applicata a molteplici campi; in termini "moderni", l'esempio dei "numeri dell'orologio" valga per tutti.
La congruenza è una relazione di equivalenza tra numeri, l'esempio dell'orologio è senz'altro significativo [è l'aritmetica modulare, quella che abbiamo chiamato proprio dell'orologio]
Gauss, tra il 1801 e il 1806 applicò il metodo dei minimi quadrati, da lui ideato quando aveva appena 17 anni, al calcolo delle orbite di piccoli pianeti appena allora scoperti (Cerere, Pallade, Giunone) ed allo studio di comete apparse in quegli anni. Quando gli fu chiesto come avesse fatto ad effettuare i calcoli con tale precisione, egli rispose che aveva usato i logaritmi; allora il suo interlocutore obiettò che non esistevano tavole di logaritmi così grandi, egli ribatté che li aveva calcolati mentalmente!
I suoi studi astronomici gli valsero la nomina a direttore dell'osservatorio di Gottinga ed a professore di astronomia in quella Università (1807), cariche che ricoprì fino alla morte.
Questa passione lo pervase negli anni successivi, durante i quali pubblicò varie opere: nel 1809 il grande trattato Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium e nel 1813 la Memoria sulle perturbazioni secolari dei pianeti, contenente, quest'ultima, una teoria completa del moto dei corpi del sistema solare.

Gauss era un calcolatore prodigioso, tanto che, si dice, si divertiva a trovare mentalmente i numeri primi in un intervallo di mille numeri e in tempi brevissimi, cosa che, ad un "normale" matematico, richiedeva alcune ore di lavoro.

Applicò le sue teorie matematiche anche alla statistica; in questo campo il suo lavoro più importante fu la scoperta della variabile casuale normale espressa nella cosiddetta curva gaussiana. Essa, presa una serie di misurazioni, descrive il comportamento e l'entità degli errori di misurazione. La variabile normale è sicuramente una delle più importanti variabili casuali, ed è estremamente diffusa in statistica.

Per molti anni, servendosi di nuovi ingegnosi strumenti di misurazione (eliotropio) ed applicando le teorie matematiche che aveva personalmente sviluppato (fra i quali il metodo dei minimi quadrati), si occupò di misurazioni geodetiche (misura del grado del meridiano danese, misura dell'arco di meridiano tra Gottinga e Altona).
Anche in questa attività si rivelò geniale in quanto elaborò nuove teorie sulla rappresentazione cartografica in piano di superfici curve, nel 1822 la teoria della rappresentazione conforme delle superfici (delle rappresentazioni cioè che non alterano gli angoli) e, nel 1828, quella della geometria intrinseca (le superfici sono veli sottilissimi, che si possono curvare e deformare a piacere senza però deformarsi) che prese il nome di curvatura totale o di Gauss (Disquisitiones generales circa superficies curvas).
Non pago di tanto ingegno, in seguito (1830) si occupò di ricerche nei campi della meccanica (Principia generalia theoriae figurae fiuidorum in statu aequilibri) e del magnetismo terrestre; questi studi furono condotti in collaborazione con il fisico tedesco W.Weber e portarono alla formulazione di nuove leggi sull'elettricità e sull'elettromagnetismo, insieme costruirono anche un primitivo telegrafo elettromagnetico. Fu proprio grazie a questi studi che, più tardi (1836) il fisico tedesco C.A.Steinheil ed il fisico italiano C.Matteucci poterono sviluppare e realizzare il telegrafo che tutti conosciamo.
Fondò un osservatorio magnetico (1833), in cui ebbe parte attiva nelle misurazioni inerenti alla declinazione magnetica. È del 1836 la memoria Erdmagnetismus und Magnetometer, del 1837 l'invenzione di un magnetometro bifilare, del 1839 la memoria Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus.
A questo proposito pubblicò un atlante sul magnetismo terrestre quasi a coronamento di così lunga e appassionata attività, i teoremi generali relativi alle azioni fra poli magnetici, tra i quali le proposizioni fondamentali della teoria del potenziale, legati al suo nome.
Si vedano qui alcune curiose applicazioni delle teorie di Gauss sul magnetismo.
Si occupò anche di diottrica, progettando un doppio obiettivo acromatico, ideando e facendo realizzare particolari tipi di oculari e pubblicando (1840) le Dioptrische Untersuchungen, ove sono raccolti i risultati da lui ottenuti in questo campo.

Gauss era profondamente convinto che fosse meglio puntare sulla qualità piuttosto che sulla quantità, inoltre, temeva le «stridi dei beoti » (come egli scrisse in una lettera al matematico ed astronomo tedesco F. W. Bessel), cioè le critiche degli avversari filosofi e dei sostenitori della cultura tradizionale, di conseguenza rinunciò in vita a divulgare alcune sue intuizioni perché ritenute incomplete. Alcuni esempi emersi dai sui taccuini trattano di variabili complesse, di geometrie non euclidee, fondamenti matematici della fisica e altro ancora.... Tutte cose affrontate dai matematici dei secoli successivi.

Egli ebbe anche l'idea di applicare il suo ingegno all'economia, questa volta non per soli e nobili fini scientifici bensì personali. Infatti, si dedicò ad uno studio accurato dei mercati finanziari guadagnando, si dice, una fortuna personale considerevole.
Morì a Gottinga nel 1855 non prima di aver passato il testimone ad un suo geniale allievo: Georg Bernhard Riemann.
Gauss ha lasciato un'impronta indelebile nel pensiero scientifico, molte sue intuizioni sono tuttora il fondamento di moderne teorie.
La sua grandezza è stata ricordata ed immortalata in alcuni simboli del vivere comune.
Nelle banconote da 10 marchi tedeschi:

In diverse emissioni di francobolli:



Conclusioni.
Si ricordano alcuni dei numerosi risultati che portano il nome di Gauss.
Approssimazioni (o condizioni, o limitazioni) di Gauss - Nell'ottica geometrica, sono le condizioni cui deve obbedire un sistema ottico centrato perché esso risulti stigmatico e ortoscopico.
Curva di Gauss (o anche curva degli errori, degli errori accidentali, o delle probabilità).
Indicatore di Gauss (o di Eulero-G.) - La funzioni aritmetica ɸ(n).
Integrale di Gauss - Portano questo nome due integrali di natura diversa.
Interi di Gauss - Sono i numeri complessi a + ib, con la parte reale a e il coefficiente dell'immaginario, b, interi. Insieme di numeri che gode delle proprietà formali dell'insieme dei numeri interi.
Lemma di Gauss (detto anche lemma di Green). - Nel calcolo integrale, formula di corrente impiego per la trasformazione di un integrale, esteso ad una superficie piana σ, in un integrale esteso al suo contorno s.
Metodo di misurazione di Gauss - II metodo ottico di misurazione «del cannocchiale e scala», detto comunemente di Poggendorff, è detto da taluni di Gauss,
Metodo di Gauss della doppia pesata- Bilance per la misurazione di masse e di pesi.
Metodo magnetometrico di Gauss - Realizzato da Gauss e poi perfezionato da J. Lamont, ma proposto da S.D.Poisson, per la misurazione assoluta, mediante il magnetometro ad ago, della componente orizzontale dell'intensità del campo magnetico terrestre.
Costruibilità di poligoni regolari con riga e compasso - G. dimostrò che un poligono regolare con n lati si può costruire con la riga e il compasso se, e soltanto se, n è della forma: n=2^k con k intero qualsiasi maggiore di 1 oppure n=2^k*p1*p2*... pn con k intero qualsiasi maggiore o uguale a zero e p1, p2... numeri primi di Fermat.
Principio di Gauss del minimo sforzo (o della minima costrizione vincolare) - Uno dei principi variazionali della meccanica.
Principio della media di Gauss- Il valore più probabile di una grandezza è la media aritmetica dei valori ottenuti in più misurazioni.
Sistema di misure di Gauss- Sistema di unità di misura per le unità elettrostatiche e per quelle magnetiche, la cui introduzione si può considerare dovuta a G. e a W. Weber.
Teorema di Gauss - Uno dei teoremi fondamentali nella teoria dei campi vettoriali.
Grazie Pa'!
Paolo, impossibile non aggiungere un link: Carl Friederich Gauss Facts . Da non perdere!:-)

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martedì 28 aprile 2009

Sa Die de Sa Sardigna

"Il 28 aprile le scuole della Sardegna fanno festa per ricordare “Sa Die de Sa Sardigna”. ... "
Continuate a leggere da Fabio
Che pubblica anche, e ci fa ascoltare, l'inno “Su Patriotu Sardu a sos Feudatarios”, noto come “Procurade e Moderare”. Un canto composto alla fine del settecento da Francesco Ignazio Mannu, inno che "è insieme il canto di lotta contro il feudalesimo e la sintesi poetica dei progetti e delle aspirazioni del popolo sardo, protagonista della rivoluzione del 1793-96."

L'intero inno, con traduzione si trova QUI
Grazie, Fabio!

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lunedì 27 aprile 2009

Piramide in Excel

... mica solo con geogebra!
Vedete un po' la piramide retta in Excel


come si intravede, è possibile modificare la misura dello spigolo di base e dell'altezza. Troverete anche calcolati le superfici e il volume relativi.
Ehi, è una piramide retta ma anche regolare. Il poligono di base è il quadrato disegnato in assonometria cavaliera! Eheh, grazie al collega di Ed. Tecnica mi faccio una cultura in ... assonometrie!:-)
clic sulla figura per scaricare il file.

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sabato 25 aprile 2009

Regali ... di cuore!

Siii, è la mia amica, la magica Maestra Renata a farmi un regalo!
Un regalone, osservate


Bellissima la sua cardioide!
Al clic sull'immagine avviate l'animazione agendo sul pulsante "Esegui" in basso a sinistra sul foglio di lavoro. E ... più attendete, più bella diventa! :-)
Renata, ti abbraccio. G r a z i e !
E, lettori, ragazzi, colleghi... : non mancate di andare su questa pagina per vedere cosa non riesce a fare Renata con geogebra! Colleghi della scuola media: è una miniera di preziosi materiali, non fatevi ingannare dal "per la scuola elementare", diverse sono le risorse utilissime anche per noi.
E inoltre ... Renata con i suoi lavori, è la mia maestra di geogebra! :-)

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Pavimenti matematici e ... pallone da calcio!

Ragazzi (II e III eh!), per chi in questi giorni dovesse passare da qui...
eccovi una simpatica attività che mi è venuta in mente a proposito di "sviluppi sul piano" ... ehmm!
Pavimenti matematici
Considerate queste forme di poligoni regolari


Stampate e ritagliate, ma occorre anche riprodurne almeno 6 per ciascuna forma.
Potreste ricalcare le forme con la carta lucida su fogli colorati (ricalcate prima di ritagliare!).
Chi ha geogebra potrebbe disegnare, stampare 6 copie e ritagliare.

Considerate questi poligoni come piastrelle per ricoprire dei "pavimenti matematici": ma è sempre possibile? Dipende da una proprietà relativa agli angoli interni di un poligono regolare che potrete scoprire proprio provando a realizzare i pavimenti.
Per ogni prova dovete utilizzare solo piastrelle della stessa forma.
La piastrellatura va realizzata accostando i poligoni l'uno all'altro, senza sovrapporli e senza avere degli spazi vuoti tra essi.
Preparatevi una tabella come sotto e completate con un oppure un No

Per le piastrelle per le quali avete risposto "" completate:

Avete scoperto la condizione per poter ricoprire una superficie piana con dei poligoni regolari?
Mi sa che si può solo se...
l'angolo interno di ogni poligono è sottomultiplo di un angolo:
retto ?
piatto ?
giro ?

E ora (questa parte riguarda in particolare i ragazzi di III), rispondete a questa domanda.
Si può ricoprire un pavimento con piastrelle esagonali e pentagonali regolari accostate tra loro in modo da formare lo stesso motivo che puoi osservare nel pallone da calcio?
In parole matematiche:
la superficie del pallone da calcio si può sviluppare sul piano?
Fate delle prove con le vostre "piastrelle" e poi spiegate il procedimento e il ragionamento seguito per giungere alle conclusioni.

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venerdì 24 aprile 2009

Cono: sviluppo sul piano con geogebra

E' la volta del cono: disegnato stavolta in assonometria isometrica [eh, ragazzi, che mi dite? Vi ho quasi raggiunto nel disegno tecnico!:-)]
Lo vediamo così:


e questo lo sviluppo sul piano:



[Aggiornamento] Nuova applet, Clic sull'immagine

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mercoledì 22 aprile 2009

Il cilindro. Sviluppo, superfici ...

Seguiamo su geogebra lo sviluppo sul piano di un cilindro.
Clic sulla prima figura. Lo vedrete dapprima così:


poi così:

Il foglio di lavoro contiene anche le formule per il calcolo delle superfici e del volume del cilindro.
Potete inoltre modificare le dimensioni del cerchio di base.
Ps: ragazzi, vedete il cerchio di base "in prospettiva"? eheh... :-))

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Auguri, Rita Levi Montalcini!

Oggi Rita Levi Montalcini, Premio Nobel 1986 per la Medicina per La scoperta dei "fattori di crescita" del sistema nervoso,
compie 100 anni.
Diversi articoli sul box Segnalazioni, le parole di questa grande donna riportate da Alberto:

Non ero nata per fare lo scienziato. Da adolescente volevo andare andare in Africa come Albert Schweitzer e curare i lebbrosi. Adesso, nell'ultima tappa della mia vita, esaudisco il desiderio di aiutare popolazioni sfruttate. Posso dire che l'unico motivo per cui ho lavorato è stato aiutare gli altri.
E

continua....
A U G U R I, Rita Levi Montalcini!

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lunedì 20 aprile 2009

Folium, o foglia di Descartes

Per spezzare un po', ancora con una geometria più romantica ...
questa:


Ancora da un saggio di Luciano Cresci, Le Curve matematiche tra curiosità e divertimento, abbiamo già citato Le curve celebri,
al capitolo 10
Curve di foglie

"Loria ... rileva l'analogia ... ... con le curve dette trifolium pratense o rodonee...

Folium, o foglia di Descartes
___... vediamo innanzitutto il folium di Descartes (o, come siamo soliti chiamarlo, Cartesio) curva che fu oggetto nel 1638 di uno scambio di lettere tra Descartes e padre Mersenne, e fu studiata nei decenni seguenti anche da Roberval, Fermat, Sluse, Huygens, Barrow, L'Hospital, Jean Bernoulli: insomma dai migliori matematici presenti sulla piazza.
___La curva ha una figura accattivante nella sua semplicità: che abbia l'aspetto di foglia lo asserisce, come dice Loria "altezzosamente", l'autore:
___ ___si vede ad occhio, senza bisogno di spirito o di scienza.
___Roberval le diede il poetico nome di fiore di gelsomino, probabilmente per non avere ben compreso la forma della curva; nella letteratura francese fu spesso chiamata nodo del nastro, o fiocco.
___La curva presenta nell'origine un nodo, con gli assi coordinati come tangenti, e due rami infiniti, tra loro simmetrici.
___Poiché all'epoca di Cartesio le coordinate negative non erano conosciute, la curva veniva tracciata limitatamente al primo quadrante; anzi, Cartesio riteneva che la curva si ripetesse in ogni quadrante.
..."
QUI il mio lavoro, semplice semplice, con geogebra.
Béh, semplice... veramente ho dovuto cercare per l'equazione in forma parametrica in coordinate cartesiane !
Per chi fosse interessato, ho trovato qui
e, devo divertirmi ancora con le altre foglie...:-)

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domenica 19 aprile 2009

Dimostriamo con geogebra la congruenza degli apotemi in una piramide retta

Abbiamo visto che in una piramide regolare (retta e avente per base un poligono regolare), le facce laterali hanno tutte la stessa altezza, l'apotema della piramide.
Ma in qualunque piramide retta anche non regolare, le facce laterali hanno tutte la stessa altezza, quindi si può parlare ancora di apotema della piramide.
Ricordiamo che:
una piramide è retta se la sua base è un poligono circoscrittibile e il piede dell'altezza coincide con il centro del cerchio inscritto nella base.
Come da titolo del post, andiamo a verificare su geogebra che le altezze delle facce laterali in una piramide qualsiasi, purché retta, sono congruenti.


In figura una piramide non regolare retta.
L'altezza delle facce laterali cade, come nel caso della piramide regolare, nel punto di tangenza dei lati del poligono di base con il cerchio inscritto in esso.
L'altezza h della piramide, il raggio r del cerchio (apotema del poligono, apotema di base) e l'apotema a della piramide, ancora come nel caso della piramide regolare, formano un triangolo rettangolo, per cui queste grandezze sono legate dal Teorema di Pitagora (h e r sono i ... a è ...).
Come si dimostra che le altezze delle facce laterali sono congruenti?
Oh, non è la prima volta che incontriamo questo problema (chi ricorda in quale occasione?) e siete arrivati alle giuste conclusioni!
Ad ogni modo:
h è costante senza dubbio;
r è costante (senza dubbio!)
dunque, il triangolo è rettangolo, a non può essere che ...!
Nell'animazione che andrete a seguire QUI non vedete della stessa misura l'altezza delle facce laterali: dovete tener conto della visualizzazione del solidi in prospettiva!

Nota: nella piramide si possono individuare altri interessanti triangoli rettangoli: chi li scopre?:-)
Nota2: di proposito ho scritto il termine "prospettiva" in corsivo. I disegni delle nostre figure, per praticità di costruzione, non rispettano esattamente i canoni del disegno prospettico (assonometrie, ecc...).

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sabato 18 aprile 2009

... e se la scatola ha forma piramidale?

eh... prosegue il discorso aperto qui ...
Se devo rivestire una scatola a forma di piramide ... banale, no? Devo calcolare l'area della superficie delle sue facce e poi eseguire la somma!
Il calcolo della superficie totale di una piramide regolare è semplificato dal fatto che le facce laterali hanno tutte la stessa altezza (apotema della piramide).
Consideriamo una piramide regolare quadrangolare


Non è difficile scoprire le formule: basta un clic sulla figura!
... e riflettere sull'animazione e sull'immagine del foglio di lavoro di geogebra:-)
Solo dopo aver osservato, fatto le vostre considerazioni e magari provato a scrivere le formule, tornate pure a leggere qui.
.... fatto?
Noi lo abbiamo "fatto" in classe.

Irene,
osservata l'animazione, ancora prima dell'azione sullo slider s, ha proposto la corretta formula risolutiva per il calcolo della superficie laterale. Béh, è stata brava, glielo dobbiamo dire!:-)
Altri hanno avuto necessità di osservare l'immagine del parallelogramma...

E alla domanda:
Che relazione c'è tra l'area del parallelogramma e quella della superficie laterale della piramide?
Diverse manine, la parola a Nicola: "l'area del parallelogramma è doppia di quella della superficie laterale della piramide".
Quindi, la formula per il calcolo della superficie laterale è:
Sl = (Pb * a)/2
[formule inverse (Maria ...) Pb = Sl * 2/a e a = Sl * 2/Pb ]
E quella per il calcolo della superficie totale?
St = Sl + Sb
Naturalmente Sb richiede la conoscenza delle formule per il calcolo della superficie delle figure piane. Ripassare!!!
Ribadisco un concetto: non si è obbligati a ricordare le formule, meglio la riflessione sul significato di superficie. Come avete visto le formule si possono ricavare.
Nella risoluzione di un problema nessuno vieta il calcolo separato dell'area delle singole facce e poi la somma. Nel caso di un solido irregolare bisogna procedere giusto così [e se le facce dovessero essere poligoni irregolari? Ahi! Ma si posso scomporre in figure regolari...!].
Converrete solo che nel caso di solidi regolari, le formule costituiscono una scorciatoia, si fa prima!
Eppoi: ma ci dimentichiamo che le formule sono utili per generalizzare? E, saper generalizzare... anche questo è crescere!

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giovedì 16 aprile 2009

Una scatola azzurra vorrebbe cambiare colore … !

Un titolo curioso per dire...
Qualche ragazzo della III B mi ha detto di aver cercato sul blog le
"formule dei solidi", "anche se ci sono nel libro...".
Mi pare bello accontentarlo, raccomandando però che le formule non sono tanto da ricordare quanto da comprendere, addirittura uno se le può ricavare da sé! :-)
Cominciamo col dire che di un solido, che ha tre dimensioni, misuriamo:

  • gli spigoli (se ci sono, in una sfera ad es... ?) che sono dei segmenti
  • il contorno, che in questo caso è una superficie
  • il volume, che è l'estensione del solido nello spazio.
Consideriamo in questo post la misura, il calcolo quindi, della superficie di un solido.
Dunque: il titolo del post?
Già, se la superficie è il contorno di un solido, immaginate di doverlo verniciare oppure doverlo rivestire...
Ecco perché "una scatola che vuol cambiare colore"!
Quanta carta mi serve per rivestire una scatola? Si tratta di calcolare la misura della superficie della scatola.
Consideriamo la nostra scatola a forma di un prisma retto a base triangolare.

Taglio la scatola lungo uno spigolo laterale e lungo due spigoli di base: distendo sul piano le superfici che costituiscono il contorno della scatola. Potrò calcolare facilmente quanti cm² di carta mi servono per rivestirla di un altro colore.

Ora andrete ad aprire una pagina dove potete seguire, animato, quello che più propriamente viene chiamato sviluppo del solido sul piano. Trovate anche le principali indicazioni per il calcolo della superficie del prisma. (clic destro sullo slider s se volete attivare: "Animazione attiva") CLIC QUI
I poligoni, che abbiamo visto svilupparsi sul piano, facce del prisma, costituiscono la sua superficie.
Le superfici che delimitano il prisma (e questo vale per tutti i solidi) prendono il nome dalla posizione che hanno nel solido.


Osservate lo sviluppo della superficie totale del prisma sul piano.
Le facce laterali hanno assunto la forma di un rettangolo(ne!) che ha per base i lati del poligono costituente la base del prisma (la sua misura corrisponde quindi al perimetro della base (Pb)), e per altezza l'altezza del prisma (h) che è la distanza tra i due piani paralleli che contengono le basi.
L'area di questo rettangolo sarà quindi la misura della superficie laterale del prisma (il rettangolo è equivalente alle facce laterali del prisma).
Conosciamo già formule e procedimenti per calcolare l'area di un rettangolo. Perciò:
Sl = Pb * h
[formule inverse: Pb = Sl/ h e h = Sl/Pb]
Per il calcolo della superficie totale (dobbiamo considerare due volte la superficie di base):
St = Sl + 2*Sb
[formule inverse: Sl = St - 2*Sb e Sb = (St - Sl)/2]
Ricorda: La formula della superficie di base di un prisma cambia a seconda della forma della sua base. Ripassare le formule riguardanti le figure piane!
E … ricordando che in geometria il disegno/modello suggerisce, è sempre bene riportare separato da quello del solido, il modello del poligono di base (datemi retta, vi aiuta molto nella risoluzione dei problemi!)
Alla prox!

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martedì 14 aprile 2009

Ancora un poliedro da costruire...

E per la III....?
Béh per loro ancora un'attività ... costruttiva?
A partire da un poliedro "scomposto", ricostruire il poliedro in figura:


Suu, sarete gratificati! :-) Clic sull'immagine, le indicazioni sul foglio di lavoro!

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Somma degli angoli interni di un triangolo

Ragazzi,
Anna Laura mi ha inviato i suoi lavori sulle altezze, mediane, assi dei lati di un triangolo realizzati con geogebra. E' stata brava perché ha fatto da sola! E' andata meglio con le mediane, qualcosa da rivedere invece con altezze ...
Sì, dobbiamo migliorare il nostro utilizzo di geogebra!
E, a proposito di migliorare, imparare sempre, a testimonianza di come la condivisione in rete costituisca arricchimento continuo:
dai lavori di maestra Renata, magica con geogebra (e non solo), che ben conosciamo, abbiamo utilizzato anche recentemente suoi lavori....(grazie, mae'!),
prendo lo spunto per proporvi ora un'attività guidata da eseguire on line.
Avete letto il titolo del post: Somma degli angoli interni di un triangolo.
Con carta e ritagli abbiamo già verificato la proprietà, ora impariamo a visualizzarla con geogebra.
Al clic sul link che vi indico sotto, sul foglio di lavoro avrete a disposizione solo gli strumenti necessari, seguite con attenzione le fasi della costruzione

Mettetevi alla prova per ottenere il risultato come in figura! (naturalmente ciascuno di voi può personalizzare a piacere colori e tipo di triangolo... meglio seguire però l'orientamento suggerito)


ah, clic sulla figura per aprire il foglio di lavoro geogebra e svolgere l'attività!

Buon lavoro!

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domenica 12 aprile 2009

Pasqua '09

ALLEGRIA DI NAUFRAGI
Versa il 14 febbraio 1917

E subito riprende
Il viaggio
Come
Dopo il naufragio
Un superstite
Lupo di mare.
G. Ungaretti

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sabato 11 aprile 2009

Scheda verifica poliedri

E, per la III...
tre schede di verifica sui poliedri e loro misure (provo a caricare immagini di dimensioni maggiori, seguite i suggerimenti dati qui):
1)


2)

3)

buon lavoro, chiedete pure se ci sono difficoltà. Buona Pasqua a tutti!

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Schede verifica triangoli

Raga... (II)
non so se vi collegate. In ogni modo vi propongo due schede di verifica sui triangoli, per l'autocontrollo del lavoro assegnato...
1)


2)

Ingrandite le immagini con un clic. Se non dovessero essere comode potete scaricare il PDF (un po' pesantino... non posso fare altrimenti...)
PS (per noi che abbiamo problemi di connessione)
: Ingrandite le immagini, salvate (clic destro, salva immagine con nome o salva oggetto con nome) e poi stampate.

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venerdì 10 aprile 2009

Solidi...

Ragazzi,
per voi e anche per qualcuno della
III B che qualche volta "cerca sul blog", raccomandando il Cruci_solidi con Excel ... da risolvere!
Propongo una tabella di riepilogo (se serve, clic per ingrandire)


un diagramma di Eulero-Venn che illustra ancora le relazioni tra i diversi sottoinsiemi della classe dei prismi

e, due costruzioni interattive che vi aiutano a consolidare il concetto di solido:
1) costruite un poliedro ... di che tipo di poliedro si tratta? Clic sull'immagine per andare a costruirlo

2) e un poliedro ... (clic)

Alla prox!
PS (in particolare per la III B): potete esprimere attraverso i commenti qualche vostra precisa esigenza... chiedete pure!

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giovedì 9 aprile 2009

Le rose di Grandi o rodonee e...

Ragazzi, con un po' di tristezza nel cuore, ascoltando costantemente cronache e commenti sull'attualità ...,

pubblico i fiori con geogebra di cui abbiamo parlato. Dedichiamo questi fiori ai ragazzi dell'Abruzzo.
I fiori non sono altro che particolari curve matematiche, ancora curve celebri, chiamate Rose di Grandi o rodonee.
Rose di Grandi
dal matematico L.Guido Grandi, che le ha battezzate e studiate intorno al 1725.
Rodonee,
dal greco rhódon, che significa rosa: si possono ottenere svariati grafici di queste curve che assumono l'aspetto di rosoni (avete detto di sapere cosa sono).
Ed ecco il primo lavoro. Al clic sull'immagine potrete andare a costruire da voi, agirete con il mouse su un punto, la prima rosa. Vedete, è più che altro un bel quadrifoglio, una rosa a quattro petali:


Anche il disegno che fa da contorno al quadrifoglio è in realtà un'altra curva geometrica. Appartiene alla famiglia delle ipocicloidi, è chiamata astroide (richiama l'immagine di una stella). E' ottenuta con delle equazioni che riporto per i lettori interessati.
Equazioni parametriche dell'astroide:
x = c cos(t)³
y = c sin(t)³
La costruzione della rosa a quattro petali non è difficile:
- Costruite una circonferenza, per semplificare con centro nell'origine degli assi cartesiani
- Fissate su di essa un punto P
- Tracciate da P le perpendicolari ai due diametri appartenenti agli assi cartesiani
- Individuate i punti di intersezione delle due perpendicolari sui due assi. Indichiamoli con Q e R
- Costruite il segmento QR
- Tracciate la perpendicolare a QR passante per l'origine degli assi.
- Individuate l'intersezione di questa perpendicolare con il segmento QR. Indichiamola con S
Muovendo il punto P sulla circonferenza, il punto S descrive il luogo geometrico che è la rosa a quattro foglie.Nel secondo lavoro dovrete muovere il punto su uno slider, k. (clic sulla prima immagine)
Potrete visualizzare fiori a 3 petali:

a otto petali

a 12 petali

fino a 20 petali

e, si potrebbero aumentare! Capito perché rosoni? E, vi sembra matematica o arte?:-)Sullo slider k ho lasciato visibili i valori. Per farvi notare:
se k è un numero dispari si ottiene un numero di petali uguale a k;
se k è un numero pari si ottiene un numero di petali uguali a 2*k. Chi è interessato può visualizzare l'equazione della curva agendo con il dx sulla stessa, Proprietà...
Divertitevi!:-)

[Aggiornamento]

Per i più esperti, segnalo un interessante lavoro sulle Curve Rodonee, sul sito http://www.webfract.it/ (matematica con html5 canvas e javascript)

Cliccando sull’immagine sotto si possono:

  • osservare il formarsi di una di queste curve mediante un PROGRAMMA ANIMATO,  che permette di eseguire delle prove modificando diversi parametri
  • studiare anche con approfondimenti, le Curve Rodonee da un punto di vista MATEMATICO: Equazione - Parametro intero - Parametro razionale - Parametro irrazionale.
  • costruire una rodonea a propria scelta.

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