La chiocciola delle radici quadrate

Un'attività laboratoriale sulle radici quadrate.

Abbiamo realizzato in classe la chiocciola delle radici quadrate.
Con questa attività abbiamo costruito dei segmenti lunghi:

Scelta un'unità di misura, u=1, abbiamo usato riga, squadra e compasso, per disegnare circonferenze, rette perpendicolari e segmenti.
Abbiamo dapprima costruito un triangolo rettangolo isoscele, quindi con i cateti uguali (di misura unitaria, il segmento scelto come unità di misura).
Per il Teorema di Pitagora (dobbiamo ancora studiarlo, ma così apprendiamo dal testo che ci indica l'attività e dalla prof.) l'ipotenusa di questo triangolo è uguale a: RADQ(2) perché:

In successione abbiamo costruito dei triangoli rettangoli aventi un cateto di misura u=1 e l'altro costituito dall'ipotenusa del triangolo rettangolo precedente.
L'ipotenusa di questi triangoli rettangoli è, via via, lunga:

Si ottiene un disegno a forma di chiocciola.
Si può arrivare fino a RADQ(17) prima che i triangoli rettangoli si sovrappongano uno all'altro.Ehmm... abbiamo fotografato con il cellulare uno dei nostri disegni. Eccolo, forse non è perfettissimo ma ci siamo impegnati! :-)

La II A

Bravi ragazzi :-)
Ora una piccola integrazione e ... una sorpresa!
Intanto ricordo il post (andate a rileggere) Pitagora: tutto è numero, dove si dice: Una sicurezza entra in crisi per colpa della diagonale del quadrato [l'ipotenusa del primo dei vostri triangoli rettangoli è la diagonale del quadrato di lato unitario]: ... il fatto che questa misura non sia un numero razionale lasciò i pi­tagorici sconvolti!"... Questo semplice quadrato disegnato sul foglio cela un abisso nel quale sprofondarono varie certezze. S'interrompeva brutalmente il legame essenziale fra numeri e grandezze, che garantiva la coerenza dell'universo dei pitagorici, e tutto questo avveniva in una delle figure base del mondo antico: il quadrato. Inoltre il colpo era stato inflitto proprio dall'applicazione di due dei più celebri risultati ottenuti dai pitagorici, il teorema di Pitagora e la separazione dei numeri interi in pari e dispari...."
da Il teorema del pappagallo - Denis Guedj

La sorpresa:
Ho realizzato la "chiocciola" con il programma Geogebra. Il file chiocciolaRadQuadr.zip da scaricare, contiene le indicazioni per seguire passo a passo la costruzione, così come avete fatto con riga, squadra e compasso.
Ricordo che Geogebra si può scaricare a questo link
Rifaremo il lavoro insieme utilizzando il software...

L'algoritmo dell'estrazione di radice quadrata

Come si estrae la radice quadrata di un numero qualsiasi con il calcolo manuale?

Si potrebbe pensare che tale operazione sia di scarsa utilità (abbiamo a disposizione calcolatrici e ... excel!) e scarso valore didattico trattandosi di un procedimento, un algoritmo, che solitamente si impara meccanicamente.
E' possibile tuttavia, almeno in parte alla scuola media, comprendere i "passi" da compiere, eseguire dunque il calcolo per l'estrazione di una radice quadrata, con una certa consapevolezza.
Gli strumenti per capire appieno l'algoritmo si acquisiscono con lo studio del calcolo letterale e precisamente dei prodotti notevoli. Per il momento tali strumenti non sono alla portata dei ragazzi di seconda media.

Abbiamo tuttavia cercato, insieme, di capire perché si deve procedere in un certo modo....
Una stima iniziale.
Riflettiamo sul numero di cifre della parte intera della radice di un numero intero qualsiasi.
La radice di un numero intero di 2 cifre ha una sola cifra.
La radice di un numero intero di 3 o 4 cifre è un numero di 2 cifre.
La radice di un numero intero di 5 o 6 cifre ha 3 cifre.
La radice di un numero intero di 7 o 8 cifre ha 4 cifre. ....
Una seconda stima:
qual è la prima cifra della radice di un numero?
Consideriamo un numero di 3 cifre: 354.
Abbiamo stabilito che la radice, nella sua parte intera, è costituita da 2 cifre. La prima cifra non potrà quindi che essere un 1. Ipotizzando il 2, il numero più basso di 2 cifre, sarebbe 20, ma 20^2 = 400!
Consideriamo un numero di 4 cifre: 1378
La sua radice, nella sua parte intera, è costituita da 2 cifre. La prima cifra non può che essere 3. Se ipotizzassimo 4, il numero più basso, di 2 cifre, sarebbe 40, ma 40^2 = 1600!
Nasce da queste osservazioni l'esigenza di suddividere il numero di cui si deve estrarre la radice, il radicando, in gruppi da 2 cifre a partire da destra.

Prepariamoci dunque ad estrarre al radice di un numero qualsiasi. Prendiamo come esempio il numero, di 5 cifre, 14161
Passo 1:
dividiamo il numero in gruppi di due cifre a partire da destra:

Dobbiamo trovare un numero che elevato alla seconda potenza non superi 1. Tale numero è 1. Sarà 1 la prima cifra della radice. Eseguiamo 1^2. Il risultato va sottratto alla cifra 1 (a sinistra) del radicando.
A questo punto,
Passo 2:
vogliamo ricordare come si esegue una divisione?
Siamo portati a dire: "Aah! Abbasso il 4!"
E no, attenzione! Noi si estrae una radice quadrata che è l'inversa dell'elevamento a potenza 2!
Perciò.... si abbassano 2 cifre!
Ecco (la sottrazione 1-1, abbreviata) la situazione:

Passo 3:
questo è quello la cui comprensione non è alla nostra portata!
Si raddoppia il risultato finora ottenuto, la cifra 1, e si scrive sotto la linea di separazione: otteniamo 2.
Ora... attenti: bisogna trovare una cifra, indichiamola con x, da affiancare al 2 per ottenere 2x e tale che 2x * x non superi il 41, il "resto" che abbiamo in basso a sinistra.
Come regolarsi?
La cifra x NON può essere un 3 perché: 23*3 = 69
Potrebbe essere 2? Potrebbe! Infatti 22 *2 = 44. Almeno con le decine, ci siamo!
Tuttavia 44 è maggiore di 41, per cui la cifra giusta è 1.
Il "fare i conti" con le decine è perciò la considerazione esatta per "regolarsi". Che vuol dire non "andare a naso", ma scegliere con consapevolezza!
Quindi potrebbe essere di aiuto separare nel resto, la cifra delle decine, es: nel 41, mettere un puntino (in basso, per non confondere con la precedente separazione del radicando): 4.1, quindi stabilire: il 2 nel 4 è contenuto (ci sta) 2 volte. Verificare, eseguendo il prodotto, che la cifra 2 è troppo alta e provare con la cifra inferiore: 1.
La cifra 1, valida, va a completare il risultato, quindi si affianca alla prima cifra (1), ottenuta in precedenza.
Il prodotto 21, va sottratto dal 41.
Ecco lo schema (sottrazione 41-21 abbreviata):

Passo 4:
si abbassano le altre 2 cifre del radicando, 61;
si ripete la procedura: raddoppio ancora il risultato finora ottenuto, e lo scrivo sotto una seconda linea di separazione: 22.
Cerco una cifra x, da affiancare al 22 per ottenere 22x e tale che 22x * x non superi il 2061, il "resto" che abbiamo ora in basso a sinistra.
Come ci si "regola"?
Separiamoci l'ultima cifra del resto. Consideriamo quante volte il 22 è contenuto nel 206, quindi il 2 nel 20. Sappiamo che 2 nel 20 è contenuto 10 volte. Possiamo dunque partire affiancando la cifra 9.
Se 229 * 9 dovesse superare 2061, scriveremmo, sotto un'altra linea di separazione [quindi non abbiamo bisogno di cancellare (o pasticciare)], 228 *8. Ma ... non siamo andati "a naso"! :-)
Il nostro 229 *9 è tuttavia uguale a 2061. Va ...perfetto!
La cifra 9 va a completare il risultato. Si sottrae il prodotto 2061 dal 2061 e ... resto pari (zero)!

La radice quadrata di 14161 è 119.
Il numero 14161 è un quadrato perfetto: non abbiamo ottenuto resto.

Nel caso in cui il radicando non fosse un quadrato perfetto, avremmo il resto diverso da zero.
Come continuiamo?
"Metto la virgola nel risultato e aggiungo... lo zero al resto!"
E no! Sempre la solita attenzione! Estraggo la radice quadrata che è......
Devo aggiungere 2 zeri al resto!
Poi ripeto il passaggio 4 .....
Anche l'algoritmo dell'estrazione di radice quadrata offre dunque spunti per acquisire la consapevolezza (e padronanza) del calcolo!
Naturalmente nel caso in cui l'estrazione di radice diventi strumento per risolvere altre questioni, il calcolo si fa eseguire alla calcolatrice!
...e dovremmo tuttavia essere in grado di accorgerci di eventuali errori grossolani dovuti a malfunzionamenti o nostre distrazioni nel dare istruzioni alla macchina! :-)
Segnalo in rete questo articolo, di .mau. che offre ancora un esempio e una spiegazione passo a passo dell'algoritmo.

Le proprietà dell'addizione in Excel

... Marina, di I A, invece ha "studiato" le proprietà dell'addizione in Excel.
Un'immagine parziale del lavoro:

Il file "l'addizione nell'insieme N.xls" è scaricabile qui

La divisione in N

GianMario, Maria e Sara di I A hanno preparato la presentazione Power Point sulla divisione nell'insieme N.

Il file .pps è scaricabile qui

Radici quadrate approssimate.Insieme I dei numeri irrazionali. Insieme R dei numeri reali assoluti.

Alessandra, Irene e Laura descrivono la procedura per il calcolo approssimato delle radici quadrate di numeri non quadrati perfetti....

In Excel la formula per l'estrazione di radice quadrata ci calcola la radice di un numero non quadrato perfetto.
Noi abbiamo provato a calcolare queste radici. Abbiamo approfondito il tema dell’approssimazione, che significa che devo trovare il numero che, per eccesso o per difetto, elevato alla seconda, si avvicini di più al radicando.
Abbiamo considerato per es. la radice quadrata del numero 2.
2 non è quadrato perfetto, la radice di 2 non è esatta ma approssimata, cioè ci si può avvicinare il più possibile al risultato, che però non sarà mai esatto.
Ricordiamo che si può approssimare:
• a meno di un’unità;
• a meno di un decimo;
• a meno di un centesimo;
• a meno di un millesimo…e così via.
Più cifre decimali si considerano, migliore è l'approssimazione.
Per prima cosa troviamo tra quali 2 numeri interi è compresa la radice di 2.
Essa è compresa tra 1 e 2 perché 1^2=1, che è più piccolo di 2 e 2^2=4, che è più grande di 2.
In questo caso se diciamo che la radice di 2 è uguale a 1, per difetto, oppure, per eccesso, che è uguale a 2, facciamo un’approssimazione “grossolana”.
Cerchiamo le approssimazioni migliori facendo dei tentativi: eleviamo alla seconda numeri decimali, dapprima con una cifra, poi con due, tre cifre decimali ecc...
Abbiamo fatto i tentativi usando Excel. Questa è l'immagine:

Nel file approssimazioni.xls, si capisce come abbiamo proceduto!

Il nuovo insieme I, dei numeri irrazionali.

Tutti i nostri tentativi e il calcolo delle radici quadrate con Excel, ci dimostrano che anche continuando con un numero grandissimo di cifre decimali, non si ottiene mai la radice esatta.
Quindi le radici quadrate di numeri non quadrati perfetti sono dei numeri decimali, illimitati e non sono periodici! Non periodici, quindi non si possono rappresentare sotto forma di frazione.
Abbiamo così scoperto un nuovo insieme: l'insieme dei numeri irrazionali. Si indica con I.
L'insieme dei numeri Irrazionali con l'insieme dei Razionali, Q, costituiscono l'insieme R dei numeri Reali (noi abbiamo considerato per ora solo i Reali senza tener conto del segno: si dice numeri reali assoluti).
I numeri reali costituiscono l'insieme unione di I e Q:

Rappresentazione con il diagramma di Eulero Venn (in Q è incluso N, insieme dei naturali)

Ale, Irene, Laura II A

(Il file .xls da scaricare è quello di Alessandra,
il lavoro è stato realizzato correttamente anche da Irene e Nicola)

Ancora un lavoro in Excel, radq.xls, che esemplifica l'uso delle formule per il calcolo delle radici e riporta qualche particolare sulle approssimazioni...

La moltiplicazione nell'insieme N

Anna Laura di I A, ha preparato una presentazione su Power Point sulla moltiplicazione nell'insieme N.

Moltiplicazione Nellinsieme N

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"Moltiplicazione nell'insieme N" si può scaricare qui
Ricordo su questo blog "Addizione e sottrazione in power point" e "Indagini sulla moltiplicazione"

Come si riconosce un quadrato perfetto, Funzione RADQ(), estrazione di radici in Excel

La nostra indagine sull'estrazione di radice continua...
Abbiamo potuto constatare che non tutti i numeri naturali sono quadrati di altri numeri.
I ragazzi, giustamente, pur non conoscendo la terminologia specifica, nel corso del lavoro hanno esclamato di aver costruito con 16 piantine un "quadrato perfetto"!
Hanno poi ricordato: "ah... i numeri quadrati...". Non è stato perciò difficile dedurre che con un numero di oggetti non quadrato, non è possibile costruire forme quadrate.

Abbiamo stabilito quindi che un numero è un quadrato perfetto se esso è il quadrato di un altro numero ovvero:
dato un numero razionale, esso è un quadrato perfetto se esiste un altro numero razionale che, elevato alla seconda potenza, ci da esattamente il numero dato.
Il concetto di "quadrato perfetto" si può infatti estendere anche ai numeri razionali che non sono naturali, Es: 2,25 è il quadrato di 1,5; 1,44 è il quadrato di 1,2, ecc...

Ci siamo occupati dunque di riconoscere i numeri quadrati perfetti.
Irene ci dice...

Abbiamo costruito una tabella, in una colonna i primi 10 numeri naturali, nell'altra i loro quadrati:

Osserviamo le ultime cifre a destra, dei numeri quadrati.
Siccome sappiamo come si esegue una moltiplicazione in colonna, anche con numeri di più cifre, possiamo dire che un numero quadrato perfetto può terminare, a destra, con una delle cifre: 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Attenzione: se un numero termina con queste cifre NON vuol dire che sicuramente è quadrato perfetto! Es: 26 non è quadrato perfetto!
Possiamo invece dire che: un numero non è quadrato perfetto se l'ultima cifra a destra è: 2, 3, 7 o 8.
Altre osservazioni:
Se un numero naturale termina con uno zero, il suo quadrato termina con 2 zeri.
Es: 10, 10^2=100
Se un numero naturale termina con 2 zeri, il suo quadrato termina con 4 zeri.
Es: 100, 100^2=10.000
Se un numero naturale termina con 3 zeri, il suo quadrato termina con 6 zeri
Es: 1000, 1000^2=1.000.000
Insomma diciamo che:
un numero naturale che termina con un numero dispari di zeri NON è quadrato perfetto.
Es: 36.000 non è quadrato perfetto perché termina con 3 zeri.

... Siamo poi andati in aula informatica per lavorare con Excel sulle radici quadrate e scoprire come sono fatte le radici quadrate di numeri non quadrati perfetti.
Abbiamo fatto in tempo a conoscere e usare le formule che ci permettono in Excel di estrarre le radici.
Per la radice quadrata esiste la funzione: RADQ().
Es, se in cella A1 mettiamo un numero, la formula: =RADQ(A1) ci restituisce la radice quadrata di quel numero.
Poi abbiamo faticato un po', ma ci siamo arrivati, a scoprire un'altra formula.
La radice quadrata è l'operazione inversa dell'elevamento alla potenza 2.
Quindi possiamo scrivere che la radice è: numero ^(1/2), cioè il numero elevato all'esponente inverso del numero 2 [Emanuele ci ha aiutato dicendo: numero^(-2), ma -2 è l'opposto di 2!]
Possiamo scrivere anche: numero ^0,5
In Excel, le formule sono:
=A1^(1/2) oppure =A1^0,5
Nel primo caso bisogna stare attenti a mettere 1/2 dentro le parentesi tonde, perché l'elevamento a potenza ha la precedenza sulla divisione e Excel, senza le parentesi, =A1^1/2, farebbe: =A1^1, cioè A1 e poi diviso 2!
Per le altre estrazioni di radici non c'è una funzione apposita ma possiamo applicare le formule appena viste.
Es: come si trova la radice cubica di 8?
Radice cubica è inversa dell'elevamento alla potenza 3.
Formula in Excel: =8^(1/3)
In generale: =A1^(1/3)

Irene II A

Un ampliamento dell'insieme Q+. Una nuova operazione: l'estrazione di radice

Stavolta hanno relazionato sulla lezione tutti i ragazzi di seconda: chi ha fatto bene, chi un po' meno, ma tutti sanno che con l'impegno i progressi si "registrano"! :-)
Io ho messo insieme i loro scritti.

Una nuova operazione...

Noi ormai abbiamo constatato che per ampliare l'insieme N ci siamo serviti delle operazioni inverse. O meglio le operazioni inverse hanno "costretto" l'uomo a inventarsi nuovi numeri oltre a quelli naturali, interi.
Per esempio la divisione, operazione non interna all'insieme N, ci ha portato a conoscere l'insieme Q dei razionali. La sottrazione, anch'essa non sempre possibile in N, sappiamo che ci porta ai numeri negativi, con i quali ancora dobbiamo imparare a operare.
Abbiamo visto anche che l'insieme N è incluso nell'insieme Q, perciò ora dobbiamo chiederci: tutte le operazioni sono sempre possibili nell'insieme Q?
Abbiamo detto delle operazioni inverse.... quale altra operazione oltre alle 4 fondamentali conosciamo?
Conosciamo l'elevamento a potenza!
Avrà un'operazione inversa?
Siamo andati a scoprirla....
La prof ci propone il seguente problema:
mi sono state regalate 16 piantine. Nel mio giardino ho dello spazio libero, vorrei disporre le piantine in maniera tale da avere, quando esse fioriranno, un bel "colpo d'occhio" colorato di forma quadrata.
Come dispongo le 16 piantine?
Noi abbiamo fatto diversi tentativi sul quaderno, qualcuno cercava di disporre le piantine solo ai lati di un quadrato, 4 per ogni lato, ma vedevamo che non era possibile ottenere un vero quadrato, oppure non tutte le piantine venivano utilizzate!
La prof controllava i quaderni ... Alejandro, Emanuele, Maria... : "ecco, ho disposto le 16 piantine. Un quadrato perfetto!" (la prof ci dice: caspita, state già usando il linguaggio specifico: preciseremo....)
Le 16 piantine erano così disposte:

un quadrato di lato 4, ma 4 file da 4 piantine!
La prof chiede quale riflessione ci ha spinto a disporre in questo modo.
Emanuele dice: "4 alla seconda fa 16, ma veramente ho fatto l'inverso!"
Ci siamo convinti subito tutti 4^2 = 16, si voleva un quadrato, quindi ... le 4 file da 4.
La prof ha insistito sulla frase di Emanuele: "veramente ho fatto l'inverso"
Abbiamo fatto altri esempi: se avessi 25 piantine, se ne avessi 36, se ne avessi 9... ormai sapevamo disporre al volo!
Siamo arrivati a concludere che bastava trovare il numero che elevato alla seconda ci desse il numero considerato. Es: 5 file da 5 piantine, 5^2=25; 6 file da 6 piantine 6^2=36; 3^2=9 eccc..
La prof ci ha detto chiaro: avete scoperto l'operazione inversa dell'elevamento alla seconda potenza!
Ora dobbiamo precisare con simboli e termini specifici:
l'operazione si chiama estrazione di radice quadrata,
simbolo e termini dell'operazione:

Il radicando è il numero del quale si estrae la radice; la radice è il risultato dell'operazione, l'indice di radice 2 si può anche non mettere, è sottinteso.
Quindi ancora qualche esercizio così:

Consideriamo poi che non esiste solo l'elevamento alla seconda potenza, ma anche altre potenze.
Es. alla terza, alla quarta, ... potenza.
E anche di queste operazioni si può eseguire l'inversa. Sempre estrazione di radice.
Cioè, se conosciamo ad es. la terza potenza di un numero, dobbiamo trovare un numero che elevato 3 ci dia il numero dato, il radicando.
Le operazioni si chiamano di volta in volta: radice cubica, radice quarta, radice quinta ecc..
Es ho il numero 8. Qual è quel numero che elevato 3 mi da 8? è il 2.
Esempi di radici cubiche:

In questi casi l'indice di radice è obbligatorio!
Noi alla scuola media lavoriamo principalmente con la radice quadrata, qualche volta useremo la radice cubica...

Abbiamo fatto altri esercizi, in questo modo:

La domanda era sempre la stessa: qual è quel numero che elevato alla seconda mi da....?
Quindi bisogna estrarre la radice:
radice quadrata di 81 = 9 perché 9^2 =81;
radice quadrata di 49 = 7 perché... ;
radice quadrata di 36 = 6 perché... ;
radice di 100 = 10 perché ...
Questo esercizio ci ha fatto capire che l'operazione di estrazione di radice serve per trovare la base sconosciuta di una potenza, conoscendo il valore della potenza (lo avevamo visto anche per le altre operazioni inverse: la divisione serve per trovare un fattore sconosciuto, conoscendo il prodotto, la sottrazione serve per trovare un addendo sconosciuto conoscendo la somma)
(Esiste un'altra operazione per trovare l'esponente sconosciuto! La prof ce la accennerà).

Infine ci siamo esercitati a scoprire le radici quadrate di numeri un po' più grandi:
- quale è la radice di 225?
Non rispondiamo...
- Quale sarà la cifra a destra della radice di 225?
- 5???
Delia dice: se la radice di 144 è 12... poi...deve finire con 5... è 15!
- Sì!
- La radice di 625?
- Termina con 5... un numero un po' più grande... 25!
-La radice di 169?
- Più piccolo di 225... radice minore di 15 ... deve terminare con 3 ... 13!
ecc..
La lezione sta per finire quando la prof ci chiede: ma, scusate, abbiamo forse incontrato nuovi numeri?
E noi: no! Sono tutti naturali!
- Ahi, ahi... niente ampliamento! Allora ... alla prossima puntata!!! :-)

la II A

[Contributi] Pitagora e la musica

Il nostro amico Gaetano Barbella, ci invita a cominciare il 2008....
"Con il suono creatore di vita così come è parso a Pitagora"
Ci regala uno scritto tratto da un libro del 1887.

LE PROPORTIONI HARMONICHE
di
PITAGORA

Da la “Vita di Pitagora” di Bernardino Baldi Estratto dal Bollettino di bibliografia delle scienze matematiche e fisiche, diretto da B. Boncompagni Anno XX – 1887 – Forni Editore – Bologna. Pag. 275, 277, 278, 279, 280. [...]

La molta cognitione che questo filosofo [Pitagora] hebbe de l'Aritmetica e de la Geometria fece che, ne l'Astrologia e ne la Musica, egli facesse grandissimo profitto.
Percioché, constando la Musica di numeri armonici, e di proportioni de' segamenti de tuoni, non può essere appresa teoricamente da chi de l'Aritmetica e de la Geometia si troua ignorante.
Che Pitagora sopra tutte l'altre cose desse opera a le cose de la Musica, ce ne fa fede Ateneo ne' Dinnosofisti, oue parla de la Musica antica; il medesimo afferma Laertio, oue dice, hauer egli principalmente dato opera a le speculationi del Monocordo.
Iamblico accenna, chìegli l'apprendesse da i magi, da' quali egli imparò anco l'Aritmetica.
Giorgio Valla, ne la Musica, et Emanuele Briennio auanti a lui, affermano, questo filosofo hauer ritrouato ne gli aditi, cioè ne le parti più secrete de' tempii de l'Egitto, l'antichissima lira d'Orfeo, la quale di sette corde, portataui da Terpardro Lesbio, che, per diuenirne più caro a' sacerdoti, da' quali apparò la filosofia egittia, ve la lasciò appesa; da la qual lira comminciò ad andare rintracciando, prima di tutti gli altri, le consonanze e le proportioni; ma, come egli ciò facesse, e come di parte in parte s'andasse auanzando in questa specolatione, à pieno è spiegato dal sopradetto Briennio, nel primo libro e capitolo de la Musica. Che Pitagora non fosse inuentore da la Musica è manifesto, essendoui stati musici ualentissimi, molto più antichi di lui, e già essendo noto, per il testimonio de le Scritture sacre, esserne stati ritrouatori i figlioli di Caimo.
È confessato nondimeno da' migliori, egli, prima di tutti gli altri, hauerla ridotta in arte, e trattala metodicamente e per via di ragioni. Ma, come dal macrobio nel Sogno di Scipione, da cui prenderemo quello che sarà utile a questa opera nostra.
Dice dunque, che affaticandosi questo filosofo, et affannandosi indarno per ritrouar cosa cotando nascosta , gli uenne offerto da la sorte quello, che per uia di profonda specolatione non haueua potuto conseguire.
Percioché, passando à caso per una contrada, oue alcuni fabbri batteuano il ferro, giunse a l'improuiso a l'orecchie il suono de' martelli, che con un certo ordine de le percosse, consonando, i piccioli et grandi fra loro si corrispondeuano, laonde, immaginadosi di poter toccar con mano e ueder con gli occhi proprii quello, che poco prima andaua inuestigando per uia di speolatione, imaginossi prima, che la vuarietà de' suoni nascesse da la uarietà de le forze di chi percoteua: del che per accertarsi, fatti cambiare fra loro i medesimi martelli, trouò che la diuersità non consisteua ne le forze, me ne' martelli medesimi; onde, riuolto tutto il pensiero a l'essamine de le grauezze loro, et hauendo notato diligentemente il peso di ciascuno, e fatti fare altri martelli di grandezze diuerse, trouò che il suono ne ueniua alterato, e non così concorde e consonante come il primo; onde, fatto certo, la diuersità altronde non nascere, che da la diuersità de' pesi, notate le grauezze di tutti quei martelli da' quali nasceua la consonanza, riuolse tutto il pensiero da' martelli a le corde; e, fatto di budella di pecore, o di nerui di buoi, alcune corde, u'attaccò uarii pesi, e corrispondenti à quelli de' martelli, da' quali proueniva la consonanza; e trouò prouenirne la medesima consonanza, aggiuntaui di più la sonorità e dolcezza, che di sua natura sogliono hauere quelle corde. Per uia dunque di questa osseruatione, hauendo conseguito Pitagora la cognitione di così ascoso secreto, ritrouò i numeri, da' quali nascono le consonanze, et, adattagli a le corde, ne fece instrumenti, ne' quali, tese le corde o più o meno, fece benchè fossero poste lontane l'una da l'altra, toccate da un medesimo plettro, consonauano. Trouò egli dunque, ne l'infinita armonia, cioè sei solamente: l'Epitrio, che è come quattro atti à tre, cioè quando di due numeri il maggiore ha in sé tutto il minore, e di più la terza parte; l'Hemiolo, quando il maggiore contiene tutto il minore et la metà di più, come tre e due; il Duplo, come quattro à due; il Triplo, come tre à uno; il Quadruplo, come quattro à uno: l'Epogdoo, come noue à otto.
Ciascheduno di questi numeri produce una consonanza propria; l'Epitrio genera il Diatessaron, che è la quarta; l'Hemiolo il Diapente, che è la quinta; il Duplo il Diapason, che è l'ottaua; il Triplo, il Diapason et il Diapente; il Quadruplo la ottaua raddoppiata, che i Greci dicono Disdiapason; l'Epogdoo partorisce il tuono. Riprendeva Pitagora, come riferisce Plutarco nel suo Commentario de la Musica, quel giudizio che pende dal senso; uolendo egli che, non da l'udito, ma solamente da l'acutezza de l'intelletto e da le proportioni armoniche, potesser le cose musiche essere squisitamente essaminate. Giudicò parimente, come riferisce il medesimo, che la Musica douesse contenersi ne' termini del Diapason, cioè ottaua. De le proportioni harmoniche, ritrouate da Pitagora per via de' martelli, fa mentione anco Iamblico, aggiungendo, il detto filosofico da quel principio hauer ritrouato infinite proportioni, e molti istrumenti musici, come il Tetracordo, Heptacordo, il Monocordo, et anco il Pentacordo. La medesima diligenza di Pitagora nel ritrouare le proportini harmoniche uien commemorata da Censorino, nel suo libro del Giorno Natale, aggiungendo, non solamente hauer egli fatta l'esperienza con le corde, ma con le canne ancora, proportionatamente di grandezza dispari.
Nel qual luogo spiega anco, in qual modo il detto filosofo, per uia di ragioni musiche, saluasse il uiuere de' bambini, che nascono nel settimo e nel decimo mese.
Due spetie di parti si trouano, dice egli, secondo Pitagora: l'uno minore e di sette mesi, cioè quando il bambino esce fuori del uentre ducento e dieci giorni dopo la concettione; l'altro maggiore e di dieci mesi, che è quando, non prima di ducento settanta quattro, il parto se ne uiene a la luce: per renderne poi la ragione, dice, il primo parto, cioè il minore, esser contenuto nel numero senario, et il secondo nel settenario; il che posto, dice, i primi sei giorni il seme esser humido e bianco, a guisa di latte, gli otto giorni seguenti sanguigno: i quali due numeri hanno fra loro proportione harmonica, detta epitrito, cioè la quarta, perché il sei misura l'otto una uolta, et auanzane un terzo. Noue giorni dopo il feto douenta carne: il qual numero di noue al sei ha proportione hemiolia, et fa la consonanza diapente. Dodici giorni dopo si fa il corpo formato: il qual dodici, paragonato al medesimo senario, ha proportione dupla, da la quale nasce la consonanza diapason, cioè ottaua.
Questi quattro numeri, sei, otto, noue e dodici, congiunti insieme, fanno trentacinque: il qual numero, come secondo fondamento de la perfettione del parto, multiplicato di nuovo per sei, rende il numero di ducente e dieci, che costituisce lo spatio di sette mesi, nel qual nascono i parti de la spetie minore. Quelli de la spetie maggiore, come si disse, hanno fondamento il sette; e questo, non in trentacinque giorni, come gli altri, ma in quaranta, sono perfetti di membra: il qual numero, multiplicato per sette, numero fondamentale, produce ducento ottanta, che fa spatio di quarante settimane; e perché il feto nasce il primo giorno de l'ultima settimana, cauandone i sei de l'ultima settimana, rimane da la concettione al parto il numero di ducento settantaquattro giorni, che il parto ua a cadere nel decimo. Queste et altre cose di mente di Pitagora riferisce Censorino, aggiungendo, il detto filosofo essersi seruito de le ragioni harmoniche, ne l'inuestigar le distanze de' pianeti fra loro e la terra. Percioché tutto il mondo uoleua egli che fosse composto con ragioni musiche, e che le sette stelle, che uanno uagando fra il cielo e la terra, e moderano le natiuità de le genti, hauessero mouimento harmonico e proportionato, e gli inteualli loro hauessero moto conueniente à le le distanze harmoniche; e per ciò, mouendosi, rendessero dolcissima melodia, ma intesa da noi, per il souerchio suono: Queste cose, come dicemmo di sopra, furono riprouate dal Filosofo ne' libri del Cielo. [...]

Illustrazione tratta dall'enciclopedia I MONDI DELL'UOMO: IL MONDO DELLA TECNICA – Edizione Arnoldo Mondadori

Grazie Gaetano!

Matematica e ... Dante

Qualche giorno fa il mio amico blogger, collega di un istituito superiore, Mario Agati, mi ha, casualmente, stimolato a rileggere il Sommo Poeta!.... (almeno un pochino... grazie al comunicare blog-mediato!).
Detto fatto!
"Paradiso" alla mano... "Dante Alighieri, riferimenti alla matematica...." e... ecco qua!

...sul numero degli angeli
E poi che le parole sue restaro,
non altrimenti ferro disfavilla
che bolle, come i cerchi sfavillaro.

L’incendio suo seguiva ogne scintilla;
ed eran tante, che ’l numero loro
più che ’l doppiar de li scacchi s’inmilla.

Eh ragazzi (miei), un pochetto difficile per voi!
Ecco una "traduzione":
"E poi che le parole sue restaro" : E, dopo che Beatrice (la donna amata da Dante) ebbe cessato di parlare,
"i cerchi sfavillaro": i nove cerchi angelici (i Cori Angelici) sfavillarono,
"non altrimenti ferro disfavilla che bolle": non diversamente da come sfavilla un ferro incandescente,
"L’incendio suo seguiva ogne scintilla": ogni scintilla (ogni angelo) continuava a girare con il suo cerchio (fiammeggiante, detto perciò incendio),
"ed eran tante, che ’l numero loro più che ’l doppiar de li scacchi s’inmilla": ed erano tanti che il loro numero risale a molte migliaia (s’inmilla, è un verbo coniato da Dante), ancora più che il numero che si ottiene raddoppiando via via le 64 caselle del gioco degli scacchi.

- L’episodio a cui fa riferimento Dante in questi versi è tratto da una leggenda orientale secondo la quale l’inventore degli scacchi chiese al re di Persia, come premio per la sua invenzione:

 un chicco di grano per la prima casella della scacchiera,

due per la seconda,

quattro per la terza,

e così via, raddoppiando fino alla 64esima casella:

il re, dopo aver accettato con un sorriso di scherno la richiesta, si rese conto che nemmeno tutti i granai del suo regno sarebbero bastati a fargli mantenere la promessa!

ragazzi, ma, avete idea?!?!? Ma sono miliardi di miliardi....!
ehmm... chi riesce a calcolare il numero di chicchi di grano?
Forse con l'aiuto di ....

… … voi provate a scoprire le formule (delle colonne raddoppiando… e le potenze di 2, solo dopo vi mostrerò il file!)

Rappresentazione di punti sul piano cartesiano

Saverio (IA) si è esercitato con la rappresentazione di punti mediante il sistema di riferimento cartesiano.
Questa è l'immagine del suo lavoro:

Clic per scaricare il suo Punti su diagramma cartesiano

Bravo Saverio!
Devo insegnarvi come affiancare ai punti le rispettive etichette es. A(2;5). E' possibile ricorrendo ad un componente aggiuntivo XY Chart Labeler che (per i lettori) si può scaricare qui.

[Tutoriale]Rappresentazione dei numeri razionali sulla semiretta in Excel

Irene, come promesso, ci descrive come rappresentare in Excel, sulla semiretta numerica i numeri razionali.

Partendo dalla semiretta dei numeri naturali il lavoro non è poi così impegnativo, però si deve fare attenzione lo stesso.
Questa è l'immagine del lavoro realizzato da me:

Ho proceduto come per la semiretta dei naturali.
Nella semiretta dei numeri naturali, in colonna A abbiamo solo numeri naturali.
In questo caso ho immesso anche numeri decimali (quindi insieme Q).
Come vedete ho nascosto la colonna B, che contiene le coordinate y (uguali a 0) dei punti, e non serve visualizzare.
Per nascondere una colonna si fa così:
- si seleziona la colonna da nascondere;
- si va su menu Formato,
- si sceglie Colonna e
- poi l'opzione Nascondi.
Ho nascosto la colonna B, per mettere di fianco alla colonna Numeri, una colonna con "Etichette", per mostrare i numeri anche sotto forma di frazione.
Quindi:
- si va nella cella C3 e scriviamo: etichette (frazioni);
- selezioniamo la colonna etichette,
- andiamo sul menu Formato,
- scegliamo Celle,
- clicchiamo sulla scheda Numero,
- scegliamo dall'elenco Categoria: Personalizzato
- sulla destra, nel campo Tipo digitiamo questi simboli: ?/? (che servono per far apparire il numero sotto forma di frazione)
- poi OK.
Ora ritorniamo al foglio di lavoro e nella cella C4 scriviamo =A4
e poi trasciniamo la formula per quante celle ci sono nella colonna numero.
Nella colonna A scriviamo numeri a piacere (meglio da zero a 4, per costruire più facilmente il grafico), interi e con la virgola: 0; 0,25; 0,5;.... 2,75... eccc.
Nella colonna C vedremo apparire i numeri sotto forma di frazione.
Ora per mostrare anche nella semiretta le etichette, inseriamo vicino alla semiretta, sopra, delle caselle di testo per le frazioni che ci interessano di più. Però si deve far attenzione a collocare le caselle di testo nel posto giusto.
Non dobbiamo scrivere noi le frazioni nelle caselle.
Le caselle di testo vanno collegate alle celle della colonna C (etichette).
Si fa così:
- si seleziona la casella facendo clic sulla sua cornicetta,
- si va sulla barra della formula,
- si digita =
- si fa clic sulla cella della colona C che ci interessa es. C4. Apparirà: =$C$4 il riferimento assoluto della cella.
- Invio
Nella casella di testo apparirà la frazione presente nella cella C4!
E così per ogni casella di testo.
Infine, dobbiamo dare alle caselle lo stesso sfondo del foglio di lavoro e dobbiamo togliere il bordo (nessuna linea).
Il lavoro è finito... Ve l’avevo detto che era facile!;-)

Irene II A

Brava Irene! (eh... come vedi ho integrato con: collegamento caselle di testo - celle)

[Tutoriale]Come creare un grafico in Excel

Ragazzi,
sto per spiegarvi passo a passo come realizzare in Excel la rappresentazione dell'insieme N sulla semiretta numerica.
Il titolo del post è generico poiché la procedura è valida per la creazione di un qualsiasi grafico del tipo "a dispersione" in Excel e, nei passaggi fondamentali, anche per la realizzazione di un grafico di altro tipo.
Tale procedura è riferita alla versione 2003 di Excel, ma può facilmente adattarsi alle versioni precedenti. Non ho ancora utilizzato la versione 2007, non so quanto diversa sia!

Seguite attentamente spiegazioni e relative immagini.

Creazione del grafico: semiretta numerica in Excel

Aprite in Excel una nuova cartella di lavoro.
Per prima cosa dobbiamo fissare l'intervallo dei dati da utilizzare per la creazione del grafico. Si chiamano infatti Dati di origine.
Nella cella B4 digitate: x
Nella cella C4 digitate: y
Selezionate ora l'intervallo B4: C27
Dal menu Inserisci scegliete Grafico:

Nella finestra successiva, selezionate il Tipo di grafico: scegliete Dispers. (XY) e poi premete il pulsante Avanti:

Vi apparirà la finestra seguente; premete ancora su Avanti

La finestra del "Passaggio 3", contiene più schede. Nella scheda Titoli, compilate il campo: Titolo del grafico. Digitate: Insieme N su semiretta:

Nella scheda Assi togliete il segno di spunta dall'opzione Asse dei valori (Y), l'immagine dovrà apparire come la seguente:

Nella scheda Griglia, togliete tutti i segni di spunta, come da immagine:

Nella scheda Legenda togliete il segno di spunta a Mostra legenda:

Cliccate poi su Avanti e quindi su Fine. Vi apparirà il foglio di lavoro come nell'immagine:

Dobbiamo ora preoccuparci della formattazione del grafico.

Sul grafico selezionate l'asse delle x: avvicinandovi con il muose alla semiretta orizzontale leggerete la scritta: Asse dei valori (X)
Andate su menu Formato e scegliete: Asse selezionato.
Vi appare la finestra Formato asse.
Fate clic sulla scheda: Scala
Dovete impostare la scala dell'asse dei valori di x
Valore minimo: o (zero)
Valore massimo: 20 (oppure 25)
Unità principale: 1
Unità secondaria: lasciate pure quella preimpostata, è importante solamente che l'unità secondaria sia inferiore o uguale a quella principale.
Clic su Ok. Aiutatevi con l'immagine:

Il foglio di lavoro vi apparirà ora così:

Sulla nostra semiretta leggiamo i numeri naturali fino a 25, ma noi intendiamo rappresentare dei numeri scelti a piacere (per esigenza di costruzione del grafico ci limitiamo a valori inferiori o uguali a 25) associando tali numeri a dei punti della semiretta.
Sulla semiretta non è ancora individuato alcun punto. Dobbiamo infatti cominciare a riempire l'intervallo dei dati di origine. In questo modo stiamo fissando le coordinate dei punti che vogliamo rappresentare.
Nella colonna delle x, dalla cella B5 in giù, digitate il numero naturale che volete rappresentare: 2, 3, 5, 7...
Nella colonna delle y, da C5 in giù, quale valore dovete immettere?
Vogliamo individuare dei punti posti sull'asse delle x.
La coordinata x del punto è data dal numero naturale che vogliamo rapppresentare, qual è la sua coordinata y?
I punti appartenenti all'asse delle x quante unità distano dall'asse delle x? :-)
Ma si, avete risposto: i punti sull'asse x distano 0 unità dall'asse stesso!
La coordinata y è perciò sempre uguale a 0 (zero)

Digitate dunque una serie di zeri lungo la colonna delle y.
Digitate numeri a piacere lungo quella delle x.
Vedrete questi numeri evidenziati sull'asse delle x.

Dobbiamo curare ora la formattazione del foglio di lavoro e ancora quella del grafico ... perché anche l'occhio vuole la sua parte!
Secondo le mie scelte, dovreste arrivare ad avere una situazione come nell'immagine che segue, ma potreste anche avere più buon gusto di me!
Veramente io so che quasi tutti amate sbizzarrirvi con colori vivacissimi. Ricordate le avvertenze che ho fatto sull'accessibilità!
L'utilizzatore del vostro lavoro può avere dei problemi di vista e alcuni colori e scritte possono arrecare dei fastidi o addirittura non essere sopportati.

Come si formatta il foglio di lavoro?
Per prima cosa selezionate la sola colonna delle x e scegliete dal comando Bordi: tutti i bordi.
Ora selezionate l'intero foglio di lavoro (cliccando come sapete sul piccolo rettangolo in alto a sinistra, dove si intersecano le intestazioni di righe e colonne).
Dal comando Colore riempimento, fate la vostra scelta (io ho scelto il colore marrone chiaro).
Ora selezionate la colonna C: dal comando Colore carattere scegliete lo stesso colore scelto per lo sfondo del foglio. In questo modo rendete invisibili gli zeri e l'intestazione y (invisibili ma devono esserci!).
Ora dovete dare lo stesso colore all'area del grafico.
Selezionate il grafico, andate su menu Formato e scegliete Area del grafico.
Nella finestra Formato area grafico per "Bordo" scegliete : Assente, per "Area" scegliete il colore dello sfondo del foglio. Ok.
Infine:
selezionate l'area del tracciato del grafico (che ancora avete grigia o ... ),
da menu Formato scegliete Area del tracciato. Bordo: assente, Area: scegliete sempre lo stesso colore.
Non vi resta che indicare l'unità di misura: dalla barra degli strumenti Disegno scegliete il comando Linea. Tracciate una piccola linea, come vedete in figura, che misurerete sulla distanza tra un numero e l'altro sull'asse delle x. Posizionate vicino alla lineetta due caselle di testo. Su una digitate la u, sull'altra digitate: unità di misura u.
A questo punto non mi resta che dirvi: Buon divertimento! E...
i primi tre di voi (ok, 3 di prima e 3 di seconda) che realizzeranno il lavoro guadagneranno un bel Ottimo!!! :-)

Importante osservazione: si è detto che per la rappresentazione dei numeri naturali abbiamo associato tali numeri a dei punti della semiretta.
Osservate (e ricordate!): ad ogni numero naturale corrisponde un punto della semiretta, MA non è vero il contrario: ad ogni punto della semiretta NON corrisponde un numero naturale. Ci sono dei vuoti!
Nel corso dei nostri tre anni di scuola media, riempiremo tali vuoti. Popoleremo l'intera semiretta (che diventerà retta!) con numeri appartenenti ad altri insiemi numerici che andremo a scoprire!
Per ora con la classe seconda abbiamo già aggiunto alla semiretta i numeri razionali. Spiegherò in un prossimo post ai ragazzi di seconda (assenti l'anno scorso o che non ricordano) come procedere su Excel!

Il Sistema di riferimento cartesiano

Primo post del 2008, ragazzi. Rimettiamoci al lavoro!
Riprendendo dal post del 29 dicembre 2007, I Sistemi di Riferimento.
Avevo concluso dicendo che nel lavoro su Geogebra (come da immagine sul post) il punto su una retta era individuato da due coordinate, la seconda delle quali sempre uguale a zero (0).
Questo perché la costruzione con il programma è basata (come pure la costruzione della semiretta numerica su Excel) sul Sistema di riferimento cartesiano, che qui andiamo a conoscere.

Il Sistema di riferimento cartesiano

Tale sistema di riferimento è utilizzato per stabilire la posizione di un punto P non più sulla retta ma sul piano.
E' detto "cartesiano" dal nome del filosofo e matematico francese Cartesio, vissuto nel 1600.
René Descartes, il suo vero nome (italianizzato Cartesio) ebbe l'idea di questo sistema di riferimento riuscendo a unire il mondo dei numeri con quello delle figure geometriche.
Dunque,
come stabilire la posizione di un punto sul piano?
Seguite passo a passo:
1_Disegniamo come riferimento una semiretta orizzontale (nelle figure leggi la denominazione precisa: assi):

2_Disegniamo una semiretta verticale che abbia la stessa origine della prima, parta cioè dallo stesso punto:

3_Fissiamo ora una unità di misura:

Il punto O, origine comune delle due semirette, è detto origine degli assi:

Possiamo indicare la posizione di un punto P sul piano misurando la sua distanza (a destra) dalla semiretta verticale e la distanza (in alto) dalla semiretta orizzontale.

nella figura il punto P è distante 3 unità dalla semiretta verticale. Tale distanza è misurata sulla semiretta orizzontale (asse delle x).
Il punto P è distante 5 unità dalla semiretta orizzontale. Tale distanza è misurata sull'asse delle y.

Confrontando questa situazione con il sistema di riferimento sulla retta notiamo che:

- la posizione del punto P è individuata da due distanze, non più da una sola;
- l'origine da cui si misurano le due distanze, è un punto che è dato dall'intersezione di due semirette, la verticale e l'orizzontale.

Nel piano un sistema di riferimento così costituito:
* due semirette, una orizzontale ed una verticale, quindi perpendicolari
* il punto origine comune delle semirette
* le distanze di un punto P così ordinate: distanza dalla retta verticale e distanza da quella orizzontale,
prende il nome di sistema di riferimento cartesiano.

Riepiloghiamo con il linguaggio specifico:
Il sistema di riferimento cartesiano è costituito da due semirette perpendicolari, chiamate “assi” che si intersecano in un punto O detto “origine”.
L’asse orizzontale si chiama asse delle ascisse o asse delle x;
L’asse verticale si chiama asse delle ordinate o asse delle y.
Gli assi hanno un verso:
per l’asse delle x il verso (positivo) va dall’origine verso destra;
per l’asse delle y il verso (positivo) va dall’origine verso l’alto.

Le coordinate cartesiane
Le distanze del punto P dalla retta verticale e dalla retta orizzontale, prendono il nome di coordinate cartesiane del punto P.
Possiamo quindi dire che ad ogni punto del piano può essere associata una coppia di numeri:
il primo numero, la distanza dall'asse verticale, viene letto sull’asse delle ascisse (orizzontale), il secondo numero, distanza dall'asse orizzontale, viene letto sull’asse delle ordinate (verticale).
Attenzione all’ordine con cui sono date le coordinate, se le scambi ottieni punti diversi!
Le coordinate di un generico punto P si indicano con le lettere x e y:
P=(x;y). L’ascissa x deve precedere sempre l’ordinata y

Nota: abbiamo parlato di verso positivo per i due assi x e y. Prolungando entrambe le semirette il piano risulta suddiviso in 4 parti, dette quadranti. Per ora ci siamo limitati a conoscere il sistema di riferimento. Abbiamo considerato il quadrante positivo del piano cartesiano [è così chiamato il piano su cui sia fissato il sistema di riferimento cartesiano]. Più avanti approfondiremo il discorso...

Osservazione: vi spiegate a questo punto perché le coordinate di un punto P, che si trova su una retta sono 2 e la seconda è sempre uguale a o (zero)?
Il punto su una retta [presa come riferimento la semiretta orizzontale del riferimento cartesiano], dista o unità dall'asse delle x!