Radici quadrate approssimate.Insieme I dei numeri irrazionali. Insieme R dei numeri reali assoluti.

Alessandra, Irene e Laura descrivono la procedura per il calcolo approssimato delle radici quadrate di numeri non quadrati perfetti....

In Excel la formula per l'estrazione di radice quadrata ci calcola la radice di un numero non quadrato perfetto.
Noi abbiamo provato a calcolare queste radici. Abbiamo approfondito il tema dell’approssimazione, che significa che devo trovare il numero che, per eccesso o per difetto, elevato alla seconda, si avvicini di più al radicando.
Abbiamo considerato per es. la radice quadrata del numero 2.
2 non è quadrato perfetto, la radice di 2 non è esatta ma approssimata, cioè ci si può avvicinare il più possibile al risultato, che però non sarà mai esatto.
Ricordiamo che si può approssimare:
• a meno di un’unità;
• a meno di un decimo;
• a meno di un centesimo;
• a meno di un millesimo…e così via.
Più cifre decimali si considerano, migliore è l'approssimazione.
Per prima cosa troviamo tra quali 2 numeri interi è compresa la radice di 2.
Essa è compresa tra 1 e 2 perché 1^2=1, che è più piccolo di 2 e 2^2=4, che è più grande di 2.
In questo caso se diciamo che la radice di 2 è uguale a 1, per difetto, oppure, per eccesso, che è uguale a 2, facciamo un’approssimazione “grossolana”.
Cerchiamo le approssimazioni migliori facendo dei tentativi: eleviamo alla seconda numeri decimali, dapprima con una cifra, poi con due, tre cifre decimali ecc...
Abbiamo fatto i tentativi usando Excel. Questa è l'immagine:

Nel file approssimazioni.xls, si capisce come abbiamo proceduto!

Il nuovo insieme I, dei numeri irrazionali.

Tutti i nostri tentativi e il calcolo delle radici quadrate con Excel, ci dimostrano che anche continuando con un numero grandissimo di cifre decimali, non si ottiene mai la radice esatta.
Quindi le radici quadrate di numeri non quadrati perfetti sono dei numeri decimali, illimitati e non sono periodici! Non periodici, quindi non si possono rappresentare sotto forma di frazione.
Abbiamo così scoperto un nuovo insieme: l'insieme dei numeri irrazionali. Si indica con I.
L'insieme dei numeri Irrazionali con l'insieme dei Razionali, Q, costituiscono l'insieme R dei numeri Reali (noi abbiamo considerato per ora solo i Reali senza tener conto del segno: si dice numeri reali assoluti).
I numeri reali costituiscono l'insieme unione di I e Q:

Rappresentazione con il diagramma di Eulero Venn (in Q è incluso N, insieme dei naturali)

Ale, Irene, Laura II A

(Il file .xls da scaricare è quello di Alessandra,
il lavoro è stato realizzato correttamente anche da Irene e Nicola)

Ancora un lavoro in Excel, radq.xls, che esemplifica l'uso delle formule per il calcolo delle radici e riporta qualche particolare sulle approssimazioni...

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