Movimenti nel piano

Ragazzi, ricordate i pesciolini nell'acquario ...cartesiano?
Ah, se non li ricordate ... perché non li avete visti :-(
dovete fare il clic e andare a vedere.
E comunque,
guardiamoci questi due

Lo sapete che il pesciolino azzurro non è altro che quello rosso che nuotando ... ha cambiato colore?[perché i nostri pesciolini sono cangianti! :-) ]
Nel post, quello su cui siete andati a vedere, avevo accennato alla geometria delle trasformazioni. Dovremo occuparcene, come vi ho detto, in maniera da fare ordine...
Già conosciamo (un po'), trasformazioni che non deformano in alcun modo le figure, cioè che fanno ottenere delle figure congruenti a quella iniziale, figure che si sovrappongono punto per punto, combaciano... Lo abbiamo visto tante volte ruotando degli oggetti, es la squadretta, per cambiare la posizione di angoli ..., oppure osservando delle figure o delle tabelle o parti di tabelle che si guardano allo specchio ..., e abbiamo detto che si tratta di movimenti rigidi.
Il nostro pesciolino nuota in un mare che, in matematica, chiamiamo piano cartesiano.
Cominciamo dunque a conosce meglio i movimenti nel piano (in quello cartesiano in particolare, in un secondo momento, )
E, a proposito di movimento, non potendo stare ferma, ho preparato delle animazioni!:-)
Cliccate: osservate che il triangolo T si muove, scorrendo sul righello. Il movimento è chiamato traslazione.

La traslazione avviene nel piano stesso nel quale giace il triangolo T. E' una proprietà specifica della traslazione.
Ora un altro movimento. Il triangolo è fissato alla lancetta delle ore di un orologio. La lancetta ruota ...

La rotazione, come la traslazione, avviene nel piano stesso nel quale giace il triangolo T.
Infine, un altro movimento rigido: nell'animazione vedrete la figura F che si trasforma in quella F', mediante un ribaltamento.

Il movimento di ribaltamento avviene fuori dal piano in cui giace la figura F (apri il palmo di una mano: per sovrapporlo al palmo dell'altra devi eseguire un ribaltamento, movimento fuori dal piano che contiene la prima mano)

Ora, mettiamo giusto un po' d'ordine, curando un po' la terminologia specifica:

1) Movimento rigido: traslazione, rotazione e ribaltamento;
le figure ottenute mediante questi movimenti si sovrappongono perfettamente, punto per punto, alla figura di partenza; esse sono congruenti. Le due figure congruenti mantengono quindi invariate ogni lunghezza, l'ampiezza degli angoli, l'estensione nel piano (area). Si dicono perciò isometriche (dal greco, di uguale misura - iso, ricordate, isoscele...- ).
La traslazione, la rotazione e il ribaltamento sono delle trasformazioni geometriche definite isometrie.
2) La traslazione e la rotazione avvengono nel piano nel quale giace la figura iniziale: sono detti movimenti diretti; le figure ottenute con questi due movimenti si dicono direttamente congruenti (o direttamente isometriche)
3) Il ribaltamento è un movimento inverso: richiede di uscire dal piano in cui giace la figura iniziale.; le figure ottenute per ribaltamento sono dette inversamente congruenti (o inversamente isometriche).
E... vi sarete accorti che il ribaltamento lo abbiamo già conosciuto con il nome di simmetria (figure che combaciano, si guardano allo specchio...) Ma è una particolare simmetria... su queste dobbiamo indagare più a fondo!
Per il momento fate qualche esercizietto:
a) Osserva le tre figure

__ __

In quale figura osservi:
- Una traslazione? .........................................
- Una rotazione? ..........................................
- Un ribaltamento? ......................................
Quale dei tre movimenti non è avvenuto nel piano nel quale giace la bandierina alla sinistra? ...............
Infine va', due schede da ingrandire e stampare, per sapere ...

e per saper fare

Testo di riferimento per l'argomento e le attività: Matematicamente - Ed scolastiche B. Mondadori da cui sono tratte schede e immagini.

I movimenti delle ‘elle’ sul piano ...

Bè, i piccoli

hanno rispettato l’impegno di lavorare sulle trasformazioni geometriche.

E’ il loro primo impatto con il tema, come ancora lo è quello con l’utilizzo di Geogebra!  Vero è che non possiamo far nulla a scuola per inutilizzabilità degli strumenti, però ... qualche progresso in autonomia sarebbe auspicabile!

Pietro P. ha lavorato così (riporto l’immagine dal foglio geogebra):

Manuel scrive:

In classe abbiamo parlato di movimenti rigidi nel piano. La rotazione, la traslazione, la similitudine... Questi argomenti ci sono serviti per un compito che consisteva nel dividere una L grande in quattro elle perfettamente sovrapponibili, cioè congruenti.

Ho fatto così:
prima ho disegnato una L, dopo altre quattro l piccole, simili alla L grande.

Per essere simili e in modo che nella L grande ci stessero 4 piccole, ho disegnato le l piccole con i lati uguali alla metà di quelli della grande.

Ho messo la elle blu in quella grande attraverso una traslazione.
Ho messo la elle gialla in quella grande attraverso una rotazione di 90° e una traslazione.
Ho messo la elle rosa in quella grande attraverso una traslazione.
Ho messo la elle rossa in quella grande attraverso una traslazione.

Pietro S., si è fatto aiutare con lo slider, ha usato la simmetria e realizzata la costruzione animata. Clic su img, Sull’applet spiega...

Bachisio ha lavorato sul quaderno per momentaneo impedimento con il pc. Descrive come i compagni i suoi disegni e i movimenti operati sulle figure (traslazioni e rotazioni).

Pier Luigi, così lavora su geogebra

e scrive:

abbiamo visto delle proprietà comuni alla rotazione e alla traslazione: avvengono nello stesso piano nel quale giace l'oggetto e sono movimenti rigidi che conservano invariate forma e dimensioni dell' oggetto (le figure ottenute con i due movimenti sono congruenti), traslazione e rotazione sono trasformazioni geometriche che si chiamano isometrie.

Gian Mario costruisce solo la figura

Ok, la prof ha preparato questa applet. Per voi la costruzione ancora è un po’ complessa, spero di aver modo di approfondire... Clic:

La traslazione in Excel

Ragazzi, ripasso o studio qui e ora
la traslazione sul foglio elettronico Excel.
questa l'immagine, clic per ingrandire

Il foglio contiene le indicazioni per modificare il triangolo di partenza, le coordinate degli estremi del vettore, quindi la sua lunghezza, e volendo si può modificare anche il verso della traslazione.
Le verifiche confrontano:
la lunghezza del vettore con la distanza tra i punti, AA', BB', CC', corrispondenti nella traslazione;
e controllano:
la direzione della traslazione mediante il calcolo della "pendenza", quindi del coefficiente angolare, di due rette, quella contenente il vettore e quella contenente il segmento AA': rette con uguale coefficiente angolare sono tra loro parallele.
Il file da scaricare Traslazione.xls

Proprietà della traslazione e della rotazione

Continuiamo la nostra attività sui movimenti nel piano.
Abbiamo visto delle proprietà comuni alla traslazione e alla rotazione: avvengono nello stesso piano nel quale giace l'oggetto e sono movimenti rigidi che conservano invariate forma e dimensioni dell'oggetto (le figure ottenute con i due movimenti sono congruenti), traslazione e rotazione sono trasformazioni geometriche definite isometrie.
Ora studiamo le proprietà che distintamente caratterizzano le due trasformazioni.
Come al solito utilizziamo GeoGebra, cominciamo con la traslazione.
Clic sulla figura per aprire l'applet e ... scoprire!:

E la rotazione:

Ragazzi, vi segnalo Inserimento di un vettore tra due punti e traslazione con i vettori, un video della maestra Renata che vi sarà di grande aiuto per comprendere meglio la traslazione. Anzi direi che sarebbe da vedere prima!
Attenzione, sulla pagina troverete più di un video, tutti interessanti, dovreste vederli... : quello che ci interessa nel caso specifico è il terzo, insomma basta leggere :-)

Esercitazioni con Geogebra sulla traslazione

III A,
come promesso pubblico le esercitazioni guidate da fare on line sul foglio di lavoro dinamico di Geogebra.
1) Come fareste sul vostro quaderno, applicare la traslazione di vettore $\vec{ u }$ assegnato, ad un poligono ABCD e visualizzare le coordinate dei vertici A', B', C', D' . Clic sull'immagine per aprire il video che vi mostra come fare con Geogebra

Ora esercitatevi sul foglio di lavoro. Clic:

2) Per la seconda esercitazione non è necessario guidarvi. Sono sufficienti le indicazioni riportate sul foglio di lavoro. Siete avvantaggiati rispetto al lavoro sul quaderno!
Si tratta di stabilire (ma è solo una verifica, le coordinate le vedete indicate) la relazione tra le coordinate x e y, dei vertici di un poligono e quelle, x', y', del poligono ad esso corrispondente nella traslazione di vettore dato, tenuto conto delle dimensioni del rettangolo di cui il vettore è la diagonale. Dovete riportare sul vostro quaderno le relazioni trovate dopo ogni modifica del vettore.
(vi ricordo: A(x;y) ----> A'(x ± b_rett; y ± h_rett) così per gli altri vertici; il simbolo ± indica più (+) oppure meno (-), dipende dalla direzione e dal verso del vettore. vero?)
Sul foglio trovate le indicazioni per modificare direzione, verso e intensità (o modulo) del vettore. Clic sulla figura e buon lavoro!

Disegna il vettore

Ragazzi, non prima di aver "studiato" QUI e QUI, in particolare la parte relativa alla traslazione,
ecco una piccola (facile) esercitazione. Guidata!
Con l'aiuto della nostra amica maestra Renata, che ringrazio tanto, posso pubblicare un piccolo video - tutoriale che vi mostra come operare per eseguire l'esercizio che vado a proporvi.
Disegnare, con GeoGebra, il vettore che in una traslazione di alcune figure piane fa corrispondere la figura F' alla figura F
Seguite come si fa, nel filmato. Clic sull'immagine.

Tutto chiaro?
Ora, fate voi sull'applet GeoGebra. Clic

Buon divertimento! :-)
[Aggiornamento]: ancor di più potete divertirvi con le Traslazioni con i vettori di Maestra Renata. E non trascurate di guardare il video:
Inserimento di un vettore tra due punti e traslazione con i vettori, che già avevo segnalato in un precedente post.
Renata, felice dell'interazione, scambio, continuità in verticale! :-)

Qualche esercizio sulla traslazione

III,

come promesso, eccovi qualche esercizio in preparazione della verifica.

Suggerirei di rivedere (o vedere) prima questo:

Esercitazioni con Geogebra sulla traslazione

Raccomando l’ultima applet.

Poi, gli esercizi:

1. Il triangolo ABC viene traslato nel piano cartesiano in modo che il vertice A venga a trovarsi in A'.

Quali sono le coordinate B' e C' degli altri vertici del triangolo traslato?

2. Trasla il triangolo del vettore u indicato

3. Trasla il poligono del vettore v assegnato

- Manco a dirlo: esercitatevi nel calcolo con i razionali relativi (con proprietà potenze!)

a Martedì ... 

Traslazione: un problema

III,

un problema stimolante!

L’esagono blu è regolare e ha il perimetro di 42 cm.

Bisogna trovare il perimetro e l’area della figura con il contorno rosso (EOD” ), sapendo che gli ultimi due archi a destra sono ottenuti per traslazione del primo a sinistra, che fa parte della circonferenza circoscritta all’esagono.

Aiuto: equivalenza - equiscomponibilità. Individuate porzioni equivalenti, dimostrando perché lo sono.

Le prime traslazioni!

Geogebra già ... innamora!

Beatrice si è data da fare: ha letto bene i post segnalati, ed è anche andata a vedere i video su vettori e traslazioni, da maestra Renata.

Ha così realizzato, e mi ha inviato via mail, il suo primo lavoro sui movimenti nel piano.

Ecco le sue chiesette traslate. Cliccate sull’immagine per aprire l’applet. Potrete muoverle!

Bea merita un Bravissima! Ho già detto che a scuola non abbiamo ancora utilizzato Geogebra, dunque ha fatto tutto da sola! Mi ha chiesto come nascondere “le lettere che appaiono quando si forma un disegno”, cioè le etichette degli oggetti. Le ho nascoste io per lei ma ora sa come fare! :-)

Ringraziamo Maestra Renata! Eheh, lo sapevi mae’ che ci saresti stata utile!:-)

E...

una traslazione animata di Gabriele (classe II). Clic su immagine

Io non ho indagato troppo sul lavoro.... :-) Però è apprezzabile l’utilizzo degli strumenti di Geogebra: colori dinamici, slider, Casella di controllo, coordinate di punti legate a slider ...

Ancora una traslazione. Le barchette di Andrea F.

Soluzione FLATlandia gen ‘12 [Aggiornato]

Pubblico

la soluzione del quesito data da Beatrice, su GeoGebra.

Clic per aprire l’applet

Davide D. risolve, ma non spiega. Mi è piaciuta la sua idea di ricomporre le quattro figure, a formare il quadrato, con la traslazione. La vediamo in figura.

Aggiorno il post con la soluzione del primo quesito del problema, discussa nella classe III. Relazionano Maria Chiara e Letizia

Dopo le soluzioni dei ragazzi di seconda, ecco che arriva anche la nostra.

Come vuole la prof abbiamo lavorato non più secondo l’intuizione, ma dando una spiegazione ad ogni conclusione: *dimostrare* !

1) Trovare le misure incognite dei lati dei triangoli e del pentagono su riportato.

Iniziamo con le misure più facili da trovare.

CH = CB-HB = DA-HB = 9-3 = 6

In quanto CB è uguale a DA poiché sono lati paralleli, quindi congruenti, dello stesso rettangolo

DE = DF+FE = 5+10 = 15

Avendo così la misura di DA e DE che costituiscono cateto e ipotenusa di un triangolo rettangolo possiamo trovare AE :

$AE = \sqrt{DE^2-DA^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$

Ancora osserviamo:

DG = EB in quanto AE = GC e AB = CD

Ora però viene la parte più complicata, dove bisogna utilizzare concetti studiati precedentemente:

come facciamo a trovare DG?

Sappiamo solo che esso è uguale a EB ma essendo anche questo incognita non può esserci d’aiuto così la prof ci invita a focalizzare la nostra attenzione sui triangoli DAE, retto in A, e DGF, retto in G.

Dopo un minutino di silenzio ecco che Erica interviene aprendo la strada a tutti con un’osservazione molto acuta e utile per arrivare ad una soluzione. Riporto qui sotto:

< il triangolo DGF è ⅓ di DEA>; infatti la misura del lato DF (5) e la misura del lato DE(15) sono in rapporto 1:3.

Bene ma, l’affermazione di Erica, dice la prof, non è sufficiente a stabilire che "il triangolo DGF è ⅓ di DEA" . Continuiamo quindi a "studiare" i due triangoli.

Essi possiedono un angolo retto in quanto sono dei triangoli rettangoli, ma abbiamo notato che hanno anche un secondo angolo uguale, ecco il disegno qui sotto:

Gli angoli segnati in verde sono uguali perché alterni interni: prolungando i lati AB e DC da entrambi i vertici avremmo le rette parallele, la trasversale è data dal prolungamento del segmento DE da entrambi gli estremi.

Ora possiamo dire che se hanno 2 angoli uguali anche il terzo sarà uguale in quanto la somma degli angoli interni di tutti i triangoli è di 180°.

Adesso abbiamo tutte le condizioni per poter affermare che i due triangoli (DAE e DGF) sono simili secondo il primo criterio di similitudine: due triangoli sono simili quando gli angoli corrispondenti sono congruenti, ma in questo caso potremmo anche dire “due triangoli rettangoli sono simili quando hanno uno dei due angoli acuti congruente”.

Quindi i loro lati sono in proporzione. Perciò possiamo scrivere:

DG : AE = DF : DE

DG : 12 = 5 : 15

DG = 12*5/15 = 4

Una volta trovata la misura di DG (e anche di EB) possiamo trovare con il teorema di Pitagora anche i lati HE e GF:

$HE=\sqrt{EB^2+HB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

$GF=\sqrt{DF^2-DG^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$

La rotazione sul piano cartesiano in Geogebra

III A,
dopo quello della traslazione, eccovi lo studio della rotazione sul piano cartesiano.
Per individuare le coordinate dei vertici di un poligono ruotato di una certa ampiezza rispetto a un altro, dato il centro di rotazione e il verso, sul vostro quaderno dovreste utilizzare riga e squadra e in alcuni casi goniometro (in quali casi?). Con Geogebra invece... osservate come si fa nel seguente filmato. Clic sull'immagine

Ora provate voi sull'applet. (Potete sempre tenere aperta anche la finestra del filmato, potete bloccare, tornare indietro, riattivare...)
Clic per aprire la finestra del foglio di lavoro:

In un secondo foglio potete seguire mediante slider la rotazione di un quadrilatero, in senso orario oppure antiorario, confrontare le coordinate dei vertici con i risultati del precedente lavoro, osservarne la variazione a seconda dell'ampiezza di rotazione.
Particolare attenzione va prestata alla rotazione di 180°. Vedi foglio di lavoro.
In proposito ... c'è da sviluppare lo studio delle trasformazioni geometriche! Clic:

Buon lavoro!
(oops, devo ancora vedere i lavori di Anna Laura! fra un po', bella! :-))

Altro problema con traslazioni

III,

per chi non lo ha svolto durante la verifica.

- L'intera figura è ottenuta dal modulo azzurro; sapendo che questo deriva da un rettangolo con lati di 8 cm e 15 cm, individua, per ciascuno degli altri moduli, una traslazione che permette di ottenerlo dal modulo azzurro, indicando la lunghezza del vettore che ne costituisce il passo.

Sapendo che il diametro delle circonferenze è metà del lato più lungo, determina perimetro e area della figura completa.

Tassellature del piano con poligoni non regolari

Abbiamo già visto in una nostra attività (e anche qui),
che, fra i poligoni regolari, solo il triangolo equilatero, il quadrato e l’esagono regolare possono tassellare il piano, cioè è possibile  “pavimentare” o “piastrellare” il piano accostando i poligoni l'uno all'altro, senza sovrapporli e senza avere degli spazi vuoti tra essi. In ciascuno di tali poligoni l’angolo interno è sottomultiplo di un angolo giro.
E’ però possibile realizzare delle “pavimentazioni” o tassellature, anche con poligoni non regolari.
E’ stato dimostrato che nessun poligono convesso con più di sei lati può tassellare il piano.
Consideriamo dunque i poligoni di tre, quattro, cinque e sei lati. 
Tasselli triangolari
Qualunque triangolo può tassellare il piano. Si può costruire il simmetrico del triangolo rispetto al punto medio di uno dei suoi lati:  “i lati corrispondenti di due triangoli identici combaciano e si forma un parallelogramma. Com’è ovvio, le repliche di un parallelogramma si possono far combaciare lungo i lati per formare una fila illimitata di lati paralleli, e le strisce, a loro volta, si possono avvicinare l’una all’altra per ricoprire interamente il piano”.
Nella costruzione con geogebra, ho utilizzato solamente successive simmetrie di centro punto medio di un lato dei triangoli. Clic sulla figura per aprire l’applet. Sul foglio di lavoro l’indicazione più semplice se si vuole … estendere la pavimentazione! (ho lasciato visibili solo i segmenti esterni per motivi estetici)
Tasselli a forma di quadrilatero
“Qualunque quadrilatero tassella il piano!” Anche in questo caso si può costruire il simmetrico del quadrilatero rispetto al punto medio di uno dei suoi lati:  “i lati corrispondenti di due quadrilateri identici combaciano e si forma un esagono. Ogni lato dell’esagono è necessariamente uguale e parallelo al lato opposto. Tale esagono, con una semplice operazione di traslazione, formerà un motivo tassellante”
Anche in questo caso, con geogebra ho utilizzato successive simmetrie di centro punto medio di un lato dei quadrilateri. Il quadrilatero inoltre può anche non essere convesso. Clic sulla figura per aprire l’applet. Indicazioni sul foglio di lavoro…
Modificando il quadrilatero da convesso a  concavo si può avere una figura simile

Tasselli a forma di pentagono
I tasselli a forma di pentagono convesso possono essere classificati in otto tipologie. Cinque furono trovate da Reinhardt. Kershner li descrive contrassegnando i pentagoni per tipi. Nell’immagine il tipo e la tassellatura corrispondente:
Le caratteristiche dei singoli tipi:

Angoli: A + B + C = 360° Angoli: A + B + D = 360° Angoli: A = C = D = 120° Angoli: A = C = 90°   Angoli: A = 60°, C = 120°

lati: a = d lati: a = b, d = c + e lati: a = b, c = d lati: a = b, c = d

a queste cinque tipologie se ne aggiungono altre tre… e
“Non è dimostrato il fatto che non esistano altri pentagoni convessi capaci di tassellare il piano, per l’eccellente ragione che una dimostrazione completa richiederebbe un libro piuttosto voluminoso”
Con geogebra la tassellatura del 5° tipo.  Costruita con i passi segg:

1. Punto medio del lato e del pentagono ABCDE
2. Simmetrico di ABCDE rispetto al punto
3. Rotazione di 60°  del simmetrico ottenuto, con centro il punto corrispondente del punto A nella simmetria.
4. Rotazioni successive di ampiezza 60°, con medesimo centro, dei pentagoni ottenuti.
5. Ripetere dal punto 1.

Clic sull’immagine per aprire l’applet. Indicazioni sul foglio di lavoro…
Variando la forma del pentagono, conservando le proprietà di lati e angoli…
Infine, se il pentagono diventa concavo
Per ora mi fermo qui. In un altro post le tassellature esagonali (almeno) .
Ma quanto altro nel capitolo 13, Mosaici di poligoni convessi, del:
Viaggio nel tempo e altre stranezze matematiche -  Martin Gardner – Sfide Matematiche  !
- Le scritte in grigio e l’illustrazione dei tipi-tasselli pentagonali, dal testo.-
Link sulle Tassellazioni del piano:
Matematica e dilettanti
Attività di tassellazione con GeoGebra

Vola vola l’ape Maia

Lavoro di Beatrice

con la traslazione. Un lavoretto molto curato: ha messo lo sfondo alla vista grafica, nascosto i vettori, le etichette, e altro...! Clic su immagine per vedere l’applet

Bea, clicca anche tu! Piccola, ti ho “attivato” la Casella di controllo: l’hai messa ma... non sapevi come farla funzionare! Lo scrivo qui, così serve a tutti:

1. Aprite la finestra delle Proprietà
2. Controllate il nome della Casella di controllo: nella finestra Proprietà la trovate indicata come Valore booleano (nel tuo lavoro l’etichetta è j)
3. Selezionate gli oggetti (in questo caso gli esagoni e i segmenti, lati degli esagoni) che si vogliono mostrare solo quando la Casella di controllo è spuntata. (in questo caso gli oggetti da selezionare sono tanti, vi mostrerò come farlo velocemente)
4. Andate sulla scheda Avanzate. Nel campo Condizione per mostrare l’oggetto digitate: etichetta casella di controllo== true. Nel caso del lavoro di Beatrice: j ==true (proprio così,  due volte il segno =, non preoccupatevi d’altro per ora...). Dovete fare questo per ciascun oggetto da mostrare o nascondere agendo sulla Casella di controllo. Perciò è utile saper selezionare contemporaneamente tanti oggetti in maniera rapida.
5. Chiudete la finestra Proprietà e agite sulla casella di controllo!

Attendo altre cose belle! :-)

Pesciolini nell'acquario ... cartesiano!

Ragazzi,
vedete questi bei pesciolini colorati?
Fate clic. Vedrete quello rosso solo soletto, agite sul pulsante Play, l'acquario cartesiano si popolerà!

E' solo un giochino, tanto per introdurre la geometria delle trasformazioni: similitudine, traslazione, rotazione, simmetrie...
Abbiamo più di una volta solo accennato a queste trasformazioni. Ora c'è da fare ordine, distinzioni, approfondire insomma, e imparare a operare! E, vedete, può davvero essere divertente.
Vabbé... per quest'anno scolastico non si fa in tempo. Potete però cominciare ad indagare... quando avrete voglia, durante le vacanze!:-)

La rotazione in Excel

Dopo la traslazione, la rotazione in Excel.
Ma questa ... farina d'altrui sacco!:)
Dal mago dei grafici (e non solo) Fernando Cinquegrani, ho trovato il lavoro pronto per noi.
Clic sulla figura per scaricare il file rotazioni2d.xls

Al link si arriva da QUI, dove già si possono visualizzare diverse applicazioni realizzate da Fernando. In fondo alla pagina cliccate su
contributi ai newsgroup (alcuni)
contributi ai newsgroup (molti altri)
per trovare, e scaricare, numerosi esempi in risposta ai più svariati quesiti posti da utilizzatori di excel, nei newsgroup appunto.
Dunque, lavoro già pronto, ma ho voluto anch'io, giusto sulla falsariga, riprodurre la rotazione di figure sul piano.
Un triangolo:

un altro quadrilatero:

Il file da scaricare rotazione.xls
grazie Fer!