A Pitagora quel che è di Pitagora ...

Nell'attesa del vostro post, ragazzi, sappiate che...
Leggete ancora una bella storia!

"Dalla parte opposta del sipario, si aprì la porta laterale e una ventata d'aria fresca entrò nello studio. Perrette sgattaiolò silenziosa nella sala proprio nel momento in cui si spegneva il fischio di ammirazione di Jonathan e Lea. Lei avrebbe voluto raggiungerli, poi, vedendo Albert, cambiò idea e si sedette.
Fu allora che, dall'altoparlante, giunse una voce ferma: «Attenzione, attenzione, questa è una rivelazione! Questa è una rivel... »
Ruche spense il contatto e annunciò: « Qui Ruche, ho una rivelazione da farvi. Il teorema di Pitagora non è di Pitagora».
Una salva di applausi accolse lo scoop. Lea non avrebbe saputo spiegare per quale motivo provasse tanto piacere; Jonathan, invece, rimase impassibile.
«Bisogna dare a Cesare quel che è di Cesare », riprese Ruche, « e togliere a Pitagora quel che non è di Pitagora. Molto tempo prima di lui, gli egizi e soprattutto i babilonesi avevano scoperto che esisteva un legame tra alcuni gruppi di tre numeri interi, e precisamente quello indicato dal celebre teorema.»
Per non allungare troppo il proprio intervento, si astenne dal precisare che su una tavoletta babilonese, la tavoletta Plimpton 322, così chiamata dal nome dell'archeologo inglese che l'aveva scoperta, uno scriba aveva indicato una quindicina di gruppi di tre numeri interi per i quali valeva la regola che la somma del quadrato di due di essi era uguale al quadrato del terzo.

La tavoletta babilonese, Plimpton 322.

La tavoletta era stata incisa oltre mille anni prima della nascita di Pitagora. Uno dei tre gruppi era 44, 60, 75, che equivale al nostro 3, 4, 5.

[44, 60, 75 non è una terna pitagorica...
Su questa tavoletta vi sono state e continuano innumerevoli discussioni. Cosa vogliono dire tutti questi numeri ? Al di là di ricostruzioni fantastiche, i più sono d'accordo nell'affermare che ci troviamo di fronte alla elencazione di terne pitagoriche. Nelle colonne II e III sono riportati dei numeri c e b tali che c² - b² sia uguale ad un quadrato, a², riportato nella colonna I diviso per c² (la colonna I, risultando parzialmente danneggiata, è stata interpretata laddove risultava illeggibile).
La colonna IV enumera solo le colonne, si tratta di numeri che vanno dall'1 al 15.
La colonna che viene supposta mancante, sulla sinistra, avrebbe dovuto contenere i numeri a. Si intuisce che siamo noi a dire che vi sono riferimenti a triangoli ma la tavoletta non lo dice in nessuna parte ed inoltre non si capisce cosa stia a fare o a significare il rapporto a²/c² che è riportato nella colonna I.
Quanto detto autorizza a varie ipotesi la più semplice è quella che prevede una manipolazione di numeri dai quali si ricavano alcune proprietà (ci sono storici che affermano che la tabella serva per preparare le soluzioni di equazioni di secondo grado). Non è detto che si stia argomentando su quello che conosciamo come Teorema di Pitagora.
In ogni caso, vediamo alcuni problemi a carattere geometrico in cui si può ravvisare la conoscenza del Teorema che sarà noto come Pitagora. Da qui]

Fece un segnale a Nofutur, che si drizzò sul posatoio, mentre Max si alzava.
«Tre bastoncini di legno! » annunciò il pappagallo. Max prese i tre bastoncini di legno disposti sul tavolo e li presentò al pubblico.
Nofutur: «La lunghezza del primo è 3, del secondo 4, del terzo 5 ». Max riportò tre volte la lunghezza della mano aperta sul pezzo di legno più piccolo, quattro volte su quello mediano e cinque sull'ultimo.
« E adesso che fanno, un'esibizione live? » brontolò Lea.
« Hanno fatto le prove », borbottò Jonathan. « Quando hanno potuto preparare questo numero da hostess? »
In effetti, Max aveva un sorriso vacuo e i suoi gesti meccanici somigliavano a quelli delle hostess che, in aereo, dopo il decollo, spiegano ai passeggeri il funzionamento della maschera a ossigeno e del giubbotto di salvataggio.
Nofutur proseguì: «Il quadrato di 3, che è 9, più il quadrato di 4, che è 16, danno come risultato il quadrato di 5, che è 25: il triangolo che ha come lati questi tre bastoncini è rettangolo! »
Mentre il pappagallo parlava, Max, con la punta dell'indice, scriveva nell'aria quello che Nofutur diceva: «3²+4² = 5² ».
Poi unì i tre legnetti in modo che le estremità fossero a contatto, formando un triangolo perfettamente identico a una squadra.
Che cosa dice il teorema? » domandò il signor Ruche. « Esso spiega che esiste un rapporto fra la lunghezza dei lati e la natura del triangolo.
E questo legame si può esprimere come segue: se la somma dei quadrati di due lati di un triangolo è uguale al quadrato del terzo, ossia: a² + b² = c², allora il triangolo è rettangolo. Esiste un rapporto molto stretto tra la lunghezza dei lati e la natura di uno degli angoli del triangolo.»
Si riempì un bicchiere d'acqua, bevendolo poi lentamente.
Max, che intanto era tornato al suo tavolo, colpì uno dei vasi sonori.
« Accordo del signor Ruche! » annunciò con la voce roca di Nofutur, che riusciva a imitare sempre meglio.
Il signor Ruche per poco non si strozzò.
Perrette si era sfilata le scarpe, allungando le gambe; la lunga giornata di lavoro in libreria l'aveva stancata. Seduta davanti al sipario chiuso, ascoltava senza vedere. ....
Jonathan fremeva, e finì per apostrofare Ruche. « Non per difendere Pitagora... »
Invece era proprio quello che intendeva fare. I capelli lunghi e il look di Pitagora avevano creato subito un legame di complicità tra lui e quel giramondo dell'antichità che aveva scorrazzato un po' ovunque dalle rive del Nilo a quelle dell'Eufrate, da Tebe a Babilonia, dalle coste dell'Asia Minore a quelle della Siria, dalle isole del mar Egeo alle sponde dello Ionio.
« Non per difendere Pitagora », continuò Jonathan, « ma lei, signor Ruche, ci ha spiegato a sufficienza che bisogna distinguere tra un risultato e la sua dimostrazione. Ora, i babilonesi e gli egizi possedevano un risultato, certo, ma lo avevano dimostrato? »
« A quanto pare, no », rispose Ruche.
« Dunque si può dire 'il risultato dei babilonesi' e 'il teorema di Pitagora'. Bisogna dare a Pitagora ciò che è di Pitagora! » argomentò Jonathan tutto trionfante.
Lea scelse proprio quel momento per chiedere al signor Ruche: « Perché quel sipario? Perché ci ha costretti ad aspettare tutto quel tempo là dietro? » [ cosa vi ricorda questa battuta, ragazzi?:-)]
Da Il teorema del Pappagallo

Il Teorema di Pitagora nel Chiu Chang e nel Chou Pei Suan Ching

Il titolo per "far colpo" su un mio amico blogger appassionato di cultura cinese :-)

In realtà voglio parlare di due dimostrazioni del teorema "di Pitagora", già noto in Cina almeno mille anni prima della nascita di Pitagora. Dimostrazioni basate, come tante altre, sulla scomposizione di aree in parti uguali.

Nei due più antichi trattati di matematica cinesi, il Chou Pei Suan Ching, Il libro classico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo, scritto al tempo della dinastia Shang, 1500 - 1000 a. C. (?) ed il Chiu Chang Suan Shu, Nove capitoli sulle Arti Matematiche, entrambi tuttavia di datazione incerta, si trovano due curiose dimostrazioni del famoso Teorema.

Il Chiu Chang comprende in totale 246 problemi articolati in nove capitoli.

Nel capitolo 9, intitolato: Angoli retti (KouKu) vengono proposti ventiquattro problemi sui triangoli rettangoli.

L’algoritmo con cui inizia il capitolo è l’equivalente del “Teorema di Pitagora” già presente comunque nel testo più antico, il Chou Pei. La relazione pitagorica non è mai vista in forma di teorema.

Ecco il teorema Kou Ku o "di Pitagora" secondo l’illustrazione originale del Chou Pei

Questa figura potrebbe essere una dimostrazione del teorema di Pitagora. Nel disegno si vede infatti un triangolo rettangolo di lati 3, 4 e 5 e un quadrato grande di lato 7 = 3 + 4.
La costruzione con geogebra può aiutare a ricostruire la dimostrazione originale, andata perduta.
Clic sull'immagine per aprire l'applet

Quattro triangoli rettangoli, di cateti 3 e 4 u, sono collocati attorno al quadrato centrale di lato 1 u.

Costruendo i simmetrici dei triangoli rispetto al punto medio delle ipotenuse (si raddoppiano i quattro triangoli), otteniamo il quadrato Q_1 di lato 7 u. L'area di questo quadrato è di 49 u².

Per avere l'area del quadrato Q_2, che risulta costruito sull'ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti 3 e 4, dobbiamo togliere l'area di quattro triangoli, ognuno dei quali ha area 6 u², cioè 49 - 24 = 25 u². Il lato di questo quadrato misura quindi 5 unità. Proprio secondo la terna pitagorica: 3, 4, 5.

Nel Chiu Chang il procedimento viene chiamato “raggruppare i rettangoli”: i quattro triangoli rettangoli possono essere raggruppati in due rettangoli 3x4.
Il ragionamento può illustrare quindi il teorema di Pitagora in generale, considerando:
(a+b)² - 2 x a x b = a² + b²

Il caso generale di questa “dimostrazione” fu ottenuto in modi diversi da Chao Chung-Ching e Lui Hui, grande matematico del terzo secolo d. C..

E veniamo alla seconda dimostrazione "cinese" del Teorema di Pitagora.

La spiegazione fornita da Lui Hui nei Nove Capitoli fa riferimento al principio complementarità esterno/interno – dissezione/montaggio:

Siano il quadrato su kou (a) rosso ed il quadrato su ku(b) blu. Usate il principio della mutua sottrazione e addizione di specie simili per inserire i resti, in modo che non ci sia alcun cambiamento nell’area con l’aspetto di un quadrato sull’ipotenusa (c).

I tentativi per ricostruire il diagramma di Liu Hui, perduto, sono stati parecchi.

Una ricostruzione è quella del matematico svedese Jöran Friberg.

Clic sulla prima immagine per visualizzare l'animazione con Geogebra (béh, mi sono piaciuti altri colori :)

Risultano evidenti le parti equivalenti in cui sono state scomposte le figure.

(di un'altra ricostruzione, di uno studioso danese dell’Antica Cina - vedi Link- preparerò forse il geogebra!)

Link:
Il teorema di Pitagora nell'antichità
Chiu Chang Suan Shu, contatti Est-Ovest
Liu Hui 
A proof of the Pythagorean Theorem by Liu Hui

Qui sul nostro blog:
Scopriamo il Teorema di Pitagora
[Matematica nella storia] Il teorema di Pitagora negli Elementi di Euclide
Le lunule di Ippocrate
Teorema di Pitagora: dimostrazione di Perigal

Pitagora: contributo di un lettore

Con mio grande piacere il poliedrico saggista e designer Gaetano Barbella, da qualche tempo lettore del nostro blog, accoglie la mia richiesta di pubblicazione di un suo recente commento sull'affascinante figura di Pitagora.
Riporto testualmente il suo intervento:

Gentile Prof.ssa Arcadu,
eccomi ancora a fornirle dei contributi, perché qui si tratta di Pitagora che merita approfondimenti per porre sul moggio la sua discepola e sposa Teano, riconosciuta come emblema della sapienza.
Credo sia utile conoscere la sua descrizione storica, quella di una esemplare madre, sposa e amante della scienza dell'antichità.

Da la «Vita di Pitagora» di Enrico Narducci (datata: Addì 3 Giugno 1588 - Forni Editore - Bologna 1887) è detto che:

«Hebbe moglie Pitagora, e questa fu Cretese, figliuola d'un Pitonatte e chiamossi Teano; di professione Philosofa (sic).».
Ma sembra che altre donne siano comprese nel novero di mogli ed anche amiche, da considerare, però, che «molti (storici) hanno preso l'una per l'altra, o stimato che due fossero una sola.».
«Che fieramente Pitagora amasse Teano, leggesi ne' Dinnosofisti d'Ateo.».

E poi altre interessanti notizie come le seguenti:

«Di Teano, moglie di Pitagora, si raccontano alcuni detti arguti, fra’ quali u’è questo, che nota Plutarco, ne l’operetta de’ Precetti Connubiali.
Una uolta, hauendosi costei cauato un guanto, ouero tiratosi la manica uerso il cubito, scoperse o la mano o il braccio; onde fu un certo, che disse: o bella mano; ed essa: ma non per la plebe o per il uolgo.
Addimandata parimenti, quando la donna sia monda da l’huomo, rispose: sempre dal suo, da l’altrui non mai. Soleva dire a le mogli, che ne l’entrare a’ mariti deponessero la vergogna con la ueste, ma ne l’uscire, con la ueste la ripigliassero.
Addimandata che vergogna fosse quella di ch’ella intendeva: quella, disse, che ch’io mi chiami donna.»

N.d.r.: In questo “riprendere la veste” di Teano, da stimarsi, per i pitagorici, la sacerdossa quasi da venerare, io intravedo il modo suo specifico di donna, emblematizzata con la “vergogna” in discussione, in perfetta aderenza all'osservanza del “silenzio”.

Fondamentale per Pitagora era l'osservanza del «silentio, ch'egli chiamava “echemitia”, cioè ritenimento di parlare, leggesi questo anco ne l'istesso Florilegio, fatto da Pallada:

E' gran dottrina à gli huomini il silentio:
Fede ne fa Pitagora sì saggio,
Che, dotto in dir, silentio insegnò altrui,
Gran rimedio il tacer trouato hauendo.

La cagione per la quale Pitagora imponeva il silentio a' suoi discepoli era il non uolere che le cose insegnate da lui fossero aulite, col farle palesi a' la feccia del uolgo... Né solamente commandaua Pitagora il silentio a' suoi discepoli, ma egli ancora amaua la brevità sopra tutte l'altre cose; ...».

Cordiali saluti,
Gaetano Barbella

Gaetano Barbella è autore del sito Il Geometra Pensiero in Rete dove raccoglie i suoi studi che spaziano dall'Arte, alla Geometria, all'Archeomitologia, all'Esoterismo, nonché Tradizione, Amore e Patria.
Un lettura che raccomando, un viaggio davvero interessante!
Grazie Gaetano!

E a rievocar Pitagora ...

... divento poetica :-)

Già, a citare Pitagora, sono andata a rileggere qui e là qualche passo sul grande matematico, filosofo ...

Filosofica è l'intervista impossibile di Umberto Eco al Maestro, riportata nella sezione Ritratti di Racconti matematici, a cura di Claudio Bartocci - ET Einaudi.

Naturalmente si parla del numero, sostanza di tutte le cose.

E c'è un passo, che ho ritrovato per l'appunto, poetico! Che posso farci ...

Si parla della sacra decade, la Tetraktys.

Ecco il passo dal testo:

PITAGORA:  ... Piuttosto, guarda questa figura.

ECO: La conosco ... E' la Tetraktys, il triangolo magico composto di punti. Tre lati, di quattro punti ciascuno, e un punto al centro, così che sembra anche composta di quattro file di punti, una di quattro, una di tre, una di due e una di uno.

PITAGORA: E in essa, se saprai capire, già ti sorride la verità del numero. [di seguito, per me ... poesia :)]

Uno più due più tre più quattro uguale a dieci.

Un punto al centro, origine di tutti gli altri.

Quattro punti ai lati,

quattro, il numero della perfezione, della forza, della giustizia e della solidità.

Tre serie di quattro punti formano

il triangolo equilatero, simbolo di eguaglianza perfetta.

La somma dei punti dà dieci,

e coi primi dieci numeri puoi esprimere tutti gli altri infiniti numeri che abitano nell'universo.

E se guardi il triangolo dal vertice alla base,

ecco che il numero dei punti ti mostra, alternati,

il pari e il dispari.

Il pari, simbolo dell'infinito,

perché non potrai mai identificare in una linea di punti pari il punto che la divida in due parti uguali.

Il dispari, dotato di un centro che separa due metà sempre uguali.

E l'uno, infine,

numero pari e dispari a un tempo,

origine sia dei numeri dispari che dei pari,

che con la sua sola presenza può rendere pari il dispari e dispari il pari.

Non vedi, uomo, in questo simbolo elementare, tutta la saggezza dell'universo,

tutte le leggi matematiche che fanno il mondo?

Link
Pitagora: "Tutto è numero"
E ancora ... Pitagora!
Pitagora continua....
Pitagora: contributo di un lettore
[Contributi] Pitagora e la musica
Pitagora lo predispose

[Contributi] Pitagora e la musica

Il nostro amico Gaetano Barbella, ci invita a cominciare il 2008....
"Con il suono creatore di vita così come è parso a Pitagora"
Ci regala uno scritto tratto da un libro del 1887.

LE PROPORTIONI HARMONICHE
di
PITAGORA

Da la “Vita di Pitagora” di Bernardino Baldi Estratto dal Bollettino di bibliografia delle scienze matematiche e fisiche, diretto da B. Boncompagni Anno XX – 1887 – Forni Editore – Bologna. Pag. 275, 277, 278, 279, 280. [...]

La molta cognitione che questo filosofo [Pitagora] hebbe de l'Aritmetica e de la Geometria fece che, ne l'Astrologia e ne la Musica, egli facesse grandissimo profitto.
Percioché, constando la Musica di numeri armonici, e di proportioni de' segamenti de tuoni, non può essere appresa teoricamente da chi de l'Aritmetica e de la Geometia si troua ignorante.
Che Pitagora sopra tutte l'altre cose desse opera a le cose de la Musica, ce ne fa fede Ateneo ne' Dinnosofisti, oue parla de la Musica antica; il medesimo afferma Laertio, oue dice, hauer egli principalmente dato opera a le speculationi del Monocordo.
Iamblico accenna, chìegli l'apprendesse da i magi, da' quali egli imparò anco l'Aritmetica.
Giorgio Valla, ne la Musica, et Emanuele Briennio auanti a lui, affermano, questo filosofo hauer ritrouato ne gli aditi, cioè ne le parti più secrete de' tempii de l'Egitto, l'antichissima lira d'Orfeo, la quale di sette corde, portataui da Terpardro Lesbio, che, per diuenirne più caro a' sacerdoti, da' quali apparò la filosofia egittia, ve la lasciò appesa; da la qual lira comminciò ad andare rintracciando, prima di tutti gli altri, le consonanze e le proportioni; ma, come egli ciò facesse, e come di parte in parte s'andasse auanzando in questa specolatione, à pieno è spiegato dal sopradetto Briennio, nel primo libro e capitolo de la Musica. Che Pitagora non fosse inuentore da la Musica è manifesto, essendoui stati musici ualentissimi, molto più antichi di lui, e già essendo noto, per il testimonio de le Scritture sacre, esserne stati ritrouatori i figlioli di Caimo.
È confessato nondimeno da' migliori, egli, prima di tutti gli altri, hauerla ridotta in arte, e trattala metodicamente e per via di ragioni. Ma, come dal macrobio nel Sogno di Scipione, da cui prenderemo quello che sarà utile a questa opera nostra.
Dice dunque, che affaticandosi questo filosofo, et affannandosi indarno per ritrouar cosa cotando nascosta , gli uenne offerto da la sorte quello, che per uia di profonda specolatione non haueua potuto conseguire.
Percioché, passando à caso per una contrada, oue alcuni fabbri batteuano il ferro, giunse a l'improuiso a l'orecchie il suono de' martelli, che con un certo ordine de le percosse, consonando, i piccioli et grandi fra loro si corrispondeuano, laonde, immaginadosi di poter toccar con mano e ueder con gli occhi proprii quello, che poco prima andaua inuestigando per uia di speolatione, imaginossi prima, che la vuarietà de' suoni nascesse da la uarietà de le forze di chi percoteua: del che per accertarsi, fatti cambiare fra loro i medesimi martelli, trouò che la diuersità non consisteua ne le forze, me ne' martelli medesimi; onde, riuolto tutto il pensiero a l'essamine de le grauezze loro, et hauendo notato diligentemente il peso di ciascuno, e fatti fare altri martelli di grandezze diuerse, trouò che il suono ne ueniua alterato, e non così concorde e consonante come il primo; onde, fatto certo, la diuersità altronde non nascere, che da la diuersità de' pesi, notate le grauezze di tutti quei martelli da' quali nasceua la consonanza, riuolse tutto il pensiero da' martelli a le corde; e, fatto di budella di pecore, o di nerui di buoi, alcune corde, u'attaccò uarii pesi, e corrispondenti à quelli de' martelli, da' quali proueniva la consonanza; e trouò prouenirne la medesima consonanza, aggiuntaui di più la sonorità e dolcezza, che di sua natura sogliono hauere quelle corde. Per uia dunque di questa osseruatione, hauendo conseguito Pitagora la cognitione di così ascoso secreto, ritrouò i numeri, da' quali nascono le consonanze, et, adattagli a le corde, ne fece instrumenti, ne' quali, tese le corde o più o meno, fece benchè fossero poste lontane l'una da l'altra, toccate da un medesimo plettro, consonauano. Trouò egli dunque, ne l'infinita armonia, cioè sei solamente: l'Epitrio, che è come quattro atti à tre, cioè quando di due numeri il maggiore ha in sé tutto il minore, e di più la terza parte; l'Hemiolo, quando il maggiore contiene tutto il minore et la metà di più, come tre e due; il Duplo, come quattro à due; il Triplo, come tre à uno; il Quadruplo, come quattro à uno: l'Epogdoo, come noue à otto.
Ciascheduno di questi numeri produce una consonanza propria; l'Epitrio genera il Diatessaron, che è la quarta; l'Hemiolo il Diapente, che è la quinta; il Duplo il Diapason, che è l'ottaua; il Triplo, il Diapason et il Diapente; il Quadruplo la ottaua raddoppiata, che i Greci dicono Disdiapason; l'Epogdoo partorisce il tuono. Riprendeva Pitagora, come riferisce Plutarco nel suo Commentario de la Musica, quel giudizio che pende dal senso; uolendo egli che, non da l'udito, ma solamente da l'acutezza de l'intelletto e da le proportioni armoniche, potesser le cose musiche essere squisitamente essaminate. Giudicò parimente, come riferisce il medesimo, che la Musica douesse contenersi ne' termini del Diapason, cioè ottaua. De le proportioni harmoniche, ritrouate da Pitagora per via de' martelli, fa mentione anco Iamblico, aggiungendo, il detto filosofico da quel principio hauer ritrouato infinite proportioni, e molti istrumenti musici, come il Tetracordo, Heptacordo, il Monocordo, et anco il Pentacordo. La medesima diligenza di Pitagora nel ritrouare le proportini harmoniche uien commemorata da Censorino, nel suo libro del Giorno Natale, aggiungendo, non solamente hauer egli fatta l'esperienza con le corde, ma con le canne ancora, proportionatamente di grandezza dispari.
Nel qual luogo spiega anco, in qual modo il detto filosofo, per uia di ragioni musiche, saluasse il uiuere de' bambini, che nascono nel settimo e nel decimo mese.
Due spetie di parti si trouano, dice egli, secondo Pitagora: l'uno minore e di sette mesi, cioè quando il bambino esce fuori del uentre ducento e dieci giorni dopo la concettione; l'altro maggiore e di dieci mesi, che è quando, non prima di ducento settanta quattro, il parto se ne uiene a la luce: per renderne poi la ragione, dice, il primo parto, cioè il minore, esser contenuto nel numero senario, et il secondo nel settenario; il che posto, dice, i primi sei giorni il seme esser humido e bianco, a guisa di latte, gli otto giorni seguenti sanguigno: i quali due numeri hanno fra loro proportione harmonica, detta epitrito, cioè la quarta, perché il sei misura l'otto una uolta, et auanzane un terzo. Noue giorni dopo il feto douenta carne: il qual numero di noue al sei ha proportione hemiolia, et fa la consonanza diapente. Dodici giorni dopo si fa il corpo formato: il qual dodici, paragonato al medesimo senario, ha proportione dupla, da la quale nasce la consonanza diapason, cioè ottaua.
Questi quattro numeri, sei, otto, noue e dodici, congiunti insieme, fanno trentacinque: il qual numero, come secondo fondamento de la perfettione del parto, multiplicato di nuovo per sei, rende il numero di ducente e dieci, che costituisce lo spatio di sette mesi, nel qual nascono i parti de la spetie minore. Quelli de la spetie maggiore, come si disse, hanno fondamento il sette; e questo, non in trentacinque giorni, come gli altri, ma in quaranta, sono perfetti di membra: il qual numero, multiplicato per sette, numero fondamentale, produce ducento ottanta, che fa spatio di quarante settimane; e perché il feto nasce il primo giorno de l'ultima settimana, cauandone i sei de l'ultima settimana, rimane da la concettione al parto il numero di ducento settantaquattro giorni, che il parto ua a cadere nel decimo. Queste et altre cose di mente di Pitagora riferisce Censorino, aggiungendo, il detto filosofo essersi seruito de le ragioni harmoniche, ne l'inuestigar le distanze de' pianeti fra loro e la terra. Percioché tutto il mondo uoleua egli che fosse composto con ragioni musiche, e che le sette stelle, che uanno uagando fra il cielo e la terra, e moderano le natiuità de le genti, hauessero mouimento harmonico e proportionato, e gli inteualli loro hauessero moto conueniente à le le distanze harmoniche; e per ciò, mouendosi, rendessero dolcissima melodia, ma intesa da noi, per il souerchio suono: Queste cose, come dicemmo di sopra, furono riprouate dal Filosofo ne' libri del Cielo. [...]

Illustrazione tratta dall'enciclopedia I MONDI DELL'UOMO: IL MONDO DELLA TECNICA – Edizione Arnoldo Mondadori

Grazie Gaetano!

Pitagora: "Tutto è numero"

Ho promesso di dedicare un post a Pitagora (ne meriterebbe più d'uno, chissà...) ed eccomi!
Pitagora e la scuola pitagorica.
E’ difficile sepa­rare la storia dalla leggenda quando si parla di Pitagora: matematico, astronomo, fílosofo, santo, profeta, mago, Pitagora nacque a Samo, una delle isole del Dodecanneso, nel VI secolo a.C. Dopo lunghe peregrinazioni, si stabilì a Crotone, sulla costa sud­orientale di quella parte di Italia a quei tempi chia­mata Magna Grecia.

Qui egli fondò una società se­greta, che aveva come base gli studi matematici e fi­losofici, ma presentava anche forti caratteri morali e religiosi. Il fatto che la figura di Pitagora sia sempre rima­sta avvolta nel mistero è dovuto anche alla rigida segretezza della scuola da lui creata, all'interno della quale le conoscenze (come le proprietà) era­no in comune, e le scoperte fatte erano patrimo­nio di tutti e non venivano attribuite ad alcuno in modo specifico.

Misticismo, tabù... e tanta matematica!

I membri della scuola pitagorica erano tenuti a una rigida disciplina, alla ricerca della purificazione dell'anima attraverso un rigoroso regime fisico e riti religiosi. Ai pitagorici veniva imposta una die­ta vegetariana: pare infatti che essi credessero nel­la teoria della metempsicosi, ossia della trasmigra­zione delle anime, e avessero quindi il timore che l'anima di un amico morto potesse aver dimora in un animale macellato. L’appartenenza alla scuola durava per tutta la vita ed era concessa ai soli uo­mini, ma le donne (cosa notevole per l'epoca) era­no ammesse alle lezioni.

Gli allievi della scuola di Pitagora studiavano geo­metria, musica, astronomia e matematica; non uti­lizzavano libri e le conoscenze venivano trasmesse oralmente. Essi dovevano esercitare la memoria. Al mattino appena svegli, ripassavano: riportavano alla mente tutti gli avvenimenti vissuti il giorno prima. Cercavano di ricordare esattamente che cosa avevano detto, visto, fatto...

(divagazione: andate su questa pagina)

Per i pitagorici, i numeri erano il fon­damento di tutte le conoscenze ma, quando essi parlavano di numeri, intendevano solamente i numeri naturali. I numeri venivano rappresentati con sassolini disposti in modo che ad ogni numero corri­spondesse una figura geo­metrica:
nella scuola pitagorica si parlava dunque di
numeri triangolari

di numeri quadrati

di nume­ri pentagonali

I pitagorici svilupparono un vero e proprio culto del numero: immaginavano che i numeri dispari avessero attributi ma­schili e i numeri pari at­tributi femminili; il nu­mero uno (generatore di tutti i numeri) era il nu­mero della ragione; il nu­mero due (primo nume­ro femminile) era il nu­mero dell’opinione; tre (primo vero numero maschile) era il numero dell'armonia; cinque era il numero del matrimonio, l'unione del primo ve­ro numero maschile con il primo numero femmini­le.
Ciascun numero possedeva attributi particolari, ma il più sacro di tutti era il numero dieci,
la sacra decade,
somma dei primi quattro numeri
e rappre­sentante dell'intero universo.

Una sicurezza entra in crisi per colpa della diagonale del quadrato.
Sembra che il motto della scuo­la pitagorica fosse: "Tutto è nu­mero", ma l'ironia della sorte volle che questa idea entrasse in crisi in seguito a una scoperta degli stessi pitagorici,

quella re­lativa alla misura della

diagonale di un quadrato di lato unitario: il fatto che questa misura non sia un numero razionale lasciò i pi­tagorici sconvolti.

Poiché il mondo doveva essere esprimi­bile per mezzo di numeri naturali questo fatto assunse per loro un significato enor­me e drammatico! La scoperta venne gelosamente tenuta segreta, finché Ippaso di Metaponto la rivelò all'esterno della scuola. La gravità della cosa è testi­moniata dal fatto che non solo Ippaso venne imme­diatamente espulso dalla scuola, ma gli venne anche preparato un sepolcro, a sottolineare il fatto che, per i discepoli di Pitagora, egli era come morto.

P.S. Su Pitagora c'è tanto altro di affascinante!

Per i più curiosi: guardate questa immagine e andate QUI
Buona navigazione!

P.S._2:Tornerò prestissimo sui numeri triangolari, quadrati...cioè poligonali!

ciao!:-)

Alberi di Pitagora

Attività sui frattali continuano...

Con le macro di Geogebra in terza abbiamo costruito il triangolo di Sierpinski e l’Albero di Pitagora:

Questo il lavoro personale di Gabriele. Clic su immagine

Questa la variante di Erica. Clic

Ancora di Erica l’albero simmetrico

Che si è divertita anche così:

Ma questa non è una figura frattale. Cosa hai sbagliato, Erica??

Per quanto riguarda le macro, avevo anticipato la bravura dei giovini della III.

Com’è come non è .... le due gaie comari Letizia e Maria Chiara raccontano la lezione.

Il più grande spettacolo dopo il Big Bang siamo noi e, come abbiamo dimostrato stamattina, siamo dotati di un eccezionale sesto senso.[No, non sono immodeste le belle... intendono in realtà tessere le lodi di un loro compagno!]

Infatti stamattina dopo aver introdotto l’argomento dei frattali, abbiamo parlato dell’Albero pitagorico: un esempio di frattale.

La professoressa ci ha dato una dritta per la costruzione: “Costruite per prima cosa un triangolo rettangolo isoscele posizionando il vertice superiormente e la base orizzontalmente. - Chi mi sa dire come costruire correttamente il triangolo in questo modo?”

Noi le abbiamo risposto che una volta tracciato un segmento AB (la base del triangolo) avremmo dovuto costruire una semicirconferenza AB, poi tracciare l’asse del segmento: l’intersezione semicirconferenza-asse è il vertice del triangolo isoscele. A questo punto la sua domanda è stata: “Come fate ad essere certi che sia effettivamente un triangolo rettangolo?”

Bachisio ha esposto la sua ipotesi: “E’ un triangolo rettangolo perché se faccio ruotare il triangolo di 180° ottengo un quadrato e quindi sono sicuro che l’angolo in C è rettangolo”

Alla professoressa è piaciuta molto la risposta di Bachisio e lo ha lodato, ma mirava anche a farci ricordare un’altra dimostrazione e ci ha incitato dicendo: “ L’abbiamo vista più volte, studiando cerchi e circonferenze e (per farci ricordare ...) “o se del mezzo cerchio ...”  e noi abbiamo continuato: ‘’far si pote triangol sì ch'un retto non avesse”

Un po’ tutti ci siamo ricordati la citazione di Dante.

Ma non ricordavamo la proprietà, allora la prof ha abbozzato alla lavagna la seguente figura:

E ci ha domandato: “Ora sapete dirmi in che relazione stanno l’angolo alla circonferenza e quello al centro?”

La nostra risposta è stata: “La relazione è 1:2”

Chiusa questa parentesi, abbiamo proseguito la nostra costruzione sulla Lim, costruendo i quadrati su ogni lato e applicando così il teorema di Pitagora.

Dato che dovevamo ripetere l’operazione diverse volte siamo ricorsi all’uso della macro che, come avevamo detto l’ora precedente, consiste nel dare delle istruzioni a un programma, che consentono di eseguire una serie di operazioni con l'invio di un solo comando.

In questo caso le macro da usare sarebbero dovute essere 2 (o perlomeno secondo i calcoli della professoressa) ma come abbiamo accennato all’inizio di questa relazione (il più grande spettacolo ...), Gabriele si è dimostrato più furbo della professoressa. In quanto è stato in grado di ripetere le stesse operazioni utilizzando una sola macro: costruisco il quadrato e sul lato superiore il triangolo rettangolo e poi dò come oggetti iniziali i vertici di origine del quadrato.

Applauso della prof!!!

Fondamentalmente in una macro bisogna inserire 2 dati: gli oggetti finali e quelli iniziali. Gli oggetti finali sono quelli ai quali voglio arrivare senza tanti passaggi mentre quelli iniziali sono quelli dai quali parto per arrivare agli oggetti finali.

La professoressa metteva negli oggetti finali il quadrato più grande, e negli oggetti iniziali metteva i punti A e B del segmento di partenza. Così facendo le sarebbe servita anche un’altra macro per il triangolo. Secondo il metodo di Gabriele invece ci saremmo serviti di una sola macro considerando come oggetti finali il triangolo, i suoi vertici e il quadrato e come oggetti iniziali i punti A e B che danno origine al quadrato. Ed è così che la nostra lezione si è conclusa. Ciao!

Benissimo, frizzanti comari...

Ora tenetevi pronte: la prof sta per fare altre domande sull’Albero di Pitagora!

Anticipo? Ok, anticipo:

- Qual è il rapporto tra i lati da un passaggio all’altro, nella costruzione dell’albero di Pitagora quando il triangolo rettangolo è isoscele?

- Il numero dei quadrati ad ogni iterazione è il doppio di quello della precedente: quanti quadrati ci saranno alla decima iterazione? E alla n_esima iterazione?

- Altra osservazione: non vi sembra che ciascuno dei rami dell'albero descriva una spirale?  Che tipo di spirale? Compito: cercare spirali sul blog, confrontare e scoprire il tipo (le spirali non sono tutte uguali) !

E ancora ... Pitagora!

E sì ... per rilassarci tra un problema e l'altro. Ve lo avevo detto che su Pitagora non sarebbe finita lì!

"Ecco come si mettevano alla prova i candidati [a frequentare la scuola pitagorica]. Pitagora cominciava col verificare se il postulante [colui che chiedeva di essere ammesso alla scuola] era capace di "tenere la lingua a freno": era questo il termine che usava. Sarebbe riuscito a tenere per sé quello che aveva sentito durante le sedute di insegnamento? In un primo tempo, vedete, il silenzio gli interessava più della parola. La sala dove si tenevano le lezioni era divisa in due da una tenda: Pitagora si trovava da una parte e i postulanti dall'altra, quindi avevano accesso al suo insegnamento solo grazie all'udito. Lo sentivano, ma senza vederlo. E quel periodo di prova durava cinque anni! [...] La tenda era di estrema importanza nella vita della scuola pitagorica. Oltrepassarla significava aver superato con successo le prove d'iniziazione. I membri della scuola erano divisi in due categorie, a seconda del lato della tenda dal quale si trovavano. All'esterno dello spazio in cui si trovava Pitagora, gli essoterici [dal greco exo, di fuori, esterno]... All'interno, e per tutto il resto dei loro giorni, gli esoterici [dal greco eso, dentro, interno]. Loro soltanto potevano sentire e vedere Pitagora.
Persino i testi dei pitagorici obbedivano alla regola del segreto. Redatti in un linguaggio a doppio senso, giocavano su due livelli di interpretazione, uno comprensibile a tutti, l'altro riservato agli iniziati. I pitagorici parlavano di symbola e di aenigmata, di simboli e di enigmi. La maggior parte delle nozioni si trasmettevano parlando all'orecchio e ciò dava luogo a una seconda separazione. Da un lato si trovavano gli "acusmatici", ai quali si fornivano i risultati, ma non le dimostrazioni per arrivarvi , e dall'altro i "matematici", ai quali si trasmettevano risultati e dimostrazioni insieme".
Da "Il teorema del pappagallo", Denis Guedj

alla prox!:-)

[Matematica nella storia] Il teorema di Pitagora negli Elementi di Euclide

Già abbiamo incontrato Euclide e i suoi Elementi.
Ora vediamo come il grande matematico tratta del Teorema di Pitagora nella sua opera.

Quando Euclide scriveva i suoi Elementi, la proprietà oggi nota come il "teorema di Pitagora" era conosciuta e utilizzata già da moltissimo tempo: Euclide inserì questo teorema all'interno della sua opera, e ne fornì due dimostrazioni.
Per i matematici, dimostrare significa passare da certe premesse (le ipotesi) a una conclusione (la tesi), utilizzando una sequenza di ragionamenti logici.
Vediamo ora quali sono l'ipotesi e la tesi del così detto teorema di Pitagora, e anche quelli di un altro teorema che con il precedente ha una relazione molto importante (tanto da essere chiamato il suo inverso).

Libro I, proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l'angolo retto.
Ipotesi: ABC è un triangolo rettangolo, retto in A.
Tesi: Il quadrato costruito sul lato BC è equivalente alla somma di quelli costruiti sui lati AB e AC.

Libro I, proposizione 48
Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l'angolo che è compreso tra i due rimanenti lati del triangolo è retto.
Ipotesi: Il quadrato costruito sul lato BC è equivalente alla somma di quelli costruiti sui lati AB e AC.
Tesi: ABC è un triangolo rettangolo, retto in A.

Avrai certamente notato che l'ipotesi della proposizione 47 corrisponde alla tesi della 48 e l'ipotesi della 48 corrisponde alla tesi della 47.
Non è uno scioglilingua: è ciò che accade ogni volta che siamo in presenza di un teorema e del suo inverso: l'ipotesi e la tesi si scambiano i ruoli!

Nel libro VI degli Elementi, Euclide generalizza il risultato, dimostrando che la proprietà descritta dal teorema di Pitagora continua a valere se, al posto dei quadrati, si costruiscono sui lati del triangolo rettangolo altre figure, a patto che si tratti sempre di figure simili: per ora ricordiamo solo che due figure sono simili quando puoi ottenere una dall'altra semplicemente... facendone una fotocopia ingrandita o rimpicciolita!
Libro VI, proposizione 31
Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato opposto all'angolo retto è uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui lati che comprendono l'angolo retto.

Nella figura di sinistra sono stati costruiti degli esagoni regolari, in quella di destra degli ottagoni regolari. In entrambi i casi, la somma delle figure costruite sui cateti è uguale a quella costruita sull'ipotenusa.

Il teorema di Pitagora è una proprietà geometrica talmente famosa che le sono stati dedicati anche numerosi francobolli; puoi vederne due qui riprodotti.

Scopriamo il Teorema di Pitagora

Alessandra, Laura e Irene hanno scritto la loro relazione, tutti hanno lavorato bene!:-)
Ehmm... siamo un po' in ritardo con i programmi per la verità, dunque, dicono le ragazze....
(E' la sintesi delle tre relazioni).

La prof appena oltrepassata la soglia della porta ha esclamato: oggi iniziamo immediatamente con il lavoro!!!
Ci ha proposto un'attività pratica.
Prendete un foglio a quadretti, matita, gomma. Dovrete usare poi le forbici... dunque foglio separato!
Ci ha dato le seguenti istruzioni:
1. Disegnate due quadrati congruenti, 10*10 quadretti per comodità. Il primo lo chiamate Q1 e il secondo Q2.
2. Scomponete Q1 in maniera tale da ottenere due rettangoli congruenti, e due quadrati non equivalenti, uno piccolo e uno grande.
Noi non sapevamo come orientarci e allora la prof ci da altre indicazioni:
- Basta tracciare solo due segmenti
(non è stato sufficiente....)
- Questi due segmenti devono essere perpendicolari.
Dopo vari tentativi abbiamo realizzato tutti la figura, ognuno aveva misure diverse delle dimensioni dei rettangoli e quadrati.
I primi ad arrivare alla soluzione sono stati Laura ed Emanuele.
Il disegno quindi risultava il seguente:

Come avete visto, abbiamo chiamato il quadratino piccolo A e il quadrato grande B.

Ora la prof ci dà le indicazioni per Q2.

3. Scomporre la figura Q2, in 4 triangoli rettangoli congruenti, le dimensioni dei cateti devono essere pari a quelle dei due rettangoli della figura precedente, in maniera tale che al centro si evidenzi un quadrato.
Ci mettiamo subito a lavoro. Alcuni di noi hanno completato con questa sola indicazione, altri ne hanno voluto qualcuna in più.
- Sono da tracciare quattro segmenti.
- L’angolo retto dei triangoli rettangoli coincide con gli angoli retti del quadrato Q2.
Quindi la figura è la seguente:

Abbiamo nominato il quadrato al centro con la lettera C.

La prof ora ci chiede:
riuscite a stabilire una relazione tra le aree dei quadrati A e B e quella del quadrato C?
Noi dopo qualche tentativo sosteniamo che A+B = C perché:
da Q1 abbiamo sottratto i 2 rettangoli e resta A+B;
abbiamo sottratto la stessa quantità (la stessa area) da Q2 però sotto forma di triangoli rettangoli. Perché ad ogni rettangolo di Q1 corrispondono (sono equivalenti) 2 triangoli rettangoli di Q2.

4. La prof ci dice ora di ritagliare i quadrati A, B, C e un triangolo rettangolo a piacere (tanto hanno uguale misura).

5. Ci dice di comporre un puzzle con i 4 pezzi. Delia è stata la prima ad aver fatto l’accostamento giusto che è il seguente.

Vediamo in questa figura che il quadratino A appoggia sul cateto1 (c1).
Il quadrato B sul cateto2 (c2).
Il quadrato C si appoggia sull’ipotenusa (i).
Queste tre frasi e la relazione di A+B = C dette in un italiano migliore risulterebbero:
"In un triangolo rettangolo succede che la somma dei due quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa."
Questo in un triangolo rettangolo qualsiasi, infatti avevamo misure diverse dei cateti...
Senza rendercene conto abbiamo scoperto il teorema di Pitagora!
Ora dal buon italiano passiamo ancora alla matematica e "traduciamo" quella frase in una formula:
A è l'area di un quadrato che ha per lato c1, quindi la indichiamo con c1²
B è l'area del quadrato che ha per lato c2, quindi la indichiamo con c2²
C è l'area del quadrato che ha per lato i, quindi la indichiamo con i²
Allora scriviamo la relazione: A+B = C, in questa forma:

c1²+c2² = i²

La prof afferma che esistono diverse terne di numeri che rispettano la relazione pitagorica. Si chiamano terne pitagoriche infatti.
La prof ci chiede di trovarne una, anche utilizzando numeri piccoli, cioè dall’ 1 al 10. Dopo parecchi tentativi qualcuno arriva alla terna: 3, 4, 5.
3² + 4² = 5²
9 + 16 = 25
Driiiiin... la campanella è suonata!!! Ci vediamo alla prossima lezione!!!

E alla lezione successiva....

La prof riscrive alla lavagna la relazione pitagorica:

c1²+c2² = i²

e ci chiede:
se di un triangolo rettangolo conosciamo la misura dei due cateti, come calcoliamo la misura dell'ipotenusa? Dovreste trovare la chiave, che sarebbe poi in matematica una formula!
Noi... zitti!
Allora la prof dice: posso scrivere anche così, vero?

i² = c1²+c2²

Noi diciamo di sì!
Dunque??? Sollecitazione della prof, che ripete i² = .....
E allora... finalmente qualcuno ci arriva: la radice quadrata! Perché è l'inversa dell'elevamento a potenza 2!
Quindi possiamo scrivere:

$i = \sqrt{ c1^2+c2^2 } $

Non impieghiamo quindi molto per fortuna, a scrivere le formula per trovare un cateto, conoscendo ipotenusa e l'altro cateto.

$c1 = \sqrt{ i^2-c2^2 } $ e
$c2 = \sqrt{ i^2-c1^2 } $

La lezione continua con l'invito della prof ad trovare casi, considerando le figure piane che conosciamo, in cui potremmo applicare il teorema di Pitagora.
Li abbiamo trovati! Tutte le volte che su una figura piana è possibile individuare un triangolo rettangolo, si può applicare il teorema di Pitagora!
Funzionano da cateti e ipotenusa le parti della figura: possono essere lati, diagonali, altezze....
E, importante, abbiamo capito solo adesso (ecco perché dovevamo ritornarci!), perché in un quadrato:
d/l = √2
con questi passaggi:

I lati l sono i cateti del triangolo rettangolo, la diagonale d è l'ipotenusa,
quindi:
l²+ l² = d²
cioè:
2* l² = d²
e
$d = \sqrt{ 2*l^2 } $
con la proprietà distributiva della radice quadrata:
d = √2 * √l²
ma √l² = l perché sono un'operazione inversa dell'altra, quindi:
d= √2 * l
e
d/l = √2
Ora sì: il lato e la diagonale del quadrato sono due grandezze incommensurabili, il loro rapporto è un numero irrazionale: la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale!

Dall’inversa della potenza …

Maria Chiara, Erica, Letizia e Gabriele

relazionano sui Numeri quadrati… di Pitagora 

Ma, “abbiamo iniziato dicendo…”  dice Letizia. Ed ecco il testo collettivo.

Pochi giorni fa abbiamo scoperto l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

Dato che l’elevamento a potenza mi permette di associare due numeri (base, esponente) a un terzo (potenza) moltiplicando il primo per se stesso tante volte quante me ne chiede il secondo,

se mettiamo che l’esponente sia 2, per estrarre la radice quadrata di un numero “n” devo trovare quel numero che moltiplicato per se stesso mi dia il numero considerato: per esempio se prendo in considerazione 64 la radice quadrata è 8.

Consideriamo invece un cubo da costruire con 64 cubetti: di questo cubo vogliamo sapere qual è lo spigolo. Attraverso la simbologia mi esprimo nel seguente modo: x³ = 64.
Quindi devo trovare quel numero che elevato 3 mi dà 64 (che è 4). Ma non importa il risultato: ciò che ci serve sapere è che l’estrazione di radice è quell’operazione che mi permette di trovare la base che non si conosce. 4 è la radice cubica di 64, ma più frequentemente è usata la radice quadrata [da noi…], indicata con il simbolo “√”.

Vediamo degli esempi di numeri elevati alla seconda:

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4²= 16

5² = 25

6² = 36

I risultati sono i cosiddetti numeri quadrati perfetti perché un qualsiasi numero intero moltiplicato per sé stesso (quindi alla seconda) mi dà uno di essi, quindi sono numeri la cui radice quadrata è un elemento di N.

La radice quadrata di questi numeri è perciò, perfetta, è esatta ed è un numero intero, ma provate a trovare la radice quadrata di 3, o di 5, o anche di 7: per averla devo ricorrere ai decimi, ai centesimi o ai millesimi, il che non la rende un numero intero. Radici quadrate così vengono chiamate infatti approssimate.

Ma torniamo ai numeri quadrati: avranno fatto bene a chiamarli così? Per saperlo dobbiamo andare indietro nel tempo, ai tempi di Pitagora che pensò bene di utilizzare dei sassolini per rappresentare i numeri e fece nel seguente modo:

 

… come abbiamo visto q u i

se osservate bene il numero di sassolini con cui riuscì a fare il suo “esperimento”, sono i nostri numeri quadrati. Per costruire dei quadrati, doveva essere un NUMERO QUADRATO PERFETTO. Quindi secondo voi hanno fatto bene a chiamare 1  4  9  16  25 ecc. numeri quadrati? Secondo me si!

Ma non è finita qui. Pitagora provò anche un altro esperimento: provò a sottrarre a ogni numero quadrato il suo precedente:

1 - 0 = 1

4 - 1 = 3

9 - 4 = 5

16 - 9 = 7

25 -16 = 9

Ottenne i numeri dispari. Noi abbiamo indagato sulla regolarità, il problema della scheda… 

Giovanni è stato il primo a scoprirla: ogni numero quadrato si ottiene dalla somma dei numeri dispari, in successione…

Per esempio il 4 si ottiene da 1 + 3, il 9 si ottiene da 1 + 3 + 5 e così via.

Lo dimostriamo anche con excel.

Per ottenere in excel la successione dei numeri quadrati è nata l’esigenza di fissare il primo numero dispari da sommare e ampliare via via l’intervallo, quindi abbiamo utilizzato i riferimenti assoluti. Le formule in figura sono state poi copiate lungo le righe (e le colonne).

Il file num.quadrati.xls si può scaricare.

Ragazzi,

ora posso segnalarvi Numeri quadrati e numeri rettangolari (che ormai avete scoperto…)  da maestra Renata. E’ un incrocio di link (!), ma vi rimando per vedere i numeri quadrati e rettangolari con GeoGebra e anche per eseguire gli esercizi con GeoGebra, che maestra Renata propone attraverso un simpaticissimo gufetto! Occorre cliccarci sopra.