mercoledì 31 dicembre 2008

Buon 2009 con ... calendari in Excel!

Con la speranza di essere stati finora e di continuare ad essere in qualche modo utili,
a tutti i lettori del nostro blog

A U G U R I A MO un 2009
di

Salute, Serenità e Soddisfazioni
Grazie per la vostra presenza!

Nuovo anno... tempo di calendari.
Vogliamo farvi un piccolo regalo, come sappiamo fare noi: con Excel, naturalmente! :-)

Questo calendarietto si aggiornerà automaticamente tutti i giorni fino al 31 dicembre 9999!
Sono evidenziate domeniche, festivi e data odierna.
Clic per scaricare il file calendarietto1.xls

In quest'altro invece

è possibile scegliere, mediante menu a tendina, l'anno e il mese con un clic sulle celle in cui questi sono contenuti.
L'intervallo degli anni, predisposto da menu Convalida, va dal 2003 al 2015. Se avete bisogno di ampliarlo e non sapete come, chiedete pure!:-)
Scaricate calendarietto2.xls

Per un calendario più funzionale, personalizzabile con date da ricordare, appuntamenti ecc. segnalo Calendario Planning in Excel e ancora un
Calendarietto , semplice calendario mensile che sfruttando le funzioni: COLLEG.IPERTESTUALE() e alcune formule matriciali, permette di avere sullo stesso foglio un elenco di appuntamenti, la possibilità di inserire un nuovo appuntamento e le indicazioni del mese scelto. Un'immagine (ingrandire con un clic)


BUON ANNO!!!

Stampa il post

martedì 30 dicembre 2008

[Contributi] Antichi Sistemi di Numerazione_3

Ecco la terza parte del lavoro di Paolo
(ma Paolo, è davvero un lavorone. Grazie!)
Ricordo post_1 e post_2 sul tema.

Greco
I Greci usavano prevalentemente due sistemi di numerazione: il primo, più antico, detto alfabetico o milesio, il secondo detto acrofonico o attico (dalla regione di applicazione: Attica), o erodianeo (da Erodiano, grammatico del 2° sec. d.C. che lo descrisse). Quest'ultimo restò in uso dal VI sino al I sec. a.C per essere poi progressivamente sostituito dal precedente.

Il sistema alfabetico o milesio, in uso sin dalla fine dell'VIII secolo a.C, si basava sul principio posizionale: il valore della numerazione era in funzione della posizione occupata dal simbolo o dal numero.
Faceva uso di 27 simboli, ovvero le 24 lettere dell'alfabeto oltre ad altri tre simboli, intercalati rispettivamente al 6°, al 18° ed all'ultimo posto; tre segni alfabetici antichi e caduti poi in disuso: (vau, coppa, sampi).
La tavola seguente mostra l'accoppiamento fra la lettera dell'alfabeto ed il suo contrassegno numerico:


Con queste cifre i Greci potevano contare fino a 999.
Per esempio, il numero 257 veniva rappresentato così: σ ν ζ'
Mentre il 386, così: τ πς'
Per indicare le migliaia, le decine e le centinaia di migliaia venivano usati sempre gli stessi simboli provvisti però di un apice a sinistra in basso (iota), come si può notare dalla tabella seguente:

Così per es. il numero 80.000 veniva rappresentato in questo modo: ,π
Con questo sistema i Greci erano in grado di rappresentare numeri fino a 999.999, il quale ultimo veniva quindi scritto così: ,ϡ,Ϙ,ϴϡϘϴ'

Etrusco
Gli Etruschi si affermarono in Italia, più precisamente nelle regioni attualmente riferibili alla Toscana, all'Umbria ed al Lazio, dal X secolo a.C fino al I secolo a.C, quando furono definitivamente assorbiti dai conquistatori romani.
Essi usavano un sistema di numerazione a base decimale rappresentato dai segni di cui alla tabella seguente.

La scelta di segni relativamente semplici era determinata dalla facilità di scrittura, soprattutto per quanto riguardava le incisioni su pietra.
La loro scrittura era particolare in quanto procedeva da destra verso sinistra.

Romano
Gli antichi Romani acquisirono la simbologia dei segni dagli etruschi, però cambiandone la direzione di scrittura, da sinistra a destra, ed il verso dal basso all'alto.

La tabella sopra riportata mostra l'intera simbologia numerica romana.
Da notare che il segno del 500, , che è la meta del 1.000, , finì per trasformarsi in una D, mentre il 1.000 in una M.
La numerazione era basata sulla legge additiva, pertanto il numero 351 veniva scritto nel seguente modo: CCCLI
mentre il 4.778: MMMMDCCLXXVIII
In alcuni eccezioni veniva applicata la regola della differenza o sottrattiva; era il caso del numero 4, rappresentato da IV (ovvero 5-1), o del 9, rappresentato da IX (10-1), oppure del 40 indicato XL.
In pratica, questa regola valeva quando il numero si approssimava alla diecina, a suoi multipli, oppure alla loro metà.
Per indicare i numeri superiori a 1.000 si usava circoscrivere il simbolo con una coppia di semicircoli; così = 10.000.
Più spesso, però, si ricorreva alla semplice sovrapposizione di una lineetta, vedi tabella sopra riportata.
Per ulteriori approfondimenti consultare anche Antichi sistemi di numerazione.

ciao Paolo!:-)

Stampa il post

lunedì 29 dicembre 2008

La formula più bella di Ramanujan

Ragazzi, non importa se per ora non potete apprezzare appieno certa "bellezza" della matematica,
ma... cominciate solo a osservare qualche formula: vi sembrerà certamente una cosa strana, però seminerete per apprezzare in futuro!

Srinivasa Ramanujan (1887-1920),
il più grande genio matematico di tutta l'India e uno dei più grandi matematici del XX secolo,
autodidatta, usava il suo istinto viscerale per oltrepassare i confini dell'analisi matematica del suo tempo (funzioni modulari, teoria analitica dei numeri, partizioni, teoria dell'iterazione...).
...
Per Ramanujan le equazioni non erano soltanto i mezzi per arrivare a dimostrazioni o calcoli. La bellezza dell'equazione ne era il valore supremo.
La più "bella" formula di Ramanujan fornisce un'incredibile connessione tra una serie infinita (a sinistra) e una frazione continua (al centro).
E' meraviglioso che né la serie né la catena di frazioni si possano esprimere tramite le famose costanti numeriche π ed e, mentre invece la loro somma sia misteriosamente uguale a $ \sqrt{ \frac{ πe }{2 } } $.
Provate a calcolare il valore del membro sinistro della formula, per parecchi termini, poi controllate cosa succede al membro destro quando si sostituisce π=3,141592 ed e=2,718282

Ecco la formula più bella di Ramanujan
$1+ \frac{ 1 }{ 1*3} + \frac{ 1 }{1*3*5 } + \frac{ 1 }{ 1*3*5*7} + \frac{ 1 }{ 1*3*5*7*9}+...+ \frac{ 1 }{1+ \frac{ 1 }{1+ \frac{ 2 }{1+ \frac{ 3 }{1+ \frac{ 4 }{1+... } } } } \\= \sqrt{ \frac{ πe }{2 } } $
(il simbolo & non fa parte della formula, LaTex mi da qualche problema)
Da Le meraviglie dei numeri, Clifford Pickover, Sfide Matematiche, vol. 15.
Potete (ri)leggere su questo blog anche La formula di Dio, ancora da
La magia dei numeri, Clifford Pickover, Sfide Matematiche, vol. 4.

Stampa il post

[Contributi] Antichi Sistemi di Numerazione_2

Dopo il come cominciò,
ecco la seconda parte del lavoro di Paolo, che ci parla di

Alcuni Sistemi di Numerazione presso gli antichi
Mesopotamico
Era un sistema adottato dalle popolazioni dell'area mesopotamica (Assiri, Babilonesi, Persiani) nel 3000/2000 a.C.
Si trattava di una numerazione a cifre ideografiche rappresentata da cunei variamente orientati e raggruppati.
L'unità era rappresentata da un cuneo verticale con la punta in basso:
La decina con due cunei uniti per la base e disposti ad angolo:
Un cuneo verticale seguito da un cuneo orizzontale con la punta a destra rappresentava il numero 100:
Ripetendo i cunei verticali si formavano le centinaia: = 200
Il segno del 10, quando era posto a sinistra di quello del 100, aveva funzione di moltiplicatore:
= 10 x 100 = 1.000.
Nella seguente figura sono riportati i numeri compresi fra 1 e 59.

Egiziano
Gli antichi egizi (dal 3.300 a.C. al 31 a.C, data della conquista da parte di Roma) usavano due sistemi, l'uno geroglifico (inciso nella pietra), l'altro ieratico (scritto sui papiri).
Quello geroglifico, utilizzato prevalentemente per scrivere sui monumenti, era composto da simboli che, in qualche misura, raffiguravano motivi della vita reale. Vedi la seguente tabella:

I numeri venivano formati secondo la legge additiva dei simboli fondamentali. Vale a dire che ogni simbolo veniva ripetuto tante volte, fino ad un massimo di nove, quante erano le quantità della stessa classe.
Ad esempio, per indicare il numero 5, venivano utilizzati 5 tratti verticali da una unità, ||||| mentre il numero 20 era rappresentato da due decine ∩ ∩
il numero 1 245 veniva scritto così:
mentre il numero 1 234 567, così:
Quello ieratico, impiegato dagli scribi per ragioni pratiche in quanto poteva essere scritto con un pennello su fogli di papiro, utilizzava caratteri di valore simbolico come quelli della tabella a lato.

I numeri si formavano per combinazione additiva dei simboli.
La praticità di questo sistema era evidente; un numero nell'ordine di 10.000 avrebbe richiesto circa 40 simboli geroglifici contro i 4 o 5 della notazione ieratica. Motivo per cui, gradualmente, la scrittura ieratica sostituì quella geroglifica.

[Aggiornamento]: volete divertirvi a scrivere dei numeri nel sistema egizio, e perfino ad eseguire dei calcoli?
Cliccate QUI! ["la calcolatrice egiziana", JavaScript interattivo]

Cinese
I Cinesi, che svilupparono il loro sistema di misurazione prima dell'era cristiana (da circa il 1.200 a.C al 300 a.C), adottavano tre distinti sistemi, tutti a base decimale. Di questi, il più usato era quello a legge additiva e moltiplicativa.
I numeri erano rappresentati da ideogrammi come quelli delle tabelle seguenti:


La struttura del calcolo procedeva per colonne verticali, con lettura dall'alto in basso. Quando uno dei primi 9 numeri era posto prima del 10 o di una delle sue potenze (100, 1.000 ...) funzionava da moltiplicatore; quando invece era posto dopo, da addendo. Nella tabella a fianco sono riportati alcuni esempi.
Gli altri due sistemi, commerciale e ad aste, erano a notazione posizionale; si leggevano orizzontalmente scrivendo a sinistra le unità di ordine più elevato.

Nel sistema ad aste, vedi figura sopra, il numero 10 ed i suoi multipli si indicavano ruotando semplicemente i segni di 90° quelli dall'1 al 5 e di 180° i successivi. Come nella tabella seguente:
Oltre ai tre sistemi principali anzidetti, ne veniva usato anche un quarto che utilizzava i cosiddetti caratteri Fo-hi.

Come si può notare, questo sistema era basato su due soli segni, cioè un segno corto __ ed uno lungo ____, precorrendo, di fatto, l'attuale sistema binario (vedi anche per sistema binario), se si pone: __ = 0 e ____ = 1 e posizione alto/basso = destra/sinistra.

continua...

Stampa il post

domenica 28 dicembre 2008

Quadrato scomposto

Un popolare rompicapo
I quattro quadrilateri dell'immagine
sono quattro parti congruenti nelle quali è stato scomposto un quadrato.
Stampate e ritagliate i quattro pezzi della scomposizione.
Siete capaci di ricomporre il quadrato?
Se avete risolto il problema, siete in grado di formare due quadrati utilizzando gli stessi quattro pezzi?
Da "Esperienza A-Ah!" - Martin Gardner

Stampa il post

sabato 27 dicembre 2008

[Contributi] Antichi Sistemi di Numerazione

Il mio amico Paolo ci regala stavolta un bel lavoro sugli

Antichi sistemi di numerazione.
Cominciò così
Sembra che l'uomo abbia iniziato ad utilizzare un primo sistema di numerazione oltre 30.000 anni fa nell'era del Paleolitico Superiore. L'uomo di Cro-Magnon, che fece la sua comparsa in quell'epoca, ha lasciato significative testimonianze pervenute sino a noi in forma di ossa e legnetti incisi con tacche regolari, cui venivano certamente fatti corrispondere gli oggetti da contare.

Non si può comunque escludere che anche nel tardo Pliocene, oltre 500.000 anni fa, i primi Homo Sapiens adottassero già una qualche forma di numerazione, anche solo per il fatto che disponevano di mani e piedi dotati di cinque dita ciascuno e quindi adatti a rappresentare quantità numeriche.

L'uso dell'indigitazione, ovvero del contare con le dita della mano, ed avendo la mano cinque dita, portò a fissare la cinquina come unità di base e ad introdurre il sistema di numerazione quinario, che, sembra, sia il più antico sistema di misurazione.

Successivamente, combinando insieme le due mani o i due piedi, venne sviluppato il sistema decimale in uso, tuttora, in gran parte del mondo.

Nel corso della Storia, in relazione alle epoche, alle situazioni geografiche, economiche e, in sostanza, alle culture, i sistemi di numerazione assunsero le forme più diverse rispetto a quella enunciata dianzi.

La numerazione quaternaria, secondo Aristotele utilizzata dalle popolazioni dell'antica Tracia, è un'elaborazione della quinaria; sembra infatti che abbia avuto origine dall'usanza di contare con il pollice le restanti dita della mano. Ne restano tracce in alcune misure, derivate di quarto, usate prima dell'introduzione del sistema metrico decimale: la quarta, il quartarolo, il quarticino.

Nel Medio Evo veniva usata per definire alcune monete: la quartarola, il quarto, il quartiglio, il quattrino. Da quest'ultimo derivano motti moderni per definire ricchezza: è pieno di quattrini, o povertà: è uno squattrinato.

Contando col pollice le falangi della altre dita si poteva triplicare la numerazione di base, si addivenne quindi al sistema duodecimale: la dozzina, la grossa (12 dozzine), l'oncia (1/12° di unità), il grano.

I piani di costruzione della cattedrale di Chartes in Francia, risalente quest'ultima all'XI secolo e considerata uno degli edifici religiosi in stile gotico più importanti del mondo, dichiarata peraltro dall'UNESCO "Patrimonio culturale dell'umanità", furono proprio basati sul sistema di numerazione duodecimale.

La combinazione dei sistemi in base 5 e base 12 diede origine alla numerazione sessagesimale, già utilizzata dai Babilonesi e dagli Egiziani e, tuttora, in uso nelle misure degli angoli e del tempo.

Con i sistemi di numerazione usati dagli antichi l'esecuzione dei calcoli era complicata e scomoda, infatti, essi usavano i loro caratteri più che altro per esprimere il risultato delle operazioni,
mentre per l'effettiva esecuzione si servivano di mezzi strumentali e principalmente degli abachi.
In alcuni Paesi, ad esempio in Russia ed in Cina, l'uso dell'abaco è ancora attuale.

continua...


Grazie Paolo.

Stampa il post

mercoledì 24 dicembre 2008

Non ho voglia di tuffarmi...

Natale

Non ho voglia
di tuffarmi
in un gomitolo
di strade

Ho tanta
stanchezza
sulle spalle

Lasciatemi così
come una
cosa
posata
in un
angolo
e dimenticata

Qui
non si sente
altro
che il caldo buono

Sto
con le quattro
capriole di fumo
del focolare.



dalla raccolta "Allegria di Naufragi", 1919
(Giuseppe Ungaretti)

Stampa il post

lunedì 22 dicembre 2008

Ventaglio misterioso

Ragazzi, sperando manteniate le promesse...., II in particolare eh!
Vi propongo un gioco-indovinello che mette alla prova le vostre competenze!
Vediamo vediamo...
Osservate questo ventaglio misterioso. Attentamente!
Vi propongo di pensare un numero da 1 a 31, mi indicate le colonne dove si trova il numero che avete pensato: sono capace di indovinare qual è il numero pensato!
Sapete spiegare come faccio a indovinare?
Aiutino:
notate il verso con cui ho intestato le colonne (da destra verso sinistra), e... la prima riga di ogni colonna è un enorme suggerimento!!!
Ci sarebbe da aggiungere che.... no, lascio che lo scopriate voi!
Chi indovina .... merita un 10!!!
A chi risponde sul blog, 10 e lode!:-)
Grazie ai lettori che vogliano cimentarsi!:-)

Stampa il post

domenica 14 dicembre 2008

[Attività laboratoriale] Curve di evaporazione e di solidificazione

Parlando di grandezze direttamente e inversamente proporzionali e loro "leggi",
ci si è avviati naturalmente al concetto di funzione. Le "leggi" che regolano le proporzionalità non sono altro che funzioni matematiche.
Abbiamo quindi distinto le funzioni matematiche dalle funzioni empiriche.

Possiamo utilizzare ora le nostre conoscenze in un'attività di laboratorio di Scienze, mediante la raccolta e l'elaborazione in un grafico, dei dati relativi ad alcuni esperimenti.

Curve di evaporazione e di solidificazione
Materiale necessario
Becco Bunsen o un fornellino elettrico;
se si usa il bunsen, è necessario un treppiede e una reticella frangifiamma.
Becher, ossia un bicchierone di vetro resistente alle alte temperature (pirex); se non si dispone del becher, basta un pentolino.
Termometro tarato in modo da misurare temperature comprese almeno tra 0°C e 120 °C.
Pinza di legno,
provetta pirex a pareti robuste,
batuffoli di cotone,
carta millimetrata, carta quadrettata, biro;
orologio con la lancetta dei secondi,
acqua distillata,
sale da cucina,
naftalina (o paradiclorobenzolo, che è un altro comune antitarmico),
piccolo mortaio.

In questo primo post descriveremo il primo di quattro diversi esperimenti.
Curva di evaporazione dell'acqua
Preparazione delle tabelle di raccolta dati.
Gli esperimenti consistono nel misurare come varia nel tempo la temperatura di un certo corpo (sottoposto a riscaldamento o raffreddamento) e contemporaneamente nell'osservare che cosa succede relativamente allo stato del corpo: è liquido? È solido? È in parte liquido e in parte solido? E aeriforme? Lo è in parte?
Per ciascun esperimento conviene preparare su un foglio una tabella come la seguente:
La colonna del tempo va riempita fin dall'inizio. Per l'esperimento di vaporizzazione dell'acqua vanno bene intervalli da 30 secondi.
La colonna della temperatura andrà riempita durante l'esperimento.
Anche la colonna delle osservazioni va riempita durante l'esperimento. Tutti osservano e lo scrivano riporta quanto gli viene segnalato a proposito dello stato della sostanza su cui si sperimenta.
Bisogna infatti prevedere dei ruoli ben precisi.
Ruoli.
Per ciascun esperimento occorre individuare:
un cronometrista: il suo ruolo è quello di guardare con attenzione l'orologio e dare un segnale al lettore (anche semplicemente un "via!") ogni 30 secondi (ogni 10 secondi, per l'esperimento di fusione della naftalina);
un lettore: il suo ruolo è quello di non perdere di vista nemmeno un attimo il livello al quale si trova la colonnina di mercurio del termometro; ogni volta che il cronometrista lancia il suo segnale, il lettore deve dire ad alta voce quale temperatura ha raggiunto il corpo che si sta osservando;
uno scrivano: il suo ruolo è quello di compilare la tabella durante l'esperimento, con le temperature annunciate dal lettore e con le osservazioni fatte dai compagni.
Gli altri compagni hanno il compito di osservare lo stato del corpo su cui si sta sperimentando e di riferire, educatamente, i loro commenti allo scrivano.

Preparazione ed esecuzione dell'esperimento
Se si usa un fornellino elettrico, si accende e si lascia portare a temperatura.
Se si usa il bunsen, si prepara il treppiede con la reticella frangifiamma.
Si sistema la pinza di legno, eventualmente utilizzando un batuffolo di cotone, in modo tale che sostenga il termometro.
Si riempe il becher circa a metà di acqua distillata, si inserisce il termometro e si pone sopra alla fonte di calore.
Quando tutti sono pronti il cronometrista inizierà a dare il tempo e lo scrivano a segnare le temperature rilevate dal lettore.
Si procede fino a qualche minuto dopo che l'acqua inizia a bollire vivacemente.
Attenzione: osservare quando l'acqua inizia a bollire e prendere nota accuratamente ...!

Grafico
Con i dati raccolti nella tabella si costruisca il grafico: è la curva di riscaldamento-evaporazione-ebollizione dell'acqua.
Si può utilizzare la carta millimetrata o riportare la tabella dati su Excel e realizzare il grafico con il software.
Sull'asse delle ascisse (x) si riportano i tempi (in sec), su quello delle ordinate (y) le temperature (in °C).
Osservate poi:
Che tipo di andamento ha il grafico (crescente, decrescente, costante)?
Tutti i punti sono uniti da un'unica retta?
Mettete in relazione il grafico con le osservazioni riportate nella tabella di raccolta dati e poi proseguite con altre riflessioni.
Osservando la tabella dati e il grafico, rispondete alle domande:
A quale temperatura bolle l'acqua?
Che cosa succede alla temperatura quando l'acqua bolle?
Fare delle misurazioni, descrivere cioè la realtà attraverso i numeri, ossia in modo quantitativo, permette di descrivere con precisione quello che vediamo e anche di scoprire qualcosa in più sui cambiamenti di stato della materia.

Stampa il post

giovedì 11 dicembre 2008

Alberi di Natale ... numerici!

Vogliamo spezzare un po' con qualche calcolo magico? :-)
Osservate questi alberelli, non proprio simmetrici, ma ...
hanno una loro magia, no?
Ora trapezi ...

e inversioni....le serie possono essere estese ....
[Aggiornamento]: NON SI PUO' non andare a vedere cosa ha fatto la MAGICA maestra Renata con il primo "alberello"!

Stampa il post

mercoledì 10 dicembre 2008

La proporzionalità inversa, grandezze inversamente proporzionali

Continuo la pubblicazione del lavoro sulla proporzionalità.
Possiamo considerare il post ... collettivo :-)

La prof ci ha dato da risolvere un problema che, ha detto, potremmo trovarci a dover affrontare! Abbiamo a disposizione 20 € per organizzare la festicciola di compleanno con i nostri amici. Una merendina, qualcosa di non troppo impegnativo...
Dovremmo fare i nostri conti: la somma di cui disponiamo per ciascun amico dipende dal numero di amici che decidiamo di invitare.
Ci siamo chiesti: se organizziamo per 10 amici, quanto possiamo spendere per ciascuno?
E se invece riduciamo il numero a 5 amici? O a 4? Sarebbe anche meglio!
Non è stato difficile rispondere: è bastato fare le divisioni
20 : 10 = 2 € per ogni persona
20 : 5 = 4 €
20 : 4 = 5 € .
Insomma diminuendo il numero di amici si dispone di una somma maggiore per ciascuno.
La prof al solito, ci consiglia di riportare la situazione in una tabella: Facciamo le osservazioni: le due grandezze in gioco, le variabili, questa volta sono il n° di persone e la somma per persona;
notiamo che si mantiene costante il prodotto dei valori delle due grandezze;
questo prodotto è uguale a 20: i 20 euro di cui si dispone in totale.
E' la grandezza costante, che prende il nome in questo caso, di: coefficiente di proporzionalità inversa.
Notiamo poi più esattamente che al dimezzare del numero di amici raddoppia la somma disponibile per ciascuno, se il numero di amici diventa 1/5, la somma per ciascuno diventa 5 volte tanto, ecc...
Queste due proprietà:
1) prodotto costante fra le due grandezze;
2) al raddoppiare, triplicare... oppure dimezzare.... di una grandezza, l'altra diventa la metà, 1/3... oppure raddoppia....,
sono le caratteristiche delle grandezze inversamente proporzionali.

Abbiamo fatto altri esempi di grandezze inversamente proporzionali, come al solito trovandole in campi diversi:
nella geometria: se abbiamo una serie di rettangoli equivalenti, cioè di area costante, al raddoppiare della base l'altezza diventa la metà, ecc.... quindi l'altezza è inversamente proporzionale alla base: h = A/b;
nella fisica: il tempo impiegato a percorrere un certo tragitto, costante, è inversamente proporzionale alla velocità, considerando una velocità uniforme (dalla legge del moto rettilineo uniforme: V = s/t);
l'esempio della festa di compleanno è un problema di vita quotidiana;
ancora dalla fisica: la pressione esercitata da un corpo è inversamente proporzionale alla superficie di appoggio: P = peso/superficie.

Da tutti questi esempi, con le stesse considerazioni già fatte per la proporzionalità diretta, non è stato difficile trovare la
legge generale della proporzionalità inversa.
Indicando con x la variabile indipendente e con y la variabile dipendente,
la relazione che le lega è: y = K/x oppure y*x =K (il prodotto costante).
Anche in questo caso abbiamo costruito il diagramma cartesiano della proporzionalità inversa:
Si ottiene come grafico una curva chiamata: ramo di iperbole equilatera.

Stampa il post

lunedì 8 dicembre 2008

Proporzionalità inversa su Geogebra

Anticipo il post dei ragazzi sulle grandezze inversamente proporzionali, pubblicando la rappresentazione grafica della funzione realizzata con GeoGebra
Il grafico rappresenta la variazione dell'altezza in funzione della base (o anche viceversa, base che varia in funzione dell'altezza) di un insieme di rettangoli equivalenti, cioè aventi la stessa area (k, costante).
Notiamo che i vertici liberi di rettangoli equivalenti si dispongono su una curva, un ramo di iperbole equilatera.


Agendo con il mouse sul punto rosso dello slider si fa variare l'Area dei rettangoli ottenendo le curve relative a diversi insiemi di rettangoli equivalenti. Il diagramma è sempre un ramo di iperbole equilatera. Clic sulla figura.

Stampa il post

domenica 7 dicembre 2008

Proporzionalità diretta con Geogebra

Oltre che su Excel, si può seguire su Geogebra un esempio di funzione di proporzionalità diretta.
Clic sull'immagine sotto. 
Muovendo con il mouse il punto sullo slider puoi ipotizzare diversi prezzi e seguire la variazione della spesa. La retta cambierà inclinazione. Se muovi sulla retta il punto F puoi determinare la spesa per quantità prese a piacere.


Stampa il post

sabato 6 dicembre 2008

Grandezze direttamente proporzionali

Le mie "care" alunne di III hanno finalmente deciso di riprendere (?) a scrivere!:-)
Abbiamo rielaborato in classe le bozze di Alessandra, Laura e Irene.
Qualche tempo fa (ormai...) suddivisi per gruppi, avevamo svolto l'attività sulle "Decorazioni". Tutti eravamo arrivati alla giusta soluzione, in generale ragionando così:
il numero di barattoli di colore, usati per dipingere le figure, 18, 21 e 27, sono multipli di 3, quindi abbiamo dedotto che per ogni quadratino dell'area di ogni figura, erano stati usati 3 barattoli.
Le aree delle figure erano (partendo da sinistra): 8 quadratini, 7 quadratini, 9 e 6 quadratini. Quindi:
- per la figura da 6 quadratini sono stati usati 18 barattoli e la figura è rossa
- per la figura da 7 quadratini sono stati usati 21 barattoli e la figura è blu
- per la figura da 9 quadratini sono stati usati 27 barattoli e la figura è gialla.
Perciò per la figura che rimane, da 8 quadratini, sono stati usati 24 barattoli di colore nero.

La prof ci ha detto che il ragionamento non era male, e ha aggiunto che con questo esercizio ci siamo avviati allo studio della proporzionalità fra grandezze. E che ora dovevamo "mettere in ordine" e completare le nostre conoscenze.
Per svolgere l'attività non è stato neppure necessario usare le proporzioni, abbiamo intuito che il numero di barattoli usati era "proporzionale" all'area delle figure.


Per studiare meglio la proporzionalità abbiamo costruito una tabella, mettendo in relazione Area figure e n° barattoli:

La prof ci ha fatto osservare la tabella e ci ha chiesto cosa notavamo.
Discutendo un po' tutti, siamo arrivati a dire (è stata Laura a dirlo con il linguaggio più appropriato):
nella tabella noto che esiste un rapporto costante tra i valori n° barattoli e Area figure.
Il valore di questo rapporto è 3. Il numero 3, il numero di barattoli che che noi avevamo detto erano serviti per ogni quadratino.

La prof ci ha detto che per cominciare a "generalizzare" e ampliare, potevamo dire: rapporto costante tra le due grandezze (n° baratt. e Area figure) e che questo rapporto costante viene chiamato coefficiente di proporzionalità.
Infatti, moltiplicando le aree delle figure per 3, si ottiene il numero di barattoli per ogni figura.
La prof voleva farci notare qualche altra proprietà.

Ci ha chiesto: se avessimo un'altra figura con area di 12 quadratini, quale sarebbe il valore corrispondente del n° di barattoli?

Naturalmente basta fare 12*3, quindi 36.
Immaginando ancora una figura da 18 quadratini, avremmo n° di barattoli: 54
Ora osserviamo ancora la tabella (abbiamo calcolato anche il rapporto costante tra le due grandezze):
notiamo che al raddoppiare, triplicare ... del valore dell'area, raddoppia, triplica... il valore del n° di barattoli.
Queste due proprietà:

1) rapporto costante tra le due grandezze;
2) al raddoppiare, triplicare...dell'una, raddoppia, triplica... anche l'altra, sono le proprietà caratteristiche delle grandezze direttamente proporzionali.

Abbiamo fatto tanti altri esempi di grandezze direttamente proporzionali.
Esempi presi dalla geometria: l'area di un rettangolo è direttamente proporzionale alla base, se si tiene fissa l'altezza.
Esempi presi dalla fisica: lo spazio percorso da un'automobile, in un certo tempo fisso, è direttamente proporzionale alla Velocità.
Esempi dalla vita quotidiana: la spesa per l'acquisto di una certa merce è direttamente proporzionale alla quantità di merce...
Tutti questi esempi sono particolari, ma rispettano tutti una legge generale (stiamo infatti generalizzando, la prof ha detto: siamo in terza media!).
Qual è la legge generale della proporzionalità diretta?
Dobbiamo trovare la relazione che lega le grandezze.

Prima di passare a scrivere la relazione tra le grandezze, la legge che le lega, occorre precisare che ora stiamo studiando le grandezze non più "statiche" (come in geometria l'anno scorso, es: avevo l'area di un triangolo...) ma nella loro variabilità.
Nei diversi esempi vediamo che si possono avere grandezze variabili e grandezze costanti.
Nei nostri esempi abbiamo due grandezze variabili (che abbreviamo dicendo solo "variabile") e una grandezza costante (diremo solo "costante")
Es: spazio e velocità sono grandezze variabili, il tempo è costante.
Per generalizzare indichiamo con x e y le due grandezze variabili, con K la grandezza costante.
Le due due variabili inoltre sono una "dipendente" dall'altra.
Es:

il numero dei barattoli utilizzati dipende dall'area della figura;
lo spazio percorso dipende dalla velocità della macchina;
il costo della merce dipende dalla quantità, eccc..
Precisiamo che:
la variabile dipendente si indica con y, quella indipendente si indica con x.
Ora possiamo provare a scrivere la legge che lega le grandezze direttamente proporzionali, la legge della proporzionalità diretta.
Partendo ancora dagli esempi:
barattoli = 3 * area figura;
A rettangolo = b * h (k);
Spesa = prezzo unitario (k) * quantità merce;
Spazio = t (k) * Velocità.
Quindi in generale:
y (variabile dipendente) = k (costante) * x (variabile indipendente)
y = k*x è la legge della proporzionalità diretta.
Per completare lo studio delle grandezze direttamente proporzionali abbiamo riportato in un diagramma cartesiano i valori delle due varibili:
il grafico che si ottiene è sempre una linea retta che passa per l'origine degli assi cartesiani.

prolungando la retta verso l'origine degli assi, ci accorgiamo che essa passa per l'origine.
La prox volta parleremo di grandezze inversamente proporzionali.
Sul blog, un lavoro in Excel sulla proporzionalità diretta e inversa (di una nostra ex alunna).

Stampa il post